新高考藝術(shù)生40天突破數(shù)學(xué)90分講義第35講圓錐曲線基礎(chǔ)過關(guān)小題(原卷版+解析)

第35講圓錐曲線基礎(chǔ)過關(guān)小題【知識點總結(jié)】一．橢圓的定義平面內(nèi)與兩個定點的距離之和等于常數(shù)（）的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距，記作，定義用集合語言表示為：注明：當(dāng)時，點的軌跡是線段；當(dāng)時，點的軌跡不存在.二．橢圓的方程、圖形與性質(zhì)橢圓的方程、圖形與性質(zhì)焦點的位置焦點在軸上焦點在軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程統(tǒng)一方程參數(shù)方程第一定義到兩定點的距離之和等于常數(shù)2，即（）范圍且且頂點、、、、軸長長軸長短軸長長軸長短軸長對稱性關(guān)于軸、軸對稱，關(guān)于原點中心對稱焦點、、焦距離心率點和橢圓的關(guān)系通徑過焦點且垂直于長軸的弦叫通徑：通徑長=（最短的過焦點的弦）弦長公式設(shè)直線與橢圓的兩個交點為，,,則弦長（其中是消后關(guān)于的一元二次方程的的系數(shù)，是判別式）三、雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個定點的距離的差的絕對值等于常數(shù)（大于零且小于）的點的軌跡叫做雙曲線（這兩個定點叫雙曲線的焦點）.用集合表示為.注（1）若定義式中去掉絕對值，則曲線僅為雙曲線中的一支.（2）當(dāng)時，點的軌跡是以和為端點的兩條射線；當(dāng)時，點的軌跡是線段的垂直平分線.（3）時，點的軌跡不存在.在應(yīng)用定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解題時注意以下兩點：=1\*GB3①條件“”是否成立；=2\*GB3②要先定型（焦點在哪個軸上），再定量（確定，的值），注意的應(yīng)用.四、雙曲線的方程、圖形及性質(zhì)雙曲線的方程、圖形及性質(zhì).標(biāo)準(zhǔn)方程圖形yxyxB1B2F2A2AA1FF1B1F1B1F1xyA1F2B2A2焦點坐標(biāo)，，對稱性關(guān)于，軸成軸對稱，關(guān)于原點成中心對稱頂點坐標(biāo)，，范圍實軸、虛軸實軸長為，虛軸長為離心率漸近線方程令，焦點到漸近線的距離為令，焦點到漸近線的距離為點和雙曲線的位置關(guān)系共漸近線的雙曲線方程弦長公式設(shè)直線與雙曲線兩交點為，，.則弦長，，其中“”是消“”后關(guān)于“”的一元二次方程的“”系數(shù).通徑通徑（過焦點且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其長為五、拋物線的定義平面內(nèi)與一個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點叫拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線.注若在定義中有，則動點的軌跡為的垂線，垂足為點.六、拋物線的方程、圖形及性質(zhì)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有4種形式：，其中一次項與對稱軸一致，一次項系數(shù)的符號決定開口方向（如表10-3所示）表10-3標(biāo)準(zhǔn)方程yxyxOFlyxyxOFlFyFyxOl圖形yyxOFl對稱軸軸軸頂點原點焦點坐標(biāo)準(zhǔn)線方程三、拋物線中常用的結(jié)論1.點與拋物線的關(guān)系（1）在拋物線內(nèi)（含焦點）.（2）在拋物線上.（3）在拋物線外.2.焦半徑拋物線上的點與焦點的距離稱為焦半徑，若，則焦半徑，.3.的幾何意義為焦點到準(zhǔn)線的距離，即焦準(zhǔn)距，越大，拋物線開口越大.4.焦點弦若為拋物線的焦點弦，，，則有以下結(jié)論：（1）.（2）.（3）焦點弦長公式1：，，當(dāng)時，焦點弦取最小值，即所有焦點弦中通徑最短，其長度為.焦點弦長公式2：（為直線與對稱軸的夾角）.（4）的面積公式：（為直線與對稱軸的夾角）.【典型例題】例1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知焦點在x軸上的橢圓的離心率為，它的長軸長等于圓C：x2＋y2－2x－15＝0的半徑，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A． B．C． D．例2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知曲線C：mx2＋ny2＝1，下列結(jié)論不正確的是（）A．若m＞n＞0，則C是橢圓，其焦點在y軸上B．若m＝n＞0，則C是圓，其半徑為C．若mn＜0，則C是雙曲線，其漸近線方程為y＝±xD．若m＝0，n＞0，則C是兩條直線例3．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學(xué)校高三期末（文））等軸雙曲線的中心在原點，焦點在x軸上，與拋物線的準(zhǔn)線交于A、B兩點，，則的實軸長為（）A． B． C．4 D．8（多選題）例4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C：，右頂點為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點，若，則有（）A．漸近線方程為 B．C． D．漸近線方程為（多選題）例5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）以下說法正確的是（）A．橢圓的長軸長為4，短軸長為B．離心率為的橢圓較離心率為的橢圓來得扁C．橢圓的焦點在軸上且焦距為2D．橢圓的離心率為（多選題）例6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若橢圓：的一個焦點坐標(biāo)為，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B．的長軸長為 C．的短軸長為 D．的離心率為（多選題）例7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：y2－x2＝1的上、下焦點，點P是其一條漸近線上一點，且以線段F1F2為直徑的圓經(jīng)過點P，則（）A．雙曲線C的漸近線方程為y＝±xB．以F1F2為直徑的圓的方程為x2＋y2＝1C．點P的橫坐標(biāo)為±1D．△PF1F2的面積為（多選題）例8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知中心在原點，焦點在坐標(biāo)軸上的雙曲線與橢圓有相同的焦距，且一條漸近線方程為，則雙曲線的方程可能為（）A． B． C． D．例9．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學(xué)校高三期末（文））過拋物線焦點的直線交拋物線于兩點，若兩點的橫坐標(biāo)之和為5，則___________.例10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點分別為，若橢圓上的點P滿足軸，，則該橢圓的離心率為___________．【技能提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知為橢圓上一點，若到一個焦點的距離為1，則到另一個焦點的距離為（）A．3 B．5 C．8 D．122．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓：的左右焦點分別是，，橢圓上任意一點到，的距離之和為4，過焦點且垂直于軸的直線交橢圓于，兩點，若線段的長為3，則橢圓的方程為（）A． B． C． D．3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知的頂點，在橢圓上，頂點是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在邊上，則的周長是（）A． B．6 C．4 D．4．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知橢圓，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點，若橢圓上存在一點P，使得，則該橢圓離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)是橢圓上的點．若是橢圓的兩個焦點，則等于A．4 B．5 C．8 D．106．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）若動點始終滿足關(guān)系式，則動點M的軌跡方程為（）A． B． C． D．7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)圓的圓心為，點是圓內(nèi)一定點，點為圓周上任一點，線段的垂直平分線與的連線交于點，則點的軌跡方程為（）A． B．C． D．8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點分別為，，離心率為，過的直線與橢圓C交于A，B兩點．若的周長為8，則橢圓方程為（）A． B．C． D．9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)是橢圓的兩個焦點，是橢圓上一點，且.則的面積為（）A．6 B． C．8 D．10．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知?是橢圓：()的兩個焦點，為橢圓上的一點，且.若的面積為，則（）A． B． C． D．