新高考藝術(shù)生40天突破數(shù)學(xué)90分講義第34講圓的方程(原卷版+解析)

第34講圓的方程【知識點總結(jié)】一、基本概念 平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合（軌跡）叫圓.二、基本性質(zhì)、定理與公式 1.圓的四種方程 （1）圓的標準方程：，圓心坐標為(a,b)，半徑為（2）圓的一般方程：，圓心坐標為，半徑（3）圓的直徑式方程：若，則以線段AB為直徑的圓的方程是（4）圓的參數(shù)方程：①的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；②的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.注對于圓的最值問題，往往可以利用圓的參數(shù)方程將動點的坐標設(shè)為（為參數(shù)，(a,b)為圓心，r為半徑），以減少變量的個數(shù)，建立三角函數(shù)式，從而把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題，然后利用正弦型或余弦型函數(shù)的有界性求解最值.2.點與圓的位置關(guān)系判斷（1）點與圓的位置關(guān)系：①點P在圓外；②點P在圓上；③點P在圓內(nèi).（2）點與圓的位置關(guān)系：①點P在圓外；②點P在圓上；點P在圓內(nèi).三、直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系有3種，相離，相切和相交直線與圓的位置關(guān)系判斷1.幾何法（圓心到直線的距離和半徑關(guān)系）圓心到直線的距離，則：則直線與圓相交，交于兩點，；直線與圓相切；直線與圓相離2.代數(shù)方法（幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題即交點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程根個數(shù)）由，消元得到一元二次方程，判別式為，則：則直線與圓相交；直線與圓相切；直線與圓相離.五、兩圓位置關(guān)系的判斷用兩圓的圓心距與兩圓半徑的和差大小關(guān)系確定，具體是：設(shè)兩圓的半徑分別是，（不妨設(shè)），且兩圓的圓心距為，則：則兩圓相交；兩圓外切；兩圓相離兩圓內(nèi)切；兩圓內(nèi)含（時兩圓為同心圓）【典型例題】例1．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知圓C的圓心在直線上，且與直線相切于點，則圓C方程為（）A． B．C． D．例2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）點在圓上，點在圓上，則（）A．的最小值為B．兩圓公切線有兩條C．兩個圓心所在的直線斜率為D．兩個圓相交弦所在直線的方程為例3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）求圓心在直線上，且過兩圓，交點的圓的方程．例4．（2021·湖南·攸縣第三中學(xué)高三階段練習(xí)）已知圓的方程：.（1）求的取值范圍；（2）當圓過A(1，1)時，求直線被圓所截得的弦的長.例5．（2020·江蘇·高三專題練習(xí)）的三個頂點的坐標是求它的外接圓的方程．例6．（2020·全國·高三專題練習(xí)）已知圓C：（x+2）2+y2＝5，直線l：mx﹣y+1+2m＝0，m∈R.（1）判斷直線與圓的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若直線與圓交于兩點，求弦AB的中點M的軌跡方程.例7．（2021·全國·高三專題練習(xí)（理））已知點，點在圓上運動.（1）求過點且被圓截得的弦長為的直線方程；（2）求的最值.例8．（2021·遼寧·沈陽二中高三階段練習(xí)）已知圓C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圓C2：x2＋y2＋6y－28＝0.（1）求兩圓公共弦所在直線的方程；（2）求經(jīng)過兩圓交點且圓心在直線x－y－4＝0上的圓的方程.例9．（2021·全國·高三專題練習(xí)）求與圓切于點，且過點的圓的方程.例10．（2021·全國·高三專題練習(xí)（理））已知點，動點滿足.（1）求點的軌跡的方程；（2）求經(jīng)過點以及曲線與交點的圓的方程.【技能提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））己知圓C經(jīng)過A（5，2），B（－1，4）兩點，圓心在x軸上，則圓C的方程是（）A．（x－2）2+y2=13 B．（x+2）2+y2=17C．（x+1）2+y2=40 D．（x－1）2+y2=202．（2021·新疆昌吉·高三階段練習(xí)（理））圓關(guān)于直線對稱的圓的方程為（）A． B．C． D．3．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））若圓的半徑為，圓心在第一象限，且與直線和軸都相切，則該圓的標準方程是（）A． B．C． D．4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）過點，，且圓心在直線上的圓的方程是（）A． B．C． D．5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）以點為圓心，且與直線相切的圓的方程為（）A． B．C． D．6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）圓與圓的位置關(guān)系為（）A．內(nèi)含 B．外離 C．相交 D．相切7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若直線與圓相切，則的值為（）A． B． C． D．8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）直線與軸，軸分別交于點，，以線段為直徑的圓的方程為（）A． B．C． D．9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）與圓的公切線有（）A．1條 B．2條C．3條 D．4條10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）圓的圓心到直線的距離為1，則A． B． C． D．211．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若方程表示圓，則實數(shù)m的取值范圍為（）A． B． C． D．12．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）若點在圓的外部，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標系中，四點坐標分別為，若它們都在同一個圓周上，則a的值為（）A．0 B．1 C．2 D．14．