第9章 中心對(duì)稱圖形-平行四邊形（教師版）蘇科版

2023-2024學(xué)年蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)章節(jié)知識(shí)講練1.掌握旋轉(zhuǎn)的概念，探索它的基本性質(zhì)，理解對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角.2.理解中心對(duì)稱圖形的定義和性質(zhì).3.掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形的概念,了解它們之間的關(guān)系.4.探索并掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形的有關(guān)性質(zhì)和常用判別方法,并能運(yùn)用這些知識(shí)進(jìn)行有關(guān)的證明和計(jì)算.5.掌握三角形中位線定理.知識(shí)點(diǎn)01：確定事件與隨機(jī)事件【高頻考點(diǎn)精講】1.不可能事件在一定條件下，有些事情我們事先能肯定它一定不會(huì)發(fā)生，這樣的事情是不可能事件．2.必然事件在一定條件下，有些事情我們事先能肯定它一定會(huì)發(fā)生，這樣的事情是必然事件．必然事件和不可能事件都是確定事件.3.隨機(jī)事件在一定條件下，很多事情我們事先無法確定它會(huì)不會(huì)發(fā)生，這樣的事情是隨機(jī)事件.【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】知識(shí)點(diǎn)01：旋轉(zhuǎn)的概念和性質(zhì)【高頻考點(diǎn)精講】將圖形繞一個(gè)定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一定的角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為圖形的旋轉(zhuǎn).一個(gè)圖形和它經(jīng)過旋轉(zhuǎn)所得到的圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心距離相等，兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角相等.知識(shí)點(diǎn)02：中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形【高頻考點(diǎn)精講】一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么稱這兩個(gè)圖形關(guān)于這點(diǎn)對(duì)稱，也稱這兩個(gè)圖形成中心對(duì)稱.這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心．成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線經(jīng)過對(duì)稱中心，且被對(duì)稱中心平分.把一個(gè)圖形繞某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形互相重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱中心．知識(shí)點(diǎn)03：平行四邊形【高頻考點(diǎn)精講】1．定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.2．性質(zhì)：（1）對(duì)邊平行且相等；（2）對(duì)角相等；鄰角互補(bǔ)；（3）對(duì)角線互相平分；（4）中心對(duì)稱圖形.3．面積：4．判定：邊：（1）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（2）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（3）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．角：（4）兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；（5）兩組鄰角分別互補(bǔ)的四邊形是平行四邊形．邊與角：（6）一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形；對(duì)角線：（7）對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】平行線的性質(zhì)：（1）平行線間的距離都相等；（2）等底等高的平行四邊形面積相等.知識(shí)點(diǎn)04：矩形【高頻考點(diǎn)精講】1．定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.2．性質(zhì)：（1）具有平行四邊形的所有性質(zhì)；（2）四個(gè)角都是直角；（3）對(duì)角線互相平分且相等；（4）中心對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱圖形.3．面積：４．判定：（1)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.（2）對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.（3）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.知識(shí)要點(diǎn)：由矩形得直角三角形的性質(zhì)：（1）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；（2）直角三角形中，30度角所對(duì)應(yīng)的直角邊等于斜邊的一半．