11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，是橢圓C的兩個焦點，P是C上的一點，若以為直徑的圓過點P，且，則C的離心率為（）A． B． C． D．12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如果方程表示焦點在軸上的橢圓，那么實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C．， D．13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列四個橢圓中，形狀最扁的是（）A． B． C． D．14．（2022·重慶·模擬預(yù)測）已知橢圓的一個焦點坐標(biāo)為，則（）A．1 B．2 C．5 D．915．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若直線x－2y＋2＝0經(jīng)過橢圓的一個焦點和一個頂點，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A．＋y2＝1 B．＋y2＝1C．＋y2＝1或 D．以上答案都不正確16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的右焦點為，過點的直線交橢圓于兩點，若的中點坐標(biāo)為，則橢圓的方程為（）A． B． C． D．17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）過點(－3，2)且與有相同焦點的橢圓方程是（）A． B．C． D．18．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知橢圓過點和點，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A． B．或C． D．以上都不對19．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知點是橢圓上的一點，橢圓的長軸長是焦距的倍，則該橢圓的方程為（）A． B．C． D．20．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓：經(jīng)過點，且的離心率為，則的方程是（）A． B．C． D．21．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）若橢圓的焦點在軸上，焦距為，且經(jīng)過點，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為A． B． C． D．22．（2022·全國·高三專題練習(xí)）一個橢圓中心在原點，焦點，在軸上，是橢圓上一點，且、、成等差數(shù)列，則橢圓方程為A． B． C． D．23．（2022·全國·高三專題練習(xí)）與橢圓共焦點且過點的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A． B． C． D．24．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））橢圓與關(guān)系為（）A．有相等的長軸長 B．有相等的離心率C．有相同的焦點 D．有相等的焦距25．（2022·全國·高三專題練習(xí)）過橢圓的左焦點作軸的垂線交橢圓于點，為右焦點，若，則橢圓的離心率為()A． B． C． D．26．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知橢圓，F(xiàn)1、F2分別為橢圓的左、右焦點，A為橢圓的上頂點，直線AF2交橢圓于另一點B，若∠F1AB＝90°，則此橢圓的離心率為（）A． B． C． D．27．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點，若橢圓上存在點P，使∠F1PF2=90°，則橢圓的離心率e的取值范圍為（）A． B．C． D．28．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，直線與圓相切，則實數(shù)m的值是（）A． B．C． D．29．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知是橢圓的左右焦點，橢圓上一點M滿足：，則該橢圓離心率是（）A． B． C． D．30．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左?右焦點分別是，，直線與橢圓交于，兩點，，且，則橢圓的離心率是（）A． B． C． D．31．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））雙曲線上一點P到一個焦點的距離為4，則P到另一個焦點的距離為（）A．20 B．16 C．12 D．832．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，是雙曲線C的兩個焦點，P為雙曲線上的一點，且；則C的離心率為（）A．1 B．2 C．3 D．433．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左右焦點為，過的直線交雙曲線右支于，若，且，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．34．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知雙曲線：的一個焦點為，則雙曲線的一條漸近線方程為（）A． B．C． D．35．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的方程為，則下列關(guān)于雙曲線說法正確的是（）A．虛軸長為4 B．焦距為C．離心率為 D．漸近線方程為36．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的一條漸近線方程為，它的焦距為2，則雙曲線的方程為（）A． B． C． D．37．（2022·全國·高三專題練習(xí)）過點且與橢圓有相同焦點的雙曲線方程為（）A． B． C． D．38．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知是雙曲線：的右焦點，過作與軸垂直的直線與雙曲線交于.兩點，過作一條漸近線的垂線，垂足為，若，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B． C． D．39．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C的離心率，虛軸長為，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B．或C． D．或40．（2022·全國·高三專題練習(xí)）雙曲線過點，且離心率為，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B． C． D．41．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））雙曲線的一個焦點到漸近線的距離為（）A． B． C．2 D．442．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）若拋物線的焦點F與雙曲線的一個焦點重合，則n的值為（）A． B．1 C．2 D．1343．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知雙曲線：的漸近線方程為，則的焦距等于（）A． B．2 C． D．444．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線與雙曲線有相同的焦點.則的漸近線方程為（）A． B．C． D．45．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知雙曲線C與橢圓有共同的焦點，且焦點到該雙曲線漸近線的距離等于1，則雙曲線C的方程為（）A． B． C． D．46．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若雙曲線的一條漸近線與直線相互垂直，則雙曲線的兩個焦點與虛軸的一個端點構(gòu)成的三角形的面積為（）A． B． C．6 D．847．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）若雙曲線的漸近線與圓相切，則該雙曲線的實軸長為（）A． B． C． D．48．（2022·全國·高三專題練習(xí)）直線是雙曲線等的一條漸近線，且雙曲線的一個頂點到漸近線的距離為，則該雙曲線的虛軸長為（）A．4 B．8 C． D．49．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）設(shè)雙曲線的頂點坐標(biāo)為，焦點坐標(biāo)為，則該雙曲線的漸近線方程為（）A．和 B．和C．和 D．和50．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為（）A． B． C． D．51．（2022·全國·高三專題練習(xí)）漸近線方程為的雙曲線的離心率是A． B．1C． D．252．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若雙曲線C：的一條漸近線與直線平行，則m的值為（）A．4 B． C．2 D．53．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的離心率，則該雙曲線的一條漸近線方程為（）A． B． C． D．54．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））設(shè)，為雙曲線：的兩個焦點，若雙曲線的兩個頂點恰好將線段三等分，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．