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））圓心在軸上，且過點的圓與軸相切，則該圓的方程是（）A． B．C． D．15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線，若圓上存在兩點，關(guān)于直線對稱，則的值為（）A． B．C． D．16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）直線與圓的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相交 C．相切 D．不確定17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若過點有兩條直線與圓相切，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．18．（2021·全國·高三階段練習(xí)（文））已知點在圓上運動，點在直線上運動，則的最小值為（）A． B． C． D．19．（2021·全國·高三專題練習(xí)（理））已知圓上的點到直線的距離的最大值是，最小值是，則（）A． B． C． D．20．（2022·上海·高三專題練習(xí)）為任意實數(shù)時，直線被圓截得的弦長是A．8 B．4 C．2 D．與有關(guān)的值21．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知點A的坐標是（-1，0），點M滿足|MA|=2，那么M點的軌跡方程是（）A．x2+y2+2x-3=0 B．x2+y2-2x-3=0 C．x2+y2+2y-3=0 D．x2+y2-2y-3=022．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知點，點，動點滿足（為坐標原點），過點的直線被動點的軌跡曲線截得的所有弦中最短弦所在的直線方程為（）A． B．C． D．23．（2022·全國·高三專題練習(xí)）圓到直線的距離為的點有（）A．個 B．個C．個 D．個24．（2022·全國·高三專題練習(xí)）直線：與圓：的位置關(guān)系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定25．（2022·全國·高三專題練習(xí)）過點的直線l與圓相切，則直線l的方程是（）A．或 B．C．或 D．26．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知圓與直線切于點，則直線的方程為（）A． B．C． D．27．（2022·全國·高三專題練習(xí)）過點作圓的兩條切線，切點分別為，，則A． B． C． D．28．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，直線，為上一個動點，過點作的切線，切點為，則的最小值為（）A．1 B． C．2 D．29．（2021·江西·高三階段練習(xí)（文））已知圓О的方程為，過圓О外一點作圓O的兩條切線PA，PB，切點分別為A，B，則直線AB的方程為（）A． B．C． D．30．（2022·全國·高三專題練習(xí)）過點作直線與圓相切于、兩點，則直線的方程為（）A． B． C． D．31．（2021·江蘇常州·一模）過圓：外一點作圓的切線，切點分別為、，則（）A．2 B． C． D．332．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線與圓相切，則m的值為（）A．3或 B．1或C．0或4 D．或033．（2022·河北張家口·高三期末）直線與圓交于、兩點，則（）A． B． C． D．34．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若點為圓的弦的中點，則弦所在直線的方程為（）A． B． C． D．35．（2019·天津·耀華中學(xué)高三階段練習(xí)）已知圓：和直線：；若直線與圓相交于，兩點，的面積為2，則值為（）A．-1或3 B．1或5 C．-1或-5 D．2或636．（2022·全國·高三專題練習(xí)）圓C1：(x-2)2+(y-4)2＝9與圓C2：(x-5)2+y2＝16的公切線條數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．437．（2021·全國·高二課時練習(xí)）圓心在直線x﹣y﹣4＝0上，且經(jīng)過兩圓x2+y2﹣4x﹣3＝0，x2+y2﹣4y﹣3＝0的交點的圓的方程為（）A．x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0 B．x2+y2+6x+2y﹣3＝0C．x2+y2﹣6x﹣2y﹣3＝0 D．x2+y2+6x﹣2y﹣3＝038．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若圓與圓外切，則（）A． B． C． D．39．（2022·全國·高三專題練習(xí)）圓與圓公共弦所在直線的方程為（）A． B． C． D．40．（2022·全國·高三專題練習(xí)）圓：與圓：交于、兩點，則（）A．6 B．5 C． D．41．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知圓上到直線的距離等于1的點恰有3個，則實數(shù)的值為A．或 B． C． D．或42．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知圓上有且只有兩個點到直線的距離等于，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．43．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若圓：上有四個不同的點到直線：的距離為2，則的取值不可能是（）A．-15 B．13 C．15 D．044．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））若圓上有且僅有兩個點到直線的距離等于2，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B．C． D．二、多選題45．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知圓的一般方程為，則下列說法正確的是（）A．圓的圓心為 B．圓的半徑為5C．圓被軸截得的弦長為6 D．圓被軸截得的弦長為646．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，M為圓上的動點，則線段的長可能為（）A．3 B．5 C．7 D．947．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若P是圓上任一點，則點P到直線的距離可以為（）A．2 B．4 C．6 D．848．（2022·全國·高三專題練習(xí)）圓與圓有且僅有兩條公切線，實數(shù)的值可以?。ǎ〢． B． C． D．49．