數(shù)學(xué)分析知識點(diǎn)總結(jié)

數(shù)學(xué)分析知識點(diǎn)總結(jié)第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)?1實(shí)數(shù)授課章節(jié):第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)——?1實(shí)數(shù)教學(xué)目的:使學(xué)生掌握實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)(教學(xué)重點(diǎn):(1)理解并熟練運(yùn)用實(shí)數(shù)的有序性、稠密性和封閉性;(2)牢記并熟練運(yùn)用實(shí)數(shù)絕對值的有關(guān)性質(zhì)以及幾個(gè)常見的不等式((它們是分析論證的重要工具)教學(xué)難點(diǎn):實(shí)數(shù)集的概念及其應(yīng)用(教學(xué)方法:講授((部分內(nèi)容自學(xué))教學(xué)程序:引言上節(jié)課中，我們與大家共同探討了《數(shù)學(xué)分析》這門課程的研究對象、主要內(nèi)容等話題(從本節(jié)課開始，我們就基本按照教材順序給大家介紹這門課程的主要內(nèi)容(首先，從大家都較為熟悉的實(shí)數(shù)和函數(shù)開始([問題]為什么從“實(shí)數(shù)”開始(答:《數(shù)學(xué)分析》研究的基本對象是函數(shù)，但這里的“函數(shù)”是定義在“實(shí)數(shù)集”上的(后繼課《復(fù)變函數(shù)》研究的是定義在復(fù)數(shù)集上的函數(shù))(為此，我們要先了解一下實(shí)數(shù)的有關(guān)性質(zhì)(一、實(shí)數(shù)及其性質(zhì)1、實(shí)數(shù)q,有理數(shù):任何有理數(shù)都可以用分?jǐn)?shù)形式為整數(shù)且(,pqq0),表示，,p,,也可以用有限十進(jìn)小數(shù)或無限十進(jìn)小數(shù)來表示.,,無理數(shù):用無限十進(jìn)不循環(huán)小數(shù)表示.,Rxx,|為實(shí)數(shù)--全體實(shí)數(shù)的集合(,,[問題]有理數(shù)與無理數(shù)的表示不統(tǒng)一，這對統(tǒng)一討論實(shí)數(shù)是不利的(為以下討論的需要，我們把“有限小數(shù)”(包括整數(shù))也表示為“無限小數(shù)”(為此作如下規(guī)定:對于正有限小數(shù)其中xaaaa,.,012n，記;09,1,2,,,0,,,,,ainaa為非負(fù)整數(shù)xaaaa,,.(1)9999in0011nn,對于正整數(shù)則記;對于負(fù)有限小數(shù)(包括負(fù)整數(shù))，xa,,(1).9999xa,,y00則先將表示為無限小數(shù)，現(xiàn)在所得的小數(shù)之前加負(fù)號(0表示為,y10,0.0000例:;2.0012.0009999,32.9999,;,,,2.0012.009999;,,,32.9999利用上述規(guī)定，任何實(shí)數(shù)都可用一個(gè)確定的無限小數(shù)來表示(在此規(guī)定下，如何比較實(shí)數(shù)的大小,2、兩實(shí)數(shù)大小的比較1)定義1給定兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，.其中為xaaa,.ybbb,.ab,01n01n00(1,2,)k,為整數(shù)，(若有非負(fù)整數(shù)，ab,09,09,,,,abkkkk，則稱與相等，記為;若或存在非負(fù)整數(shù)，labk,,,0,1,2,yxy,ab,xkk00使得，而，則稱大于或小于，分別記為abkl,,,0,1,2,,yyxy,ab,xxkkll，，11或(對于負(fù)實(shí)數(shù)、，若按上述規(guī)定分別有或，則分別yx,y,,,xy,,,xyx稱為與(或)(xy,xy,yx,規(guī)定:任何非負(fù)實(shí)數(shù)大于任何負(fù)實(shí)數(shù)(2)實(shí)數(shù)比較大小的等價(jià)條件(通過有限小數(shù)來比較)(定義2(不足近似與過剩近似):為非負(fù)實(shí)數(shù)，稱有理數(shù)xaaa,.01n1為實(shí)數(shù)的位不足近似;稱為實(shí)數(shù)的位過剩近xaaa,.xx,，xnxnnn01nnn10n,0,1,2,似，.1對于負(fù)實(shí)數(shù)，其位不足近似;位過xaaa,,.xaaa,,,nn.01nnn01n10xaaa,,.剩近似.nn01注:實(shí)數(shù)的不足近似當(dāng)增大時(shí)不減，即有;過剩近似xxx,,,xxnn012x當(dāng)n增大時(shí)不增，即有(xxx,,,n012命題:記，為兩個(gè)實(shí)數(shù)，則的等價(jià)條件xaaa,.ybbb,.xy,01n01nxy,y是:存在非負(fù)整數(shù)n，使(其中為的位不足近似，為的位過xyxnnnnnn剩近似)(命題應(yīng)用2r例1(設(shè)為實(shí)數(shù)，，證明存在有理數(shù)，滿足(xy,xy,xry,,1證明:由，知:存在非負(fù)整數(shù)n，使得xy,(令，則rxy,rxy,，，，nnnn2為有理數(shù)，且xxryy,,,,(即(xry,,nn3、實(shí)數(shù)常用性質(zhì)(詳見附錄?()(PP,289302，,，,,,,1)封閉性(實(shí)數(shù)集R對)四則運(yùn)算是封閉的(即任意兩個(gè)實(shí)數(shù)的和、差、積、商(除數(shù)不為0)仍是實(shí)數(shù)(,,abR,ababab,,,,,2)有序性:，關(guān)系，三者必居其一，也只居其一.3)傳遞性:,,abcR，，，(若，則abbcac,,,,,,,,,，,abRbanN,,0nab,4)阿基米德性:使得(5)稠密性:兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)之間總有另一個(gè)實(shí)數(shù)(R6)一一對應(yīng)關(guān)系:實(shí)數(shù)集與數(shù)軸上的點(diǎn)有著一一對應(yīng)關(guān)系(,,abR,ab,，,ab,例2(設(shè)，證明:若對任何正數(shù)，有，則(,,,,ab(提示:反證法(利用“有序性”，取)二、絕對值與不等式1、絕對值的定義aa,0,,實(shí)數(shù)的絕對值的定義為(a||a,,,,aa0,2、幾何意義||a||xa,從數(shù)軸看，數(shù)的絕對值就是點(diǎn)到原點(diǎn)的距離(表示就是數(shù)軸上aa點(diǎn)與之間的距離(xa3、性質(zhì)||||0;||00aaaa,,,,,,1)(非負(fù)性);,,,||||aaa2);||ahhah,,,,,||.(0)ahhahh,,,,,,3)，;abR,,||||||||||ababab,,,,，4)對任何有(三角不等式);||||||abab,,5);3aa||6),()(b,0bb||三、幾個(gè)重要不等式22a，b,2ab,sinx,1.sinx,x.1、，2、均值不等式:對記,a,a,？,a,R,12nna，a，？，a112nM(a),,a,(算術(shù)平均值),iinn,1i1nn,,n(幾何平均值)G(a),aa？a,a,,,,i12ni,,,,,i1nn1Ha(),,,.(調(diào)和平均值)inn111111？，，，,,aaanaa,1,112iinii有平均值不等式:即:H(a),G(a),M(a),iiiaaa，，，n12nn,,aaa12n111n，，，aaa12n等號當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.a,a,？,a12n3、Bernoulli不等式:(在中學(xué)已用數(shù)學(xué)歸納法證明過)n,x,,1,有不等式(1)1,.，,，,xnxnNnx,,1x,0n,Nn,2當(dāng)且,且時(shí),有嚴(yán)格不等式(1，x),1，nx.nn1，x,0證:由且1，x,0,,(1，x)，n,1,(1，x)，1，1，？，1,nnn,n(1，x),n(1，x).,(1，x),1，nx.,h,0,4、利用二項(xiàng)展開式得到的不等式:對由二項(xiàng)展開式n(n,1)n(n,1)(n,2)n23n(1，h),1，nh，h，h，？，h,2!3!n有上式右端任何一項(xiàng).(1，h),,練習(xí),P4(5一實(shí)數(shù)及其性質(zhì),,課堂小結(jié),:實(shí)數(shù):.,二絕對值與不等式,4[作業(yè)]P4(1((1)，2((2)、(3)，3?2數(shù)集和確界原理授課章節(jié):第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)——?2數(shù)集和確界原理教學(xué)目的:使學(xué)生掌握確界原理，建立起實(shí)數(shù)確界的清晰概念.教學(xué)要求:掌握鄰域的概念;(1)(2)理解實(shí)數(shù)確界的定義及確界原理，并在有關(guān)命題的證明中正確地加以運(yùn)用.教學(xué)重點(diǎn):確界的概念及其有關(guān)性質(zhì)(確界原理).教學(xué)難點(diǎn):確界的定義及其應(yīng)用.教學(xué)方法:講授為主.教學(xué)程序:先通過練習(xí)形式復(fù)習(xí)上節(jié)課的內(nèi)容，以檢驗(yàn)學(xué)習(xí)效果，此后導(dǎo)入新課.