55．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））雙曲線C：=1的右焦點為F，點P在C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點，若，則△PFO的面積為A． B． C． D．56．（2022·河北張家口·高三期末）已知是拋物線上一點，是的焦點，，則（）A．2 B．3 C．6 D．957．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學(xué)校高三期末（文））在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的焦點為，點在拋物線上，則的長為（）A．2 B．3 C．4 D．558．（2022·全國·高三專題練習(xí)）拋物線上一點P到焦點的距離是2，則P點坐標(biāo)為（）A． B． C． D．59．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）已知拋物線：（）的焦點為，點是上的一點，到直線的距離是到的準(zhǔn)線距離的2倍，且，則（）A．4 B．6 C．8 D．1060．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知A（3，2），點F為拋物線的焦點，點P在拋物線上移動，為使取得最小值，則點P的坐標(biāo)為（）A．（0，0） B．（2，2） C． D．61．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線C：y2＝2px（p>0）上一點M（6，y）到焦點F的距離為8，則p＝（）A．1 B．2 C．3 D．462．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點為是C上一點，，則（）A．1 B．2 C．4 D．863．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））若拋物線（）上一點到其焦點的距離為2，則（）A． B． C． D．64．（2022·全國·高三專題練習(xí)）頂點在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點為直線3x－4y－12＝0與坐標(biāo)軸的交點的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A．x2＝－12y或y2＝16x B．x2＝12y或y2＝－16xC．x2＝9y或y2＝12x D．x2＝－9y或y2＝－12x65．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知拋物線，過焦點且傾斜角為的直線交于，兩點，則弦的中點到準(zhǔn)線的距離為（）A． B． C． D．66．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）過拋物線焦點的直線交拋物線于兩點（點在第一象限），若直線的傾斜角為，則的值為（）A． B． C． D．67．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知F是拋物線C1：y2＝2px(p＞0)的焦點，曲線C2是以F為圓心，為半徑的圓，直線4x－3y－2p＝0與曲線C1，C2從上到下依次相交于點A，B，C，D，則＝（）A．16 B．4C． D．68．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知雙曲線被斜率為1的直線截得的弦的中點為（4，2），則該雙曲線的離心率為（）A． B．C． D．269．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線l被雙曲線C：﹣y2=1所截得的弦的中點坐標(biāo)為(1，2)，則直線l的方程（）A．x+4y﹣9=0 B．x﹣4y+7=0C．x﹣8y+15=0 D．x+8y﹣17=0二、多選題70．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，分別是橢圓的左，右焦點，P為橢圓C上異于長軸端點的動點，則下列結(jié)論正確的是（）A．的周長為10B．面積的最大值為C．當(dāng)時，的面積為D．存在點P使得71．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知曲線C的方程為（且），則下列結(jié)論正確的是（）A．當(dāng)時，曲線C是焦距為4的雙曲線B．當(dāng)時，曲線C是離心率為的橢圓C．曲線C可能是一個圓D．當(dāng)時，曲線C是漸近線方程為的雙曲線72．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知曲線的方程為，則下列結(jié)論正確的是（）A．當(dāng)，曲線為橢圓B．當(dāng)時，曲線為雙曲線，其漸近線方程為C．“或”是“曲線為雙曲線”的充要條件D．不存在實數(shù)使得曲線為離心率為的雙曲線73．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點為，點)在拋物線上，若，則（）A． B．C． D．的坐標(biāo)為74．（2022·全國·高三專題練習(xí)）[多選題]已知拋物線的焦點為，，是拋物線上兩點，則下列結(jié)論正確的是（）A．點的坐標(biāo)為B．若直線過點，則C．若，則的最小值為D．若，則線段的中點到軸的距離為75．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點在拋物線上，拋物線的焦點為，延長與拋物線相交于點，則下列結(jié)論正確的是（）A．拋物線的準(zhǔn)線方程為 B．C．的面積為 D．三、填空題76．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知點，的周長是，則的頂點的軌跡方程為___.77．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，是橢圓：的兩個焦點，點在上，則的最大值為________．78．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點分別為、，若橢圓上的點滿足，則________79．（2022·全國·高三專題練習(xí)）點P是橢圓上一點，是橢圓的兩個焦點，且的內(nèi)切圓半徑為1，當(dāng)P在第一象限內(nèi)時，P點的縱坐標(biāo)為________．80．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）過點(，－)，且與橢圓有相同焦點的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_______．81．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知橢圓的焦點在軸上，焦距為2，且經(jīng)過點，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______．82．（2022·全國·高三專題練習(xí)）與橢圓有相同離心率且經(jīng)過點的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為________．83．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的中心在原點，以坐標(biāo)軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點，則橢圓方程為_____．84．（2022·全國·高三專題練習(xí)）與雙曲線有共同的漸近線，且過點M（2,-2）的雙曲線方程為________.85．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線：的準(zhǔn)線為，若M為上的一個動點，設(shè)點N的坐標(biāo)為，則的最小值為___________.86．（2022·全國·高三專題練習(xí)）О為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為拋物線C∶y2=4x的焦點，P為C上的一點，若，則三角形POF的面積為_________.87．（2022·全國·高三專題練習(xí)）直線過拋物線的焦點，與交于倆點，則________．第35講圓錐曲線基礎(chǔ)過關(guān)小題【知識點總結(jié)】一．橢圓的定義平面內(nèi)與兩個定點的距離之和等于常數(shù)（）的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距，記作，定義用集合語言表示為：注明：當(dāng)時，點的軌跡是線段；當(dāng)時，點的軌跡不存在.二．橢圓的方程、圖形與性質(zhì)橢圓的方程、圖形與性質(zhì)焦點的位置焦點在軸上焦點在軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程統(tǒng)一方程參數(shù)方程第一定義到兩定點的距離之和等于常數(shù)2，即（）范圍且且頂點、、、、軸長長軸長短軸長長軸長短軸長對稱性關(guān)于軸、軸對稱，關(guān)于原點中心對稱焦點、、焦距離心率點和橢圓的關(guān)系通徑過焦點且垂直于長軸的弦叫通徑：通徑長=（最短的過焦點的弦）弦長公式設(shè)直線與橢圓的兩個交點為，,,則弦長（其中是消后關(guān)于的一元二次方程的的系數(shù)，是判別式）三、雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個定點的距離的差的絕對值等于常數(shù)（大于零且小于）的點的軌跡叫做雙曲線（這兩個定點叫雙曲線的焦點）.