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知圓，圓，則下列是圓與圓的公切線的直線方程為（）A． B．C． D．三、雙空題50．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知方程為，則圓心坐標為________，圓半徑為__________．四、填空題51．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知圓心在第一象限的圓經(jīng)過點，圓心在直線上，且半徑為5，則此圓的標準方程為___________．52．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知圓C和直線相切于點，且經(jīng)過點，則圓C的方程為___________.53．（2022·全國·高三專題練習(xí)）圓關(guān)于點中心對稱的圓的方程為___________.54．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知三個點，，，則的外接圓的圓心坐標是___________.55．（2022·上海·高三專題練習(xí)）若圓關(guān)于直線對稱，則該圓的半徑為__________56．（2022·全國·高三專題練習(xí)）兩圓x2＋y2－6x＋6y－48＝0與x2＋y2＋4x－8y－44＝0公切線的條數(shù)是________．57．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線l：kx﹣y﹣2k+2＝0與圓C：x2+y2﹣2x﹣6y+6＝0相交于A，B兩點，則|AB|的最小值為______________．58．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知圓上一定點，為圓上的動點，則線段中點的軌跡方程為______________．59．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知圓，則直線和圓的位置關(guān)系為___________.60．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知圓O：則，過點作圓的切線，則切線的方程為___________.61．（2021·江蘇省如皋中學(xué)高三開學(xué)考試）已知點Q是直線：上的動點，過點Q作圓：的切線，切點分別為A，B，則切點弦AB所在直線恒過定點___________.62．（2022·上海·高三專題練習(xí)）若斜率為的直線與軸交于點，與圓相切于點，則____________．63．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線x－y＋8＝0和圓x2＋y2＝25相交于A，B兩點，則|AB|＝__________.64．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若圓被直線所截得的弦長為，則實數(shù)的值是______．65．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知直線與圓相交于A?B兩點，且，則直線l的傾斜角為___________.66．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知過點且斜率為k的直線l，與圓C：交于M，N兩點，若弦的長是2，則k的值是________．67．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知圓截直線所得弦長是，則的值為______．68．（2021·河北秦皇島·二模）已知直線與圓相交于A，B兩點，則面積為___________.五、解答題69．（2021·山東·鄒平市第一中學(xué)模擬預(yù)測）已知直線經(jīng)過兩條直線和的交點，且與直線垂直．（1）求直線的一般式方程；（2）若圓的圓心為點，直線被該圓所截得的弦長為，求圓的標準方程．70．（2020·西藏·林芝市第二高級中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知圓心為C（4，3）的圓經(jīng)過原點O．（1）求圓C的方程；（2）設(shè)直線3x﹣4y+15＝0與圓C交于A，B兩點，求△ABC的面積．71．（2021·山西·天鎮(zhèn)縣實驗中學(xué)高二期中）已知圓和圓.（1）試判斷兩圓的位置關(guān)系；（2）求公共弦所在直線的方程；（3）求公共弦的長度.第34講圓的方程【知識點總結(jié)】一、基本概念 平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合（軌跡）叫圓.二、基本性質(zhì)、定理與公式 1.圓的四種方程 （1）圓的標準方程：，圓心坐標為(a,b)，半徑為（2）圓的一般方程：，圓心坐標為，半徑（3）圓的直徑式方程：若，則以線段AB為直徑的圓的方程是（4）圓的參數(shù)方程：①的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；②的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.注對于圓的最值問題，往往可以利用圓的參數(shù)方程將動點的坐標設(shè)為（為參數(shù)，(a,b)為圓心，r為半徑），以減少變量的個數(shù)，建立三角函數(shù)式，從而把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題，然后利用正弦型或余弦型函數(shù)的有界性求解最值.2.點與圓的位置關(guān)系判斷（1）點與圓的位置關(guān)系：①點P在圓外；②點P在圓上；③點P在圓內(nèi).（2）點與圓的位置關(guān)系：①點P在圓外；②點P在圓上；點P在圓內(nèi).三、直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系有3種，相離，相切和相交直線與圓的位置關(guān)系判斷1.幾何法（圓心到直線的距離和半徑關(guān)系）圓心到直線的距離，則：則直線與圓相交，交于兩點，；直線與圓相切；直線與圓相離2.代數(shù)方法（幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題即交點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程根個數(shù)）由，消元得到一元二次方程，判別式為，則：則直線與圓相交；直線與圓相切；直線與圓相離.五、兩圓位置關(guān)系的判斷用兩圓的圓心距與兩圓半徑的和差大小關(guān)系確定，具體是：設(shè)兩圓的半徑分別是，（不妨設(shè)），且兩圓的圓心距為，則：則兩圓相交；兩圓外切；兩圓相離兩圓內(nèi)切；兩圓內(nèi)含（時兩圓為同心圓）【典型例題】例1．