知識(shí)點(diǎn)05：菱形【高頻考點(diǎn)精講】1.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.2．性質(zhì)：（1）具有平行四邊形的一切性質(zhì)；（2）四條邊相等；（3）兩條對(duì)角線互相平分且垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；（4）中心對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱圖形.3．面積：4．判定：（1）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；（2）對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；（3）四邊相等的四邊形是菱形.知識(shí)點(diǎn)06：正方形【高頻考點(diǎn)精講】1.定義：四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形叫做正方形.2．性質(zhì)：（1）對(duì)邊平行；（2）四個(gè)角都是直角；（3）四條邊都相等；（4）對(duì)角線互相垂直平分且相等，對(duì)角線平分對(duì)角；（5)兩條對(duì)角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形；（6）中心對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱圖形.3．面積：邊長×邊長＝×對(duì)角線×對(duì)角線4．判定：（1）有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；（2）一組鄰邊相等的矩形是正方形；（3）對(duì)角線相等的菱形是正方形；（4）對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形；（5）對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；（6）四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形是正方形.檢測(cè)時(shí)間：120分鐘試題滿分：100分難度系數(shù)：0.49一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023秋?石獅市期末）如圖，在△ABC中，∠B＝30°，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，且點(diǎn)E恰好落在BC上．若∠DAE＝95°，則∠AEC的度數(shù)是（）A．50° B．55° C．60° D．65°解：∵將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，∴∠DAE＝∠BAC＝95°，AE＝AC，∵∠B＝30°，∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝55°，∵AE＝AC，∴∠AEC＝∠C＝55°；故選：B．2．（2分）（2023秋?雷州市期末）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)110°，得到△ADE，若點(diǎn)D落在線段BC的延長線上，則∠B大小為（）A．30° B．35° C．40° D．45°解：∵△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)110°，得到△ADE∴AB＝AD，∠BAD＝110°由三角形內(nèi)角和∠B＝故選：B．3．（2分）（2023秋?武城縣期末）如圖，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF＝45°，已知AD＝6（正方形的四條邊都相等，四個(gè)內(nèi)角都是直角），DF＝2，則S△AEF＝（）A．6 B．12 C．15 D．30解：如圖，過點(diǎn)A作AH⊥AE，交CD的延長線于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝CD＝BC＝6，∠BAD＝∠ADC＝90°，∵AH⊥AE，∴∠HAE＝∠BAD＝90°，∴∠HAD＝∠BAE，在△ADH和△ABE中，，∴△ADH≌△ABE（ASA），∴BE＝HD，AH＝AE，∵∠EAF＝45°，∴∠HAF＝∠EAF＝45°，在△AFH和△AFE中，，∴△AFH≌△AFE（SAS），∴EF＝HF，∵DF＝2，∴CF＝4，∵EF2＝CE2+CF2，∴（2+BE）2＝16+（6﹣BE）2，∴BE＝3，∴HF＝HD+DF＝5，∵△AFH≌△AFE，∴S△AEF＝S△AFH＝×HF×AD＝×5×6＝15，故選：C．4．（2分）（2023秋?富平縣期末）如圖，在矩形ABCD中，P，Q分別是BC，DC上的點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是AP，PQ的中點(diǎn)．BC＝12，DQ＝5，則線段EF的長為（）A．6 B．6.5 C．7 D．5解：連接AQ，∵E、F分別是AP、QP的中點(diǎn)，則EF為△APR的中位線，∴EF＝AQ＝＝＝6.5，故選：B．5．（2分）（2023秋?富平縣期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，菱形OABC的頂點(diǎn)C在x軸的正半軸上．若點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3，4），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A．（5，4） B．（8，4） C．（5，3） D．