用集合表示為.注（1）若定義式中去掉絕對值，則曲線僅為雙曲線中的一支.（2）當(dāng)時，點的軌跡是以和為端點的兩條射線；當(dāng)時，點的軌跡是線段的垂直平分線.（3）時，點的軌跡不存在.在應(yīng)用定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解題時注意以下兩點：=1\*GB3①條件“”是否成立；=2\*GB3②要先定型（焦點在哪個軸上），再定量（確定，的值），注意的應(yīng)用.四、雙曲線的方程、圖形及性質(zhì)雙曲線的方程、圖形及性質(zhì).標(biāo)準(zhǔn)方程圖形yxyxB1B2F2A2AA1FF1B1F1B1F1xyA1F2B2A2焦點坐標(biāo)，，對稱性關(guān)于，軸成軸對稱，關(guān)于原點成中心對稱頂點坐標(biāo)，，范圍實軸、虛軸實軸長為，虛軸長為離心率漸近線方程令，焦點到漸近線的距離為令，焦點到漸近線的距離為點和雙曲線的位置關(guān)系共漸近線的雙曲線方程弦長公式設(shè)直線與雙曲線兩交點為，，.則弦長，，其中“”是消“”后關(guān)于“”的一元二次方程的“”系數(shù).通徑通徑（過焦點且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其長為五、拋物線的定義平面內(nèi)與一個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點叫拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線.注若在定義中有，則動點的軌跡為的垂線，垂足為點.六、拋物線的方程、圖形及性質(zhì)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有4種形式：，其中一次項與對稱軸一致，一次項系數(shù)的符號決定開口方向（如表10-3所示）表10-3標(biāo)準(zhǔn)方程yxyxOFlyxyxOFlFyFyxOl圖形yyxOFl對稱軸軸軸頂點原點焦點坐標(biāo)準(zhǔn)線方程三、拋物線中常用的結(jié)論1.點與拋物線的關(guān)系（1）在拋物線內(nèi)（含焦點）.（2）在拋物線上.（3）在拋物線外.2.焦半徑拋物線上的點與焦點的距離稱為焦半徑，若，則焦半徑，.3.的幾何意義為焦點到準(zhǔn)線的距離，即焦準(zhǔn)距，越大，拋物線開口越大.4.焦點弦若為拋物線的焦點弦，，，則有以下結(jié)論：（1）.（2）.（3）焦點弦長公式1：，，當(dāng)時，焦點弦取最小值，即所有焦點弦中通徑最短，其長度為.焦點弦長公式2：（為直線與對稱軸的夾角）.（4）的面積公式：（為直線與對稱軸的夾角）.【典型例題】例1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知焦點在x軸上的橢圓的離心率為，它的長軸長等于圓C：x2＋y2－2x－15＝0的半徑，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】圓C：(x－1)2＋y2＝16，∴2a＝4，即a＝2．由，而，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：，故選：B例2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知曲線C：mx2＋ny2＝1，下列結(jié)論不正確的是（）A．若m＞n＞0，則C是橢圓，其焦點在y軸上B．若m＝n＞0，則C是圓，其半徑為C．若mn＜0，則C是雙曲線，其漸近線方程為y＝±xD．若m＝0，n＞0，則C是兩條直線【答案】B【詳解】對于A，當(dāng)m＞n＞0時，有，方程化為，表示焦點在y軸上的橢圓，故A正確；對于B，由m＝n＞0，方程變形為，該方程表示半徑為的圓，故B錯誤；對于C，由mn＜0知曲線表示雙曲線，其漸近線方程為，故C正確；對于D，當(dāng)m＝0，n＞0時，方程變?yōu)閚y2＝1表示兩條直線，故D正確．故選：B.例3．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學(xué)校高三期末（文））等軸雙曲線的中心在原點，焦點在x軸上，與拋物線的準(zhǔn)線交于A、B兩點，，則的實軸長為（）A． B． C．4 D．8【答案】B【詳解】解：設(shè)等軸雙曲線的方程為．，①拋物線，，，．拋物線的準(zhǔn)線方程為．設(shè)等軸雙曲線與拋物線的準(zhǔn)線的兩個交點，，，則，．將，代入①，得，等軸雙曲線的方程為，即，的實軸長為．故選：．（多選題）例4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C：，右頂點為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點，若，則有（）A．漸近線方程為 B．C． D．漸近線方程為【答案】AC【詳解】雙曲線C：1（a＞0，b＞0）的右頂點為A（a，0），以A為圓心，b為半徑做圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點．若∠MAN＝60°，可得A到漸近線bx+ay＝0的距離為：bcos30°，可得：，即，故e．且，故漸近線方程為漸近線方程為故選：AC．（多選題）例5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）以下說法正確的是（）A．橢圓的長軸長為4，短軸長為B．離心率為的橢圓較離心率為的橢圓來得扁C．橢圓的焦點在軸上且焦距為2D．橢圓的離心率為【答案】ABD【詳解】對于A：橢圓中，，故長軸長為4，短軸長為，故A正確；對于B：因為橢圓的離心率越大，該橢圓越扁，所以離心率為的橢圓較離心率為的橢圓來得扁，故B正確；對于C：橢圓的焦點在軸上，故C錯誤；對于D：橢圓中，，故離心率為；故選：ABD（多選題）例6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若橢圓：的一個焦點坐標(biāo)為，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B．的長軸長為 C．的短軸長為 D．的離心率為【答案】AD【詳解】由已知可得，解得或(舍去)，橢圓的方程為∴，，即，，長軸長為，短軸長，離心率.故選：AD.（多選題）例7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：y2－x2＝1的上、下焦點，點P是其一條漸近線上一點，且以線段F1F2為直徑的圓經(jīng)過點P，則（）A．雙曲線C的漸近線方程為y＝±xB．以F1F2為直徑的圓的方程為x2＋y2＝1C．點P的橫坐標(biāo)為±1D．△PF1F2的面積為【答案】ACD【詳解】等軸雙曲線C：y2－x2＝1的漸近線方程為y＝±x，故A正確；由雙曲線的方程可知F1F2＝，所以以F1F2為直徑的圓,圓心為，半徑為，則圓的方程為x2＋y2＝2，故B錯誤；點P(x0，y0)在圓x2＋y2＝2上，不妨設(shè)點P(x0，y0)在直線y＝x上，所以由解得|x0|＝1，則點P的橫坐標(biāo)為±1，故C正確；由上述分析可得△PF1F2的面積為，故D正確．故選：ACD.（多選題）例8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知中心在原點，焦點在坐標(biāo)軸上的雙曲線與橢圓有相同的焦距，且一條漸近線方程為，則雙曲線的方程可能為（）A． B． C． D．【答案】AD【詳解】解：橢圓中，，焦距，雙曲線與橢圓有相同的焦距，一條漸近線方程為，設(shè)雙曲線的方程為，即，當(dāng)時，，解得，雙曲線的方程為；當(dāng)時，，解得，雙曲線的方程為；綜上，雙曲線的方程可能為或．故選：AD.例9．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學(xué)校高三期末（文））過拋物線焦點的直線交拋物線于兩點，若兩點的橫坐標(biāo)之和為5，則___________.【答案】7【詳解】由拋物線方程可得，則由拋物線定義可得.故答案為：7.例10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點分別為，若橢圓上的點P滿足軸，，則該橢圓的離心率為___________．【答案】【詳解】設(shè)，則.由橢圓的定義可知：，所以.所以因為軸，所以為直角三角形，由勾股定理得：，即，即，所以離心率.故答案為：【技能提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知為橢圓上一點，若到一個焦點的距離為1，則到另一個焦點的距離為（）A．3 B．5 C．8 D．12【答案】B【分析】利用橢圓的定義求解.【詳解】橢圓的長軸長為，由橢圓的定義得：，又因為到一個焦點的距離為1，即，所以到另一個焦點的距離為，故選：B2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓：的左右焦點分別是，，橢圓上任意一點到，的距離之和為4，過焦點且垂直于軸的直線交橢圓于，兩點，若線段的長為3，則橢圓的方程為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件結(jié)合橢圓定義求出a，設(shè)出點F2坐標(biāo)，由給定弦長求出b即可得解.【詳解】依題意，由橢圓定義得，即，令橢圓：的半焦距為c，則F2(c，0)，直線AB：x=c，由得，于是得，則，所以橢圓的方程為.故選：C3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知的頂點，在橢圓上，頂點是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在邊上，則的周長是（）A． B．6 C．4 D．【答案】D【分析】先由橢圓方程求出，再利用橢圓的定義進行求解.【詳解】由橢圓，得：，由題意可得的周長為:.