2022-2023學(xué)年黑龍江省哈爾濱市華文中學(xué)高一數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

2022-2023學(xué)年黑龍江省哈爾濱市華文中學(xué)高一數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn)（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B2.下面給出四種說(shuō)法，其中正確的個(gè)數(shù)是(

)①對(duì)于實(shí)數(shù)m和向量a、b，恒有m(a-b)=ma-mb；②對(duì)于實(shí)數(shù)m、n和向量a，恒有(m-n)a=ma-na；③若ma=mb(m∈R)，則a=b；④若ma=na(a≠0)，則m=n.A.1

B.2

C.3

D.4參考答案：C3.已知x，y滿(mǎn)足，則的最小值為（

）A. B. C. D.參考答案：A(x－1)2＋(y－1)2表示點(diǎn)P(x，y)到點(diǎn)Q(1,1)的距離的平方．由已知可得點(diǎn)P在直線(xiàn)l：x＋2y－5＝0上，所以|PQ|的最小值為點(diǎn)Q到直線(xiàn)l的距離，即d＝＝，所以(x－1)2＋(y－1)2的最小值為d2＝.故選A.4.給出下列函數(shù):①;②;③;④.其中與函數(shù)相同的是（

）(A)

①（B）

②(C)③

(D)

④參考答案：C5.若函數(shù)f（x）=的定義域?yàn)椋ǎ〢．[0，1） B．（0，1） C．（﹣∞，0]∪（1，+∞） D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法．【專(zhuān)題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)函數(shù)成立的條件即可求函數(shù)的定義域．【解答】解：要使函數(shù)有意義，則，即，解得0≤x＜1，即函數(shù)的定義域?yàn)閇0，1），故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的定義域的求解，要求熟練掌握常見(jiàn)函數(shù)成立的條件．6.當(dāng)x＞1時(shí)，不等式x+≥a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣∞，2] B．[2，+∞） C．[3，+∞） D．（﹣∞，3]參考答案：D【考點(diǎn)】基本不等式．【分析】由題意當(dāng)x＞1時(shí)，不等式x+恒成立，由于x+的最小值等于3，可得a≤3，從而求得答案．【解答】解：∵當(dāng)x＞1時(shí)，不等式x+恒成立，∴a≤x+對(duì)一切非零實(shí)數(shù)x＞1均成立．由于x+=x﹣1++1≥2+1=3，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等號(hào)，故x+的最小值等于3，∴a≤3，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，3]．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查查基本不等式的應(yīng)用以及函數(shù)的恒成立問(wèn)題，求出x+的最小值是解題的關(guān)鍵．7.執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入的，則輸出的y的范圍是(A)[0,1]

(B).(1,2]

(C)[0,3]

(D)[1,3]參考答案：C8.在邊長(zhǎng)為的等邊三角形中，，則等于（

）A、

B、

C、

D、參考答案：C略9.下列函數(shù)中,在區(qū)間上是增函數(shù)的是(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：B略10.如圖是某四棱錐的三視圖，則該幾何體的表面積等于(

)A．

B．C．

D．參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)f(x)是定義在R上的增函數(shù),且對(duì)于任意的x都有f(-x)+f(x)=0恒成立.如果實(shí)數(shù)m、n滿(mǎn)足不等式f(m2-6m+21)+f(n2-8n)<0,那么m2+n2的取值范圍是___________．參考答案：

(9,49)

12._________．參考答案：2313.求值：cos75°cos15°﹣sin75°sin15°=

．參考答案：0【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的余弦函數(shù)．【分析】根據(jù)題意，利用余弦的和差公式可得cos75°cos15°﹣sin75°sin15°=cos90°，利用特殊角的三角函數(shù)值可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，原式=cos75°cos15°﹣sin75°sin15°=cos90°=0，故答案為：0．14.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是

.

