湖南省婁底市沙塘中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析

湖南省婁底市沙塘中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.下列說(shuō)法中正確的是（

）A.當(dāng)時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，因?yàn)?>l，所以函數(shù)是增函數(shù)．這種推理是合情推理B.在平面中，對(duì)于三條不同的直線，將此結(jié)論放到空間中也是如此．這種推理是演繹推理C．若分類(lèi)變量X與Y的隨機(jī)變量的觀測(cè)值k越小，則兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系的把握性越小D.參考答案：C2.由無(wú)理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到19世紀(jì)．直到1872年，德國(guó)數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”定義無(wú)理數(shù)（史稱(chēng)戴德金分割），并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，才結(jié)束了無(wú)理數(shù)被認(rèn)為“無(wú)理”的時(shí)代，也結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī)．所謂戴德金分割，是指將有理數(shù)集Q劃分為兩個(gè)非空的子集M與N，且滿(mǎn)足MN=Q，MN=，M中的每一個(gè)元素都小于N中的每一個(gè)元素，則稱(chēng)（M，N）為戴德金分割試判斷，對(duì)于任一戴德金分割（M，N）,下列選項(xiàng)中，不可能成立的是（

）

A．M沒(méi)有最大元素，N有一個(gè)最小元素

B．M沒(méi)有最大元素，N也沒(méi)有最小元素

C．M有一個(gè)最大元素，N有一個(gè)最小元素

D．M有一個(gè)最大元素，N沒(méi)有最小元素參考答案：C3.函數(shù)，則的圖象大致是(

)A．

B．C．

D．參考答案：C4.已知定點(diǎn)A（3，4），點(diǎn)P為拋物線y2=4x上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P到直線x=－1的距離為d，則|PA|+d的最小值為（

）A．

B．2

C．

D．參考答案：A5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的y=（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】按程序框圖指引的順序依次執(zhí)行，寫(xiě)出各步的執(zhí)行結(jié)果即可得到答案.【詳解】輸入，，不成立，；，成立，跳出循環(huán)，輸出.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖的輸出結(jié)果.當(dāng)程序執(zhí)行到判斷框時(shí)要注意判斷循環(huán)條件是否成立，是繼續(xù)下一次循環(huán)，還是跳出循環(huán).6.經(jīng)統(tǒng)計(jì),某地的財(cái)政收入與支出滿(mǎn)足的線性回歸模型是(單位:億元),其中為隨機(jī)誤差,如果今年該地區(qū)財(cái)政收入10億元,則年支出預(yù)計(jì)不超出(

)A.10億

B.11億

C.11.5億

D.12億參考答案：D7.已知R是實(shí)數(shù)集，集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，，則A∩（?RB）=（）A．（1，6） B．[﹣1，2] C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】1H：交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)求出集合A，B的等價(jià)條件，結(jié)合集合的基本運(yùn)算進(jìn)行求解即可．【解答】解：A={x|x2﹣x﹣2≤0}={x|﹣1≤x≤2}，={x|x＞6或x≤}，則?RB={x|＜x≤6}，則A∩（?RB）={x|＜x≤2}，故選：D8.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（1，﹣1） B．（﹣1，1） C． D．參考答案：A考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．專(zhuān)題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．分析：直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案．解答：解：∵=，∴復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，﹣1），故選：A．點(diǎn)評(píng)：本題考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．9.已知變量x，y滿(mǎn)足約束條件，則的最大值為（

）

A．64

B．32

C．2

D．參考答案：B略10.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)M(16,4)，則此對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式為()A．y＝log4x

B．y＝logxC．y＝logx

D．y＝log2x參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)，則不等式的解集為

．參考答案：12.計(jì)算的結(jié)果為

．參考答案：2略13.在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸且單位長(zhǎng)度相同建立極坐標(biāo)系，若直線(t為參數(shù))被曲線截得的弦長(zhǎng)為，則a的值為

