專題06 四邊形的面積問(wèn)題（解析版）

專題06四邊形的面積問(wèn)題一、知識(shí)導(dǎo)航除了關(guān)于三角形的各種面積問(wèn)題之外，四邊形問(wèn)題也是中考題中常見的一種問(wèn)法，鑒于四邊形一般是普普通通的四邊形，因此問(wèn)題一般也是普普通通的問(wèn)題，本文分享一點(diǎn)關(guān)于四邊形面積的題目．思考：如何求一個(gè)普通的四邊形的面積？解法也很普通，連對(duì)角線分割為兩個(gè)三角形即可求得面積，至于三角形面積參考鉛垂法．二、典例精析例一、已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，與軸交于點(diǎn)．（1）求這條拋物線的解析式；（2）如圖，點(diǎn)是第三象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形的面積最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】（1）；（2）此處四邊形ABPC并非特殊四邊形，所以可以考慮連接對(duì)角線將四邊形拆為兩個(gè)三角形求面積．若連接AP，則△ABP和△APC均為動(dòng)三角形，非最佳選擇；若連接BC，可得定△ABC和動(dòng)△BPC，只要△BPC面積最大，四邊形ABPC的面積便最大．考慮A（2,0）、B（-4,0）、C（0，-4），故，接下來(lái)求△BPC的面積，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，連接BC，則直線BC的解析式為：y=-x-4過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸交BC于點(diǎn)Q，則Q點(diǎn)坐標(biāo)為（m，-m-4），故，當(dāng)m=-2時(shí)，PQ取到最大值2，此時(shí)△BPC面積最大，四邊形ABPC面積最大．此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-4）．例二、已知拋物線的對(duì)稱軸是直線，與軸相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)），與軸交于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式和，兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖，若點(diǎn)是拋物線上、兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與、重合），是否存在點(diǎn)，使四邊形的面積最大？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)及四邊形面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；【分析】（1）拋物線：點(diǎn)A坐標(biāo)為（-2,0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（8,0）．（2）顯然將四邊形PBOC拆為△BOC和△PBC，點(diǎn)C坐標(biāo)為（0,4），故，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)B、C坐標(biāo)可得BC的解析式為過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸交BC于點(diǎn)Q，則Q點(diǎn)坐標(biāo)為，故，當(dāng)m=4時(shí)，PQ取到最大值4，，故四邊形PBOC的最大面積為32，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（4,6）．三、中考真題演練1．（2023·海南·中考真題）如圖1，拋物線交x軸于A，兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)．點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為時(shí)，求四邊形的面積；【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）連接，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)E，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出線段、、、、的長(zhǎng)度，再根據(jù)，進(jìn)行計(jì)算即可；【詳解】（1）解：由題意可得，，解得，∴拋物線的解析式為；（2）解：連接，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)E，如圖，∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為，∴，，令，則，解得或，∴，∴，∵，，∴，，∴，；2．（2023·青海·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸相交于點(diǎn)和點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．

(1)求此二次函數(shù)的解析式；(2)設(shè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為，對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)，求四邊形的面積（請(qǐng)?jiān)趫D1中探索）；【詳解】（1）解：由題意得，，∴，∴；（2）解：如圖，連接，

∵，∴，∴，，由得，，∴，∴；3．（2023·遼寧錦州·中考真題）如圖，拋物線交軸于點(diǎn)和，交軸于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．

(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)在第一象限內(nèi)對(duì)稱右側(cè)的拋物線上，四邊形的面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，∴，解得．∴拋物線的表達(dá)式為：．（2）解：方法一：如下圖，連接，過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)．

∵，∴．令中，則，解得或，∴，設(shè)直線為，∵過(guò)點(diǎn)，，，∴，解得，∴直線的表達(dá)式為：．設(shè)，，∴．∴．∵，∴．整理得，解得．∴．方法二：如下圖，