言引上節(jié)課中我們對數(shù)學(xué)分析研究的關(guān)鍵問題作了簡要討論;此后又讓大家自學(xué)了第一章?1實(shí)數(shù)的相關(guān)內(nèi)容.下面，我們先來檢驗(yàn)一下自學(xué)的效果如何～|1||2|1xx,，,,xR,有:(1);(2)1、證明:對任何|1||2||3|2xxx,，,，,,.()111(2)12,121xxxxx,,，,,,,？,，,,()()三式相加化簡即可2121,231,232.xxxxxx,，,,,，,,,，,,()||||||xyxy,,,2、證明:.abR,,ab，,,ab,3、設(shè)，證明:若對任何正數(shù)有，則.,xyRxy,,,,4、設(shè)，證明:存在有理數(shù)滿足.yrx,,r[引申]:?由題1可聯(lián)想到什么樣的結(jié)論呢,這樣思考是做科研時(shí)的經(jīng)常的思路之一.而不要做完就完了～而要多想想，能否具體問題引出一般的結(jié)論:一般的方法,?由上述幾個(gè)小題可以體會(huì)出“大學(xué)數(shù)學(xué)”習(xí)題與中學(xué)的不同;理論性強(qiáng)，概念性強(qiáng)，推理有理有據(jù)，而非憑空想象;?課后未布置作業(yè)的習(xí)題要盡可能多做，以加深理解，語言應(yīng)用.提請注意這種差別，盡快掌握本門課程的術(shù)語和工具.本節(jié)主要內(nèi)容:1、先定義實(shí)數(shù)集R中的兩類主要的數(shù)集——區(qū)間與鄰域;2、討論有界集與無界集;3、由有界集的界引出確界定義及確界存在性定理(確界原理).一、區(qū)間與鄰域51、區(qū)間(用來表示變量的變化范圍)有限區(qū)間,abR,,設(shè)且.，其中ab,區(qū)間,無限區(qū)間,,開區(qū)間:xRaxbab,,,,|(,),,,,,閉區(qū)間:xRaxbab,,,,|[,],,,有限區(qū)間,,,閉開區(qū)間:xRaxbab,,,,|[,),,,,,半開半閉區(qū)間,,開閉區(qū)間:xRaxbab,,,,|(,],,,,,,,,,，,xRxaa|[,).,,,xRxaa,,,,,|(,].,,,,xRxaa,,,，,|(,).,,無限區(qū)間,,xRxaa,,,,,|(,).,,,,xRxR,,,,,，,,|.,,,2、鄰域字面意思:“鄰近的區(qū)域”.與鄰近的“區(qū)域”很多，到聯(lián)想:“鄰居”.a底哪一類是我們所要講的“鄰域”呢,就是“關(guān)于的對稱區(qū)間”;如何用數(shù)學(xué)a語言來表達(dá)呢,aR,,,0,||xa,,,,(1)的鄰域:設(shè)，滿足不等式的全體實(shí)數(shù)的集axUa(;),Ua(),合稱為點(diǎn)的鄰域，記作，或簡記為，即aUaxxaaa(;)||(,),,,,,,,,,，.,,a稱為該鄰域的中心，稱為該鄰域的半徑,.其中,(2)點(diǎn)的空心鄰域aooUaxxaaaaaUa(;)0||(,)(,)(),,,,,,,,,,,，.,,,,(3)的右鄰域和點(diǎn)的空心右鄰域aaUaaaUaxaxa(;)[,)();,,,,，,,,，,,，，00UaaaUaxaxa(;)(,)().,，,,,，,,,,,，，,,(4)點(diǎn)的左鄰域和點(diǎn)的空心左鄰域aaUaaaUaxaxa,,,,,,,(;)(,]();,,,,,,00UaaaUaxaxa(;)(,)().,,,,,,,,,,,,，(5)鄰域，，,鄰域，鄰域,,,UxxM()||,,,,(其中M為充分大的正數(shù));,,6UxxM(),，,,,UxxM(),,,,,,,,,二、有界集與無界集ML()1、定義1(上、下界):設(shè)為中的一個(gè)數(shù)集.若存在數(shù)，使得一切SRxS,xMxL,,()ML()都有，則稱S為有上(下)界的數(shù)集.數(shù)稱為S的上界(下界);若數(shù)集S既有上界，又有下界，則稱S為有界集.(a,b)(a,bab,閉區(qū)間、開區(qū)間為有限數(shù))、鄰域等都是有界數(shù)集，,,,,E,yy,sinx,x,(,,,，,)集合也是有界數(shù)集.若數(shù)集S不是有界集，則稱S為無界集.(,,,，,),(,,,0),(0,，,)等都是無界數(shù)集,1,,E,yy,,x,(0,1)集合也是無界數(shù)集.,,x,,注:1)上(下)界若存在，不唯一;2)上(下)界與S的關(guān)系如何,看下例:Nnn,|為正整數(shù)例1討論數(shù)集的有界性.,,，解:任取，顯然有，所以有下界1;n,1nN,N0，0，但無上界.因?yàn)榧僭O(shè)有上界M,則M>0，按定義，對任意，都有NNnN,，，0，nMMM,，[]1(符號表示不超過的最大整數(shù))，，這是不可能的，如取nM,,,00則，且.nN,nM,0，0綜上所述知:是有下界無上界的數(shù)集，因而是無界集.N，例2證明:(1)任何有限區(qū)間都是有界集;(2)無限區(qū)間都是無界集;(3)由有限個(gè)數(shù)組成的數(shù)集是有界集.[問題]:若數(shù)集S有上界，上界是唯一的嗎,對下界呢,(答:不唯一，有無窮多個(gè)).三、確界與確界原理1、定義xS,,定義2(上確界)設(shè)S是R中的一個(gè)數(shù)集，若數(shù)滿足:(1)對一切,7x,,有(即是S的上界);(2)對任何，存在，使得(即xS,,,,x,,,00,,sup.S是S的上界中最小的一個(gè))，則稱數(shù)為數(shù)集S的上確界，記作,,從定義中可以得出:上確界就是上界中的最小者.ME,sup命題1充要條件,,,xExM,1);2).,,，,,,,,oxSxM,,使得00證明:必要性，用反證法.設(shè)2)不成立，則，，,,,,,,,0,,使得均有xExM0oM與是上界中最小的一個(gè)矛盾.ME充分性(用反證法)，設(shè)不是的上確界，即是上界，但.MM,，M00E令，由2)，，使得，與是的上界矛,,,,MM0，,xEMxMM,,,,00000盾.xS,,,定義3(下確界)設(shè)S是R中的一個(gè)數(shù)集，若數(shù)滿足:(1)對一切有x,,,,,,,(即是S的下界);(2)對任何，存在，使得(即是xS,x,,00,,infS,S的下界中最大的一個(gè))，則稱數(shù)為數(shù)集S的下確界，記作.從定義中可以得出:下確界就是下界中的最大者.,,infS命題2的充要條件:,,,xEx,,1);,,，.2),,,0，,xSx,,有00上確界與下確界統(tǒng)稱為確界.n,,(,1)supS,例3(1)infS,則1;0.S,1，,,,n,,,,supS,E,yy,sinx,x,(0,,).infS,(2)則1;0.注:非空有界數(shù)集的上(或下)確界是唯一的.A命題3:設(shè)數(shù)集有上(下)確界，則這上(下)確界必是唯一的.,,,,,supA,supA,,,,,,,證明:設(shè)，且，則不妨設(shè),,supAx,,,x,A,有,,,supA,,,,,對，使，矛盾.，,xA,,x008nn1,,,,,sup1例:，,，inf,sup0R,,,,,，，nZ,1，，nn12nZ,,,,,E,,5,0,3,9,11則有.inf5E,,,,ab,ab,開區(qū)間與閉區(qū)間有相同的上確界與下確界ba，，,,supS,supA,infS,infA.例4設(shè)S和A是非空數(shù)集，且有S,A.則有.,y,B,x,y,例5設(shè)A和B是非空數(shù)集.若對,x,A和都有則有supA,infB.,y,B,,supA,y.,supA證明:是A的上界,是B的下y,supA,infB.界,S,A:B.例6A和B為非空數(shù)集,試證明:,,infS,mininfA,infB.,x,S,x,B,x,AinfAinfBAB證明:有或由和分別是和的下界,有x,infA或,,x,infB.,x,mininfA,infB.S即是數(shù)集的下界,,,mininfA,infBS,A,,SA又的下界就是的下,,,infS,mininfA,infB.,infS,infA;infSS,infSA界,是的下界,是的下界,同理有infS,infB.于是有.,,infS,mininfA,infB綜上,有.,,infS,mininfA,infB1.數(shù)集與確界的關(guān)系:確界不一定屬于原集合.以例3?為例做解釋.E2.確界與最值的關(guān)系:設(shè)為數(shù)集.EE(1)的最值必屬于,但確界未必,確界是一種臨界點(diǎn).(2)非空有界數(shù)集必有確界(見下面的確界原理),但未必有最值.maxE,supE.maxE(3)若存在,必有對下確界有類似的結(jié)論.4.確界原理:SSSSTh1.1(確界原理).設(shè)非空的數(shù)集.若有上界，則必有上確界;若有S下界，則必有下確界.9ERE,,，x,E這里我們給一個(gè)可以接受的說明非空，，我們可以找到一ppEE，使得不是上界，而是的上界.然后我們遍查個(gè)整數(shù)p，10,q,9qp.qp.1,p.2,？,p.9p，1000E和，我們可以找到一個(gè)，，使得不是上p.(q，1)？,q0E1界，是上界，如果再找第二位小數(shù)，如此下去，最后得到p.qqq？012E，它是一個(gè)實(shí)數(shù)，即為的上確界.證明:(書上對上確界的情況給出證明，下面講對下確界的證明)不妨設(shè)中S，使得的元素都為非負(fù)數(shù)，則存在非負(fù)整數(shù)n1)，有;x,n,x,S2)存在，有;x,Sx,n，11把區(qū)間10等分，分點(diǎn)為1，.2，(((,9,存在，使得n.,,.