（8，3）解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3，4），∴OA＝5，∵四邊形OABC為菱形，∴OA＝AB＝5，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，4）．故選：B．6．（2分）（2023秋?靖宇縣期末）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△ADE．若點(diǎn)D在線段BC的延長線上，則∠B的大小為（）A．30° B．40° C．50° D．60°解：∵△ADE是由△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到的，∴AB＝AD，∠BAD＝120°，∴∠B＝∠ADB，∵∠B+∠ADB+∠BAD＝180°，∴∠B＝∠ADB＝×（180°﹣120°）＝30°，故選：A．7．（2分）（2023秋?寶雞期末）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，連接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面積為54，則OE的長為（）A．4 B．4.5 C．5 D．5.5解：∵四邊形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD＝BD，BD⊥AC，∴BD＝2OB＝12，∵S菱形ABCD＝AC?BD＝54，∴AC＝9，∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴OE＝AC＝4.5，故選：B．8．（2分）（2023秋?葉縣期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)（不與點(diǎn)A、C重合），且AE＝CF，分別連接BE、BF、DE、DF，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．四邊形BFDE是平行四邊形 B．若四邊形ABCD是菱形，那么四邊形BFDE也是菱形 C．若四邊形ABCD是正方形，那么四邊形BFDE是菱形 D．若四邊形ABCD是矩形，那么四邊形BFDE也是矩形解：連接BD交AC于點(diǎn)O，如圖所示：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵E、F是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)（不與點(diǎn)A、C重合），AE＝CF，∴OE＝OF，∵OB＝OD，∴四邊形BFDE是平行四邊形，故A不符合題意；當(dāng)四邊形ABCD是菱形時(shí)，BD⊥AC，∴EF⊥BD，又∵四邊形BFDE是平行四邊形，∴四邊形BFDE是菱形，故B不符合題意；當(dāng)四邊形ABCD是正方形時(shí)，BD⊥AC，∴EF⊥BD，又∵四邊形BFDE是平行四邊形，∴四邊形BFDE是菱形，故C不符合題意；當(dāng)四邊形ABCD是矩形時(shí)，AC＝BD，∵E、F是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)（不與點(diǎn)A、C重合），∴EF≠BD，∴四邊形BFDE不是矩形，故D符合題意，故選：D．9．（2分）（2023秋?富錦市校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)P為定角∠AOB平分線上的一個(gè)定點(diǎn)，且∠MPN與∠AOB互補(bǔ)．若∠MPN在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過程中，其兩邊分別與OA、OB相交于M、N兩點(diǎn)，則以下結(jié)論：①OM+ON的值不變；②∠PNM＝∠POB；③MN的長不變；④四邊形PMON的面積不變，其中，正確結(jié)論的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④解：作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．∵∠PEO＝∠PFO＝90°，∴∠EPF+∠AOB＝180°，∵∠MPN+∠AOB＝180°，∴∠EPF＝∠MPN，∴∠EPM＝∠FPN，∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，∴∠PEO＝∠PFO＝90°，在△POE和△POF中，，∴△POE≌△POF（AAS），∴OE＝OF，PE＝PF，在△PEM和△PFN中，，∴△PEM≌△PFN（ASA），∴EM＝NF，PM＝PN，故①正確，∴S△PEM＝S△PNF，∴S四邊形PMON＝S四邊形PEOF＝定值，故④正確，設(shè)∠MPN＝x°，∵PM＝PN，∴∠PNM＝∠PMN＝×（180°﹣x）＝90°﹣x°，∵∠AOB+∠MPN＝180°，∴∠AOB＝180°﹣x°∴∠PON＝×（180°﹣x）＝90°﹣x°，∴∠PNM＝∠PON，故②正確，在旋轉(zhuǎn)過程中，△PMN是等腰三角形，形狀是相似的，因?yàn)镻M的長度是變化的，所以MN的長度是變化的，故③錯(cuò)誤，故選：B．10．（2分）（2022秋?汝州市期末）如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是AB，BC的中點(diǎn)，CE，DF交于點(diǎn)G，連接AG，下列結(jié)論：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠AGE＝∠CDF；④∠EAG＝30°，其中正確的結(jié)論是（）A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，∵E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，∴BE＝AB，CF＝BC，∴BE＝CF，在△CBE與△DCF中，，∴△CBE≌△DCF（SAS），∴∠ECB＝∠CDF，CE＝DF，故①正確；∵∠BCE+∠ECD＝90°，∴∠ECD+∠CDF＝90°，∴∠CGD＝90°，∴CE⊥DF，故②正確；∴∠EGD＝90°，延長CE交DA的延長線于H，∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴AE＝BE，∵∠AHE＝∠BCE，∠AEH＝∠CEB，AE＝BE，∴△AEH≌△BEC（AAS），∴BC＝AH＝AD，∵AG是斜邊的中線，∴AG＝DH＝AD，∴∠ADG＝∠AGD，∵∠AGE+∠AGD＝90°，∠CDF+∠ADG＝90°，∴∠AGE＝∠CDF．