第10講 銳角三角函數(shù)（4大考點(diǎn)）（原卷版）

第10講銳角三角函數(shù)（4大考點(diǎn)）考點(diǎn)考點(diǎn)考向一．銳角三角函數(shù)的定義在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）正弦：我們把銳角A的對(duì)邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA．即sinA＝∠A的對(duì)邊除以斜邊＝．（2）余弦：銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作cosA．即cosA＝∠A的鄰邊除以斜邊＝．（3）正切：銳角A的對(duì)邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA．即tanA＝∠A的對(duì)邊除以∠A的鄰邊＝．（4）三角函數(shù)：銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)．二．同角三角函數(shù)的關(guān)系（1）平方關(guān)系：sin2A+cos2A＝1；（2）正余弦與正切之間的關(guān)系（積的關(guān)系）：一個(gè)角的正切值等于這個(gè)角的正弦與余弦的比，即tanA＝或sinA＝tanA?cosA．三．互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系在直角三角形中，∠A+∠B＝90°時(shí)，正余弦之間的關(guān)系為：①一個(gè)角的正弦值等于這個(gè)角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）；②一個(gè)角的余弦值等于這個(gè)角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）；也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA．四．特殊角的三角函數(shù)值（1）特指30°、45°、60°角的各種三角函數(shù)值．sin30°＝；cos30°＝；tan30°＝；sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；sin60°＝；cos60°＝；tan60°＝；（2）應(yīng)用中要熟記特殊角的三角函數(shù)值，一是按值的變化規(guī)律去記，正弦逐漸增大，余弦逐漸減小，正切逐漸增大；二是按特殊直角三角形中各邊特殊值規(guī)律去記．（3）特殊角的三角函數(shù)值應(yīng)用廣泛，一是它可以當(dāng)作數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，二是具有三角函數(shù)的特點(diǎn)，在解直角三角形中應(yīng)用較多．考點(diǎn)考點(diǎn)精講一．銳角三角函數(shù)的定義（共6小題）1．（2022?海曙區(qū)校級(jí)開學(xué)）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝4，則sinA＝（）A． B． C． D．2．（2022?長(zhǎng)興縣模擬）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，則cosB的值為（）A． B． C． D．3．（2020秋?麗水期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝3．（1）求BC的長(zhǎng)；（2）求sinA的值．4．（2022?拱墅區(qū)模擬）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC，則sinB的值為（）A． B． C． D．25．（2021秋?麗水期末）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，BC＝10，則cosB的值是（）A． B． C． D．6．（2022?湖州）如圖，已知在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，AB＝5，BC＝3．求AC的長(zhǎng)和sinA的值．二．同角三角函數(shù)的關(guān)系（共1小題）7．（2022?海曙區(qū)校級(jí)開學(xué)）已知∠A是銳角tanA＝，則sinA＝．三．互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系（共4小題）8．（2022?江干區(qū)校級(jí)模擬）在Rt△ABC中，若∠ACB＝90°，tanA＝，則sinB＝（）A． B． C． D．9．（2022?鹿城區(qū)校級(jí)模擬）已知＜cosA＜sin80°，則銳角A的取值范圍是（）A．60°＜A＜80° B．30°＜A＜80° C．10°＜A＜60° D．10°＜A＜30°10．（2022?西湖區(qū)校級(jí)二模）已知△ABC中，∠A＝90°，tanB＝，則sinC＝．11．（2002?溫州自主招生）在△ABC中，（1）若∠的值；（2）若∠A＝35°，∠B＝65°，試比較cosA與sinB大小，說(shuō)明理由．四．特殊角的三角函數(shù)值（共10小題）12．（2022?蕭山區(qū)校級(jí)一模）cos45°＝（）A． B． C． D．13．（2022?甌海區(qū)校級(jí)自主招生）cos60°的值等于（）A． B．1 C． D．14．（2022?蕭山區(qū)二模）sin30°的值是（）A． B． C． D．15．（2022?蕭山區(qū)校級(jí)二模）若cosA＝，則銳角∠A＝．16．（2022?金華）計(jì)算：（﹣2022）0﹣2tan45°+|﹣2|+．17．（2022?拱墅區(qū)校級(jí)開學(xué)）求下列各式的值：（1）tan30°?sin30°﹣3cos60°；（2）cos245°+2sin30﹣tan60°．18．（2021秋?金東區(qū)期末）計(jì)算：sin30°?tan45°+sin260°﹣2cos60°．19．（2022?長(zhǎng)興縣開學(xué)）計(jì)算tan45°的正確結(jié)果是．20．（2022?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)開學(xué)）求下列各式的值：（1）sin45℃os45°+4tan30°sin60°；（2）cos60°﹣2sin245°+tan260°﹣sin30°．21．（2021秋?衢州期末）計(jì)算：2sin30°+cos45°?tan60°．鞏固鞏固提升一、單選題1．（2021·浙江余杭·二模）若sinα＝，則銳角α＝（）A．30° B．45° C．50° D．60°2．（2021·浙江婺城·三模）若∠A，∠B都是銳角，且tanA＝1，sinB＝，則△ABC不可能是（）A．等腰三角形 B．等腰直角三角形C．銳角三角形 D．直角三角形3．（2021·浙江·寧波市第七中學(xué)九年級(jí)月考）如圖，四個(gè)全等的直角三角形紙片既可以拼成（內(nèi)角不是直角）的菱形，也可以拼成正方形，則菱形面積和正方形面積之比為（）A．1 B． C． D．4．