(n,n，1]n11)，有;;,,Sx,n.n112)存在，使得(x,n.n，x,S211021再對開區(qū)間10等分，同理存在，使得(.,.]nnnn，n112101)對任何，有;x,Sx,n.nn1212)存在，使x,n.nn，2x212210繼續(xù)重復(fù)此步驟，知對任何，存在使得k,1,2,？nk11)對任何，;x,n.nn？n,x,Sk12k102)存在，(x,n.nn？nx,Skk12k因此得到(以下證明(,,infS,,n.nn？n？12k(?)對任意，;x,,x,S(?)對任何，存在使(,,,,,x,S,,x,作業(yè),:P91(1)，(2);2;4(2)、(4);,?3函數(shù)概念授課章節(jié):第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)——?3函數(shù)概念教學(xué)目的:使學(xué)生深刻理解函數(shù)概念.教學(xué)要求:(,)深刻理解函數(shù)的定義以及復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)和初等函數(shù)的定義，熟悉函數(shù)的各種表示法;(,)牢記基本初等函數(shù)的定義、性質(zhì)及其圖象.會(huì)求初等函數(shù)的存在域，會(huì)分析初等函數(shù)的復(fù)合關(guān)系.教學(xué)重點(diǎn):函數(shù)的概念.教學(xué)難點(diǎn):初等函數(shù)復(fù)合關(guān)系的分析.教學(xué)方法:課堂講授，輔以提問、練習(xí)、部分內(nèi)容可自學(xué).教學(xué)程序:引言關(guān)于函數(shù)概念，在中學(xué)數(shù)學(xué)中已有了初步的了解.為便于今后的學(xué)習(xí)，本節(jié)10將對此作進(jìn)一步討論.一、函數(shù)的定義DMR,,f,(定義,設(shè)，如果存在對應(yīng)法則，使對，存在唯一,,xDyM,f與之對應(yīng)，則稱是定義在數(shù)集上的函數(shù)，記作的一個(gè)數(shù)DfDM:,xy|,.ff數(shù)集D稱為函數(shù)的定義域，所對應(yīng)的，稱為在點(diǎn)的函數(shù)值，記為yxxfx()fD()f.全體函數(shù)值的集合稱為函數(shù)的值域，記作.fDyyfxxD()|(),,,,即.,,,(幾點(diǎn)說明fDM:,f(1)函數(shù)定義的記號中“”表示按法則建立D到M的函數(shù)關(guān)xy|,xfx|(),系，表示這兩個(gè)數(shù)集中元素之間的對應(yīng)關(guān)系，也記作.習(xí)慣上稱自變量，為因變量.yx(2)函數(shù)有三個(gè)要素，即定義域、對應(yīng)法則和值域.當(dāng)對應(yīng)法則和定義域確定后，值域便自然確定下來.因此，函數(shù)的基本要素為兩個(gè):定義域和對應(yīng)法yfxxD,,(),則.所以函數(shù)也常表示為:.由此，我們說兩個(gè)函數(shù)相同，是指它們有相同的定義域和對應(yīng)法則.fxxR()1,,,,gxxR()1,\0.,,例如:1)(不相同，對應(yīng)法則相同，定,,義域不同)2,()||,,xxxR,,,(),.xxxR,,2)(相同，只是對應(yīng)法則的表達(dá)形式不同).(3)函數(shù)用公式法(解析法)表示時(shí)，函數(shù)的定義域常取使該運(yùn)算式子有意義的自變量的全體，通常稱為存在域(自然定義域).此時(shí)，函數(shù)的記號中的yfx,()f定義域可省略不寫，而只用對應(yīng)法則來表示一個(gè)函數(shù).即“函數(shù)”或f“函數(shù)”.fa()faD,(4)“映射”的觀點(diǎn)來看，函數(shù)本質(zhì)上是映射，對于，稱為fa()f映射下的象.稱為的原象.aa11(5)函數(shù)定義中，，只能有唯一的一個(gè)值與它對應(yīng)，這樣定義的,,xDy函數(shù)稱為“單值函數(shù)”，若對同一個(gè)值，可以對應(yīng)多于一個(gè)值，則稱這種函yx數(shù)為多值函數(shù).本書中只討論單值函數(shù)(簡稱函數(shù)).二、函數(shù)的表示方法1主要方法:解析法(公式法)、列表法(表格法)和圖象法(圖示法).2可用“特殊方法”來表示的函數(shù).1)分段函數(shù):在定義域的不同部分用不同的公式來表示.1,0x,,,例如，(符號函數(shù))sgn0,0xx,,,,,,1,0x,fxx()||,,fxxxx()||sgn,,(借助于sgnx可表示即).2)用語言敘述的函數(shù).(注意;以下函數(shù)不是分段函數(shù))yx,[]例,)(取整函數(shù))比如:[3.5]=3,[3]=3,[-3.5]=-4.常有,即.xxx,,，101,,,xx,,,,,,與此有關(guān)一個(gè)的函數(shù)(非負(fù)小數(shù)函數(shù))圖形yxxx,,,,,,是一條大鋸，畫出圖看一看.,)狄利克雷(Dirichlet)函數(shù)1,當(dāng)為有理數(shù),x,Dx(),,0,當(dāng)為無理數(shù),x,這是一個(gè)病態(tài)函數(shù)，很有用處，卻無法畫出它的圖形.它是周期函數(shù)，但卻沒有最小周期，事實(shí)上任一有理數(shù)都是它的周期.,)黎曼(Riemman)函數(shù)1pp,,(,,當(dāng)為既約分?jǐn)?shù)xpqN,,),,，qqq,Rx(),,0,0,1(0,1)當(dāng)和內(nèi)的無理數(shù)x,.,三函數(shù)的四則運(yùn)算D,,f給定兩個(gè)函數(shù)，記，并設(shè)，定義與在fxDgxD,,,,,DDD,g1212D上的和、差、積運(yùn)算如下:FxfxgxxD()()(),,，,GxfxgxxD()()(),,,,;;HxfxgxxD()()(),,,.12DDDxgxxD,,,,\()0,,gx()0,若在中除去使的值，即令，可在D,,2fx()f上定義與的商運(yùn)算如下;.LxxD(),,,ggx()f注:,)若，則與不能進(jìn)行四則運(yùn)算.DDD,,,g12f,)為敘述方便，函數(shù)與的和、差、積、商常分別寫為:gffgfgfg，,,,,.g四、復(fù)合運(yùn)算,(引言在有些實(shí)際問題中函數(shù)的自變量與因變量通過另外一些變量才建立起它們之間的對應(yīng)關(guān)系.，則功率E為例:質(zhì)量為m的物體自由下落，速度為v1,2Emv,1,22.,,Emgt2,2,vgt,,12vt()抽去該問題的實(shí)際意義，我們得到兩個(gè)函數(shù)，把代fvmvvgt(),,,2f入，即得122.fvtmgt(()),2這樣得到函數(shù)的過程稱為“函數(shù)復(fù)合”，所得到的函數(shù)稱為“復(fù)合函數(shù)”.[問題]任給兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合嗎,考慮下例;2.yfuuuDugxxxER,,,,,,,，,,()arcsin,[1,1],()2,就不能復(fù)合，結(jié)合上例可見，復(fù)合的前提條件是“內(nèi)函數(shù)”的值域與“外函數(shù)”的定義域的交集不空(從而引出下面定義).yfuuDugxxE,,,,(),,(),2(定義(復(fù)合函數(shù))設(shè)有兩個(gè)函數(shù)，ExfxDE,,()xE,D，若，則對每一個(gè)，通過對應(yīng)內(nèi)唯一一個(gè)gE,,,,Ef值，而又通過對應(yīng)唯一一個(gè)值，這就確定了一個(gè)定義在上的函數(shù)，它yuu以為自變量，因變量，記作或.簡記為yyfgxxE,,(()),yfgxxE,,()(),xfgff.稱為函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)，并稱為外函數(shù)，為內(nèi)函數(shù)，為中間變ggu13量.3.例子2例求并求定義y,f(u),u,u,g(x),1,x.，，f,g(x),f,,g(x).域.例?2f(1,x),x，x，1,f(x),_______________.11,,2fx，,x，.?則,,2xx,,f(x),()2222x，2.A.B.C.D.x,x,2,x，1,2ugxxxR,,,,()1,例討論函數(shù)與函數(shù)能否yfuuu,,,，,(),[0,)進(jìn)行復(fù)合，求復(fù)合函數(shù).4說明,)復(fù)合函數(shù)可由多個(gè)函數(shù)相繼復(fù)合而成.每次復(fù)合，都要驗(yàn)證能否進(jìn)行,在哪個(gè)數(shù)集上進(jìn)行,復(fù)合函數(shù)的最終定義域是什么,2例如:，復(fù)合成:yuuvvx,,,,sin,,12yxx,,,,sin1,[1,1].,)不僅要會(huì)復(fù)合，更要會(huì)分解.把一個(gè)函數(shù)分解成若干個(gè)簡單函數(shù)，在分解時(shí)也要注意定義域的變化.22yxxyuuzzx,,,,,,,,log1,(0,1)log,,1.?aa22yxyuuvvx,，,,,,，arcsin1arcsin,,1.?2sin2xuyyuvvx,,,,,22,,sin.?五、反函數(shù),.引言yfx,()在函數(shù)中把叫做自變量，叫做因變量.但需要指出的是，自變量yx2與因變量的地位并不是絕對的，而是相對的，例如:那么fuuut(),1,,,，uf對于來講是自變量，但對來講，是因變量.tuyfx,()習(xí)慣上說函數(shù)中是自變量，是因變量，是基于隨的變化現(xiàn)yyxx14時(shí)變化.但有時(shí)我們不僅要研究隨的變化狀況，也要研究隨的變化的狀況.yyxx對此，我們引入反函數(shù)的概念.,.