第2講-空間向量基本定理、坐標(biāo)運(yùn)算和應(yīng)用一(學(xué)生版)

第2講空間向量基本定理、坐標(biāo)運(yùn)算及應(yīng)用一[玩前必備]1．空間向量基本定理如果空間中的三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間中的任意一個(gè)向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．特別地，當(dāng)a，b，c不共面時(shí)，可知xa＋yb＋zc＝0時(shí)，x＝y(tǒng)＝z＝0．2．空間中向量的坐標(biāo)一般地，如果空間向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是單位向量，而且這三個(gè)向量?jī)蓛纱怪保头Q這組基底為單位正交基底，在單位正交基底下向量的分解稱為向量的單位正交分解，而且，如果p＝xe1＋ye2＋ze3，則稱有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)為向量p的坐標(biāo)，記作p＝(x，y，z)．其中x，y，z都稱為p的坐標(biāo)分量．思考1：若a＝xe1＋ye2＋ze3，則a的坐標(biāo)一定是(x，y，z)嗎？【名師提醒】不一定，當(dāng)e1，e2，e3是單位正交基底時(shí)，坐標(biāo)是(x，y，z)，否則不是．3．空間向量的運(yùn)算與坐標(biāo)的關(guān)系假設(shè)空間中兩個(gè)向量a，b滿足a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，則有以下結(jié)論：(1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)；(2)若u，v是兩個(gè)實(shí)數(shù)，ua＋vb＝(ux1＋vx2，uy1＋vy2，uz1＋vz2)；(3)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2；(4)|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＋z\o\al(2,1))；(5)當(dāng)a≠0且b≠0時(shí)，cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＋z\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)＋z\o\al(2,2)))．4．空間向量的坐標(biāo)與空間向量的平行、垂直(1)當(dāng)a≠0時(shí)，a∥b?b＝λa?(x2，y2，z2)＝λ(x1，y1，z1)?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝λx1,y2＝λy1,z2＝λz1))，當(dāng)a的每一個(gè)坐標(biāo)分量都不為零時(shí)，有a∥b?eq\f(x2,x1)＝eq\f(y2,y1)＝eq\f(z2,z1)．(2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＋z1z2＝0．5.直線l的方向向量為a＝(a1，b1，c1)．平面α，β的法向量u＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(1)線面平行：l∥α?a⊥u?a·u＝0?a1a3＋b1b3＋c1c3＝0(2)線面垂直：l⊥α?a∥u?a＝ku?a1＝ka3，b1＝kb3，c1＝kc3(3)面面平行：α∥β?u∥v?u＝kv?a3＝ka4，b3＝kb4，c3＝kc4(4)面面垂直：α⊥β?u⊥v?u·v＝0?a3a4＋b3b4＋c3c4＝0【玩轉(zhuǎn)典例】考點(diǎn)一基底的判斷【例1】（2020·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）在正方體中，可以作為空間向量的一組基底的是（）A． B．C． D．空間向量基底.不共面的三個(gè)向量構(gòu)成空間向量的基底空間向量基底.不共面的三個(gè)向量構(gòu)成空間向量的基底【玩轉(zhuǎn)跟蹤】1．（2020·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）下列說法正確的是（）A．任何三個(gè)不共線的向量可構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底B．空間的基底有且僅有一個(gè)C．兩兩垂直的三個(gè)非零向量可構(gòu)成空間的一個(gè)基底D．基底中基向量與基底基向量對(duì)應(yīng)相等2．（2020·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)向量不共面,則下列可作為空間的一個(gè)基底的是()A． B．C． D．考點(diǎn)二基本定理的運(yùn)用【例2】（2020·綿竹市南軒中學(xué)高二月考）如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都是，且它們彼此的夾角都是，為與的交點(diǎn).若，，，（1）用表示；（2）求對(duì)角線的長(zhǎng)；（3）求【玩轉(zhuǎn)跟蹤】1．（2020·濟(jì)南市歷城第二中學(xué)高二月考）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱PA的長(zhǎng)為2，且PA與AB、AD的夾角都等于，是PC的中點(diǎn)，設(shè)．（1）試用表示出向量；（2）求的長(zhǎng)．2．（2020·陜西新城。西安中學(xué)高二期中）如圖，三棱柱中，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都等于1，．（1）設(shè)，，，用向量，，表示，并求出的長(zhǎng)度；（2）求異面直線與所成角的余弦值．考點(diǎn)三坐標(biāo)的運(yùn)算【例3】（1）（2020·宜昌天問教育集團(tuán)高二期末）設(shè)，向量，，則（）A． B． C．3 D．4（2）（2020·宜昌天問教育集團(tuán)高二期末）已知空間向量，，則向量與（）的夾角為（）A． B．或 C． D．或【例4】（2020·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知.（1）若，分別求λ與m的值；（2）若，且與垂直，求.【玩轉(zhuǎn)跟蹤】1．（2020·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）下列向量中與向量平行的向量是（）A． B．C． D．2．（2020·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知向量，，若，則k的值等于（）A．1 B． C． D．3.（2020·濟(jì)南模擬）已知空間三點(diǎn)A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，設(shè)a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(AC,\s\up6(→)).(1)求a與b夾角的余弦值；(2)若ka＋b與ka－2b互相垂直，求k的值；(3)設(shè)|c|＝3，c∥eq\o(BC,\s\up6(→))，求c.考點(diǎn)四平面的法向量【例5】（2020年廣東潮州）如圖已知ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝eq\f(1,2)，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系．(1)求平面ABCD的一個(gè)法向量；(2)求平面SAB的一個(gè)法向量；(3)求平面SCD的一個(gè)法向量．1.利用待定系數(shù)法求平面法向量的步驟1.利用待定系數(shù)法求平面法向量的步驟(1)設(shè)向量：設(shè)平面的法向量為n＝(x，y，z)(2)選向量：在平面內(nèi)選取兩個(gè)不共線向量eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AC,\s\up7(→))(3)列方程組：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up7(→))＝0，,n·\o(AC,\s\up7(→))＝0，))列出方程組(4)解方程組：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up7(→))＝0，,n·\o(AC,\s\up7(→))＝0.))(5)賦非零值：取其中一個(gè)為非零值(常取±1)(6)得結(jié)論：得到平面的一個(gè)法向量2.求平面法向量的三個(gè)注意點(diǎn)(1)選向量：在選取平面內(nèi)的向量時(shí)，要選取不共線的兩個(gè)向量(2)取特值：在求n的坐標(biāo)時(shí)，可令x，y，z中一個(gè)為一特殊值得另兩個(gè)值，就是平面的一個(gè)法向量(3)注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某個(gè)坐標(biāo)為某特定值時(shí)一定要注意這個(gè)坐標(biāo)不為0【玩轉(zhuǎn)跟蹤】1．（2020年廣東惠州）正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別為棱A1D1、A1B1的中點(diǎn)，在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，求：(1)平面BDD1B1的一個(gè)法向量；(2)平面BDEF的一個(gè)法向量．考點(diǎn)五空間向量證明平行【例6】（2020年廣東湛江二中周測(cè)）如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點(diǎn)．求證：PB∥平面EFG.（2）證明平面EFG∥平面PBC線線平行線線平行證明兩直線的方向向量共線線面平行①證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；②證明直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行面面平行①證明兩平面的法向量為共線向量；②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題【一玩轉(zhuǎn)跟蹤】1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是CC1，B1C1的中點(diǎn)．求證：MN∥平面A1BD．2．（2020·上海楊浦.復(fù)旦附中高二期中）已知平面的一個(gè)法向量為，則直線與平面的位置關(guān)系為_______.考法六空間向量證垂直【例7】（2020.廣東.田家炳中學(xué)）如圖所示，正三棱柱(底面為正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2，D為CC1的中點(diǎn)．求證：AB1⊥平面A1BD.利用空間向量證明線線垂直時(shí)，確定兩條直線的方向向量，由向量數(shù)量積為0即可得證利用空間向量證明線線垂直時(shí)，確定兩條直線的方向向量，由向量數(shù)量積為0即可得證利用空間向量法證明線面垂直的方法有兩種：①利用判定定理，即通過證明向量數(shù)量積為0來驗(yàn)證直線的方向向量與平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量垂直；②求出平面的法向量，驗(yàn)證直線的方向向量與平面的法向量平行利用空間向量法證明面面垂直有兩種方法：①證明其中一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，即轉(zhuǎn)化為線面垂直；②證明兩平面的法向量垂直【玩轉(zhuǎn)跟蹤】1．（2020·浙江高三其他）已知平面的法向量為，，則直線與平面的位置關(guān)系為（）A． B． C．與相交但不垂直 D．2．（2019·瓦房店市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高二月考）四棱錐中，底面是平行四邊形，，，，則直線與底面的關(guān)系是()A．平行 B．垂直 C．在平面內(nèi) D．成60°角3．（2020·江蘇省邗江中學(xué)高一期中）如圖，在正方體中，分別是的中點(diǎn)，試用空間向量知識(shí)解決下列問題（1）求證：（2）求證平面．【玩轉(zhuǎn)練習(xí)】1.若向量，，是空間的一個(gè)基底，向量，，那么可以與，構(gòu)成空間的另一個(gè)基底的向量是

