第10題共焦點(diǎn)的橢圓離心率問題 2024年高中數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)之一題多解

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第10題共焦點(diǎn)的橢圓離心率問題【2024上·湖北武漢·高三統(tǒng)考期末】．如圖，橢圓和有相同的焦點(diǎn)，離心率分別為為橢圓的上頂點(diǎn)，三點(diǎn)共線且垂足在橢圓上，則的最大值是______．設(shè)，，利用橢圓的定義及勾股定理得，結(jié)合基本不等式計(jì)算即可.設(shè)，在橢圓中有，即．在三角形中有，故，即，解得，所以的最大值是，在時(shí)取得．（23-24高三上·河北·期末）1．已知是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值是（

）A． B． C． D．（2024·廣東深圳·二模）2．P是橢圓C：（）上一點(diǎn)，、是的兩個(gè)焦點(diǎn)，，點(diǎn)在的平分線上，為原點(diǎn)，，且．則的離心率為（

）A． B． C． D．設(shè)，結(jié)合線段關(guān)系表示，根據(jù)輔助角公式及三角函數(shù)的有界性計(jì)算即可.，，，在時(shí)取最大值．（23-24高三上·湖北荊州·階段練習(xí)）3．已知是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，則橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為（

）A． B．C． D．（23-24高三上·山東青島·期末）4．直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為E，AE的中點(diǎn)為，設(shè)直線與橢圓的另一交點(diǎn)為，若，則橢圓的離心率為（

）A． B．C． D．（23-24高二上·貴州銅仁·期末）5．已知橢圓：（）與雙曲線：（）共焦點(diǎn)，，過引直線與雙曲線左、右兩支分別交于點(diǎn)，，過作，垂足為，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），若，則與的離心率之和為（