反函數(shù)概念定義設(shè)R是一函數(shù)，如果，,由f:X,xx,X,12x,x,f(x),f(x)1212)，則稱在上是1-1的.(或由ff(x),f(x),x,xX1212若，，稱為滿的.f:X,YY,f(X)f若是滿的1-1的，則稱為1-1對應(yīng).f:X,YfR是1-1的意味著對固定至多有一個(gè)解yf:X,y,f(x)，是1-1的意味著對，有且僅有一個(gè)xf:X,Yy,Yy,f(x)解.x定義設(shè)是1-1對應(yīng).,由唯一確f:X,Y,y,Yy,f(x)定一個(gè),由這種對應(yīng)法則所確定的函數(shù)稱為的反y,f(x)x,X,1函數(shù)，記為.x,f(y)反函數(shù)的定義域和值域恰為原函數(shù)的值域和定義域f:X,Y,1f:Y,X顯然有,1ff,I:X,X,(恒等變換),1ff,I:Y,Y,(恒等變換),1,1(f),f:X,Y.從方程角度看，函數(shù)和反函數(shù)沒什么區(qū)別，作為函數(shù)，習(xí)慣,1y,f(x)上我們還是把反函數(shù)記為,這樣它的圖形與y,f(x)y,x的圖形是關(guān)于對角線對稱的.y嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)是1-1對應(yīng)的，所以嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)有反函數(shù).但1-1對應(yīng)的函數(shù)(有反函數(shù))不一定是嚴(yán)格單調(diào)的，看下面例子x,0,x,1,f(x),,3,x,1,x,2,它的反函數(shù)即為它自己.0x實(shí)際求反函數(shù)問題可分為二步進(jìn)行:f:X,Yy,YXY1.確定的定義域和值域，考慮1-1對應(yīng)條件.固定，,1f(x),yx,f(y)解方程得出.15,1yy,f(x)x2.按習(xí)慣，自變量、因變量互換，得.x,xe,e例求:RR的反函數(shù).,()y,shx,2x,xe,ex解固定，為解，令，方程變?yōu)閥y,e,z222zy,z,12z,2zy,1,022(舍去)z,y,y，1y,y，122,1得，即，稱為反雙曲正弦.x,ln(y，y，1)y,ln(x，x，1),sh(x)定理給定函數(shù)，其定義域和值域分別記為和，y,f(x)XY,1若在上存在函數(shù)，使得,則有.g(y)g(f(x)),xg(y),f(y)Y分析:要證兩層結(jié)論:一是的反函數(shù)存在，我們只要證它是1-1對y,f(x),1gyfy()(),應(yīng)就行了;二是要證.證要證的反函數(shù)存在，只要證是到的1-1對應(yīng).y,f(x)f(x)XY，，若，則由定理?xiàng)l件，我們有xx,Xf(x),f(x),1212g(f(x)),xg(f(x)),x1122，即是1-1對應(yīng).f:X,Y,x,x12,1gyfy()(),再證.，，使得.y,Yy,f(x)x,X，,,1由反函數(shù)定義，再由定理?xiàng)l件x,f(y),1,,gyfy()()gygfxx()(()),,.f(x)f(f(x))，|，|fRR:,例，若存在唯一()不動(dòng)點(diǎn)，則也不動(dòng)點(diǎn).****f(x),f,f[f(x)]x,f[f(x)]證存在性，設(shè)，，***f,ff(x),xf(x)即是的不動(dòng)點(diǎn)，由唯一性，*f(x)x即存在的不動(dòng)點(diǎn).x,f(x)x,f(x),f(f(x))唯一性:設(shè)，，*f,fxxx說明是的不動(dòng)點(diǎn)，由唯一性，=.從映射的觀點(diǎn)看函數(shù).yfxxD,,(),fD()設(shè)函數(shù).滿足:對于值域中的每一個(gè)值，,中有yfxy(),fD()且只有一個(gè)值，使得，則按此對應(yīng)法則得到一個(gè)定義在上x的函數(shù)，稱y=f(x)y=f(x)這個(gè)函f數(shù)為的反函數(shù)，記-1y=f作(x)0016,1,1或.ffDDyx:(),(|),,xfyyfD,,(),(),、注釋f有反函數(shù)，意a)并不是任何函數(shù)都有反函數(shù)，從映射的觀點(diǎn)看，函數(shù),1fD()ff味著是,與之間的一個(gè)一一映射，稱為映射的逆映射，它把ffDD(),;,1,1fb)函數(shù)與互為反函數(shù)，并有:fffxxxD(()),,,,,1ffxyyfD(()),().,,,1c)在反函數(shù)的表示中，是以為自變量，為因變量.xfyyfD,,(),()yxf若按習(xí)慣做法用做為自變量的記號，作為因變量的記號，則函數(shù)的反yx,1函數(shù)可以改寫為f,1yfxxfD,,(),().應(yīng)該注意，盡管這樣做了，但它們的表示同一個(gè)函數(shù)，因?yàn)槠涠x域和對應(yīng)法則相同，僅是所用變量的記號不同而已.但它們的圖形在同一坐標(biāo)系中畫出時(shí)有所差別.六、初等函數(shù)1.基本初等函數(shù)(,類)yC,常量函數(shù)(,為常數(shù));,冪函數(shù);yxR,,(),x指數(shù)函數(shù);yaaa,,,(0,1)對數(shù)函數(shù);yxaa,,,log(0,1)ayxyxytgxytgx,,,,sin,cos,,c三角函數(shù);yxyxyarctgxyarcctgx,,,,arcsin,arccos,,反三角函數(shù).,x注:冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)都涉及乘冪，而在中yaaa,,,(0,1)yxR,,(),學(xué)數(shù)學(xué)課程中只給了有理指數(shù)乘冪的定義.下面我們借助于確界來定義無理指數(shù)冪，便它與有理指數(shù)冪一起構(gòu)成實(shí)指數(shù)乘冪，并保持有理批數(shù)冪的基本性質(zhì).17aa,,0,1定義,(給定實(shí)數(shù)，設(shè)為無理數(shù)，我們規(guī)定:xr,sup|,1ara為有理數(shù)當(dāng)時(shí),,,,,x,rxa,,rinfara|,01為有理數(shù)當(dāng)時(shí).,,,,,r<x,xa這樣解決了中學(xué)數(shù)學(xué)僅對有理數(shù)定義的缺陷(,[問題]:這樣的定義有意義否,更明確一點(diǎn)相應(yīng)的“確界是否存在呢,”,(初等函數(shù)定義,(由基本初等函數(shù)經(jīng)過在有限次四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算所得到的函數(shù)，統(tǒng)稱為初等函數(shù)sinx11e,2如:yxxyyoxyx,，,,，,2sincos,sin(),lg,||.a2xx不是初等函數(shù)的函數(shù)，稱為非初等函數(shù).如Dirichlet函數(shù)、Riemann函數(shù)、取整函數(shù)等都是非初等函數(shù).為此，除對基本初等函數(shù)的圖象與注:初等函數(shù)是本課程研究的主要對象.性質(zhì)應(yīng)熟練掌握外，還應(yīng)常握確定初等函數(shù)的定義域.確定定義域時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn).例,(求下列函數(shù)的定義域.xy,yx,ln|sin|.(,);(,)x,1f(x)g(x)3.初等函數(shù)的幾個(gè)特例:設(shè)函數(shù)和都是初等函數(shù),則2f(x)(1)是初等函數(shù),因?yàn)椋?，f(x),f(x).(2)和都是初等函數(shù),,,,,,(x),maxf(x),g(x),(x),minf(x),g(x)1因?yàn)?,,,,,(x),maxf(x),g(x),f(x)，g(x)，f(x),g(x)21.,,,,,(x),minf(x),g(x),f(x)，g(x),f(x),g(x)2g(x)(3)冪指函數(shù)是初等函數(shù),因?yàn)?，，，，f(x)f(x),0g(x)g(x)，，lnf(x)g(x)lnf(x)，，f(x),e,e.,作業(yè),:3;4:(,)、(,);5:(,);7:(,);11P15?4具有某些特性的函數(shù)授課章節(jié):第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)——?4具有某些特性的函數(shù)18教學(xué)目的:熟悉與初等函數(shù)性態(tài)有關(guān)的一些常見術(shù)語.教學(xué)目的:深刻理解有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)的定義;理解奇偶函數(shù)、周期函數(shù)的定義;會(huì)求一些簡單周期函數(shù)的周期.教學(xué)重點(diǎn):函數(shù)的有界性、單調(diào)性.教學(xué)難點(diǎn):周期函數(shù)周期的計(jì)算、驗(yàn)證.教學(xué)方法:有界函數(shù)講授，其余的列出自學(xué)題綱，供學(xué)生自學(xué)完成.教學(xué)程序:引言在本節(jié)中，我們將介紹以后常用的幾類具有某些特性的函數(shù)，如有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、奇偶函數(shù)與周期函數(shù).其中，有些概念在中學(xué)里已經(jīng)敘述過，因此，這里只是簡單地提一下.與“有界集”的定義類似，先談?wù)動(dòng)猩辖绾瘮?shù)和有下界函數(shù).