（2020·浙江衢江·九年級(jí)期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，cos∠A，則∠A等于____度（）A．30 B．45 C．60 D．705．（2021·浙江浙江·九年級(jí)期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則的值為（）A． B． C． D．6．（2021·浙江龍游·九年級(jí)期末）在RtABC中，∠C＝90°，sinA，BC＝2，則AB等于（）A． B．4 C．4 D．67．（2021·浙江浙江·九年級(jí)期末）如圖，將矩形紙片沿翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)G處，點(diǎn)A，D同時(shí)落在點(diǎn)H處，交于點(diǎn)O．已知，，則該矩形紙片的面積為（）A． B． C． D．二、填空題8．（2021·浙江·東陽(yáng)市橫店鎮(zhèn)第二初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝16，BC＝24，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連接DE，將△DEC沿DE折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，連接FB，則cos∠FBE＝_______．9．（2021·浙江·寧波市海曙外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)期中）已知在直角三角形中，為直角，，，則___．10．（2021·浙江·寧波市第七中學(xué)九年級(jí)月考）如圖，已知直線y＝k1x與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，將線段AB繞點(diǎn)A沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°后，點(diǎn)B落在點(diǎn)C處，雙曲線經(jīng)過點(diǎn)C，則的值為______．11．（2021·浙江·寧波市海曙外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，連接并延長(zhǎng)至，連接，若滿足，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為___．12．（2021·浙江柯橋·九年級(jí)月考）如圖，已知一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正六邊形，邊在軸上，點(diǎn)在軸上，反比例函數(shù)（，）的圖像經(jīng)過該正六邊形其中一個(gè)頂點(diǎn)，并與正六邊形另一邊相交，則該交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為________．三、解答題13．（2021·浙江龍游·九年級(jí)期末）計(jì)算：sin30°+cos60°﹣tan45°?tan60°．14．（2021·浙江·金華市第五中學(xué)九年級(jí)月考）計(jì)算：|﹣2|﹣4sin45°+．15．（2021·浙江·寧波市海曙外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)期中）計(jì)算：．16．（2021·浙江衢江·九年級(jí)期末）閱讀材料：關(guān)于三角函數(shù)有如下的公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，tan（α+β）．利用這些公式可以將兩角和的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化成兩個(gè)三角函數(shù)值的和（差），如tan75°＝tan（30°+45°）2．問題解決：根據(jù)以上閱讀材料，請(qǐng)選擇適當(dāng)?shù)墓浇獯鹣铝袉栴}（1）求sin75°；（2）如圖，邊長(zhǎng)為2的正ABC沿直線滾動(dòng)設(shè)當(dāng)ABC滾動(dòng)240°時(shí)，C點(diǎn)的位置在，當(dāng)ABC滾動(dòng)480°時(shí)，A點(diǎn)的位置在．①求tan∠的值；②試確定的度數(shù)．17．（2020·浙江衢江·九年級(jí)期末）如圖是由邊長(zhǎng)為1的正方形組成的2×7網(wǎng)格，正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，端點(diǎn)在格點(diǎn)的線段叫做格點(diǎn)線段．（1）在下圖中畫出格點(diǎn)線段AB和AC使AB＝5，AC＝2；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，畫出格點(diǎn)線段AD，使AD平分∠BAC，并證明畫法正確；（3）在（2）的基礎(chǔ)上，求tan∠BAD．18．（2020·浙江·衢州市實(shí)驗(yàn)學(xué)校教育集團(tuán)（衢州學(xué)院附屬學(xué)校教育集團(tuán)）九年級(jí)期末）定義：若拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，其頂點(diǎn)與這兩個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成的三角形是等腰直角三角形，則這種拋物線就稱為：“美麗拋物線”．（1）已知一條拋物線是“美麗拋物線”，且與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為（1，0）、（5，0），則此拋物線的頂點(diǎn)為；（2）若拋物線y＝x2﹣bx（b＞0）是“美麗拋物線”，求b的值；（3）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c是“美麗拋物線”，此拋物線頂點(diǎn)為B（1，2），與軸交與A，C，AB與y軸交于點(diǎn)D，連接OB，在拋物線找一點(diǎn)Q，使得∠QCA＝∠ABO，求Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)．19．（2021·浙江平陽(yáng)·九年級(jí)期中）如圖，在?ABC中，D為的中點(diǎn)，，，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，且．（1）求證：?ADE（2）若，，求線段的長(zhǎng)．20．（2021·浙江·金華市金東區(qū)傅村鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中）已知邊長(zhǎng)為8的正方形截去一個(gè)角后成為五邊形，點(diǎn)在線段上，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，，，設(shè)的長(zhǎng)為，四邊形的面積記為．（1）求，的長(zhǎng)（分別用含的代數(shù)式表示）；（2）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；（3）求四邊形面積的最