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知圓C的圓心在直線上，且與直線相切于點，則圓C方程為（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】設(shè)圓心為，則圓心與點的連線與直線l垂直，即，則點，所以圓心為，半徑，所以方程為，故選：C例2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）點在圓上，點在圓上，則（）A．的最小值為B．兩圓公切線有兩條C．兩個圓心所在的直線斜率為D．兩個圓相交弦所在直線的方程為【答案】AC【詳解】由圓的方程知：圓的圓心，半徑；圓的圓心，半徑；，兩圓外切；對于A，若重合，為兩圓的切點，則，A正確；對于B，兩圓外切，則公切線有條，B錯誤；對于C，，C正確；對于D，兩圓相外切，兩個圓不存在相交弦，D錯誤.故選：AC.例3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）求圓心在直線上，且過兩圓，交點的圓的方程．【詳解】依題意可得，圓心在圓和圓公共弦的垂直平分線上．聯(lián)立，解得，則兩圓交點為，則其公共弦的垂直平分線為，即所以圓心是直線與直線的交點，聯(lián)立，解得．則圓半徑所以圓方程為例4．（2021·湖南·攸縣第三中學(xué)高三階段練習(xí)）已知圓的方程：.（1）求的取值范圍；（2）當圓過A(1，1)時，求直線被圓所截得的弦的長.【詳解】解：（1）圓的方程可化為令得（2）∵圓過A(1，1)代入得，圓方程為圓心(1，2)，半徑,圓心(1，2)到直線的距離為∴.例5．（2020·江蘇·高三專題練習(xí)）的三個頂點的坐標是求它的外接圓的方程．【詳解】設(shè)所求圓的方程為：，則圓經(jīng)過三點，解之得.所以所求圓的方程為：.例6．（2020·全國·高三專題練習(xí)）已知圓C：（x+2）2+y2＝5，直線l：mx﹣y+1+2m＝0，m∈R.（1）判斷直線與圓的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若直線與圓交于兩點，求弦AB的中點M的軌跡方程.【詳解】（1）直線：，也即，故直線恒過定點，又，故點在圓內(nèi)，此時直線一定與圓相交.（2）設(shè)點，當直線斜率存在時，，又，，即，化簡可得：；當直線斜率不存在時，顯然中點的坐標為也滿足上述方程.故點的軌跡方程為：.例7．（2021·全國·高三專題練習(xí)（理））已知點，點在圓上運動.（1）求過點且被圓截得的弦長為的直線方程；（2）求的最值.【詳解】(1)依題意,直線的斜率存在,因為過點且被圓截得的弦長為,所以圓心到直線的距離為,設(shè)直線方程為,即,所以,解得或所以直線方程為或.(2)設(shè)點坐標為則.因為,所以,即的最大值為88,最小值為72.例8．（2021·遼寧·沈陽二中高三階段練習(xí)）已知圓C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圓C2：x2＋y2＋6y－28＝0.（1）求兩圓公共弦所在直線的方程；（2）求經(jīng)過兩圓交點且圓心在直線x－y－4＝0上的圓的方程.【詳解】解：（1）設(shè)兩圓交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點坐標是方程組的解，兩式相減得x－y＋4＝0，A，B兩點坐標都滿足此方程，x－y＋4＝0即為兩圓公共弦所在直線的方程；(2)解方程組得兩圓的交點A(－1，3)，B(－6，－2)，設(shè)所求圓的圓心為(a，b)，因為圓心在直線x－y－4＝0上，所以b＝a－4，則＝，解得a＝，所以圓心為，半徑為，所以圓的方程為＋＝，即x2＋y2－x＋7y－32＝0.例9．（2021·全國·高三專題練習(xí)）求與圓切于點，且過點的圓的方程.【詳解】設(shè)與圓切于點的圓系方程為：.以點代入，求得.，化簡即得所求圓的方程為.例10．（2021·全國·高三專題練習(xí)（理））已知點，動點滿足.（1）求點的軌跡的方程；（2）求經(jīng)過點以及曲線與交點的圓的方程.【詳解】(1)設(shè),因為,,所以,整理得,所以曲線的方程為.(2)設(shè)所求方程為,即,將代入上式得,解得,所以所求圓的方程為.【技能提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））己知圓C經(jīng)過A（5，2），B（－1，4）兩點，圓心在x軸上，則圓C的方程是（）A．（x－2）2+y2=13 B．（x+2）2+y2=17C．（x+1）2+y2=40 D．（x－1）2+y2=20【答案】D【分析】設(shè)圓心坐標為，由圓心到距離相等求得，然后再求出半徑后可得．【詳解】由題意，設(shè)圓心坐標為，則，解得，圓半徑為．所以圓方程為．故選：D．2．（2021·新疆昌吉·高三階段練習(xí)（理））圓關(guān)于直線對稱的圓的方程為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】圓關(guān)于直線的對稱圓問題，第一步求圓心關(guān)于直線的對稱點，半徑不變，第二步直接寫出圓的方程.【詳解】圓的圓心半徑為，由得設(shè)對稱點的坐標為，利用兩圓心的連線與直線垂直，兩圓心的中點在直線上列方程求解，，化簡得，解得所以對稱圓的方程為.故選:C.3．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））若圓的半徑為，圓心在第一象限，且與直線和軸都相切，則該圓的標準方程是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意可設(shè)圓心坐標為，其中，利用圓心到直線的距離等于圓的半徑可求得正數(shù)的值，由此可得出圓的方程.【詳解】由題意可設(shè)圓心坐標為，其中，因為圓與直線相切，則，因為，解得，因此，圓的方程為.故選：A.4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）過點，，且圓心在直線上的圓的方程是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求得線段AB的中垂線的方程，再根據(jù)圓心又在直線上求得圓心，圓心到點A的距離為半徑，可得圓的方程．【詳解】因為過點與，所以線段AB的中點坐標為，，所以線段AB的中垂線的斜率為，所以線段AB的中垂線的方程為，又因為圓心在直線上，所以，解得，所以圓心為，所以圓的方程為.故選：A5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）以點為圓心，且與直線相切的圓的方程為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由圓心到切線距離等于半徑求得圓半徑后可得圓方程．【詳解】因直線與圓相切，所以圓的半徑等于點到直線的距離，即，則所求圓的方程為.故選：D．6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）圓與圓的位置關(guān)系為（）A．內(nèi)含 B．外離 C．相交 D．相切【答案】D【分析】根據(jù)兩個圓的圓心距與兩個半徑的關(guān)系，即可判斷兩個圓的位置關(guān)系．【詳解】因為圓與圓所以兩個圓的圓心距兩個圓的半徑分別為因為，所以兩個圓相切.