故選：D.4．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知橢圓，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點，若橢圓上存在一點P，使得，則該橢圓離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合橢圓定義求出焦半徑，利用可得離心率的不等關(guān)系，求得其范圍．【詳解】所以，又，所以，，故選：D．5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)是橢圓上的點．若是橢圓的兩個焦點，則等于A．4 B．5 C．8 D．10【答案】D【詳解】試題分析：因為橢圓的方程為，所以，由橢圓的的定義知，故選D．考點：1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、橢圓的定義．6．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）若動點始終滿足關(guān)系式，則動點M的軌跡方程為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由等式表示的幾何意義，結(jié)合相應(yīng)圓錐曲線定義即可得解.【詳解】因動點滿足關(guān)系式，則該等式表示點到兩個定點的距離的和為8，而，即動點M的軌跡是以為焦點，長軸長的橢圓，于是短半軸長b有，所以動點M的軌跡方程為.故選：B7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)圓的圓心為，點是圓內(nèi)一定點，點為圓周上任一點，線段的垂直平分線與的連線交于點，則點的軌跡方程為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由垂直平分線的性質(zhì)可知，從而得到，可知軌跡滿足橢圓定義，可得，進而求得，從而得到所求軌跡方程.【詳解】為垂直平分線上的一點點的軌跡是以為焦點的橢圓，的軌跡方程為故選：【點睛】本題考查動點軌跡方程的求解問題，關(guān)鍵是能夠通過垂直平分線的性質(zhì)得到所求動點軌跡滿足橢圓定義.8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點分別為，，離心率為，過的直線與橢圓C交于A，B兩點．若的周長為8，則橢圓方程為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用橢圓的定義，可求解a，由橢圓的離心率求得c，即可得到b，得到結(jié)果.【詳解】如圖：由橢圓的定義可知，的周長為4a，∴4a=8,a=2,又離心率為，∴c=1，b2，所以橢圓方程為,故選A．【點睛】本題考查橢圓的定義及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)是橢圓的兩個焦點，是橢圓上一點，且.則的面積為（）A．6 B． C．8 D．【答案】B【分析】利用橢圓的幾何性質(zhì)，得到，，進而利用得出，進而可求出【詳解】解：由橢圓的方程可得，所以，得且，，在中，由余弦定理可得，而，所以，，又因為，，所以，所以，故選：B10．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知?是橢圓：()的兩個焦點，為橢圓上的一點，且.若的面積為，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)的面積以及該三角形為直角三角形可得，，然后結(jié)合，簡單計算即可.【詳解】依題意有，所以又，，所以，又，可得，即，則，故選：B.11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，是橢圓C的兩個焦點，P是C上的一點，若以為直徑的圓過點P，且，則C的離心率為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，在中，設(shè)，則，進而根據(jù)橢圓定義得，進而可得離心率.【詳解】在中，設(shè)，則，又由橢圓定義可知則離心率，故選：B.【點睛】本題考查橢圓離心率的計算，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)已知條件，結(jié)合橢圓的定義，在焦點三角形中根據(jù)邊角關(guān)系求解.12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如果方程表示焦點在軸上的橢圓，那么實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C．， D．【答案】D【分析】化曲線方程為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由題意可得，求解此不等式可得的取值范圍.【詳解】由方程，可得，因為方程表示焦點在軸上的橢圓，可得，解得.所以實數(shù)的取值范圍是.故選：D.13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列四個橢圓中，形狀最扁的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)橢圓的離心率越大，橢圓的形狀越扁，結(jié)合選項中的橢圓的方程，求得的關(guān)系，即可求解.【詳解】由，根據(jù)選項中的橢圓的方程，可得的值滿足，因為橢圓的離心率越大，橢圓的形狀越扁，所以這四個橢圓中，橢圓的離心率最大，故其形狀最扁．故選：A.14．（2022·重慶·模擬預(yù)測）已知橢圓的一個焦點坐標(biāo)為，則（）A．1 B．2 C．5 D．9【答案】A【分析】由焦點坐標(biāo)及橢圓方程中參數(shù)關(guān)系有，即可求參數(shù)m.【詳解】由題設(shè)知：，可得.故選：A.15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若直線x－2y＋2＝0經(jīng)過橢圓的一個焦點和一個頂點，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A．＋y2＝1 B．＋y2＝1C．＋y2＝1或 D．以上答案都不正確【答案】C【分析】由直線方程得直線與坐標(biāo)軸的交點，分焦點在x軸上、焦點在y軸上討論可得答案.【詳解】由直線方程x－2y＋2＝0得直線與坐標(biāo)軸的交點為(0，1)，(－2，0)，由題意知當(dāng)焦點在x軸上時，c＝2，b＝1，所以a2＝5，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；當(dāng)焦點在y軸上時，b＝2，c＝1，所以a2＝5，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C.16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的右焦點為，過點的直線交橢圓于兩點，若的中點坐標(biāo)為，則橢圓的方程為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，可得，，將兩點的坐標(biāo)分別代入橢圓方程，兩式相減可求出===，進而可求出的值.【詳解】設(shè)，則，，則，兩式相減得：，∴===，又==，∴，聯(lián)立，得.∴橢圓方程為.故選：D．17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）過點(－3，2)且與有相同焦點的橢圓方程是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先得焦點坐標(biāo)，設(shè)方程為，將點代入解出的值，進而可得結(jié)果.【詳解】因為焦點坐標(biāo)為，設(shè)方程為，將代入方程可得，解得，故方程為，故選：A.18．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知橢圓過點和點，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A． B．或C． D．以上都不對【答案】A【分析】設(shè)經(jīng)過兩點和點的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，利用待定系數(shù)法能求出橢圓方程．【詳解】設(shè)經(jīng)過兩點和點的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，代入A、B得，，解得，∴所求橢圓方程為．故選：A．19．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知點是橢圓上的一點，橢圓的長軸長是焦距的倍，則該橢圓的方程為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由長軸長是焦距的得，再把已知點的坐標(biāo)代入，結(jié)合可解得得橢圓方程．【詳解】由題意，解得，所以橢圓方程為．故選：D．20．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓：經(jīng)過點，且的離心率為，則的方程是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意將點代入橢圓方程，結(jié)合離心率公式即可得解.【詳解】依題意可得，解得，故的方程是.故選：A.【點睛】本題考查了通過橢圓經(jīng)過的點及離心率確定橢圓方程，考查了運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.21．