.參考答案：－1或－5

14.若兩直線x-2y+5=0與2x+my-5=0互相平行，則實(shí)數(shù)m=

．參考答案：-415.已知圓C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=1，點(diǎn)P為直線x+2y﹣9=0上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P向圓C引兩條切線PA，PB，其中A，B為切點(diǎn)，則的取值范圍為．參考答案：（0，]【考點(diǎn)】J9：直線與圓的位置關(guān)系．【分析】設(shè)∠APC=2θ，用θ表示出，求出θ的范圍即可得出的范圍．【解答】解：設(shè)∠APB=2θ，則PA=PB=，當(dāng)OP取得最小值時(shí)，θ取得最大值．圓心C（2，1）到直線x+2y﹣9=0的距離為=，圓的半徑為r=1，∴sinθ的最大值為=，∴≤cosθ＜1．∵≤2cos2θ﹣1＜1，即≤cos2θ＜1．=cos2θ=?cos2θ．設(shè)cos2θ=t，f（t）==，則f′（t）=，令f′（t）=0得t=﹣1+或t=﹣1﹣，∴f（t）在[，1）上單調(diào)遞增，∴f（t）的最大值為f（）=，又f（1）=0，∴0＜f（t）≤．故答案為（0，]．16.

的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)________。參考答案：答案:17.在△ABC中，∠A=60°，，則△ABC面積的范圍是

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（12分）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1=－7，S3=－15．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）求Sn，并求Sn的最小值．參考答案：解：（1）設(shè){an}的公差為d，由題意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．所以{an}的通項(xiàng)公式為an=2n–9．（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．所以當(dāng)n=4時(shí)，Sn取得最小值，最小值為–16．

19.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，，，D為AA1的中點(diǎn)， 點(diǎn)C在平面ABB1A1內(nèi)的射影在線段BD上.(1)求證：B1D⊥CBD；(2)若△CBD是正三角形，求三棱柱ABC-A1B1C1的體積.參考答案：(1)證明：設(shè)點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為，則，，且，因，所以.………2分在中，，，則，在中，，，則，故，故.……………4分因，故.……5分(2)法一、，……………6分由(1)得，故是三棱錐的高，………7分是正三角形，，，………8分，………9分，………11分故三棱柱的體積，故三棱柱的體積為.…12分

法二、將三棱柱補(bǔ)成四棱柱如圖，因且高一樣，故，故，………8分由(1)得，故是四棱柱的高，………………9分故，…11分故，故三棱柱的體積為.…………12分法三、在三棱錐中，由(1)得，是三棱錐的高，6分記到平面的距離為，由得，即，…………9分為的中點(diǎn)，故到平面的距離為，…10分.故三棱柱的體積為.…12分20.已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足：a1=2，an+1+1=a1a2a3…an．（Ⅰ）求a2的值；（Ⅱ）（?。┳C明：當(dāng)n≥2時(shí)，an2=an+1﹣an+1；（ⅱ）若正整數(shù)m滿(mǎn)足a1a2a3…am+2015=a12+a22+a32+…+am2，求m的值．參考答案：考點(diǎn)：數(shù)列遞推式．專(zhuān)題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法．分析：（Ⅰ）通過(guò)an+1+1=a1a2a3…an，令n=1即得結(jié)論；（Ⅱ）（?。┩ㄟ^(guò)an+1+1=a1a2a3…an及an+1=a1a2a3…an﹣1可得，進(jìn)而可得結(jié)論；（ⅱ）通過(guò)a1a2a3…am=1+am+1，可得，利用=am+1+m+2，計(jì)算即可結(jié)論．解答： （Ⅰ）解：∵an+1+1=a1a2a3…an，∴a2+1=a1，∴a2=a1﹣1=1；（Ⅱ）（ⅰ）證明：∵an+1+1=a1a2a3…an，①∴an+1=a1a2a3…an﹣1，（n≥2）．