一、有界函數(shù)1、有上界函數(shù)、有下界函數(shù)的定義fML()定義1設(shè)為定義在D上的函數(shù)，若存在數(shù)，使得對每一個(gè)xD,有fxMfxL()(()),,fML()f，則稱為D上的有上(下)界函數(shù)，稱為在D上的一個(gè)上(下)界.fD()f注:(1)在D上有上(下)界，意味著值域是一個(gè)有上(下)界的數(shù)集;ML()f(2)又若為在D上的一個(gè)上(下)界，則任何大于,(小于f,)的數(shù)也是在D上的上(下)界.所以，函數(shù)的上(下)界若存在，則不是yx,sin唯一的，例如:，1是其一個(gè)上界，下界為,1，則易見任何小于,1的數(shù)都可作為其下界;任何大于1的數(shù)都可作為其上界;(3)任給一個(gè)函數(shù)，不一定有上(下)界;(4)由(1)及“有界集”定義，可類比給出“有界函數(shù)”定義:fD()fff在D上有界是一個(gè)有界集在D上既有上界又有下界在,,,D上的有上界函數(shù)，也為D上的有下界函數(shù).2、有界函數(shù)定義fxD,定義2設(shè)為定義在D上的函數(shù).若存在正數(shù),，使得對每一個(gè)有|()|fxM,f，則稱為D上的有界函數(shù).yM,ff注:(1)幾何意義:為D上的有界函數(shù)，則的圖象完全落在和yM,,之間;ff(2)在D上有界在D上既有上界又有下界;例子:,yxyx,,sin,cos;f(3)關(guān)于函數(shù)在D上無上界、無下界或無界的定義.3、例題mM，例1證明有界的充要條件為:,，使得對fXR:,m,f(x),M,x,X,.,x,XM，證明如果有界，按定義>0，有，即fXR:,fxM(),19m,,MM,M,取,即可.,,,MfxM()mM，反之如果,使得，令，則MMm,，max1,,,,,xXmfxM,(),,0，，即，使得對有，即有界.M,0fXR:,fxM(),fxM(),,,xX0001(0,1]例2(證明為上的無上界函數(shù).fx(),xfg,例3(設(shè)為D上的有界函數(shù).證明:(1);inf()inf()inf()()fxgxfxgx，,，,,xDxDxD,,,(2).sup()()sup()sup()fxgxfxgx，,，,,xDxDxD,,,5x例4驗(yàn)證函數(shù)f(x),在內(nèi)有界.R22x，3222解法一由當(dāng)x,0時(shí),有2x，3,(2x)，(3),22x,3,26x,5x5x5x5f(x),,,,,3.222x，32x，326x26f(0),0,3,,x,R,f(x)f(x),3,R對總有即在內(nèi)有界.？5x2解法二令關(guān)于的二次方程有實(shí)數(shù)2yx,5x，3y,0y,,,x22x，3根.25222？,,5,24y,0,,y,,4,,y,2.243,,,,x,(,,,，,).解法三令對應(yīng)于是xtgtt,,,,,,,222,,35tgt5535sin1xtgtt2()fx,,,,,222232cost231secx，tgt，t6,,3,,23tgt，,,2,,555,sin2t,,f(x),sin2t,.262626二、單調(diào)函數(shù)f定義3設(shè)為定義在D上的函數(shù)，(1)若，,,,xxDxx,,,fxfx()(),121212ff則稱為D上的增函數(shù);若，則稱為D上的嚴(yán)格增函數(shù).(2)若fxfx()(),12ff，則稱為D上的減函數(shù);若，則稱為D上的嚴(yán)格fxfx()(),fxfx()(),1212減函數(shù).3(,),,，,例5(證明:在上是嚴(yán)格增函數(shù).yx,3322x,xx,x,(x,x)(x，xx，x)證明:設(shè)，121212112233xx,0x,0,x,x,x如，則122112202233xx,0xxxxxx，，,,,0,如，則1211221233x,x,0故即得證.12yx,[]例6(討論函數(shù)在上的單調(diào)性.Rxx,，當(dāng)時(shí)，有，但此函數(shù)在上的不是嚴(yán)格增函數(shù).R,,xxR,xx,,,,,121212f注:1)單調(diào)性與所討論的區(qū)間有關(guān).在定義域的某些部分，可能單調(diào)，也可能不單調(diào).所以要會(huì)求出給定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;2)嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)的幾何意義:其圖象無自交點(diǎn)或無平行于軸的部分.x更準(zhǔn)確地講:嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)的圖象與任一平行于軸的直線至多有一個(gè)交點(diǎn).這x一特征保證了它必有反函數(shù).總結(jié)得下面的結(jié)論:,1,1yfxxD,,(),f定理1(設(shè)為嚴(yán)格增(減)函數(shù)，則必有反函數(shù)，且fffD()在其定義域上也是嚴(yán)格增(減)函數(shù).f在上嚴(yán)格增函數(shù).對.下面證明這證明:設(shè)D,,,,yfDxDfxy(),,()有使f樣的只有一個(gè).事實(shí)上，對于D內(nèi)任一由于在D上嚴(yán)格增函數(shù)，當(dāng)xx,,x1時(shí)，當(dāng)時(shí)，總之.即xx,fxy(),xx,fxy(),fxy(),11111，從而,,,,yfDxDfxy(),,()都只存在唯一的一使得22(,),,，,(,),,，,例7討論函數(shù)在上反函數(shù)的存在性;如果在yx,yx,(,),,，,上不存在反函數(shù)，在的子區(qū)間上存在反函數(shù)否,結(jié)論:函數(shù)的反函數(shù)與討論的自變量的變化范圍有關(guān).xa,101,,aR例8證明:當(dāng)時(shí)在,上嚴(yán)格增，當(dāng)時(shí)在上嚴(yán)格遞減.ya,三、奇函數(shù)和偶函數(shù)f定義4.設(shè)D為對稱于原點(diǎn)的數(shù)集，為定義在D上的函數(shù).若對每一個(gè)fxfx()(),,,fxfx()(),,fxD,有(1)，則稱為D上的奇函數(shù);(2)，則f稱為D上的偶函數(shù).注:(1)從函數(shù)圖形上看，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱(中心對稱)，偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱;yfxxx(),[0,1],,(2)奇偶性的前提是定義域?qū)ΨQ，因此沒有必要討論奇偶性.奇函數(shù):y=sinx,,偶函數(shù):y=sgnx,(3)從奇偶性角度對函數(shù)分類:;,非奇非偶函數(shù):y=sinx+cosx,,既奇又偶函數(shù):y0,,(4)由于奇偶函數(shù)對稱性的特點(diǎn)，研究奇偶函數(shù)性質(zhì)時(shí)，只須討論原點(diǎn)的左邊或右邊即可四、周期函數(shù)1、定義f,,0xD,設(shè)為定義在數(shù)集D上的函數(shù)，若存在，使得對一切有fxfx()(),,,ff，則稱為周期函數(shù)，稱為的一個(gè)周期.,2、幾點(diǎn)說明:ff(1)若是的周期，則nnN,(),也是的周期，所以周期若存在，則,，21yx,,sin,2,4,,,,不唯一.如.因此有如下“基本周期”的說法，即若在周期ff函數(shù)的所有周期中有一個(gè)最小的周期，則稱此最小周期為的“基本周期”，yx,sin簡稱“周期”.如，周期為;2,(2)任給一個(gè)函數(shù)不一定存在周期，既使存在周期也不一定有基本周期，yC,yx,，1如:1)，不是周期函數(shù);2)(,為常數(shù))，任何正數(shù)都是它的周期.第二章數(shù)列極限引言為了掌握變量的變化規(guī)律，往往需要從它的變化過程來判斷它的變化趨勢.1111，然后為如此，一直無盡地變例如有這么一個(gè)變量，它開始是1,,,,,234n下去，雖然無盡止，但它的變化有一個(gè)趨勢，這個(gè)趨勢就是在它的變化過程中越來越接近于零.我們就說，這個(gè)變量的極限為0.在高等數(shù)學(xué)中，有很多重要的概念和方法都和極限有關(guān)(如導(dǎo)數(shù)、微分、積分、級數(shù)等)，并且在實(shí)際問題中極限也占有重要的地位.例如求圓的面積和圓周2長(已知:)，但這兩個(gè)公式從何而來,Srlr,,,,,2要知道，獲得這些結(jié)果并不容易～人們最初只知道求多邊形的面積和求直線段的長度.然而，要定義這種從多邊形到圓的過渡就要求人們在觀念上，在思考方法上來一個(gè)突破.問題的困難何在,多邊形的面積其所以為好求，是因?yàn)樗闹芙缡且恍┲本€段，我們可以把它分解為許多三角形.而圓呢,周界處處是彎曲的，困難就在這個(gè)“曲”字上面.在這里我們面臨著“曲”與“直”這樣一對矛盾.辯證唯物主義認(rèn)為，在一定條件下，曲與直的矛盾可以相互轉(zhuǎn)化.整個(gè)圓周是曲的，每一小段圓弧卻可以近似看成是直的;就是說，在很小的一段上可以近似地“以直代曲”，即以弦代替圓弧.按照這種辯證思想，我們把圓周分成許多的小段，比方說，分成個(gè)等長的n小段，代替圓而先考慮其內(nèi)接正邊形.易知，正邊形周長為nn,lnR,2sinnn顯然，這個(gè)不會(huì)等于l.然而，從幾何直觀上可以看出，只要正邊形的邊lnn數(shù)不斷增加.這些正多邊形的周長將隨著邊數(shù)的增加而不斷地接近于圓周長.n越大，近似程度越高.但是，不論多么大，這樣算出來的總還只是多邊形的周長.無論如何它只是n周長的近似值，而不是精確值.問題并沒有最后解決.