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）若橢圓的焦點在軸上，焦距為，且經(jīng)過點，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為A． B． C． D．【答案】D【分析】先由題意得到，求出，再由橢圓的焦點在軸上，設(shè)橢圓方程為：，將代入方程，即可求出結(jié)果.【詳解】因為焦距為，所以，即；又橢圓的焦點在軸上，所以設(shè)橢圓方程為：，又橢圓過點，所以，解得，因此所求橢圓的方程為：.故選D【點睛】本題主要考查由橢圓的焦距與橢圓所過的點求橢圓方程，熟記橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，用待定系數(shù)法求解即可，屬于常考題型.22．（2022·全國·高三專題練習(xí)）一個橢圓中心在原點，焦點，在軸上，是橢圓上一點，且、、成等差數(shù)列，則橢圓方程為A． B． C． D．【答案】A【分析】由于，，成等差數(shù)列，及是橢圓上的一點，可得，即可得到，又是橢圓上一點，利用待定系數(shù)法即可．【詳解】解：，，成等差數(shù)列，是橢圓上的一點，，．設(shè)橢圓方程為，則解得，，．故橢圓的方程為．故選：．【點睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)，考查待定系數(shù)法的運用，正確設(shè)出橢圓的方程是關(guān)鍵．23．（2022·全國·高三專題練習(xí)）與橢圓共焦點且過點的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求得焦點坐標(biāo)，進而設(shè)雙曲線的方程，根據(jù)點在雙曲線上，代入解方程最終求出雙曲線的方程．【詳解】橢圓的焦點坐標(biāo)是．設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因為雙曲線過點，所以，又，解得，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是．故選：B.24．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））橢圓與關(guān)系為（）A．有相等的長軸長 B．有相等的離心率C．有相同的焦點 D．有相等的焦距【答案】D【分析】分別求出兩個橢圓的長軸、短軸和焦距，進行比較可得答案【詳解】由題意，對于橢圓，焦點在x軸上，a＝5，b＝3，所以c＝＝4，則離心率e＝＝，對于橢圓，因為25－k＞9－k＞0，所以焦點在y軸上，a＝≠5，b＝≠3，所以c＝＝4，則離心率e＝＝≠，故選項D正確，其他選項錯誤.故選：D.25．（2022·全國·高三專題練習(xí)）過橢圓的左焦點作軸的垂線交橢圓于點，為右焦點，若，則橢圓的離心率為()A． B． C． D．【答案】B【分析】作出圖形，設(shè)，可得，，可將和均用表示，即可計算出該橢圓的離心率.【詳解】設(shè)該橢圓的焦距為，如下圖所示：設(shè)，軸，，，，由橢圓定義可得，因此，該橢圓的離心率為.故選：B.26．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知橢圓，F(xiàn)1、F2分別為橢圓的左、右焦點，A為橢圓的上頂點，直線AF2交橢圓于另一點B，若∠F1AB＝90°，則此橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由∠F1AB＝90°，得△F1AF2為等腰直角三角形，從而得，易得離心率．【詳解】若∠F1AB＝90°，則△F1AF2為等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c．所以，．故選：C．27．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點，若橢圓上存在點P，使∠F1PF2=90°，則橢圓的離心率e的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】如圖，橢圓上存在點P，使得PF1⊥PF2，化為，即可得出橢圓的離心率的范圍.【詳解】若橢圓上存在點P，使得PF1⊥PF2，則以原點為圓心，F(xiàn)1F2為直徑的圓與橢圓必有交點，如圖，可得，即c2≥b2，所以2c2≥a2，即e2≥，又e<1，所以e∈．故選：B28．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，直線與圓相切，則實數(shù)m的值是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的離心率為，得，從而得到直線方程，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系代數(shù)解法即可求出．【詳解】由題意知，，則，∵直線，即，代入得，，由解得．故選：B．29．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知是橢圓的左右焦點，橢圓上一點M滿足：，則該橢圓離心率是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)橢圓定義和余弦定理，即可求解.【詳解】設(shè)，由橢圓定義知：.由余弦定理得：，即，所以.故選D.30．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左?右焦點分別是，，直線與橢圓交于，兩點，，且，則橢圓的離心率是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的對稱性可知，，設(shè)，由以及橢圓定義可得，，在中再根據(jù)余弦定理即可得到，從而可求出橢圓的離心率．【詳解】由橢圓的對稱性，得.設(shè)，則.由橢圓的定義，知，即，解得，故，.在中，由余弦定理，得，即，則，故.故選：B.31．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））雙曲線上一點P到一個焦點的距離為4，則P到另一個焦點的距離為（）A．20 B．16 C．12 D．8【答案】A【分析】直接根據(jù)雙曲線的定義得到答案.【詳解】設(shè)P到另一個焦點的距離為d，，則＝2×8＝16，∴d＝20，故選：A.32．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，是雙曲線C的兩個焦點，P為雙曲線上的一點，且；則C的離心率為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】結(jié)合雙曲線的定義列式求得雙曲線的離心率.【詳解】.故選：B33．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左右焦點為，過的直線交雙曲線右支于，若，且，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)根據(jù)，且，結(jié)合雙曲線的定義求得，再在中，利用勾股定理求解.【詳解】設(shè)因為，且，所以，由雙曲線的定義得：，，因為，所以，解得，所以在中，，即，解得，故選：D34．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知雙曲線：的一個焦點為，則雙曲線的一條漸近線方程為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題知,雙曲線的焦點在軸上,進而計算,再求漸近線方程即可得答案.【詳解】解:由題知,雙曲線的焦點在軸上,所以,所以雙曲線的漸近線為故選:B35．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的方程為，則下列關(guān)于雙曲線說法正確的是（）A．虛軸長為4 B．焦距為C．離心率為 D．漸近線方程為【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線方程求得的值，由此求得虛軸、焦距、離心率和漸近線方程，由此判斷出正確選項.【詳解】雙曲線的方程為，，可得虛軸長為6，實軸長為4，離心率，漸近線方程為：，即．所以ABC選項錯誤，D選項正確.故選：D．【點睛】本小題主要考查根據(jù)雙曲線方程求，考查雙曲線虛軸、焦距、離心率和漸近線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題.36．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的一條漸近線方程為，它的焦距為2，則雙曲線的方程為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線的一條漸近線方程為，可得，再結(jié)合焦距為2和，求得，即可得解.【詳解】解：因為雙曲線的一條漸近線方程為，所以，即，又因焦距為2，即，即，因為，所以，所以，所以雙曲線的方程為.故選：B.37．（2022·全國·高三專題練習(xí)）過點且與橢圓有相同焦點的雙曲線方程為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)雙曲線的方程為，再代點解方程即得解.【詳解】解：由得，所以橢圓的焦點為.設(shè)雙曲線的方程為，因為雙曲線過點，所以.所以雙曲線的方程為.故選：D38．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知是雙曲線：的右焦點，過作與軸垂直的直線與雙曲線交于.兩點，過作一條漸近線的垂線，垂足為，若，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】分別根據(jù)所給雙曲線方程求出，，根據(jù)解出即可.【詳解】設(shè)，代入雙曲線方程可得，所以，不妨取一條漸近線，則到直線的距離，因為，所以，解得,所以雙曲線的方程為，故選：A39．