②由①÷②得，∴an+1+1=（an+1）an，即當(dāng)n≥2時(shí)；（ⅱ）解：由a1a2a3…am=1+am+1，∵，，，…，∴=am+1+m+2，則（1+am+1）+2015=am+1+m+2，∴m=2014．點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的基本性質(zhì)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．21.已知，g（x）=2lnx+bx，且直線y=2x﹣2與曲線y=g（x）相切．（1）若對(duì)[1，+∞）內(nèi)的一切實(shí)數(shù)x，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）當(dāng)a=1時(shí)，求最大的正整數(shù)k，使得對(duì)[e，3]（e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）內(nèi)的任意k個(gè)實(shí)數(shù)x1，x2，…，xk都有f（x1）+f（x2）+…+f（xk﹣1）≤16g（xk）成立；（3）求證：．參考答案：考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用；函數(shù)恒成立問(wèn)題．.專(zhuān)題：壓軸題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：（1）首先設(shè)出直線y=2x﹣2與曲線y=g（x）的切點(diǎn)，把切點(diǎn)代入兩曲線方程后聯(lián)立可求得b的值，解出g（x）后把f（x）和g（x）的解析式代入f（x）≥g（x），分離變量a后對(duì)函數(shù)進(jìn)行兩次求導(dǎo)得到函數(shù)在區(qū)間[1，+∞）內(nèi)的最小值，則實(shí)數(shù)a的范圍可求；（2）當(dāng)a=1時(shí)可證得函數(shù)f（x）在[e，3]上為增函數(shù)，而g（x）也是增函數(shù)，把不等式左邊放大取最大值，右邊取最小值，代入后即可求解最大的正整數(shù)k；（3）該命題是與自然數(shù)有關(guān)的不等式，采用數(shù)學(xué)歸納法證明，由歸納假設(shè)證明n=k+1成立時(shí)，穿插運(yùn)用分析法．解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)（x0，y0）為直線y=2x﹣2與曲線y=g（x）的切點(diǎn)，則有2lnx0+bx0=2x0﹣2①∵，∴②由②得，2x0﹣2=bx0，代入①得x0=1，所以b=0，則g（x）=2lnx．由f（x）≥g（x），即，整理得，∵x≥1，∴要使不等式f（x）≥g（x）恒成立，必須a≤x2﹣2xlnx恒成立．設(shè)h（x）=x2﹣2xlnx，，∵，∴當(dāng)x≥1時(shí)，h''（x）≥0，則h'（x）是增函數(shù)，∴h'（x）≥h'（1）=0，∴h（x）是增函數(shù)，則h（x）≥h（1）=1，∴a≤1．又a＞0，因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍是0＜a≤1．（2）當(dāng)a=1時(shí)，，∵，∴f（x）在[e，3]上是增函數(shù)，f（x）在[e，3]上的最大值為．要對(duì)[e，3]內(nèi)的任意k個(gè)實(shí)數(shù)x1，x2，…，xk，都有f（x1）+f（x2）+…+f（xk﹣1）≤16g（xk）成立，必須使得不等式左邊的最大值小于或等于右邊的最小值，∵當(dāng)x1=x2=…=xk﹣1=3時(shí)不等式左邊取得最大值，xk=e時(shí)不等式右邊取得最小值．∴（k﹣1）f（3）≤16g（3），即，解得k≤13．因此，k的最大值為13．

（3）證明：1°當(dāng)n=1時(shí)，左邊=，右邊=ln3，根據(jù)（1）的推導(dǎo)有，x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）＞g（x），即．令x=3，得，即．因此，n=1時(shí)不等式成立．

2°假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)不等式成立，即，則當(dāng)n=k+1時(shí)，，要證n=k+1時(shí)命題成立，即證，即證．在不等式中，令，得．∴n=k+1時(shí)命題也成立．

綜上所述，不等式對(duì)一切n∈N*成立．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則、導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用、不等式的求解與證明、數(shù)學(xué)歸納法等綜合知識(shí)，考查學(xué)生的計(jì)算推理能力及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力及創(chuàng)新意識(shí)，屬難題．22.(13分)已知數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列滿(mǎn)足

．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)；（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)；（Ⅲ）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．參考答案：解析：（Ⅰ）∵,∴．---------------------------------------------------------2分

∴．

------------------------------------3分

當(dāng)時(shí)，