故③正確；∵CF＝BC＝CD，∴∠CDF≠30°，∴∠ADG≠60°，∵AD＝AG，∴△ADG不是等邊三角形，∴∠EAG≠30°，故④錯(cuò)誤；故選：D．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11.（2023?海南模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的頂點(diǎn)O（0，0），A（4，0），∠AOC＝60°，則頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，）．解：如圖，過點(diǎn)B作BD⊥OA于D，∵四邊形OABC是菱形，點(diǎn)O（0，0），A（4，0），∴OA＝AB＝4，AB∥OC，∴∠BAD＝∠AOC＝60°，∵BD⊥OA，∴∠ABD＝30°，∴AD＝AB＝2，BD＝AD＝2，∴DO＝6，∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（6，），故答案為：（6，）．12．（2022秋?豐城市校級(jí)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，點(diǎn)P為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥AC于點(diǎn)F，連接EF，點(diǎn)M為EF的中點(diǎn)，則AM的最小值為．解：∵四邊形AEPF是矩形，∴EF，AP互相平分．且EF＝AP，∴EF，AP的交點(diǎn)就是M點(diǎn)．∵當(dāng)AP的值最小時(shí)，AM的值就最小，∴當(dāng)AP⊥BC時(shí)，AP的值最小，即AM的值最?。逜P．BC＝AB．AC，∴AP．BC＝AB．AC．在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC＝5．∵AB＝3，AC＝4，∴5AP＝3×4∴AP＝．∴AM＝故答案為：．14．（2分）（2023秋?禮縣期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，P點(diǎn)是BD的中點(diǎn)，若AD＝6，則CP的長為3．解：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠A＝90°﹣60°＝30°，∴DE＝AD＝×6＝3，又∵BD平分∠ABC，∴CD＝DE＝3，∵∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，∴∠CBD＝30°，∴BD＝2CD＝2×3＝6，∵P點(diǎn)是BD的中點(diǎn)，∴CP＝BD＝×6＝3．故答案為：3．15．（2分）（2023春?棲霞區(qū)校級(jí)月考）如圖，?ABCD中，AE平分∠BAD，AE交BC于點(diǎn)E，AF＝AB，若AB＝5，BF＝6，則AE的長為8．解：如圖，連接EF，設(shè)AE與BF交于點(diǎn)O，∵AB＝AF，AO平分∠BAD，∴AO⊥BF，BO＝FO＝，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AF∥BE，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴AB＝EB，∵BO⊥AE，∴AO＝OE，在Rt△ABO中，由勾股定理得，AO＝＝4，∴AE＝2AO＝8，故答案為：8．16．（2分）（2023秋?未央?yún)^(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，點(diǎn)E在邊AD上，點(diǎn)F在邊BC上，且BF＝DE，連接CE，DF，則CE+DF的最小值為8．解：連接AF，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠ABF＝∠CDE＝90°，∵BF＝DE，∴△ABF≌△CDE（SAS），∴AF＝CE，∴CE+DF＝AF+DF，作點(diǎn)A關(guān)于B點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'D，A'D即為CE+DF的最小值，∵AB＝4，AD＝8，∴AA'＝8，∴A′D＝＝＝8．故答案為：8．17．（2分）（2023春?武侯區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，將邊AB，AC分別繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AD，AE，連接DE，與BC交于點(diǎn)F，連接AF，CD，BE，BD，CE．下列結(jié)論：①BC＝DE；②BC⊥DE；③AF平分∠BFE；④BE2+CD2＝BD2+CE2，其中正確的結(jié)論為①②③④．解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAC＝∠DAE，∴△BAC≌△DAE（SAS），∴BC＝DE，∠BCA＝∠DEA，故①正確，設(shè)DE和AC交于點(diǎn)H，過A作AM⊥DE于M，AN⊥BC于N，∴AM＝AN，∴∠AFB＝∠AFE，即AF平分∠BFE，故③正確，∵∠AHE＝∠DHC，∴∠EFC＝∠EAC＝90°，∴BC⊥DE，故②正確，∴BE2＝BF2+EF2，CD2＝CF2+CF2，BD2＝BF2+DF2，EC2＝CF2+EF2，∴BE2+CD2＝BD2+CE2，故④正確，故答案為：①②③④．