為了從近似值過渡到精確值，我們自然讓無限地增大，記為.直觀上nn,,limll,很明顯，當(dāng)時(shí)，，記成.——極限思想.ll,n,,nn,,n即圓周長是其內(nèi)接正多邊形周長的極限.這種方法是我國劉微(張晉)早在第3世紀(jì)就提出來了，稱為“割圓術(shù)”.其方法就是——無限分割.以直代曲;其思想在于“極限”.除之以外，象曲邊梯形面積的計(jì)算均源于“極限”思想.所以，我們有必要對極限作深入研究.22?1數(shù)列極限的概念教學(xué)目的:使學(xué)生建立起數(shù)列極限的準(zhǔn)確概念;會(huì)用數(shù)列極限的定義證明數(shù)列極限等有關(guān)命題.教學(xué)要求:使學(xué)生逐步建立起數(shù)列極限的定義的清晰概念.深刻理解數(shù)列發(fā),,N散、單調(diào)、有界和無窮小數(shù)列等有關(guān)概念.會(huì)應(yīng)用數(shù)列極限的定,,N義證明數(shù)列的有關(guān)命題，并能運(yùn)用語言正確表述數(shù)列不以某實(shí),,N數(shù)為極限等相應(yīng)陳述.教學(xué)重點(diǎn):數(shù)列極限的概念.教學(xué)難點(diǎn):數(shù)列極限的定義及其應(yīng)用.,,N教學(xué)方法:講授為主.教學(xué)程序:一、什么是數(shù)列1數(shù)列的定義數(shù)列就是“一列數(shù)”，但這“一列數(shù)”并不是任意的一列數(shù)，而是有一定的規(guī)律，有一定次序性，具體講數(shù)列可定義如下;f若函數(shù)的定義域?yàn)槿w正整數(shù)集合，則稱為數(shù)列.fNR:,N，，注:1)根據(jù)函數(shù)的記號，數(shù)列也可記為;fnnN(),,，fn()a2)記，則數(shù)列就可寫作為:，簡記為，aaa,,,,fna(),,,nn12nfnnNa()|,,即;,,,,，nfn()3)不嚴(yán)格的說法:說是一個(gè)數(shù)列.2數(shù)列的例子n,,,1111(1)111,,(1);(2)1:2,1,1,1,，，，，;,,:1,,,,,,,,n435n234,,,,2n，1n:1,4,9,16,25,1(1):2,0,2,0,2,，,(3);(4),,,,二、什么是數(shù)列極限1(引言對于這個(gè)問題，先看一個(gè)例子:古代哲學(xué)家莊周所著的《莊子.天下篇》引用過一句話:“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”.把每天截下的部分的長度列出如下(單位為尺);1第1天截下，2111第2天截下，,,2222111第3天截下，,,23222111第天截下，,,nnn,1222231111得到一個(gè)數(shù)列:,,,,,23n222211,,不難看出，數(shù)列的通項(xiàng)隨著的無限增大而無限地接近于零.n,,nn22,,a一般地說，對于數(shù)列，若當(dāng)無限增大時(shí)，能無限地接近某一個(gè)常數(shù)an,,nn，則稱此數(shù)列為收斂數(shù)列，常數(shù)稱為它的極限.不具有這種特性的數(shù)列就不aa是收斂的數(shù)列，或稱為發(fā)散數(shù)列.1,,據(jù)此可以說，數(shù)列是收斂數(shù)列，0是它的極限.,,n2,,21n，n,1(1)，,數(shù)列都是發(fā)散的數(shù)列.,,,,需要提出的是，上面關(guān)于“收斂數(shù)列”的說法，并不是嚴(yán)格的定義，而僅是一種“描述性”的說法，如何用數(shù)學(xué)語言把它精確地定義下來.還有待進(jìn)一步分析.1,,1，以為例，可觀察出該數(shù)列具以下特性:,,n,,11隨著的無限增大，無限地接近于1隨著的無限增大，與a,，,nn11，nnn111的距離無限減少隨著的無限增大，無限減少會(huì)任意,,n|11|，,|11|，,nn小，只要充分大.n1如:要使，只要n,10即可;|11|0.1，,,n1n,100要使，只要即可;|11|0.01，,,n()nN,任給無論多么小的正數(shù)，都會(huì)存在數(shù)列的一項(xiàng)，從該項(xiàng)之后，a,N11,,,,,,，,0,N,,|11|，,,nN,|11|，,,.即，當(dāng)時(shí)，.,,,,nn,,,,11N如何找,,(或存在嗎,)解上面的數(shù)學(xué)式子即得:，取,,，N[]1n,,111,,,,,0,,nN,|11|，,,,,即可.這樣當(dāng)時(shí)，.,,nnN,,111,,1，綜上所述，數(shù)列的通項(xiàng)隨的無限增大，無限接近于1，n1，1，,,nnn,,1,,,NnN,|11|，,,即是對任意給定正數(shù)，總存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，有.此即,,,n,,111,,,,1，lim11，,以1為極限的精確定義，記作或.n,,，,,11,,,,n,,nnn,,,,2.數(shù)列極限的定義24a定義1設(shè)為數(shù)列,為實(shí)數(shù),若對任給的正數(shù),總存在正整數(shù),使得Na,,,naa當(dāng)時(shí)有,則稱數(shù)列收斂于,實(shí)數(shù)稱為數(shù)列的極限,nN,||aa,,,aa,,,,nnn并記作或.limaa,aan,,,()nnn,,(讀作:當(dāng)趨于無窮大時(shí),的極限等于或趨于).由于限于取正整aanaannn數(shù),所以在數(shù)列極限的記號中把寫成,即或limaa,n,，,n,,n,,n.aan,,,()naaa若數(shù)列沒有極限，則稱不收斂，或稱為發(fā)散數(shù)列.,,,,,,nnna[問題]:如何表述沒有極限,,,n舉例說明如何用定義來驗(yàn)證數(shù)列極限3.,,N1例1.證明:.,,plim0(0)p,,nn111證明:不妨設(shè),要使|,0|<<.,,,0,,,ppnn211，，11pPn,()只要,取N=()，1,,22，，則當(dāng)n>N時(shí),有111|,0|=?<,pp1nn，，1pP(()，1),,2，，n例2求證.limq,0,(0,q,1),,nnn證明:不妨設(shè)，要使，只要(注q,0,q,,nlgq,lg,,,,0,,,1lg,，，lg,意這里)，只要.取，則當(dāng)時(shí)，n,lgq,0,lg,,0N,n,N,,lgqlgq，，nn就有，即.limq,0q,0,,n,,n例3求證.lima,1(a,0),,nnnn證法1先設(shè)，，要使，只要，a,1,a,1,,a,1,,,0a,1，,1lga只要，只要.n,lga,lg(1，,)lg(1，,)nlgna，，n取，當(dāng)時(shí)，就有，即.對lima,1,a,1,,Nn,Nn,,,lg(1，),,，，1n1alim,,1，令，則.b,0,a,1nn,,bliman,,annn證法2令，則，ha,(1，h),1，nh，？，h,nh0,,a,1,hnnnnnnnaa，，n,要使,只要，取，只要，就有,,,0,Na,1,h,,,,n,Nn,,,n，，nn，即.lima,1a,1,,n,,25na例4證.lim,0(a,1)n,,n!n[a][a]aaaaaaaaaa證明:因?yàn)椋琧c,,,？,,,？,,,,,(,)naananna!12[][]，1[]![]!nn,aacac,a，，，要使，只要，取，則只要，,,,0,,0,,,N,,n,N,,,n!n!n，，nnaa就有，即.,0,,lim,0n,,n!n!2nlim,0.例5nn,,4,,,n(n1)n(n1)(n2)nn23n證明:,，,，,，,，,，？，,4(13)1n33332!3!n(n,1)(n,2)3,,3,n,3.3!nk,n,2k注意到對任何正整數(shù)時(shí)有就有n,k,,222n,4n6n6nn,6424110,,,,,,,.n227n(n,1)(n,2)27(n,1)(n,2)4nn,n27271，，,,,0,N,max{4,}.？？.于是，對取,,,，，n例6lima,1,a,1.,,nna,1,,,證法一令有用Bernoulli不等式，有,,0.nn11aa,1nnna,(1，,),1，n,,1，n(a,1),a0,,1,,.？或nnnn證法二(用均值不等式)a，n,1a,1an,1,,1,,.？0,a,1,a,1？1n,nnn,1個(gè)nn例7limn,1.n,,n,2證一:時(shí)，nnn2，,22,22,2nnnnnn0,,1,1,1,,1,,.nnnn(n,1)2nnnnnn,(n),(1，n,1),(n,1)證二:(二項(xiàng)式展開)2!2n,n,1,n,12nN,[，1],,,0n,N因此，，取，則當(dāng)時(shí)就有即0,n,1,,2,26附:此題請注意以下的錯(cuò)誤做法:1n,11nnnn,,1,,n,,,,,,,11n,(1，n,1),1，n(n,1)nnn11,n,1,(注意不趨于零)1,,n2n3例8:證明lim,32n,,n,423n12123,,,n,3()(*)證明:由于22nn4n4,,2n312,3,,,,,,,0因此，只要取便有2n,4n12N,max{3,[]}n,3n,N由于(*)式是在的條件下成立的，故應(yīng)取，當(dāng),22n3n3,3,,時(shí)就有即lim,322n,,n,4n,4總結(jié)用定義求極限或證明極限的關(guān)鍵是適當(dāng)放大不等式，關(guān)鍵的追求有兩點(diǎn)，一是把隱性表達(dá)式變成顯性表達(dá)式，在重鎖迷霧中看清廬山真面目，二是抓住主要矛盾，舍去次要矛盾;要取舍合理，不能放大得過份.4關(guān)于數(shù)列的極限的,,N定義的幾點(diǎn)說明(1)關(guān)于:?的任意性.