故選：D7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若直線與圓相切，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)點到直線的距離公式，求出圓心到直線的距離，令其等于半徑即可求出的值【詳解】圓心坐標為，半徑為，圓心到直線的距離，因為，所以，所以故選：A8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）直線與軸，軸分別交于點，，以線段為直徑的圓的方程為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由已知得，的坐標，進而得圓心坐標和半徑，寫出圓的標準方程，然后化為一般方程即可.【詳解】由直線截距式方程知：，，所以中點坐標為，且，所以以為直徑的圓的圓心為，半徑為，所以以線段為直徑的圓的方程為，化為一般方程為.故選：A.9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）與圓的公切線有（）A．1條 B．2條C．3條 D．4條【答案】D【分析】判斷出兩圓的位置關(guān)系即可得到答案.【詳解】由題意，兩圓的標準式分別為，，則圓心和半徑分別為，，所以,，則，故兩圓相離，一共有4條公切線.故選：D.10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）圓的圓心到直線的距離為1，則A． B． C． D．2【答案】A【詳解】試題分析：由配方得，所以圓心為，因為圓的圓心到直線的距離為1，所以，解得，故選A.【考點】圓的方程，點到直線的距離公式【名師點睛】直線與圓的位置關(guān)系有三種情況：相交、相切和相離.已知直線與圓的位置關(guān)系時，常用幾何法將位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離d與半徑r的大小關(guān)系，以此來確定參數(shù)的值或取值范圍．11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若方程表示圓，則實數(shù)m的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，解不等式即可求解.【詳解】由方程表示圓，則，解得.所以實數(shù)m的取值范圍為.故選：D12．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）若點在圓的外部，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由于點在圓的外部，所以，從而可求出的取值范圍【詳解】解：由題意得，解得，故選：C．13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標系中，四點坐標分別為，若它們都在同一個圓周上，則a的值為（）A．0 B．1 C．2 D．【答案】C【分析】設(shè)出圓的一般式，根據(jù)求出，然后將點帶入圓的方程即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)圓的方程為，由題意得，解得，所以，又因為點在圓上，所以，即.故選：C.14．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））圓心在軸上，且過點的圓與軸相切，則該圓的方程是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意設(shè)圓心坐標，建立方程，求解即可.【詳解】解：設(shè)圓心坐標為，因為圓心在軸上且圓與軸相切，所以即為半徑,則根據(jù)題意得：，解得，所以圓心坐標為：，半徑為5，該圓的方程是,展開得：.故選：C.15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線，若圓上存在兩點，關(guān)于直線對稱，則的值為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓上存在兩點，關(guān)于直線對稱，可得直線過圓心，將圓心坐標代入直線方程即可得出答案.【詳解】解：因為圓，所以圓C的圓心坐標為，又因為圓上存在兩點，關(guān)于直線對稱，所以直線過圓心，則，解得.故選：D.16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）直線與圓的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相交 C．相切 D．不確定【答案】B【分析】求出直線恒過的定點，判斷定點與圓的位置關(guān)系即可求解.【詳解】解：直線，即，由得，所以直線恒過定點，因為，所以定點在圓內(nèi)，所以直線與圓相交，故選：B.17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若過點有兩條直線與圓相切，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【答案】D【分析】由于有兩條直線與圓相切，所以可知點在圓外；由點與圓的位置關(guān)系及圓的判斷條件，可得m的取值范圍．【詳解】圓的方程化為標準式為因為點有兩條直線與圓相切所以點在圓外所以解不等式組得所以選D【點睛】本題考查了點與圓的位置關(guān)系及其簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．18．（2021·全國·高三階段練習(xí)（文））已知點在圓上運動，點在直線上運動，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】將的最小值問題，轉(zhuǎn)化為圓心到直線距離的最小值減去圓的半徑，利用點到直線的距離公式即可求得結(jié)果.【詳解】點在圓上，點在直線上，故的最小值可以轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離減去半徑，又圓的圓心為，半徑為，則.故選：.19．（2021·全國·高三專題練習(xí)（理））已知圓上的點到直線的距離的最大值是，最小值是，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求得圓心到直線的距離d，再由圓上的點到該直線的距離的最大值為，最小值為求解.【詳解】圓即圓，圓心到直線的距離，圓上的點到該直線的距離的最大值，最小值，，故選：．20．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）為任意實數(shù)時，直線被圓截得的弦長是A．8 B．4 C．2 D．與有關(guān)的值【答案】B【分析】先根據(jù)圓的方程求得圓心坐標和半徑，根據(jù)直線方程可知，圓心在直線上，推斷出直線被圓截得的弦長正好為圓的直徑，答案可得．【詳解】解：根據(jù)圓的方程可知圓心為（1，1），半徑為2，直線方程，所以直線過定點，即直線過圓的圓心，所以直線被圓截得的弦長正好為圓的直徑4故選：B．