18．（2分）（2023秋?青羊區(qū)校級(jí)期末）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，D、E兩點(diǎn)分別是邊AC、AB上的動(dòng)點(diǎn)，且BE＝2AD，將線段DE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到線段DF，連接BF，若BC＝6，則線段BF長度的最小值為3．解：在CD上截取DM＝AE，連接FM，作點(diǎn)B關(guān)于CF的對(duì)稱點(diǎn)N，連接CN，BN，如圖：∵∠A＝45°，∠EDF＝45°，∠A+∠AED＝∠EDM＝∠EDF+∠FDM，∴∠AED＝∠FDM，∵DF＝DE，∴△ADE≌△MFD（SAS），∴AD＝FM，∠A＝∠DMF＝45°，∵AB＝AC，∴AE+BE＝AD+CD，∵BE＝2AD，∴CD＝AE+AD，∵CD＝DM+CM，∴CM＝AD，∴FM＝CM，∴∠MCF＝∠MFC，∵∠DMF＝45°，∴∠FCM＝∠MFC＝22.5°，∴F點(diǎn)在射線CF上運(yùn)動(dòng)，∵點(diǎn)B與點(diǎn)N的關(guān)于CF對(duì)稱，∴BF＝NF，CN＝BC＝6，∴BF+FN＝2BF≥BN，∴當(dāng)B、F、N三點(diǎn)共線時(shí)，BF+NF＝2BF的值最小，最小值為BN，∵∠A＝45°，AB＝BC，∴∠ACB＝67.5°，∴∠BCF＝∠ACB﹣∠FCM＝45°，由對(duì)稱性可知，∠NCF＝∠BCF＝45°，∴∠BCN＝90°，∴△BCN為等腰直角三角形，BN＝＝6，∴BF＝BN＝3，∴線段BF長度的最小值為3．故答案為：3．19．（2分）（2023秋?東西湖區(qū)期末）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，D、E兩點(diǎn)分別是邊AC、AB上的動(dòng)點(diǎn)，且式BE＝2AD，將線段DE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到線段DF，連接BF，當(dāng)線段BF最短時(shí)，∠ABF＝22.5°．解：在CD上截取DM＝AE，連接FM，CF，作點(diǎn)B關(guān)于CF的對(duì)稱點(diǎn)N，連接CN，BN，∵∠A＝45°，∠EDF＝45°，∠A+∠AED＝∠EDM＝∠EDF+∠FDM，∴∠AED＝∠FDM，∴DE＝DF，∴△ADE≌△MFD（SAS），∴AD＝FM，∠A＝∠DMF＝45°，∵AB＝AC，∴AE+BE＝AD+CD，∵BE＝2AD，∴CD＝AE+AD．∵CD＝DM+CM，∴CM＝AD，∴FM＝CM，∴∠MCF＝∠MFC，∵∠DMF＝45°，∴∠FCM＝∠MFC＝22.5°，∴F點(diǎn)在射線CF上運(yùn)動(dòng)，∵點(diǎn)B與點(diǎn)N的關(guān)于CF對(duì)稱，∴BF＝NF，CN＝BC，∴BF+FN＝2BF≥BN，當(dāng)B、F、N三點(diǎn)共線時(shí)，BF+FN＝2BF的值最小，即此時(shí)BF最小，最小值為BN，∵∠A＝45°，AB＝BC，∴∠ACB＝∠ABC＝67.5°，∴∠BCF＝∠ACB﹣∠FCM＝45°，由對(duì)稱性得：∠NCF＝∠BCF＝45°，∴∠BCN＝90，∵△BCN是等腰直角三角形，∴∠CBN＝45°，∴∠ABF＝∠ABC﹣∠CBN＝22.5°，故答案為：22.5．20．（2分）（2023秋?蓮湖區(qū)期末）如圖，∠MON＝90°，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在邊OM、ON上，當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在OM上運(yùn)動(dòng)，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB＝6，BC＝2．運(yùn)動(dòng)過程中點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離是3+．解：如圖：取線段AB的中點(diǎn)E，連接OE，DE，OD，∵AB＝6，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∠AOB＝90°，∴AE＝BE＝3＝OE，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝2，∠DAB＝90°，∴DE＝＝，∵OD≤OE+DE，∴當(dāng)點(diǎn)D，點(diǎn)E，點(diǎn)O共線時(shí)，OD的長度最大．∴點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離＝OE+DE＝3+，故答案為：3+．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2023秋?硚口區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△AB'C'，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'恰好落在線段BC上，求證：AB∥B'C'．證明：∵∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，∴∠B＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∵將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△AB'C'，∴∠AB'C'＝∠B＝60°，AB＝AB'，∴∠AB'B＝∠B＝60°，∴∠C'B'C＝180°﹣∠AB'B﹣∠AB'C＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠B＝∠C'B'C＝60°，∴AB∥B'C'．