定義1中的正數(shù)的作用在于衡量數(shù)列通項(xiàng)與a,,,n常數(shù)的接近程度，越小，表示接近得越好;而正數(shù)可以任意小，說明與aa,,n常數(shù)可以接近到任何程度;?的暫時(shí)固定性.盡管有其任意性，但一經(jīng)給出，a,,N就暫時(shí)地被確定下來，以便依靠它來求出;?的多值性.既是任意小的正,,,2數(shù)，那么等等，同樣也是任意小的正數(shù)，因此定義1中的不等式||aa,,,,3,,,n2,2中的可用等來代替.從而“”可用“”代替;?||aa,,,||aa,,,,3,,,,nn2正由于是任意小正數(shù)，我們可以限定小于一個(gè)確定的正數(shù).,,NNN(2)關(guān)于:?相應(yīng)性，一般地，隨的變小而變大，因此常把定作,N(),NNN，來強(qiáng)調(diào)是依賴于的;一經(jīng)給定，就可以找到一個(gè);?多值性.,,NNN,100的相應(yīng)性并不意味著是由唯一確定的，因?yàn)閷o定的，若時(shí)能,,nN,N,101使得當(dāng)時(shí),有,則或更大的數(shù)時(shí)此不等式自然成立.所以||aa,,,nNN不是唯一的.事實(shí)上，在許多場合下，最重要的是的存在性，而不是它的值NN有多大.基于此，在實(shí)際使用中的也不必限于自然數(shù)，只要是正數(shù)即可;而nN,nN,且把“”改為“”也無妨.nN,(3)數(shù)列極限的幾何理解:在定義1中，“當(dāng)時(shí)有”“當(dāng)||aa,,,,naaaUa,,，,,,,,(;)nN,nN,時(shí)有”“當(dāng)時(shí)有”aaa,,,，,,,，，nn27Ua(;),Ua(;),a所有下標(biāo)大于的項(xiàng)都落在鄰域內(nèi);而在之外，數(shù)列中Na,,,nnUa(;),a的項(xiàng)至多只有個(gè)(有限個(gè)).反之，任給，若在之外數(shù)列中N,,0,,n的項(xiàng)只有有限個(gè)，設(shè)這有限個(gè)項(xiàng)的最大下標(biāo)為，則當(dāng)時(shí)有，NnN,aUa,(;),n即當(dāng)時(shí)有，由此寫出數(shù)列極限的一種等價(jià)定義(鄰域定義):nN,||aa,,,n,Ua(;),a任給，若在之外數(shù)列中的項(xiàng)只有有限個(gè)，則稱數(shù)列定義1,,0,,na收斂于極限.a,,na由此可見:1)若存在某個(gè)，使得數(shù)列中有無窮多個(gè)項(xiàng)落在,,0Ua(;),,,n00a之外，則一定不以為極限;2)數(shù)列是否有極限，只與它從某一項(xiàng)之后的a,,n變化趨勢有關(guān)，而與它前面的有限項(xiàng)無關(guān).所以，在討論數(shù)列極限時(shí)，可以添加、去掉或改變它的有限項(xiàng)的數(shù)值，對收斂性和極限都不會(huì)發(fā)生影響.2nn(1),例1(證明和都是發(fā)散數(shù)列.,,,,zxyxyxy:,,,,,,,例2(設(shè)，作數(shù)列如下:.證limlimxya,,,,nnnnn1122,,,,nn明limza,.n,,naba例3(設(shè)為給定的數(shù)列，為對增加、減少或改變有限項(xiàng)之后得,,,,,,nnnba到的數(shù)列.證明:數(shù)列與同時(shí)收斂或發(fā)散，且在收斂時(shí)兩者的極限相等.,,,,nn三、無窮小數(shù)列在所有收斂數(shù)列中，在一類重要的數(shù)列，稱為無窮小數(shù)列，其定義如下:a定義2若lim0a,，則稱為無窮小數(shù)列.,,nn,,nn，1,,11(1)1,,,,,,,如都是無窮小數(shù)列.,,,,,,,,,,,2nnnn2,,,,,,,,a數(shù)列收斂于的充要條件:a,,naaa,定理2.1數(shù)列收斂于的充要條件是為無窮小數(shù)列.a,,,,nn[作業(yè)]教材P273，4，5，7，8?.?2收斂數(shù)列的性質(zhì)教學(xué)內(nèi)容:第二章數(shù)列極限——?2收斂數(shù)列的性質(zhì).教學(xué)目的:熟悉收斂數(shù)列的性質(zhì);掌握求數(shù)列極限的常用方法.教學(xué)要求:(1)使學(xué)生理解并能證明數(shù)列性質(zhì)、極限的唯一性、局部有界性、保號性、保不等式性;(2)掌握并會(huì)證明收斂數(shù)列的四則運(yùn)算定理、迫斂性定理，并會(huì)用這些定理求某些收斂數(shù)列的極限.教學(xué)重點(diǎn):迫斂性定理及四則運(yùn)算法則及其應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn):數(shù)列極限的計(jì)算.教學(xué)方法:講練結(jié)合.教學(xué)程序:引言28上節(jié)引進(jìn)“數(shù)列極限”的定義，并通過例題說明了驗(yàn)證的方法，limaa,nn,,這是極限較基本的內(nèi)容，要求掌握.為了學(xué)習(xí)極限的技巧及其應(yīng)用極限來解決問題.還需要對數(shù)列的性質(zhì)作進(jìn)一步討論.一、收斂數(shù)列的性質(zhì){a}性質(zhì)1(極限唯一性)若數(shù)列收斂，則它的極限唯一.n{a}a與b,,,0證一:假設(shè)都是數(shù)列的極限，則由極限定義，對，n，,NN,，當(dāng)12a,a,,a,b,,n,Nn,N時(shí)，有;時(shí)，有nn12N,max(N,N)n,N取，則當(dāng)時(shí)有12|a,b|,|(a,b),(a,a)|,|a,a|，|a,b|,2,nnnn,a,b由的任意性，上式僅當(dāng)時(shí)才成立.a,b{a}證二:(反證)假設(shè)極限不唯一，即至少有兩個(gè)不相等的極限值，設(shè)為nb,alima,alima,b,,,0nna,ba,b，且故不妨設(shè)，取,,,,nn2ab，a,a,,，,N,aa,n,N,，,由定義，，當(dāng)時(shí)有n1n12ab，a,b,,，,N,ab,n,N,,,又，當(dāng)時(shí)有n2n22a，ba,,an,max(N,N)因此，當(dāng)時(shí)有矛盾，因此極限值必唯一.nn122{a}{a}，M,0性質(zhì)2(有界性)如果數(shù)列收斂，則必為有界數(shù)列.即，使nn|a|,M,n對有nlima,aa,a,1n,,1，N,0n,N證明:設(shè)取，使得當(dāng)時(shí)有n,,n|a|,|a|,|a,a|,1|a|,|a|，1,即nnn29M,max(1，|a|,|a|,|a|,？,|a|)令12N|a|,M{a},n則有對即數(shù)列有界nnn{(,1)}注:?有界性只是數(shù)列收斂的必要條件，而非充分條件，如,,?在證明時(shí)必須分清何時(shí)用取定，何時(shí)用任給.上面定理3.2證明中,,,,N必須用取定，不能用任給，否則隨在變，找到的也隨在變，界的MM意義就不明確了.lima,alima,bnn性質(zhì)3(保序性)設(shè)，，,,,,nna,ba,bNn,N(1)若，則存在使得當(dāng)時(shí)有nna,bNn,Na,b2)若存在(，當(dāng)時(shí)有，則(不等式性質(zhì))nnaba,b,|aa|,,,0Nn,N,,證明:(1)取，則存在，當(dāng)時(shí)n1122abab,，aa,,,從而n22ababab,,，,bb|bb|n,N,,N,，,又存在，當(dāng)時(shí)nn22222a，b,b,,an,max(N,N)當(dāng)時(shí)nn122a,ba,b，Nn,N(2)(反證)如，則由?知必當(dāng)時(shí)這與已知矛盾nnlima,a,ba,bn，Nn,N推論(保號性)若則，當(dāng)時(shí).特別地，若n,,nlima,a,0aan，Nn,N，則，當(dāng)時(shí)與同號.n,,na,ba,b思考:如把上述定理中的換成，能否把結(jié)論改成nnnnlima,limbnn,,,,,nnlima,alima,an,1,2,？a,0n例:設(shè)()，若，則nn,,n,,na,0證明:由保序性定理可得302,a,,a,,a,0,,,0，Nn,N若，則，，當(dāng)時(shí)有即nn11lima,0,an,,na,0,,,0，Nn,N|a,a|,a,若，則，，當(dāng)時(shí)有22na,aa,a||||nna,a,,,,||,na，aan數(shù)列較為復(fù)雜，如何求極限,{a，b}{a}{a,b}{ab}性質(zhì)4(四則運(yùn)算法則)若、都收斂，則、、nnnnnnnnlim(a,b),lima,limblimab,limalimbnnnnnnnn也都收斂，且，特別地，,,,,,,,,,,,,nnnnnnalimnaan,,nnlimca,climalimb,0{}clim,nnn，為常數(shù)如再有則也收斂，且n,,,,,,nn,,nbbblimnnn,,na1n,a，a,b,a，(,1)b證明:由于，，故只須證關(guān)于和積與倒數(shù)運(yùn)nnnnnbbnn算的結(jié)論即可.lima,alimb,ba,a,,nn,,,0，Nn,N，N設(shè)，，，，當(dāng)時(shí);，n112,,,,nnb,b,,n,N當(dāng)時(shí)n2N,max(N,N)n,N取，則當(dāng)時(shí)上兩式同時(shí)成立.12|ab,ab|,|(a,a)b，a(b,b)|,|a,a||b|，|a||b,b|(1)nnnnnnnn|b|,M，M,0,n由收斂數(shù)列的有界性，，對有n|ab,ab|,(M，|a|),n,N故當(dāng)時(shí)，有nnlimab,ab,nn由的任意性知,,nlimb,b,0n(2),,n31|b|,n,N|b|,k，N,0k,k,0由保號性，及，對有(如可令)00n2N,max(N,N)n,N取，則當(dāng)時(shí)有02|b,b||b,b|,11nn,,,,||bb|bb|k|b|k|b|nn11lim,,由的任意性得n,,bbn用歸納法，可得有限個(gè)序列的四則運(yùn)算:NN()()kk，limx,limx,,nn,,,,nn,1,1kkNN()()kk.limx,limx,,nn,,,,nn,1,1kk,,但將上述換成，一般不成立.