第5章導數(shù)及其應用（單元基礎卷）

第5章導數(shù)及其應用（單元基礎卷）（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題，16題每題4分，712題每題5分，1．已知函數(shù)的導函數(shù)滿足（1），則的值為1．【分析】根據基本初等函數(shù)的求導公式求導，根據（1）即可得出的值．【解答】解：，（1），解得．故答案為：1．【點評】本題考查了基本初等函數(shù)的求導公式，是基礎題．2．設函數(shù)，則．【分析】根據基本初等函數(shù)和復合函數(shù)的求導公式求導即可．【解答】解：．故答案為：．【點評】本題考查了基本初等函數(shù)和復合函數(shù)的求導公式，是基礎題．3．函數(shù)的導函數(shù)為．【分析】根據余弦函數(shù)的導函數(shù)直接可得結果．【解答】解：由題意可得：．故答案為：．【點評】本題考查導數(shù)的運算，屬于基礎題．4．設函數(shù)，則．【分析】可以求出導函數(shù)，然后將換上即可．【解答】解：，．故答案為：．【點評】本題考查了基本初等函數(shù)的求導公式，函數(shù)求值的方法，考查了計算能力，屬于基礎題．5．函數(shù)的嚴格增區(qū)間是．【分析】對求導，令，即可求解函數(shù)的增區(qū)間．【解答】解：因為，所以，由，可得，所以函數(shù)的嚴格增區(qū)間是．故答案為：．【點評】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查運算求解能力，屬于基礎題．6．從橋上將一小球擲向空中，小球相對于地面的高度（單位：和時間（單位：，近似滿足函數(shù)關系．問小球在到這段時間內的平均速度是．【分析】根據題意，由平均變化率公式計算可得答案．【解答】解：根據題意，，則小球在到這段時間內的平均速度．故答案為：．【點評】本題考查平均變化率的計算，注意平均變化率的計算公式，屬于基礎題．7．已知曲線上有一點，則過點的切線的斜率為4或1【分析】根據題意，求出函數(shù)的導數(shù)，將代入計算可得答案．【解答】解：根據題意，分2種情況討論：①為切點，曲線，其導數(shù)，則，即過點的切線的斜率；②不是切點，設切點的坐標為，曲線，其導數(shù)，則，則有，解可得或2（舍，此時切線的斜率．綜合可得：切線的斜率為4或1．故答案為：4或1．【點評】本題考查導數(shù)的幾何意義，涉及導數(shù)的計算，屬于基礎題．8．函數(shù)的導函數(shù)．【分析】由已知結合函數(shù)的求導公式及復合函數(shù)的求導法則即可求解．【解答】解：由題意得的導函數(shù)．故答案為：．【點評】本題主要考查了函數(shù)的求導公式及復合函數(shù)的求導法則，屬于基礎題．9．函數(shù)從到的平均變化率是2．【分析】直接利用平均變化率的計算公式求解即可．【解答】解：函數(shù)從到的平均變化率是．故答案為：2．【點評】本題考查了平均變化率的計算，解題的關鍵是掌握平均變化率的計算公式，屬于基礎題．10．設，若1是函數(shù)的一個駐點，則．【分析】根據已知條件，對求導，再結合駐點的定義，即可求解．【解答】解：，則，是函數(shù)的一個駐點，，解得．故答案為：．【點評】本題主要考查導數(shù)的運算，屬于基礎題．11．余弦函數(shù)在處的導數(shù)是．【分析】根據已知條件，結合導數(shù)的運算，即可求解．【解答】解：，則，故余弦函數(shù)在處的導數(shù)是．故答案為：．【點評】本題主要考查導數(shù)的運算，屬于基礎題．12．函數(shù)在點處的切線方程為．【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，繼而可求得切線的斜率，根據直線的點斜式方程即可求得答案．【解答】解：由函數(shù)可得，故在點處的切線的斜率為，故切線方程為，即．故答案為：．【點評】本題主要考查利用導數(shù)研究曲線上某點的切線方程，考查運算求解能力，屬于基礎題．二、選擇題（本大題滿分18分）本大題共有4題，每題只有一個正確答案，13/14題每題4分，15/16題5分。13．現(xiàn)有一球形氣球，在吹氣球時，氣球的體積（單位：與直徑（單位：的關系式為，當時，氣球體積的瞬時變化率為A． B． C． D．【分析】直接根據瞬時變化率的定義求解即可．【解答】解：氣球體積在，△內平均變化率為△△，所以當時，氣球體積的瞬時變化率為△△．故選：．【點評】本題考查了瞬時變化率，屬于基礎題．14．已知定義在上的函數(shù)，其導函數(shù)滿足：對任意都有，則下列各式恒成立的是A．（1）， B．（1）， C．（1）， D．（1），【分析】由題意，構造函數(shù)，對函數(shù)進行求導，利用所給信息判斷其導數(shù)符號可得函數(shù)單調性，再進行求解即可．【解答】不妨設，函數(shù)定義域為，可得，因為對任意都有，所以在上恒成立，此時，則函數(shù)在上單調遞增，所以，，整理得（1），．故選：．【點評】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查了邏輯推理、轉化思想和運算能力．15．已知，則下列不等式一定成立的是A． B． C． D．【分析】由題意，利用舉例法即可判斷選項，，；利用不等式性質和指數(shù)函數(shù)單調性即可判斷選項．【解答】解：對于選項：不妨令，，，，此時，但，故選項錯誤；對于選項：因為，所以，不妨令，，此時，但，故選項錯誤；對于選項：由，所以，則，選項正確；對于選項：若，不妨令，，此時，而，故選項錯誤．故選：．