參考答案：[-1，1）略15.已知函數(shù)f（x）=x2﹣3x+lnx，則f（x）在區(qū)間[，2]上的最小值為；當(dāng)f（x）取到最小值時(shí)，x=．參考答案：﹣2，1．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求得函數(shù)的最小值．【解答】解：=（x＞0），令f′（x）=0，得x=，1，當(dāng)x時(shí)，f′（x）＜0，x∈（1，2）時(shí)，f′（x）＞0，∴f（x）在區(qū)間[，1]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，∴當(dāng)x=1時(shí)，f（x）在區(qū)間[，2]上的最小值為f（1）=﹣2，故答案為：﹣2，1．16.某班有學(xué)生人，其中體育愛(ài)好者人，音樂(lè)愛(ài)好者人，還有人既不愛(ài)好體育也不愛(ài)好音樂(lè)，則該班既愛(ài)好體育又愛(ài)好音樂(lè)的人數(shù)為

人參考答案：2617.已知函數(shù)，若，則的值為

.參考答案：2或略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.【本題滿(mǎn)分16分】

已知二次函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(－1)＝0，且x≤f(x)≤(x2＋1)對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立．

（1）求f(1)；

（2）求f(x)的解析表達(dá)式；

（3）證明：＋＋…＋＞2．參考答案：解：（1）取x＝1，由1≤f(1)≤(1＋1)，所以f(1)＝1

（2）設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)因f(－1)＝0，f(1)＝1，∴a＋c＝b＝，∵f(x)≥x，對(duì)x∈R恒成立，∴ax2＋(b－1)x＋c≥0對(duì)x∈R恒成立，∴△≤0Ta＞0，ac≥∵a＞0，ac≥＞0，∴c＞0．∵a＋c≥2≥2＝當(dāng)且僅當(dāng)a＝c＝時(shí)，等式成立∴f(x)＝＝(x＋1)2

（3）證明：∵＝＞＝4(－)

∴＋＋…＋＞4(－)＞2．19.（12分）已知空間四邊形ABCD中，AC=AD，BC=BD，且E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)，（1）求證：BC∥平面AFE；（2）平面ABE⊥平面ACD．參考答案：考點(diǎn)： 平面與平面垂直的判定；直線(xiàn)與平面平行的判定．專(zhuān)題： 計(jì)算題；證明題．分析： （1）由已知中E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理，我們可得到FE∥BC，再由線(xiàn)面平行的判定定理，即可得到∥平面AFE；（2）由已知中空間四邊形ABCD中，AC=AD，BC=BD，且E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一，我們易得到AE⊥DC，BE⊥CD，結(jié)合線(xiàn)面垂直判定定理，可得CD⊥平面AEB，結(jié)合面面垂直判定定理，即可得到平面ABE⊥平面ACD．解答： 證明：（1）∵E，F(xiàn)分別是CD與BD的中點(diǎn)∴FE∥BC∵EF?平面AFE，BC?平面AFE∴BC∥平面AFE．（6分）（2）∵AC=AD，BC=BD，且E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)∴AE⊥DC，BE⊥CD∵EB∩EA=E∴CD⊥平面AEB∵CD?平面ACD∴平面ABE⊥平面ACD．（12分）點(diǎn)評(píng)： 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面與平面垂直的判定，直線(xiàn)與平面平行的判定，熟練掌握平面與平面垂直的判定定理及直線(xiàn)與平面平行的判定定理及證明思路，是解答本題的關(guān)鍵．20.已知函數(shù)，且.（1）求常數(shù)a及f(x)的最大值；（2）當(dāng)時(shí)，求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.參考答案：（1），（2）遞增區(qū)間為.【分析】（1）由二倍角公式降冪，再由求出，然后由兩角和的余弦公式化函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，結(jié)合余弦函數(shù)單調(diào)性可得最大值；（2）由（1）結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)可得增區(qū)間．【詳解】（1），由得，，即.∴，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，.（2）由，得，又，所以，所以遞增區(qū)間為.【點(diǎn)睛】本題考查二倍角公式，考查兩角和的余弦公式，考查余弦函數(shù)的性質(zhì)．三角函數(shù)問(wèn)題一般都要由三角恒等變換化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，然后利用正弦函數(shù)或余弦函數(shù)性質(zhì)求解．21.已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足.（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.參考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】（1）利用遞推關(guān)系即可得出.（2）將代入得出，利用”裂項(xiàng)相消法”與前n項(xiàng)和公式即可得出.【詳解】解：（Ⅰ）∵當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，∴，可得，又∵當(dāng)時(shí)也成立，∴．（Ⅱ）∵∴，∴．22.已知等比數(shù)列{an}中，，是和的等差中項(xiàng)．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.參考答案：（1）（2）【分析