22．（6分）（2023秋?旌陽區(qū)期末）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度α得到△DEC，A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是D、E．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E恰好在AC上時(shí)，求∠ADE的大?。?）如圖2，若α＝60°，點(diǎn)F在AC上，且∠FBC＝30°，求證：四邊形BFDE為平行四邊形．（1）解：如圖1，∵△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到△DEC，點(diǎn)E恰好在AC上，∴CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°，∵CA＝CD，∴∠CAD＝∠CDA＝（180°﹣30°）＝75°，∴∠ADE＝90°﹣75°＝15°；（2）證明：如圖2，連接AD，∵∠FBC＝30°，∴∠FBC＝∠ACB＝30°，∴FB＝FC，∴∠AFB＝30°+30°＝60°，∵∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，∴∠A＝60°＝∠AFB，∴BF＝AB＝FC，∴點(diǎn)F為AC的中點(diǎn)，∵△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△DEC，∴∠BCE＝∠ACD＝60°，CB＝CE，DE＝AB，∴DE＝BF，△ACD和△BCE為等邊三角形，∴BE＝CB，AD＝CD，∴DF⊥AC，在Rt△CFD和Rt△ABC中，，Rt△CFD≌Rt△ABC（HL），∴DF＝BC，∴DF＝BE，而BF＝DE，∴四邊形BEDF是平行四邊形．23．（8分）（2023秋?富平縣期末）已知：如圖，E是正方形ABCD對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，且BE＝BC，EF⊥BD，交DC于點(diǎn)F．求證：DE＝CF．證明：如圖，連接BF，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠C＝∠ADC＝90°，∠BDC＝45°，∵EF⊥BD，∴∠FEB＝90°，在Rt△BEF和Rt△BCF中，BF＝BF，BC＝BE，∴Rt△BEF≌Rt△BCF（HL）．∴EF＝CF．∵∠FED＝90°，∠BDC＝45°，∴∠DFE＝45°，∴DE＝EF，∴DE＝CF．24．（8分）（2023秋?寧江區(qū)期末）如圖，方格紙中的每個(gè)小方格是邊長為1個(gè)單位長度的正方形．（1）畫出將Rt△ABC向右平移5個(gè)單位長度后的Rt△A1B1C1；（2）再將Rt△A1B1C1繞點(diǎn)C1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫出旋轉(zhuǎn)后的Rt△A2B2C1．解：（1）如圖，△A1B1C1為所作；（2）如圖，Rt△A2B2C1為所作．25．（8分）（2023?西陵區(qū)模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E，過E作EF∥AB交BC于點(diǎn)F．（1）求證：四邊形ABFE是菱形；（2）若AB＝5，BE＝8，，求平行四邊形ABCD的面積．（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∵EF∥AB，∴四邊形ABFE是平行四邊形，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠FBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠FBE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，∴平行四邊形ABFE是菱形；（2）解：如圖，連接AF交BE于M，過A作AN⊥BC于N，由（1）可知，四邊形ABFE是菱形，∴BF＝AB＝5，BM＝EM＝BE＝4，AM＝FM，AF⊥BE，∴∠AMB＝90°，∴AM＝＝＝3，∴AF＝2AM＝6，∵AN⊥BF，∴S菱形ABFE＝BF?AN＝AF?BE，即5AN＝×6×8，解得：AN＝，∵BC＝BF+CF＝5+＝，∴S平行四邊形ABCD＝BC?AN＝×＝36．26．（8分）（2023秋?德化縣期末）在同一平面內(nèi)，三角形ABC和三角形DBE，∠ACB＝30°，∠A＝60°，∠BDE＝∠DBE＝45°，∠ABC＝∠E＝90°．三角形ABC保持不動(dòng)，三角形DBE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°≤α≤90°），即∠CBD＝α．（1）如圖1，當(dāng)BC與BD重合時(shí)，寫出∠ACE和∠ABE的度數(shù)；（2）三角形DBE從（1）中的圖1位置開始旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，兩個(gè)三角形有一組邊互相平行時(shí)，畫出圖形，寫出相應(yīng)的α度數(shù)；（3）如圖2，若BM和BN分別是∠ABD和∠CBE的平分線，寫出∠MBN的大小，并說明理由．解：（1）如圖1，當(dāng)BC與BD重合時(shí)，∵三角形ABC和三角形DBE，∠ACB＝30°，∠A＝60°，∠BDE＝∠DBE＝45°，∠ABC＝∠E＝90°，∴∠ACB＝30°，∴∠ACE＝30°+45°＝75°，∠ABE＝90°+45°＝135°；（2）如圖3，∵AC∥BD，∴∠CBD＝∠C＝30°，如圖4，∵BC∥ED，∴∠CBD＝∠D＝45°，綜上所述：α度數(shù)為30°或45°；（3）∠MBN＝67.5°，理由如下：如圖2，∵BM平分∠ABD，∴∠MBD＝ABD＝（90