第02講 二次根式的性質(zhì)（2）與二次根式的乘除（原卷版）

第02講二次根式與二次根式的性質(zhì)（1）1.2（2）-1.3（1）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】掌握二次根式積的性質(zhì)和商的性質(zhì)；2、了解最簡(jiǎn)二次根式的概念，能運(yùn)用二次根式的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)；3、掌握二次根式的乘除法法則和化簡(jiǎn)二次根式的常用方法，熟練進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算。【基礎(chǔ)知識(shí)】一、二次根式的性質(zhì)：1.（≥0，≥0）,即積的算術(shù)平方根等于積中各因式的算術(shù)平方根的積.2.（≥0，>0），即商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根.二、最簡(jiǎn)二次根式（1）被開方數(shù)不含有分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.滿足這兩個(gè)條件的二次根式叫最簡(jiǎn)二次根式.要點(diǎn)：二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式主要有以下兩種情況：（1)被開方數(shù)是分?jǐn)?shù)或分式；（2）含有能開方的因數(shù)或因式.三、二次根式的乘法1.法則：（≥0，≥0）,即兩個(gè)二次根式相乘，根指數(shù)不變，只把被開方數(shù)相乘.要點(diǎn)：(1)在運(yùn)用二次根式的乘法法則進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，一定要注意：公式中a、b都必須是非負(fù)數(shù)；(在本章中，如果沒有特別說明，所有字母都表示非負(fù)數(shù)).(2)該法則可以推廣到多個(gè)二次根式相乘的運(yùn)算：;≥0，≥0，…..≥0）;(3)若二次根式相乘的結(jié)果能寫成的形式，則應(yīng)化簡(jiǎn)，如.四、二次根式的除法1.除法法則：（≥0，>0）,即兩個(gè)二次根式相除，根指數(shù)不變，把被開方數(shù)相除..要點(diǎn)：(1)在進(jìn)行二次根式的除法運(yùn)算時(shí)，對(duì)于公式中被開方數(shù)a、b的取值范圍應(yīng)特別注意，≥0，>0，因?yàn)閎在分母上，故b不能為0.(2)運(yùn)用二次根式的除法法則，可將分母中的根號(hào)去掉，二次根式的運(yùn)算結(jié)果要盡量化簡(jiǎn)，最后結(jié)果中分母不能帶根號(hào).【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)1：最簡(jiǎn)二次根式的概念例1．下列二次根式是最簡(jiǎn)二次根式的是（

）A． B． C． D．例2．下列根式，，，，，中，最簡(jiǎn)二次根式的個(gè)數(shù)是（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．6個(gè) D．5個(gè)考點(diǎn)2：最簡(jiǎn)二次根式的化簡(jiǎn)1-數(shù)字型（積的性質(zhì)與商的性質(zhì)）例3．化簡(jiǎn)：______．例4．化簡(jiǎn)：（1）＝______；（2）﹣＝______．考點(diǎn)3：最簡(jiǎn)二次根式的化簡(jiǎn)2-含字母型（積的性質(zhì)與商的性質(zhì)）例5．把下列二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式：(1).(2).(3).(4).例6．當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)：_______；_______；_______．考點(diǎn)4：最簡(jiǎn)二次根式的形式例7．若二次根式是最簡(jiǎn)二次根式，則最小的整數(shù)______.例8．若和都是最簡(jiǎn)二次根式，則________．考點(diǎn)5：最簡(jiǎn)二次根式的化簡(jiǎn)3-復(fù)合型例9．把下列各式化成最簡(jiǎn)二次根式：；

；；

；；

．例10．已知a<0，那么可化簡(jiǎn)為（

）A． B． C． D．例11．已知，化簡(jiǎn)二次根式的正確結(jié)果為（）A． B． C． D．例12．化簡(jiǎn)：（1）=_________，（2）=___________．考點(diǎn)6：二次根式的乘法1-數(shù)字型例13．計(jì)算的值是（

）A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8例14．計(jì)算：＝_________．考點(diǎn)7：二次根式的乘法2-字母型及復(fù)合型例15．計(jì)算：__________．例16．下列計(jì)算正確的是(

)A． B．C． D．A．-2 B．3 C．-2或3 D．以上都不對(duì)例17．計(jì)算（2）（）的結(jié)果是（

）考點(diǎn)8：二次根式的乘法法則成立的條件例18．要使等式成立的x的值為（

）A．4 B．8 C．16 D．32考點(diǎn)9：二次根式的除法1-數(shù)字型例19．計(jì)算：＝___．例20．計(jì)算：＝_____．例21．計(jì)算：÷＝_____．考點(diǎn)10：二次根式除法法則成立的條件例22．能使成立的x的取值范圍是（