【點睛】本題主要考查了圓的標準方程，直線和圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是推斷直線過定點，屬于基礎(chǔ)題.21．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知點A的坐標是（-1，0），點M滿足|MA|=2，那么M點的軌跡方程是（）A．x2+y2+2x-3=0 B．x2+y2-2x-3=0 C．x2+y2+2y-3=0 D．x2+y2-2y-3=0【答案】A【分析】設(shè)出點的坐標，利用已知條件列出方程化簡求解即可．【詳解】解：設(shè)，點的坐標是，點滿足，可得：，即：，所以M點的軌跡方程是.故選：A．22．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知點，點，動點滿足（為坐標原點），過點的直線被動點的軌跡曲線截得的所有弦中最短弦所在的直線方程為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)，根據(jù)得到動點的軌跡為圓，再由圓的性質(zhì)求解.【詳解】設(shè)，由得動點的軌跡方程為，即，則動點的軌跡曲線為圓，圓心為．又點在圓內(nèi)，所以，所以最短弦所在直線的斜率為2，所以所求直線方程為，即．故選：A23．（2022·全國·高三專題練習(xí)）圓到直線的距離為的點有（）A．個 B．個C．個 D．個【答案】B【分析】先將圓方程化為標準方程，然后求出圓心到直線的距離，判斷出直線與圓的位置關(guān)系，從而可判斷出結(jié)論【詳解】由，得，則圓心為，半徑，因為圓心到直線的距離為，且，所以圓到直線的距離為的點有2個，故選：B24．（2022·全國·高三專題練習(xí)）直線：與圓：的位置關(guān)系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定【答案】A【分析】由直線方程可得直線過定點，又點在圓內(nèi)，得到答案.【詳解】直線：過定點，因為，則點在圓的內(nèi)部，∴直線與圓相交，故選：A.25．（2022·全國·高三專題練習(xí)）過點的直線l與圓相切，則直線l的方程是（）A．或 B．C．或 D．【答案】B【分析】先判斷出在圓上，求出切線斜率，即可得到切線方程.【詳解】把圓化為標準方程得：.因為在圓上，所以過P的切線有且只有一條.顯然過點且斜率不存在的直線:與圓相交，所以過P的切線的斜率為k.因為切線與過切點的半徑垂直，所以，解得：，所以切線方程為：，即.故選：B26．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知圓與直線切于點，則直線的方程為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由圓心和切點求得切線的斜率后可得切線方程．【詳解】圓可化為，所以點與圓心連線所在直線的斜率為，則所求直線的斜率為，由點斜式方程，可得，整理得.故選：A.27．（2022·全國·高三專題練習(xí)）過點作圓的兩條切線，切點分別為，，則A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)，則直線PA的方程為，直線PB的方程為，點均在兩直線上，故，直線AB的方程為3x+4y=4.點到直線AB的距離，則.本題選擇D選項.28．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，直線，為上一個動點，過點作的切線，切點為，則的最小值為（）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】求得圓的圓心，半徑，根據(jù)，得到，結(jié)合點到直線的距離公式，求得的最小值，進而求得的最小值.【詳解】如圖所示，化簡圓的方程為，可得圓心，半徑，因為為圓的切線且為切點，所以，由勾股定理可得，所以當最小時，取得最小值，因為，所以，即的最小值為.故選：D.29．（2021·江西·高三階段練習(xí)（文））已知圓О的方程為，過圓О外一點作圓O的兩條切線PA，PB，切點分別為A，B，則直線AB的方程為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平面幾何知識可知點O，A，P，B在以O(shè)P為直徑的圓上，求出該圓的方程，再將兩圓的方程相減，即可得到直線AB的方程．【詳解】由題意知點O，A，P，B在以O(shè)P為直徑的圓上，易求該圓的方程為，AB為圓與圓的公共弦，將這兩圓的方程相減，得，即AB的方程為.故選：B．30．（2022·全國·高三專題練習(xí)）過點作直線與圓相切于、兩點，則直線的方程為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出，求出以點為圓心、以為半徑的圓的方程，然后與圓的方程作差可得出直線的方程.【詳解】圓的標準方程為，圓心為，半徑為，由圓的切線的性質(zhì)可得，則，所以，以點為圓心、以為半徑的圓的方程為，將圓的方程與圓的方程作差并化簡可得.因此，直線的方程為.故選：B.31．（2021·江蘇常州·一模）過圓：外一點作圓的切線，切點分別為、，則（）A．2 B． C． D．3【答案】C【分析】本題首先可結(jié)合題意繪出圖像，然后根據(jù)圓的方程得出，再然后根據(jù)兩點間距離公式以及勾股定理得出、，最后通過等面積法即可得出結(jié)果.【詳解】如圖，結(jié)合題意繪出圖像：因為圓：，直線、是圓的切線，所以，，，，因為，所以，，根據(jù)圓的對稱性易知，則，解得，，故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查圓的切點弦長的求法，主要考查圓的切線的相關(guān)性質(zhì)，考查兩點間距離公式以及勾股定理的應(yīng)用，考查等面積法的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.32．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線與圓相切，則m的值為（）A．3或 B．1或C．0或4 D．或0【答案】A【分析】利用圓的切線性質(zhì)結(jié)合點到直線的距離公式列式計算即得.【詳解】圓的圓心為，半徑為，因直線與圓相切，則點到直線的距離為，整理得，解得或，所以m的值為3或.故選：A33．（2022·河北張家口·高三期末）直線與圓交于、兩點，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出圓心到直線的距離，利用勾股定理可求得.【詳解】圓心到直線的距離為，圓的半徑為，又，故，故選：B.34．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若點為圓的弦的中點，則弦所在直線的方程為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用點差法求出直線的斜率，進而得到方程，注意檢驗是否符合題意即可.【詳解】設(shè)，則，，兩式做差可得，即，又因為是的中點，則，因此，即，所以，因此直線的方程為，即，經(jīng)檢驗，符合題意，故弦所在直線的方程為.故選：B.35．