網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)與效應(yīng)原理：第6章 博弈論基本概念

博弈論基本概念（對(duì)應(yīng)教材第6章）［現(xiàn)代博弈論開(kāi)始于1928年馮諾伊曼的工作］本章學(xué)習(xí)要點(diǎn)通過(guò)幾種典型博弈的類(lèi)型囚徒困境，鷹鴿博弈，獵鹿博弈理解博弈論的基本概念（及其引入的過(guò)程）參與人，策略，收益（收益矩陣）最佳應(yīng)對(duì)，占優(yōu)策略納什均衡混合策略，混合策略均衡社會(huì)最優(yōu)體會(huì)“情景

博弈

求解”過(guò)程中的思想博弈－從一個(gè)例子開(kāi)始“復(fù)習(xí)考試”還是“準(zhǔn)備報(bào)告”？假設(shè)在截止日期前一天，你有兩件要做的事情：一是復(fù)習(xí)（為了參加考試），二是準(zhǔn)備（給一個(gè)報(bào)告）。你只能選擇做一項(xiàng)?？荚嚦煽?jī)可以預(yù)計(jì)如果復(fù)習(xí)，則考試成績(jī)92分，沒(méi)復(fù)習(xí)，則80分報(bào)告需要你和你的拍檔合作完成如果你和拍檔都準(zhǔn)備報(bào)告，則每人都是100分如果只有一人準(zhǔn)備報(bào)告，則每人都是92分如果兩人都沒(méi)準(zhǔn)備報(bào)告，則每人都是84分那么你該選擇做什么呢？（假設(shè)你和拍檔各自獨(dú)立考慮這個(gè)問(wèn)題）例子：“考試-報(bào)告”博弈設(shè)你們都追求平均成績(jī)的最大化：你和搭檔都準(zhǔn)備報(bào)告，則平均成績(jī)均為(80+100)/2=90分你和搭檔都準(zhǔn)備考試，則平均成績(jī)均為: (92+84)/2=88分考試成績(jī)可以預(yù)期：如果復(fù)習(xí)，則考試成績(jī)92分如果沒(méi)復(fù)習(xí)，則考試成績(jī)80分報(bào)告是你和你的拍檔合作完成的：如果你和拍檔都準(zhǔn)備報(bào)告，則每人100分如果只有一人準(zhǔn)備報(bào)告，則每人92分如果兩人都沒(méi)準(zhǔn)備報(bào)告，則每人84分若一方復(fù)習(xí)考試，另一方準(zhǔn)備報(bào)告：準(zhǔn)備報(bào)告的得：(80+92)/2=86分復(fù)習(xí)的得：(92＋92)/2=92分收益矩陣（表達(dá)博弈的一種直觀方式）你的拍檔準(zhǔn)備報(bào)告復(fù)習(xí)考試你準(zhǔn)備報(bào)告90,9086,92復(fù)習(xí)考試92,8688,88其中第一個(gè)數(shù)字是“你”的收益，第二個(gè)是“拍檔”的收益（也稱(chēng)“回報(bào)”，payoff）博弈的基本要素一般情況下，博弈具有三個(gè)要素：（1）

參與者（至少兩個(gè)）；（2）

策略集：每個(gè)參與者都有一組關(guān)于如何行為的備選項(xiàng)，此處備選項(xiàng)指參與者的可能策略。（3）收益（回報(bào)）：每個(gè)策略行為的選擇，都會(huì)使參與人得到一個(gè)收益。這個(gè)收益結(jié)果還受互動(dòng)中他人策略選擇的影響。策略組：由每個(gè)參與者出一個(gè)策略構(gòu)成的組合。給定策略組，每個(gè)參與人對(duì)應(yīng)有一個(gè)收益（可能不同的）通常，收益的記號(hào)：P1(S,T),P2(S,T)博弈行為推理的幾點(diǎn)基本假設(shè)每個(gè)參與人對(duì)博弈結(jié)構(gòu)（收益矩陣）有充分了解。參與人都是理性的（rational）追求自己的收益最大化（盡量大）給定其他人的策略，若自己能通過(guò)改變當(dāng)前策略獲得更大收益，則會(huì)放棄當(dāng)前策略，換個(gè)更好的知道其他參與人也是如此決策的獨(dú)立性不商量，沒(méi)有“協(xié)議聯(lián)盟”之類(lèi)“考試-報(bào)告”博弈中的行為推理嚴(yán)格占優(yōu)策略：對(duì)一個(gè)參與人（A）來(lái)說(shuō)，若存在一個(gè)策略，無(wú)論另一個(gè)參與人（B）選擇何種行為策略，該策略都是最佳選擇，則這個(gè)策略就稱(chēng)為是A的嚴(yán)格占優(yōu)策略。按照前面的假設(shè)，參與人將選擇嚴(yán)格占優(yōu)策略。這個(gè)例子中，“復(fù)習(xí)考試”對(duì)雙方都是嚴(yán)格占優(yōu)策略。你的拍檔準(zhǔn)備報(bào)告復(fù)習(xí)考試你準(zhǔn)備報(bào)告90,9086,92復(fù)習(xí)考試92,8688,88“囚徒困境”假設(shè)有兩個(gè)疑犯被警察抓住。并且被分開(kāi)關(guān)押在不同的囚室。警察強(qiáng)烈懷疑他們和一場(chǎng)搶劫案有關(guān)。但是，沒(méi)有充足的證據(jù)。然而，他們都拒捕的事實(shí)也是可判刑的。兩個(gè)疑犯都被告知以下結(jié)果：“如果你坦白，而另外一人抵賴，則你馬上釋放；另外一人將承擔(dān)全部罪行，將會(huì)被