A. B. C. D.2.（2020?菏澤期末）如圖，已知正方體中，點(diǎn)為上底面的中心，若則A． B．1 C． D．23．（2020?安徽期末）空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，關(guān)于點(diǎn)，2，的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為A．，1， B．，5， C．，， D．，3，4.（2020?陽泉期末）如圖，在四面體中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則等于A． B． C． D．5．（2020?煙臺(tái)期末）三棱柱中，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都相等，，則異面直線與所成角的余弦值為

A. B. C. D.6.（多選）（2020?南通期末）設(shè)，，是空間一個(gè)基底A．若，，則 B．則，，兩兩共面，但，，不可能共面 C．對(duì)空間任一向量，總存在有序?qū)崝?shù)組，，，使 D．則，，一定能構(gòu)成空間的一個(gè)基底7.（多選）（2020?三明期末）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，，以直線，，分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A．點(diǎn)的坐標(biāo)為，5， B．點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為，8， C．點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，5， D．點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)為，5，8.已知四棱柱的底面ABCD是矩形，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)均為2，，則對(duì)角線的長(zhǎng)為_____________．9．（2020?黃浦區(qū)校級(jí)月考）已知向量，則10．（2020?福建期中）已知空間三點(diǎn)，2，，，1，，，0，（1）求向量的夾角的余弦值，（2）若向量垂直，求實(shí)數(shù)的值．11．（2020·內(nèi)蒙古集