事實(shí)上或本身也是一種極限，兩,N,,k,1k,1種極限交換次序是個(gè)非常敏感的話題，是高等分析中心課題，一般都不能交換，在一定條件下才能交換，具體什么條件，到后面我們會(huì)系統(tǒng)研究這個(gè)問題.{a}{c}，N性質(zhì)5(兩邊夾定理或迫斂性)設(shè)有三個(gè)數(shù)列、、，如，nnnn,N當(dāng)時(shí)有l(wèi)imlimlima,c,ba,b,lc,l，且，則nnnnnnn,,n,,n,,limlima,b,l,，N,N,,,0證明:，nn12n,,n,,l,,,a,l，,l,,,b,l，,n,Nn,N當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，nn12N,max(N,N,N)n,N取，則當(dāng)時(shí)以上兩式與已知條件中的不等式同時(shí)0120limn,Nl,,,a,c,b,l，,|c,l|,,c,l,成立，故有時(shí)即0nnnnnn,,該定理不僅提供了一個(gè)判定數(shù)列收斂的方法，而且也給出了一個(gè)求極限的方法.limb,aa,c,bb,c,an，Nn,N推論:若，當(dāng)時(shí)有(或)且，則nnnn,,nlimc,an,,n32nalima,0例:求證(),0n,,n!，,kk,an,k證明:使得，從而當(dāng)時(shí)有nkaaaaaaaa0,,，，？，，，？，,，n!kknkn12，1!kkaaaalimlim,,0由于由推論即可得結(jié)論,n,,n,,nknk!!maaa例:設(shè)，，?，是個(gè)正數(shù)，證明m12nnnlimna，a，？a,max(a,a,？,a)n,,12m12mnnnnnA,max(a,a,？a)證明:設(shè)A,，則a，a，？a,mA12m12mnlim,m,1,1，由迫斂性得結(jié)論.mn,,n例1:lima,1(a,1),,nann在證明中,令，，得，由此推出ha,(1，h)0,,h,a,1,0nnnn.h,0nlimx,a,limylimz,a由此例也看出由和,也推出.x,z,ynnnnnn,,,,,,nnnn例2:證明.limn,1n,,n證明:令,n,1，hnn(n,1)n(n,1)n22n，n,(1，h),1，nh，h，？，h,h(n,3)nnnnn2220,h,nn,1n兩邊夾推出，即.h,0n,1n在求數(shù)列的極限時(shí)，常需要使用極限的四則運(yùn)算法則.下舉幾例;24n，6n，1例3:求極限lim2n,,3n，n，96124，，24n6n14，，nn解.limlim,,291n,,n,,33，，3nn9，，2nnn例4:求極限.lim(1，a，？，a)(0,a,1),,n33n1,a1n解.lim(1，a，？，a),lim,,,,,nn1,a1,a3n，1n，13n，1n，111lim(，),limlim,lim(3，)lim(1，)例5:n,,n,,n,,n,,n,,nnnnnn11,(lim3，lim)(lim1，lim),3，1,3n,,n,,n,,n,,nn1mm,，，？，，ananana110mm,a,0b,0limm,k例6:求，，，mk1kk,n,,，，？，，bnbnbnb110kk,a,m11m,km,k,,k,k,m,kan，an，，an，an？,110mm,b,,lim解:原式,m11,,k,kn,,b，bn，，bn，bn？110kk,,0,m,k,分子分母最高次數(shù)相同，為最高次系數(shù)之比,即:有理式的極限,分子最高次低于分母最高次，則為0,322n，4n,52如lim,3n,,33n,10n,7n111limn(n，1,n),,,,limlim例7:1n,,nn,,,,，112，，，，nn111nnnn例8:設(shè)，證明.a,b,0lima，b,max(a,b),,nnnnnn證明:.nnmax(a,b),max(a,b),a，b,2max(a,b),max(a,b)二數(shù)列的子列1、引言a極限是個(gè)有效的分析工具.但當(dāng)數(shù)列的極限不存在時(shí)，這個(gè)工具隨之失,,na效.這能說明什么呢,難道沒有一點(diǎn)規(guī)律嗎,當(dāng)然不是～出現(xiàn)這種情況原,,n因是我們是從“整個(gè)”數(shù)列的特征角度對數(shù)列進(jìn)行研究.那么，如果“整體無序”，“部分”是否也無序呢,如果“部分”有序，可否從“部分”來推斷整體的性質(zhì)呢,簡而言之，能否從“部分”來把握“整體”呢,這個(gè)“部分?jǐn)?shù)列”就是要講的“子列”.2、子列的定義an定義1設(shè)為數(shù)列，為正整數(shù)集的無限子集，且N,,,,nk，34，則數(shù)列nnnn,,,,,123kaaa,,,,nnn12ka稱為數(shù)列的一個(gè)子列，簡記為.a,,,,nnkaaa注1由定義可見，的子列的各項(xiàng)都來自且保持這些項(xiàng)在a,,,,,,,,nnnnkaa中的的先后次序.簡單地講，從中取出無限多項(xiàng)，按照其在中的順序排,,,,nnaa成一個(gè)數(shù)列，就是的一個(gè)子列(或子列就是從中順次取出無窮多項(xiàng)組成,,,,nn的數(shù)列).a中的表示是中的第項(xiàng)，表示是中的注2子列kaannaa,,,,,,nnnkknnkkkka第k項(xiàng)，即中的第k項(xiàng)就是中的第項(xiàng)，故總有.特別地，若nk,nk,na,,,,nkkknk，則，即.aa,aa,,,,,nnnnkkaaa注3數(shù)列本身以及去掉有限項(xiàng)以后得到的子列，稱為的平凡,,,,,,nnna子列;不是平凡子列的子列，稱為的非平凡子列.,,naa,aa如都是的非平凡子列.由上節(jié)例知:數(shù)列與它的任一平,,,,,,,,221kk,nn凡子列同為收斂或發(fā)散，且在收斂時(shí)有相同的極限.a那么數(shù)列的收斂性與的非平凡子列的收斂性又有何關(guān)系呢,此即下面,,n的結(jié)果:{a}{a}nn定理2.8數(shù)列收斂的充要條件是:的任何非平凡子列都收斂(lima,a,{a}證明:必要性設(shè)是的任一子列(任給，存在正數(shù){a}nn,,0kn,,nN，使得當(dāng)時(shí)有由于故當(dāng)時(shí)有，從而也有a,a,,.n,k,n,Nk,Nk,Nkkk，這就證明了收斂(且與有相同的極限)({a}a,a,,{a}nnknk{a}{a}{a}{a}n2k2k,13k充分性考慮的非平凡子列，與(按假設(shè)，它們都收{(diào)a}{a}{a}6k2k3k斂(由于既是，又是的子列，故由剛才證明的必要性，lima,lima,lima.2k6k3k,,,,,,kkk(9){a}{a}{a}6k,32k,13k又既是又是的子列，同樣可得lima,lima.(10)2k,13k,,,,kk(9)式與(10)式給出lima,lima(2k2k,1k,,k,,35所以由課本例7可知收斂({a}n由定理2(8的證明可見，若數(shù)列的任何非平凡子列都收斂，則所有這些{a}n子列與必收斂于同一個(gè)極限(于是，若數(shù)列有一個(gè)子列發(fā)散，或有兩個(gè){a}{a}nnn子列收斂而極限不相等，則數(shù)列一定發(fā)散(例如數(shù)列其偶數(shù)項(xiàng)組成{a}{(,1)},n2n2k,1n的子列收斂于1，而奇數(shù)項(xiàng)組成的子列收斂于，從而{(,1)}{(,1)}{(,1)},121n,k,k,1發(fā)散(再如數(shù)列，它的奇數(shù)項(xiàng)組成的子列即為，{sin}{sin,}{(,1)}22n,由于這個(gè)子列發(fā)散，故數(shù)列發(fā)散(由此可見，定理2(8是判斷數(shù)列發(fā)散{sin}2的有力工具(?3數(shù)列極限存在的條件教學(xué)內(nèi)容:第二章數(shù)列極限——3數(shù)列極限存在的條件?教學(xué)目的:使學(xué)生掌握判斷數(shù)列極限存在的常用工具.教學(xué)要求:(1)掌握并會(huì)證明單調(diào)有界定理，并會(huì)運(yùn)用它求某些收斂數(shù)列的極限;(2)初步理解Cauchy準(zhǔn)則在極限理論中的主要意義，并逐步會(huì)應(yīng)用Cauchy準(zhǔn)則判斷某些數(shù)列的斂散性.教學(xué)重點(diǎn):單調(diào)有界定理、Cauchy收斂準(zhǔn)則及其應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn):相關(guān)定理的應(yīng)用.教學(xué)方法:講練結(jié)合.教學(xué)程序:引言在研究比較復(fù)雜的極限問題時(shí)，通常分兩步來解決:先判斷該數(shù)列是否有極限(極限的存在性問題);若有極限，再考慮如何計(jì)算些極限(極限值的計(jì)算問a題).這是極限理論的兩基本問題.在實(shí)際應(yīng)用中，解決了數(shù)列極限的存在性,,n問題之后，即使極限值的計(jì)算較為困難，但由于當(dāng)充分大時(shí)，能充分接近其ann極限，故可用作為的近似值.aaan本節(jié)將重點(diǎn)討論極限的存在性問題.為了