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C的離心率，虛軸長為，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B．或C． D．或【答案】D【分析】根據(jù)給定條件結(jié)合求出，再按焦點位置即可寫出標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】設(shè)雙曲線實半軸、虛半軸長分別為a、b，半焦距為c，則，即，于是得，而，解得，所以，當(dāng)焦點在x軸上時，雙曲線方程為，當(dāng)焦點在y軸上時，雙曲線方程為.故選：D40．（2022·全國·高三專題練習(xí)）雙曲線過點，且離心率為，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)離心率可得，再由可得曲線的方程為，然后將點代入即可求解.【詳解】，則，，則雙曲線的方程為，將點的坐標(biāo)代入雙曲線的方程可得，解得，故，因此，雙曲線的方程為.故選：B41．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））雙曲線的一個焦點到漸近線的距離為（）A． B． C．2 D．4【答案】C【分析】求出焦點坐標(biāo)及漸近線方程，利用點到直線的距離公式求出距離.【詳解】設(shè)雙曲線的一個焦點，其中，漸近線方程：，則F到漸近線的距離d為：.故選：C42．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）若拋物線的焦點F與雙曲線的一個焦點重合，則n的值為（）A． B．1 C．2 D．13【答案】B【分析】計算拋物線焦點為，計算得到答案.【詳解】拋物線的焦點，故，.故選：.【點睛】本題考查了拋物線和雙曲線的焦點，屬于簡單題.43．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知雙曲線：的漸近線方程為，則的焦距等于（）A． B．2 C． D．4【答案】C【分析】根據(jù)漸近線方程可求，從而可求雙曲線的焦距.【詳解】由雙曲線：可得其漸近線方程為，故，故半焦距，故焦距為，故選：C.44．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線與雙曲線有相同的焦點.則的漸近線方程為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)兩個雙曲線有相同的焦點，由，得到雙曲線的方程求解.【詳解】由，得，由題得，解得，所以，所以的漸近線方程為.故選：C.45．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知雙曲線C與橢圓有共同的焦點，且焦點到該雙曲線漸近線的距離等于1，則雙曲線C的方程為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)橢圓的方程可得雙曲線的焦點在軸上，且，然后設(shè)雙曲線的方程，并求出漸近線方程，最后由焦點到該雙曲線漸近線的距離等于及雙曲線中即可求解.【詳解】解：因為橢圓的方程為，所以橢圓的焦點坐標(biāo)為，由題意，雙曲線C的焦點在軸上，且，設(shè)雙曲線C的方程為，則有，其漸近線方程為，即，又焦點到該雙曲線漸近線的距離等于1，則有，所以，所以雙曲線C的方程為，故選：A.46．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若雙曲線的一條漸近線與直線相互垂直，則雙曲線的兩個焦點與虛軸的一個端點構(gòu)成的三角形的面積為（）A． B． C．6 D．8【答案】B【分析】先求出m，再求出焦點坐標(biāo)和短軸頂點坐標(biāo)，直接求面積即可.【詳解】因為雙曲線的一條漸近線與直線相互垂直，所以，解得：m=9.雙曲線的兩個焦點為，虛軸的一個端點.所以三角形的面積為.故選：B47．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）若雙曲線的漸近線與圓相切，則該雙曲線的實軸長為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出雙曲線的漸近線方程，再根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑即可求得.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，即，∵a>0，則，解得，則該雙曲線的實軸長為.故選：B.48．（2022·全國·高三專題練習(xí)）直線是雙曲線等的一條漸近線，且雙曲線的一個頂點到漸近線的距離為，則該雙曲線的虛軸長為（）A．4 B．8 C． D．【答案】A【分析】由雙曲線的一個頂點到漸近線的距離求得，再由漸近線方程的斜率求得答案.【詳解】雙曲線的頂點不妨設(shè)為，到漸近線的距離為，得，又漸近線方程為，得，解得，∴.故選：A.49．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）設(shè)雙曲線的頂點坐標(biāo)為，焦點坐標(biāo)為，則該雙曲線的漸近線方程為（）A．和 B．和C．和 D．和【答案】A【分析】由條件求出雙曲線的方程，然后可得答案.【詳解】因為雙曲線的頂點坐標(biāo)為，焦點坐標(biāo)為所以，所以，所以雙曲線的方程為所以其漸近線方程為和故選：A50．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由求出即可【詳解】因為，所以所以其漸近線方程為故選：A【點睛】在橢圓中有，在雙曲線中有.51．（2022·全國·高三專題練習(xí)）漸近線方程為的雙曲線的離心率是A． B．1C． D．2【答案】C【分析】本題根據(jù)雙曲線的漸近線方程可求得，進一步可得離心率.容易題，注重了雙曲線基礎(chǔ)知識、基本計算能力的考查.【詳解】根據(jù)漸近線方程為x±y＝0的雙曲線，可得，所以c則該雙曲線的離心率為e，故選C．【點睛】理解概念，準(zhǔn)確計算，是解答此類問題的基本要求.部分考生易出現(xiàn)理解性錯誤.52．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若雙曲線C：的一條漸近線與直線平行，則m的值為（）A．4 B． C．2 D．【答案】B【分析】首先判斷，即可表示出雙曲線的漸近線方程，再根據(jù)兩直線平行斜率相等得到方程，即可求出；【詳解】解：雙曲線C：，所以，則雙曲線的漸近線為，又雙曲線的一條漸近線與直線平行，所以，所以，故選：B53．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的離心率，則該雙曲線的一條漸近線方程為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，可知該雙曲線焦點在軸上，則它的漸近線方程為，再根據(jù)雙曲線離心率，求出的值，從而可求出該雙曲線的一條漸近線方程.【詳解】解：根據(jù)題意，雙曲線的離心率，可知該雙曲線焦點在軸上，則它的漸近線方程為，而，則，所以，故其中一條漸近線方程為，故選：D.54．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））設(shè)，為雙曲線：的兩個焦點，若雙曲線的兩個頂點恰好將線段三等分，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由雙曲線的兩個頂點恰好將線段三等分得到求解.【詳解】因為雙曲線的兩個頂點恰好將線段三等分點，所以，則，所以，所以，所以雙曲線的漸近線的方程為，故選：A．55．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））雙曲線C：=1的右焦點為F，點P在C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點，若，則△PFO的面積為A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查以雙曲線為載體的三角形面積的求法，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．采取公式法，利用數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸和方程思想解題．【詳解】由．，又P在C的一條漸近線上，不妨設(shè)為在上，，故選A．【點睛】忽視圓錐曲線方程和兩點間的距離公式的聯(lián)系導(dǎo)致求解不暢，采取列方程組的方式解出三角形的高，便可求三角形面積．56．（2022·河北張家口·高三期末）已知是拋物線上一點，是的焦點，，則（）A．2 B．3 C．6 D．9【答案】C【分析】結(jié)合拋物線的定義以及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程列方程，化簡求得的值.【詳解】由定義，又，所以，解得.故選：C57．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學(xué)校高三期末（文））在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的焦點為，點在拋物線上，則的長為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根據(jù)點在拋物線上，可求出參數(shù)m的值，方法一，可根據(jù)兩點間的距離公式求出的值；方法二，可由拋物線的定義，根據(jù)到焦點的距離與到準(zhǔn)線的距離相等，得出結(jié)論.【詳解】拋物線的焦半徑求解法一：由題意可知，點在拋物線上，則，解得，即，且，所以.故選：D．法二：由題意可知，拋物線的漸近線為，點在拋物線上，則，解得，即，則由拋物線的定義可得，.故選：D．58．（2022·全國·高三專題練習(xí)）拋物線上一點P到焦點的距離是2，則P點坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，由拋物線的定義，列出方程求得，代入拋物線的方程，即可求解.