）A．x≠2 B．x≥0 C．x≥2 D．x＞2例23．使等式成立的條件時(shí)，則的取值范圍為___．例24．下列各式：①；②；③（a＞0，b≥0）；④，其中一定成立的是________（填序號(hào)）．考點(diǎn)11：二次根式的除法2-字母型及復(fù)合型例25．計(jì)算：＝____．例26．計(jì)算：＝___．例27．計(jì)算：_________．例28．計(jì)算：=______

=______例29．當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)_________________．考點(diǎn)12：二次根式的乘除法1-數(shù)字型例30．下列運(yùn)算錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．例31．計(jì)算：＝___．考點(diǎn)13：二次根式的乘除法2-字母型及復(fù)合型例32．下列結(jié)論中，對(duì)于實(shí)數(shù)、，成立的個(gè)數(shù)有（

）①；

②；

③；

④．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)例33．計(jì)算：（）A． B． C． D．例34．計(jì)算：（1）（2）（3）（4）（5）．例35．計(jì)算:（1）;（2）;（3）考點(diǎn)14：二次根式乘除的應(yīng)用例36．若一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為，寬為，高為，則它的體積為_______．例37．站在豎直高度的地方，看見的水平距離是，它們近似地符合公式.某一登山者登上海拔的山頂，那么他看到的水平距離是________.例38．若的整數(shù)部分是a，小數(shù)部分是b，則的值是___________．【真題演練】一、單選題1．（2021·廣西桂林·中考真題）下列根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．2．（2022·廣西桂林·中考真題）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（

）A．2 B．3 C．2 D．23．（2021·湖南益陽·中考真題）將化為最簡(jiǎn)二次根式，其結(jié)果是（

）A． B． C． D．4．（2021·四川綿陽·中考真題）計(jì)算的結(jié)果是（

）A．6 B． C． D．5．（2013·海南·中考真題）下列各數(shù)中，與的積為有理數(shù)的是（

）A． B． C． D．6．（2020·山東聊城·中考真題）計(jì)算的結(jié)果正確的是（

）．A．1 B． C．5 D．97．（2018·四川綿陽·中考真題）等式成立的x的取值范圍在數(shù)軸上可表示為（

）A． B． C． D．二、填空題8．（2018·河北·中考真題）計(jì)算：=_____．9．（2022·山西·中考真題）計(jì)算的結(jié)果是________．10．（2010·江蘇南京·中考真題）計(jì)算：__________．11．（2015·江蘇南京·中考真題）計(jì)算的結(jié)果是_________．12．（2022·天津·中考真題）計(jì)算的結(jié)果等于___________．三、解答題13．（2021·遼寧阜新·中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【過關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．下列計(jì)算正確的是（

）A． B． C． D．2．下列二次根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是（

）A． B． C． D．3．將化為最簡(jiǎn)二次根式，其結(jié)果是（

）A． B． C． D．4．化簡(jiǎn)

（

）A． B． C． D．5．若等式成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．或6．下列二次根式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧中是最簡(jiǎn)二次根式的是（

）A．②③④⑦ B．②⑤⑥ C．③④⑤⑥ D．③⑤⑦7．下列各式計(jì)算正確的是（

）A． B．C． D．8．在下列各式中，化簡(jiǎn)正確的是（

）A． B．C． D．9．若，，則與之間的關(guān)系是（

）A．互為倒數(shù) B．互為相反數(shù) C．互為負(fù)倒數(shù) D．相等10．下列計(jì)算正確的是（

）A．B．C．D．11．如果，，那么下列各式：①；②；③；④．其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)12．觀察下面分母有理化的過程：，從計(jì)算過程中體會(huì)方法，并利用這一方法計(jì)算：的值是（

）A． B． C．2021 D．2022二、填空題13．______，______，______．14．二次根式中：、、、是最簡(jiǎn)二次根式的是______．15．若二次根式是最簡(jiǎn)二次根式，則最小的正整數(shù)a為__________．16．化為最簡(jiǎn)二次根式是___________．17．計(jì)算：______．18．化簡(jiǎn)：___________．19．一組二次根式按一定規(guī)律排列：，，，3，6，，……，若a，b，c是這組式子中相鄰的三個(gè)二次根式，則a，b，c之間的關(guān)系是___________.20．設(shè)，，當(dāng)t為___________時(shí)，代數(shù)式．三、解答題21．判斷下列各式中哪些是最簡(jiǎn)二次根式，哪些不是？為什么？（1）；（2