拋物線的對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，設(shè)，∴，∴．∵，∴．整理得，解得．∴．4．（2023·湖南常德·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．O為坐標(biāo)原點(diǎn)，．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)求四邊形的面積；【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)．∴設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為∵，∴，即的坐標(biāo)為則，得∴二次函數(shù)的表達(dá)式為；（2）∴頂點(diǎn)的坐標(biāo)為過(guò)作于，作于，四邊形的面積；

是將所學(xué)的知識(shí)靈活運(yùn)用．5．（2023·山西·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸的正半軸交于點(diǎn)A，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線與該函數(shù)圖象交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C．

(1)求直線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線軸于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．①當(dāng)時(shí)，求的值；②當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)，連接，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接．設(shè)四邊形的面積為，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值．【答案】(1)，點(diǎn)的坐標(biāo)為(2)①2或3或；②，S的最大值為【分析】（1）利用待定系數(shù)法可求得直線的函數(shù)表達(dá)式，再求得點(diǎn)C的坐標(biāo)即可；（2）①分當(dāng)點(diǎn)在直線上方和點(diǎn)在直線下方時(shí)，兩種情況討論，根據(jù)列一元二次方程求解即可；②證明，推出，再證明四邊形為矩形，利用矩形面積公式得到二次函數(shù)的表達(dá)式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：由得，當(dāng)時(shí)，．解得．∵點(diǎn)A在軸正半軸上．∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為．設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為．將兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入，得，解得，∴直線的函數(shù)表達(dá)式為．將代入，得．∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為；（2）①解：點(diǎn)在第一象限內(nèi)二次函數(shù)的圖象上，且軸于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為．∴點(diǎn)的坐標(biāo)分別為．∴．∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴．∵，∴．如圖，當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)，．

∵，∴．解得．如圖2，當(dāng)點(diǎn)在直線下方時(shí)，．

∵，∴．解得，∵，∴．綜上所述，的值為2或3或；②解：如圖3，由（1）得，．

∵軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，∴．∵點(diǎn)在直線上方，∴．∵軸于點(diǎn)，∴．∴，，∴．∴．∴．∴．∴．∴四邊形為平行四邊形．∵軸，∴四邊形為矩形．∴．即．∵，∴當(dāng)時(shí)，S的最大值為．【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)、等腰三角形、矩形、勾股定理、相似三角形等知識(shí)點(diǎn)，第二問(wèn)難度較大，需要分情況討論，畫出大致圖形，用含m的代數(shù)式表示出是解題的關(guān)鍵．6．（2023·四川廣安·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，對(duì)稱軸是直線，點(diǎn)是軸上一動(dòng)點(diǎn)，軸，交直線于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)．

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式．(2)若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)不重合），求四邊形面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】（1）先根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱軸公式求出，再把代入二次函數(shù)解析式中進(jìn)行求解即可；（2）先求出，，則，，求出直線的解析式為，設(shè)，則，，則；再由得到，故當(dāng)時(shí)，最大，最大值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，∴，∴，∵二次函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，即，∴，∴二次函數(shù)解析式為；（2）解：∵二次函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且對(duì)稱軸為直線，∴，∴，∵二次函數(shù)與y軸交于點(diǎn)C，∴，∴；設(shè)直線的解析式為，∴，∴，∴直線的解析式為，設(shè)，則，，∴；∵，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，最大，最大值為，∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；7．（2023·安徽·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線．(1)求的值；(2)已知點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)．（ⅰ）當(dāng)時(shí)，求與的面積之和；（ⅱ）在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)，是否存在點(diǎn)，使得以為頂點(diǎn)的四邊形的面積為？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)（?。?；（2）【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）（ⅰ）根據(jù)題意畫出圖形，得出，，，繼而得出，，當(dāng)時(shí)，根據(jù)三角形的面積公式，即可求解．（ⅱ）根據(jù)（?。┑慕Y(jié)論，分和