【點評】本題考查不等式性質以及不等式的大小比較，考查了邏輯推理和運算能力．16．已知函數(shù)的圖像如圖所示，則的圖像可能是A． B． C． D．【分析】由已知結合導數(shù)與單調性關系即可判斷．【解答】解：因為在上單調遞增，在上單調遞減，故時，，時，．故選：．【點評】本題主要考查了導數(shù)與單調性關系的應用，屬于基礎題．三、解答題（本大題共有5題78分，1719題每題14分，20/21每題18分），解答下列各題必須寫出必要的步驟。17．求函數(shù)的極值，并指出是極大值還是極小值．【分析】根據已知條件，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，即可求解．【解答】解：，則，當或時，，在，上單調遞增，當時，，在上單調遞減，，（1）．【點評】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，屬于基礎題．18．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在點處的切線方程；（2）求函數(shù)在區(qū)間，的最大值和最小值．【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，然后求解切線方程；（2）求出函數(shù)的導數(shù)，求出極值點，求出極值以及端點值，即可得到函數(shù)的最大值．【解答】解：（1），則，所以函數(shù)在點處的切線方程為；（2）由（1）得，由，得，或．令，得或；令，得，所以在，上單調遞增，在，上單調遞減，因為，（2），，所以，，．【點評】本題主要考查導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，考查運算求解能力，屬于基礎題．19．已知函數(shù)．（其中為常數(shù)）．（1）若，求曲線在點，（2）處的切線方程；（2）當時，求函數(shù)的最小值；（3）當時，試討論函數(shù)的零點個數(shù)，并說明理由．【分析】（1）當時，求得，得到（2）且（2），進而求得切線方程；（2）求得，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調性和極值，即可求解；（3）當時，求得在上有一個零點；當時，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調性和極值，進而得出函數(shù)零點的個數(shù)．【解答】（1）解：當時，可得，可得，所以（2）且（2），所以切線方程為，即，所以曲線在點，（2）處的切線方程為．（2）解：由函數(shù)，可得函數(shù)的定義域為，又由，令，解得，，當時，與在區(qū)間的情況如下表：10極小值所以函數(shù)的極小值為，也是函數(shù)的最小值，所以當時，函數(shù)的最小值為；（3）解：當時，，令，解得，（舍去）所以函數(shù)在上有一個零點；當時，與在區(qū)間的情況如下表：100極大值極小值所以函數(shù)在單調遞增，在上單調遞減，此時函數(shù)的極大值為，所以函數(shù)在上沒有零點；又由且函數(shù)在上單調遞增，且當時，，所以函數(shù)在上只有一個零點，綜上可得，當時，在上有一個零點．【點評】本題考查了導數(shù)的幾何意義以及利用導數(shù)研究函數(shù)的最值和零點問題，屬于中檔題．20．已知函數(shù)．（1）求曲線在處的切線方程；（2）函數(shù)在區(qū)間，上有零點，求的值；（3）記函數(shù)，設，是函數(shù)的兩個極值點，若，且恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【分析】（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，即可求出切線的斜率，再求出切點坐標，即可求出切線方程；（2）求出的導數(shù)，判斷的單調性，利用零點存在性定理判斷即可；（3）求函數(shù)的導函數(shù)，令，依題意方程有兩不相等的正實根、，利用韋達定理，結合的取值方程，即可求出的取值范圍，則，構造函數(shù)，，利用導數(shù)說明函數(shù)的單調性，即可求出函數(shù)的最小值，從而得解．【解答】解：（1）因為，所以，切線斜率為（1），又（1），切點為，所以切線方程為；（2），，當時，，函數(shù)單調遞減；當時，，函數(shù)單調遞增，所以的極小值為（1），，在區(qū)間上存在一個零點，此時；又（3），（4），在區(qū)間上存在一個零點，此時．綜上，的值為0或3；（3）函數(shù)，，所以，由得，依題意方程有兩不相等的正實根、，，，，又，，，解得，，構造函數(shù)，，所以，在上單調遞減；所以當時，，所以．【點評】本題主要考查導數(shù)的幾何意義，利用導數(shù)研究函數(shù)的零點，利用導數(shù)研究不等式恒成立問題等知識，屬于中等題．21．設函數(shù)，．（1）曲線在點，（2）處的切線與軸平行，求實數(shù)的值；（2）討論函數(shù)的單調性；（3）證明：若，則對任意，，，有．【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，求得切線的斜率，令斜率為0，解方程可得；（2）根據對數(shù)函數(shù)定義可知定義域為大于0的數(shù)，求出討論當時導函數(shù)大于0，函數(shù)單調遞增；當時分類討論函數(shù)的增減性；當時討論函數(shù)的增減性；（3）構造函數(shù)，求出導函數(shù)，根據的取值范圍得到導函數(shù)一定大于0，則為