二重積分的應(yīng)用

7.3二重積分的應(yīng)用ApplicationsofDoubleIntegrals17.2.1二重積分的元素法2將定積分的元素法推廣到二重積分可得二重積分的元素法3若要計(jì)算的某個(gè)量U對(duì)于閉區(qū)域D具有可加性并且在閉區(qū)域D內(nèi)任取一個(gè)直徑很小的閉區(qū)域時(shí)，相應(yīng)地部分量可近似地表示為的形式，其中在內(nèi)．則所求量的積分表達(dá)式為稱為所求量U的元素，記為，二重積分的元素法(即當(dāng)閉區(qū)域D分成許多小閉區(qū)域時(shí)，所求量U相應(yīng)地分成許多部分量，且U等于部分量之和)，47.3.2曲面的面積TheAreaofaSurface5平面的面積求平面在有界閉區(qū)域D上的那一塊的面積A

已知求6則設(shè)平面與z=0的夾角為7平面與z=0的夾角余弦為與k夾角余弦所以8曲面方程：有界閉區(qū)域求曲面的面積A9切平面的法矢：切平面與z=0的夾角余弦：（n與k的夾角余弦）10面積元素11曲面面積其中D是曲面在坐標(biāo)面z=0上的投影區(qū)域求曲面面積的步驟：(1)求曲面在坐標(biāo)面z=0上的投影區(qū)域D(2)在區(qū)域D上計(jì)算二重積分：12設(shè)曲面的方程為：曲面面積公式為：設(shè)曲面的方程為：曲面面積公式為：同理可得13Examplewith(plots):zuimian:=implicitplot3d(x^2+y^2=z^2,x=-2..2,y=-2..2,z=0..1,color=yellow,grid=[20,20,20]):zhumian:=implicitplot3d(x^2+y^2=x,x=-2..2,y=-2..2,z=0..1,color=green,grid=[20,20,20]):x_axis:=plot3d([u,0,0],u=-2..2,v=0..0.01,thickness=2):y_axis:=plot3d([0,u,0],u=-2..2,v=0..0.01,thickness=2):z_axis:=plot3d([0,0,u],u=0..1.2,v=0..0.01,thickness=2):display(zuimian,zhumian,x_axis,y_axis,z_axis,orientation=[23,66],scaling=constrained);

投影區(qū)域Projection1415Example球冠在xOy面上的投影區(qū)域：161718半球面面積：球面面積：197.3.3平面薄片的重心TheCenterofMassofaLamina20質(zhì)點(diǎn):P(x,y)質(zhì)量:m質(zhì)點(diǎn)P對(duì)x軸的靜力矩：質(zhì)點(diǎn)P對(duì)y軸的靜力矩：21平面薄片占據(jù)區(qū)域D面密度：取一小塊薄片：位于(x,y)近似地看成質(zhì)點(diǎn)小薄片質(zhì)量：質(zhì)量元素薄片質(zhì)量：22小薄片對(duì)x軸的靜力矩：對(duì)y軸的靜力矩元素小薄片對(duì)y軸的靜力矩：對(duì)x軸的靜力矩元素23薄片對(duì)x軸的靜力矩：薄片對(duì)y軸的靜力矩：Themomentaboutthex-axisThemomentaboutthey-axis24薄板的重心坐標(biāo)：Thecenterofthemass25若薄片有均勻密度：（常數(shù)）薄板的重心坐標(biāo)：26此時(shí)的中心成為形心27例3.4是常數(shù)求形心作圖implicitplot(y^2=4*x,x=-0.2..1.2,y=-0.5..2.2,thickness=3,scaling=constrained);交點(diǎn)：2829形心：30例3.3自學(xué)由對(duì)稱性，重心在x軸上：317.3.4平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量TheMomentofInertiaofaLamina32質(zhì)點(diǎn):P(x,y)質(zhì)量:m質(zhì)點(diǎn)P對(duì)x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：質(zhì)點(diǎn)P對(duì)y軸的靜力矩：y：轉(zhuǎn)動(dòng)半徑x：轉(zhuǎn)動(dòng)半徑33質(zhì)點(diǎn)P對(duì)原點(diǎn)O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：轉(zhuǎn)動(dòng)半徑34平面薄片占據(jù)區(qū)域D面密度：取一小塊薄片：位于(x,y)近似地看成質(zhì)點(diǎn)小薄片質(zhì)量：質(zhì)量元素35小薄片對(duì)x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：對(duì)y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量元素小薄片對(duì)y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：對(duì)x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量元素對(duì)O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量元素小薄片對(duì)原點(diǎn)O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：36薄板對(duì)x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：薄板對(duì)y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：Themomentofinertiaaboutthex-axisThemomentofinertiaaboutthey-axis37薄板對(duì)原點(diǎn)O