（2019·天津·耀華中學(xué)高三階段練習(xí)）已知圓：和直線：；若直線與圓相交于，兩點，的面積為2，則值為（）A．-1或3 B．1或5 C．-1或-5 D．2或6【答案】C【分析】利用垂徑定理表示,再由面積可得,利用點到直線距離列方程求解即可.【詳解】圓：，可得，半徑.∴圓心到直線的距離.∵的面積為2，，∴，解得.∴，解得或-5.故選：C.【點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系,利用垂徑定理表示弦長是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.36．（2022·全國·高三專題練習(xí)）圓C1：(x-2)2+(y-4)2＝9與圓C2：(x-5)2+y2＝16的公切線條數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)題意，求出兩圓的圓心，半徑及圓心距，分析可得兩圓相交，由此分析可得答案．【詳解】根據(jù)題意，圓C1：(x-2)2+(y-4)2＝9，其圓心為(2，4)，半徑R＝3，圓C2：(x-5)2+y2＝16，其圓心為(5，0），半徑r＝4，圓心距|C1C2|5，則有r-R＜|C1C2|＜r+R，所以兩圓相交，所以兩圓有2條共切線；故選：B．37．（2021·全國·高二課時練習(xí)）圓心在直線x﹣y﹣4＝0上，且經(jīng)過兩圓x2+y2﹣4x﹣3＝0，x2+y2﹣4y﹣3＝0的交點的圓的方程為（）A．x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0 B．x2+y2+6x+2y﹣3＝0C．x2+y2﹣6x﹣2y﹣3＝0 D．x2+y2+6x﹣2y﹣3＝0【答案】A【分析】求出兩個圓的交點，再求出中垂線方程，然后求出圓心坐標，求出半徑，即可得到圓的方程．【詳解】由解得兩圓交點為與因為，所以線段的垂直平分線斜率；MN中點P坐標為（1，1）所以垂直平分線為y＝﹣x+2由解得x＝3，y＝﹣1，所以圓心O點坐標為（3，﹣1）所以r所以所求圓的方程為（x﹣3）2+（y+1）2＝13即：x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0故選：A38．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若圓與圓外切，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】求得兩圓的圓心坐標和半徑，結(jié)合兩圓相外切，列出方程，即可求解.【詳解】由題意，圓與圓可得，，因為兩圓相外切，可得，解得．故選：C.39．（2022·全國·高三專題練習(xí)）圓與圓公共弦所在直線的方程為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】將兩圓的方程作差即可得到答案.【詳解】將兩圓的方程相減得到兩個圓公共弦所在直線方程為故選：D.40．（2022·全國·高三專題練習(xí)）圓：與圓：交于、兩點，則（）A．6 B．5 C． D．【答案】D【分析】先求出兩個圓的半徑和圓心距，然后在中，利用余弦定理求出的值，從而可求出，再利用圓的半徑，圓心距和半徑的關(guān)系可求得結(jié)果【詳解】圓的半徑，圓的半徑，，故在中，，故．故選：D41．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知圓上到直線的距離等于1的點恰有3個，則實數(shù)的值為A．或 B． C． D．或【答案】D【詳解】試題分析：由圓的方程，可得圓的圓心為原點，半徑為，若圓上恰有個點到直線的距離等于，因為半徑為，則到直線：的距離等于，直線的一般方程為：，，解得，故選D.考點:1、圓的幾何性質(zhì)；2、點到直線的距離公式.42．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知圓上有且只有兩個點到直線的距離等于，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由圓的方程求出圓心和半徑，求出圓心到直線的距離，由題意可得，解不等式即可得實數(shù)的取值范圍.【詳解】由可得，則即，所以圓心為，半徑，圓心到直線的距離，因為圓上有且只有兩個點到直線的距離等于，所以，即，解得：，所以實數(shù)的取值范圍是，故選：A.43．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若圓：上有四個不同的點到直線：的距離為2，則的取值不可能是（）A．-15 B．13 C．15 D．0【答案】A【分析】根據(jù)圓上有四個不同的點到直線的距離為2，可得圓心到直線的距離小于3，列不等式求解即可.【詳解】圓：化為，則圓心，半徑，若圓：上有四個不同的點到直線：的距離為2，則圓心到直線的距離，如圖.即，∴.故選：A44．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））若圓上有且僅有兩個點到直線的距離等于2，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求圓心到直線的距離，再求半徑的范圍.【詳解】圓的圓心坐標為，半徑為3．圓心到直線的距離為：，又圓上有且僅有兩個點到直線的距離等于2，所以，解得或．故選：D．二、多選題45．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知圓的一般方程為，則下列說法正確的是（）A．圓的圓心為 B．圓的半徑為5C．圓被軸截得的弦長為6 D．圓被軸截得的弦長為6【答案】BD【分析】首先得到圓的標準方程，從而得到圓心坐標和半徑，即可判斷A錯誤，B正確，再計算弦長即可判斷C錯誤，D正確.【詳解】因為，所以圓的圓心為，半徑為，故A錯誤，B正確.對選項C，圓心到軸的距離為，所以圓被軸截得的弦長為，故C錯誤；對選項D，圓心到軸的距離為，所以圓被軸截得的弦長為，故D正確.故選：BD46．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，M為圓上的動點，則線段的長可能為（）A．3 B．5 C．7 D．9【答案】ABC【分析】由圓的標準方程求得圓心和半徑，再根據(jù)兩點的距離公式可求得，由此可得選項.【詳解】解：因為圓的圓心為，半徑，又，所以，因為M為上的動點，所以，即，所以線段的長可能為3，5，7，故選：ABC.47．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若P是圓上任一點，則點P到直線的距離可以為（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】AB【分析】利用圓心到直線的距離，結(jié)合圓的半徑即可求P到直線的距離范圍，結(jié)合各選項判斷符合要求的距離即可.【詳解】由題設(shè)，且半徑為，∴到的距離，∴點P到直線的距離：，即，∴只有A、B符合要求.故選：AB48．（2022·全國·高三專題練習(xí)）圓與圓有且僅有兩條公切線，實數(shù)的值可以?。ǎ〢． B． C． D．【答案】AB【分析】由題可知兩個圓相交，列出不等式可求得答案.