【詳解】設(shè)，由拋物線的定義，可得，解得，代入拋物線的方程，可得，解得，所以點P點坐標(biāo)為．故選：D.59．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）已知拋物線：（）的焦點為，點是上的一點，到直線的距離是到的準(zhǔn)線距離的2倍，且，則（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】A【分析】利用拋物線的定義求解.【詳解】設(shè)，由題意得，解得，故選：A60．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知A（3，2），點F為拋物線的焦點，點P在拋物線上移動，為使取得最小值，則點P的坐標(biāo)為（）A．（0，0） B．（2，2） C． D．【答案】B【分析】設(shè)點P到準(zhǔn)線的距離為，根據(jù)拋物線的定義可知，即可根據(jù)點到直線的距離最短求出．【詳解】如圖所示：設(shè)點P到準(zhǔn)線的距離為，準(zhǔn)線方程為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)點為與拋物線的交點時，取得最小值，此時點P的坐標(biāo)為．故選：B．61．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線C：y2＝2px（p>0）上一點M（6，y）到焦點F的距離為8，則p＝（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】解方程即得解.【詳解】因為到焦點F的距離為8，所以，得.故選：D62．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點為是C上一點，，則（）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】B【分析】利用拋物線的定義、焦半徑公式列方程即可得出．【詳解】由拋物線可得，準(zhǔn)線方程，，是上一點，，．，解得．故選：B．63．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））若拋物線（）上一點到其焦點的距離為2，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】用焦半徑公式解方程算出即可獲解.【詳解】∵拋物線上的點到焦點的距離為2，∴，即，則，∴，則.故選：D.64．（2022·全國·高三專題練習(xí)）頂點在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點為直線3x－4y－12＝0與坐標(biāo)軸的交點的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A．x2＝－12y或y2＝16x B．x2＝12y或y2＝－16xC．x2＝9y或y2＝12x D．x2＝－9y或y2＝－12x【答案】A【分析】由直線求出拋物線焦點坐標(biāo)，根據(jù)焦點坐標(biāo)求出拋物線方程.【詳解】對于直線方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，所以拋物線的焦點為(0，－3)或(4，0)．當(dāng)焦點為(0，－3)時，設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p>0)，則＝3，所以p＝6，此時拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－12y；當(dāng)焦點為(4，0)時，設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p>0)，則＝4，所以p＝8，此時拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝16x．故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－12y或y2＝16x．故選：A65．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知拋物線，過焦點且傾斜角為的直線交于，兩點，則弦的中點到準(zhǔn)線的距離為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求得的方程為，聯(lián)立方程組，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，求得，進而求得弦的中點到準(zhǔn)線的距離，得到答案.【詳解】由題意，拋物線，可得焦點，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，，直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，則，所以弦的中點的橫坐標(biāo)為，則弦的中點到準(zhǔn)線的距離為.故選：C.66．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）過拋物線焦點的直線交拋物線于兩點（點在第一象限），若直線的傾斜角為，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出直線方程，聯(lián)立直線和拋物線方程，解得A，B坐標(biāo)，即可由拋物線定義求得，得出所求.【詳解】由題可得，設(shè)，（），直線的傾斜角為，直線斜率為，則直線l的方程為，聯(lián)立可得，解得，由拋物線的定義可得，則.故選：B.67．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知F是拋物線C1：y2＝2px(p＞0)的焦點，曲線C2是以F為圓心，為半徑的圓，直線4x－3y－2p＝0與曲線C1，C2從上到下依次相交于點A，B，C，D，則＝（）A．16 B．4C． D．【答案】A【分析】根據(jù)拋物線的定義以及圓的知識將轉(zhuǎn)化為，再聯(lián)立直線與拋物線，解得，即可得到答案.【詳解】如圖：因為直線4x－3y－2p＝0過C1的焦點F(C2的圓心)，故|BF|＝|CF|＝，所以＝，由拋物線的定義得|AF|－＝，|DF|－＝，由，整理得8x2－17px＋2p2＝0，即(8x－p)(x－2p)＝0，可得，，故.故選：A.【點睛】本題考查了圓的性質(zhì)，考查了拋物線的定義，考查了直線與拋物線的交點，屬于中檔題.68．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知雙曲線被斜率為1的直線截得的弦的中點為（4，2），則該雙曲線的離心率為（）A． B．C． D．2【答案】B【分析】設(shè)弦的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，代入雙曲線方程并作差整理得：，再結(jié)合直線的斜率為1和弦的中點，可得，從而可求出離心率【詳解】設(shè)弦的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則，，兩式作差整理得：．∵斜率為1，弦的中點為（4，2），∴，，，∴，即，∴.故.故選：B69．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線l被雙曲線C：﹣y2=1所截得的弦的中點坐標(biāo)為(1，2)，則直線l的方程（）A．x+4y﹣9=0 B．x﹣4y+7=0C．x﹣8y+15=0 D．x+8y﹣17=0【答案】C【分析】運用代入法、點差法求出直線l的斜率，最后利用直線的點斜式方程進行求解即可.【詳解】解：設(shè)P，Q的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，∵線段PQ的中點為(1，2)，∴x1+x2=2，y1+y2=4，∵，∴﹣(y1﹣y2)(y1+y2)=0，整理得，即直線l的斜率為，故直線l的方程為y﹣2=(x﹣1)，即x﹣8y+15=0，故選：C.二、多選題70．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，分別是橢圓的左，右焦點，P為橢圓C上異于長軸端點的動點，則下列結(jié)論正確的是（）A．的周長為10B．面積的最大值為C．當(dāng)時，的面積為D．存在點P使得【答案】AB【分析】由橢圓的方程可得，由的周長為可判斷A，當(dāng)點位于短軸端點時，的面積最大，可判斷B，利用余弦定理可橢圓的定義求出，可判斷C，設(shè)，則，由可得，解出方程可判斷D.【詳解】由橢圓的方程可得的周長為，故A正確當(dāng)點位于短軸端點時，的面積最大，最大值為，故B正確當(dāng)時，由余弦定理可得所以，所以，可得所以的面積為，故C錯誤設(shè)，則由可得，從而可得解得，不成立，故D錯誤故選：AB71．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知曲線C的方程為（且），則下列結(jié)論正確的是（）A．當(dāng)時，曲線C是焦距為4的雙曲線B．當(dāng)時，曲線C是離心率為的橢圓C．曲線C可能是一個圓D．當(dāng)時，曲線C是漸近線方程為的雙曲線【答案】AD【分析】根據(jù)給定方程，逐一利用各個選項中的條件，再列式計算并判斷作答.【詳解】對于A，當(dāng)時，曲線C的方程為，表示雙曲線，且，即焦距為4，A正確；對于B，當(dāng)時，曲線C的方程為，表示橢圓，離心率，B錯誤；對于C，令，得，，該方程無解，則曲線C不可能是一個圓，C錯誤；對于D，當(dāng)時，曲線C的方程為，表示雙曲線，漸近線方程為，即，D正確.故選：AD72．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知曲線的方