）A． B． C． D．（23-24高二上·山東濟(jì)寧·階段練習(xí)）6．設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，是橢圓上一點(diǎn)，，，則橢圓離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．（2023·湖北咸寧·模擬預(yù)測）7．已知中心在原點(diǎn)的橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，左右焦點(diǎn)分別為，且兩條曲線在第一象限的交點(diǎn)為，是以為底邊的等腰三角形，若，橢圓與雙曲線的離心率分別為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知橢圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn)和，設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為，，為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．若，則的取值范圍是．9．如圖，在中，已知，其內(nèi)切圓與AC邊相切于點(diǎn)D，且，延長BA到E，使，連接CE，設(shè)以E，C為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)A的橢圓的離心率為，以E，C為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)A的雙曲線的離心率為，則的取值范圍是．（2023·湖北襄陽·模擬預(yù)測）10．如圖，已知有公共焦點(diǎn)、的橢圓和雙曲線相交于A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)，且滿足，直線AB與x軸交于點(diǎn)P，直線CP與雙曲線交于點(diǎn)Q，記直線AC、AQ的斜率分別為、，若，則橢圓的離心率為.（22-23高三上·上海浦東新·期末）11．已知中心在原點(diǎn)的橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，且左，右焦點(diǎn)分別是，，這兩條曲線在第一象限的交點(diǎn)為，是以為底邊的等腰三角形，若，橢圓與雙曲線的離心率分別為，，則的取值范圍是．（2023·四川涼山·一模）12．如圖，已知橢圓，．若由橢圓長軸一端點(diǎn)和短軸一端點(diǎn)分別向橢圓引切線和，若兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．A【分析】設(shè)出橢圓的長半軸長，雙曲線的實(shí)半軸長為，然后根據(jù)焦點(diǎn)三角形頂角的余弦定理求解出的關(guān)系式，最后通過“1”的妙用求解出最小值.【詳解】如圖，設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實(shí)半軸長為，則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義得：，，設(shè)，則在中，由余弦定理得，，化簡得，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查橢圓、雙曲線的離心率的相關(guān)計(jì)算，涉及到焦點(diǎn)三角形、基本不等式求最值等問題，對學(xué)生的計(jì)算能力要求較高，難度較大.解答本題的關(guān)鍵點(diǎn)有兩個(gè)：（1）運(yùn)用兩個(gè)曲線的定義，找到離心率之間的關(guān)系；（2）在已知條件等式的情況下，活用“1”的妙用求最值.2．C【分析】設(shè)，，由題意得出是等腰直角三角形，列方程組得到含的齊次方程求解離心率即可.【詳解】如圖，設(shè)，，延長交于A，由題意知，O為的中點(diǎn)，故為中點(diǎn)，又，即，則，又由，則是等腰直角三角形，故有，化簡得，即，代入得，即，由所以，所以，.故選：C.3．A【分析】根據(jù)雙曲線以及橢圓的定義可得，，進(jìn)而在焦點(diǎn)三角形中運(yùn)用余弦定理即可得，再結(jié)合均值不等式即可求解.【詳解】如圖，設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的半實(shí)軸長為，則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義，得，，所以，，設(shè)，，則在△中由余弦定理，得，化簡得：，即，又，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為．故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是利用橢圓與雙曲線的定義得到，，從而利用余弦定理構(gòu)造得關(guān)于的齊次方程，由此得解.4．A【分析】設(shè)，根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算，三點(diǎn)共線，由點(diǎn)差法即可求解.【詳解】設(shè)，則，，，，①，三點(diǎn)共線，，②，在橢圓上，，兩式相減可得，③將①②代入③可得，，，所以橢圓的離心率.故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：點(diǎn)差法是解決圓錐曲線與直線的關(guān)系中常用到的一種方法.當(dāng)直線與圓錐曲線相交的問題涉及到相交弦的中點(diǎn)或與中點(diǎn)坐標(biāo)相關(guān)的條件時(shí)，宜應(yīng)用點(diǎn)差法求解，即將直線被圓錐曲線截得的弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，得到兩個(gè)等式，再將兩個(gè)等式作差，轉(zhuǎn)化得到弦的中點(diǎn)坐標(biāo)與直線斜率的關(guān)系，進(jìn)而解決問題.在解答圓錐曲線的某些問題時(shí)，若果能適時(shí)運(yùn)用點(diǎn)差法，可以達(dá)到“設(shè)而不求”的目的，同時(shí)，還可以降低解題的運(yùn)算量，優(yōu)化解題過程.5．B【分析】由雙曲線方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，故可得橢圓離心率，點(diǎn)作于點(diǎn)，結(jié)合題目所給條件，可由、表示出、，結(jié)合雙曲線定義即可得雙曲線離心率.【詳解】由可得，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為、，則橢圓的離心率為，由，，則，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由為中點(diǎn)，故，，由，故，則，，由雙曲線定義可知，，故，則離心率為，故與的離心率之和為.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在作出，方可將題目所給條件結(jié)合起來，得出、，結(jié)合雙曲線定義求出雙曲線離心率.6．C【分析】設(shè)，由橢圓定義和勾股定理得到，換元后得到，根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性求出，得到離心率的取值范圍.【詳解】設(shè)，，由橢圓的定義可得，，可設(shè)，可得，即有，①由，可得，即為，②由，可得，令，可得，即有，由，可得，即，則時(shí)，取得最小值；或4時(shí)，取得最大值.即有，得.故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求橢圓的離心率或離心率的取值范圍，常見有三種方法：①求出，代入公式；②根據(jù)條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得離心率或離心率的取值范圍；③由題目條件得到離心率關(guān)于變量的函數(shù)，結(jié)合變量的取值范圍得到離心率的取值范圍.7．B【分析】根據(jù)等腰三角形三邊關(guān)系可構(gòu)造不等式求得的范圍，根據(jù)雙曲線和橢圓定義可利用表示出，從而得到，結(jié)合的范圍可得結(jié)果.【詳解】設(shè)橢圓與雙曲線的半焦距為c，橢圓長半軸為，雙曲線實(shí)半軸為，，，是以為底邊的等腰三角形，點(diǎn)在第一象限內(nèi)，，即，，且，，，，解得：．在雙曲線中，，；在橢圓中，，；；，，則，，可得：，的取值范圍為.故選：B.8．【分析】設(shè)出半焦距c，用表示出橢圓的長半軸長、雙曲線的實(shí)半軸長，由可得為直角三角形，由此建立關(guān)系即可計(jì)算作答,【詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實(shí)半軸長為，它們的半焦距為c，于是得，，由橢圓及雙曲線的對稱性知，不妨令焦點(diǎn)和在x軸上，點(diǎn)P在y軸右側(cè)，由橢圓及雙曲線定義得：，解得，，因，即，而O是線段的中點(diǎn)，因此有，則有，即，整理得：，從而有，即有，又，則有，即，解得，所以的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的三種方法：①定義法：通過已知條件列出方程組，求得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；②齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解；③特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.9．【分析】設(shè)分別是與圓的切點(diǎn)，設(shè)，利用橢圓，雙曲線的定義分切求出的表達(dá)式，進(jìn)而可得的表達(dá)式，然后求出的取值范圍即可的解.【詳解】如圖以的中點(diǎn)為原點(diǎn)直角坐標(biāo)系，設(shè)分別是與圓的切點(diǎn)，由圓的切線性質(zhì)得，設(shè)，所以，，在中，，以為焦點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)的雙曲線的離心率為，以為焦點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)的橢圓的離心率為，則，在中，設(shè)，所以，，由余弦定理可得，所以，所以，得，由對勾函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)圓錐曲線的定義結(jié)合條件表示出，然后根據(jù)余弦定理結(jié)合條件求出參數(shù)的取值范圍是解出此題的關(guān)鍵.10．##【分析】設(shè)橢圓的方程為，雙曲線的方程為，聯(lián)立方程組求的坐標(biāo)，再求點(diǎn)的坐標(biāo)，由條件列方程求橢圓的離心率.【詳解】設(shè)橢圓的方程為，雙曲線的方程為，因?yàn)闄E圓和雙曲線有公共焦點(diǎn)、，所以，因?yàn)?，?lián)立，可得，所以，所以點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，，所以直線的斜率，直線的方程為，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，聯(lián)立，消得，，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，所以，，所以直線的斜率，又，，所以，又，所以，因?yàn)辄c(diǎn)，，所以，故，故所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝a2－c2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．11．【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線的定義、橢圓和雙曲線的離心率公式，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，從而可得，進(jìn)而可得到關(guān)于的表達(dá)式，構(gòu)造函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)在上的單調(diào)情況即可解得的取值范圍．【詳解】設(shè)橢圓和雙曲線的半焦距為，，，，由于是以為底邊的等腰三角形，由，即有，，由橢圓的定義可得，由