【詳解】因為圓與圓有且僅有兩條公切線，所以兩圓相交，因為的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，所以即，解得，故選：AB49．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知圓，圓，則下列是圓與圓的公切線的直線方程為（）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】通過圓心距和半徑關(guān)系，判斷出兩圓有四條公切線，再設(shè)切線，列等式解方程即可.【詳解】,半徑,兩圓相離，有四條公切線兩圓心坐標關(guān)于原點對稱，則有兩條切線過原點,設(shè)切線,則圓心到直線的距離,解得或,另兩條切線與直線平行且相距為1,,設(shè)切線,則,解得.所以只有項不正確（也可以不計算，通過斜率即可排除D）故選：ABC三、雙空題50．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知方程為，則圓心坐標為________，圓半徑為__________．【答案】【分析】將圓一般方程化為標準方程即可求解.【詳解】，所以圓的圓心為，半徑.故答案為：；四、填空題51．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知圓心在第一象限的圓經(jīng)過點，圓心在直線上，且半徑為5，則此圓的標準方程為___________．【答案】【分析】由圓心在直線上，可設(shè)圓心為，因為圓經(jīng)過點，半徑為，結(jié)合圓心在第一象限，可求出的值，從而寫出圓的方程.【詳解】解：因為圓心在直線上，所以設(shè)圓心為，又此圓經(jīng)過點，半徑為，所以有因為圓心在第一象限所以.所以圓心為.故答案為：.52．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知圓C和直線相切于點，且經(jīng)過點，則圓C的方程為___________.【答案】【分析】由已知可求得過點的直徑所在直線為，因為圓心在以，兩點為端點的線段的中垂線，然后兩直線方程聯(lián)立方程組可求出圓心坐標，從而可求得圓的半徑，進而可求得圓的方程【詳解】解：因為圓C和直線相切于點，所以過點的直徑所在直線的斜率為，其方程為，即.又因為圓心在以，兩點為端點的線段的中垂線，即上，由解得圓心為（3，5），所以半徑為，故所求圓的方程為.故答案為：53．（2022·全國·高三專題練習(xí)）圓關(guān)于點中心對稱的圓的方程為___________.【答案】【分析】求出圓心的坐標，進而可得出所求圓的標準方程.【詳解】圓心關(guān)于點中心對稱點的坐標為，故所求圓的方程為.故答案為：.54．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知三個點，，，則的外接圓的圓心坐標是___________.【答案】(1，3)【分析】設(shè)出圓的一般方程，代入三點坐標后可求解.【詳解】設(shè)圓的方程為，則，解得，所以圓方程為，即，所以圓心坐標為.故答案為：.55．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）若圓關(guān)于直線對稱，則該圓的半徑為__________【答案】2【分析】根據(jù)圓關(guān)于直線對稱可知,直線經(jīng)過圓心.將圓心坐標代入直線方程,結(jié)合圓的半徑公式即可求得半徑.【詳解】將圓的一般方程轉(zhuǎn)化為標準方程可得所以圓心坐標為,因為圓關(guān)于直線對稱,所以直線經(jīng)過圓心則,化簡可得所以故答案為:2【點睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系,圓的一般方程與標準方程的轉(zhuǎn)化,直線過圓心的方程,屬于基礎(chǔ)題.56．（2022·全國·高三專題練習(xí)）兩圓x2＋y2－6x＋6y－48＝0與x2＋y2＋4x－8y－44＝0公切線的條數(shù)是________．【答案】2【分析】求出兩圓的圓心距及半徑，判斷兩圓的位置關(guān)系即可得出結(jié)論.【詳解】解：將兩圓分別化為標準方程：，，所以兩圓的圓心分別為，半徑分別為，，圓心距為，因為，所以兩圓相交，所以公切線的條數(shù)是2條.故答案為：2.57．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線l：kx﹣y﹣2k+2＝0與圓C：x2+y2﹣2x﹣6y+6＝0相交于A，B兩點，則|AB|的最小值為______________．【答案】【分析】根據(jù)題意，分析圓C的圓心與半徑，將直線l的方程變形為y﹣2＝k（x﹣2），恒過定點M（2，2），分析可得M在圓C內(nèi)部，分析可得：當直線l與CM垂直時，弦|AB|最小，求出此時|CM|的值，由勾股定理分析可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，圓C：x2+y2﹣2x﹣6y+6＝0即（x﹣1）2+（y﹣3）2＝4，圓心C的坐標為（1，3），半徑r＝2，直線l：kx﹣y﹣2k+2＝0，即y﹣2＝k（x﹣2），恒過定點M（2，2），又由圓C的方程為（x﹣1）2+（y﹣3）2＝4，則點M（2，2）在圓內(nèi)，分析可得：當直線l與CM垂直時，弦|AB|最小，此時|CM|＝＝，則|AB|的最小值為2＝；故答案為：．58．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知圓上一定點，為圓上的動點，則線段中點的軌跡方程為______________．【答案】【分析】設(shè)線段中點的坐標為，且點，結(jié)合中點公式求得，代入即可求解.【詳解】設(shè)線段中點的坐標為，且點，又由，可得，解得，又由，可得，即.故答案為：.59．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知圓，則直線和圓的位置關(guān)系為___________.【答案】相交【分析】根據(jù)圓的一般方程求得圓的圓心和半徑，再求圓心到直線的距離，且與圓的半徑比較可得結(jié)論.【詳解】解：由圓得，圓心，半徑，圓心到直線的距離，所以直線和圓的位置關(guān)系為相交，故答案為：相交.60．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知圓O：則，過點作圓的切線，則切線的方程為___________.【答案】或.【分析】分斜率不存在與斜率存在兩種情況，再利用點到直線的距離公式，求得斜率存在時的切線方程.【詳解】由題意：當切線斜率不存在時，方程為：，滿足與圓相切，當斜率存在時，設(shè)切線方程為：，則：，解得，此時切線方程為：，即，故答案為：或61．（2021·江蘇省如皋中學(xué)高三開學(xué)考試）已知點Q是直線：上的動點，過點Q作圓：的切線，切點分別為A，B，則切點弦AB所在直線恒過定點___________.【答案】(1，－1)【分析】設(shè)Q的坐標為(m，n)，根據(jù)方程，寫出切點弦AB所在直線方程，利用的關(guān)系，求得動直線恒過的定點坐標.【詳解】由題意