判刑10年如果你們都坦白，你們的罪行將被證實(shí)。但由于你們有認(rèn)罪的表現(xiàn)——判刑4年。如果你們都不坦白，那么沒(méi)有證據(jù)證明你們的搶劫罪，我們將以拒捕罪控告你們——判刑1年。另外一方也正在接受這樣的審訊。你是坦白還是抵賴？”“囚徒困境”的收益矩陣疑犯1和疑犯2的嚴(yán)格占優(yōu)策略都是“坦白”盡管如果兩人都抵賴會(huì)都判得少些刻畫(huà)了“有關(guān)個(gè)體私利前，建立合作是十分困難的”模型。

疑犯2抵賴坦白疑犯1抵賴-1,-1-10,0坦白0,-10-4,-4“興奮劑”博弈這種類(lèi)型通常稱(chēng)為軍備競(jìng)賽。競(jìng)爭(zhēng)雙方為保持彼此實(shí)力相當(dāng)，都會(huì)選擇生產(chǎn)更具危險(xiǎn)性的武器，盡管對(duì)自己內(nèi)部會(huì)有傷害運(yùn)動(dòng)員傷害身體，國(guó)家影響民生。運(yùn)動(dòng)員2沒(méi)服用服用運(yùn)動(dòng)員1沒(méi)服用3,31,4服用4,12,2并不是每人總有嚴(yán)格占優(yōu)策略例子：“營(yíng)銷(xiāo)戰(zhàn)略”博弈假設(shè)有兩家公司，分別要規(guī)劃生產(chǎn)并銷(xiāo)售同一種新產(chǎn)品。該產(chǎn)品有兩款可能的規(guī)格：廉價(jià)（低檔）或高檔。如何決策？設(shè)顧客總體被分成兩個(gè)市場(chǎng)：一部分消費(fèi)群體（60%）只購(gòu)買(mǎi)廉價(jià)商品，另一部分消費(fèi)群體（40%）只購(gòu)買(mǎi)高檔次商品。假設(shè)每家公司從廉價(jià)或高檔次商品所得利潤(rùn)是等同的（因此利潤(rùn)僅取決于市場(chǎng)占有率）。每家公司都追求利潤(rùn)最大化。“營(yíng)銷(xiāo)戰(zhàn)略”博弈假設(shè)若兩家公司分別定位生產(chǎn)不同類(lèi)型的產(chǎn)品，則每家公司都會(huì)得到該商品市場(chǎng)的全部份額。公司1品牌形象更佳。因此，若這兩家公司在同一市場(chǎng)（廉價(jià)或高檔次）中競(jìng)爭(zhēng)，則公司1可以得到80%的市場(chǎng)，公司2只能得到20％。公司2廉價(jià)高檔公司1廉價(jià)0.48,0.120.6,0.4高檔0.4,0.60.32,0.08公司1有嚴(yán)格占優(yōu)策略（廉價(jià)），但公司2沒(méi)有。高檔市場(chǎng)40％廉價(jià)市場(chǎng)60％最佳應(yīng)對(duì)設(shè)S是參與人甲的一個(gè)策略，T是參與人乙的一個(gè)策略。在收益矩陣中的某個(gè)單元格對(duì)應(yīng)這一對(duì)策略（S，T）。P1(S，T)：表示參與人甲從這組決策獲得的收益P2(S，T)：表示參與人乙從這組決策獲得的收益最佳應(yīng)對(duì)：針對(duì)參與人乙的策略T，若參與人甲采用策略S產(chǎn)生的收益大于或等于自己的任何其他策略，則稱(chēng)參與人甲的策略S是參與人乙的策略T的最佳應(yīng)對(duì)。

P1(S，T)≥P1(S’，T)

其中，

S’是參與人甲除S外的任何其他策略。

存在性？

唯一性？嚴(yán)格最佳應(yīng)對(duì)嚴(yán)格最佳應(yīng)對(duì)：若S會(huì)產(chǎn)生比任何應(yīng)對(duì)策略T的其他策略都更高的收益，則稱(chēng)參與人甲的策略S是對(duì)于參與人乙的策略T的嚴(yán)格最佳應(yīng)對(duì)。

P1（S，T）>P1（S’，T）

其中，S’是參與人甲的所有其他策略。注：最佳應(yīng)對(duì)的概念是針對(duì)對(duì)方的某一個(gè)策略（T），相對(duì)于自己的所有策略而言的對(duì)于同一個(gè)T，最多只可能有一個(gè)嚴(yán)格最佳應(yīng)對(duì)對(duì)于不同的T，最佳應(yīng)對(duì)可能相同，也可能不同

不一定存在，但存在則唯一占優(yōu)策略與嚴(yán)格占優(yōu)策略定義：（從最佳應(yīng)對(duì)角度給出）參與人甲的占優(yōu)策略S，是指該策略對(duì)于參與人乙的每一策略都是最佳應(yīng)對(duì)。參與人甲的嚴(yán)格占優(yōu)策略S，是指該占優(yōu)策略對(duì)于參與人乙的每一策略都是嚴(yán)格最佳應(yīng)對(duì)。注：占優(yōu)策略的概念是相對(duì)于對(duì)方所有策略而言的，而最佳應(yīng)對(duì)是針對(duì)單個(gè)策略而言。如果參與人有嚴(yán)格占優(yōu)策略，則可預(yù)期他會(huì)采取該策略（與基本假設(shè)的一致性）?！盃I(yíng)銷(xiāo)戰(zhàn)略”博弈假設(shè)若兩家公司分別定位生產(chǎn)不同類(lèi)型的產(chǎn)品，則每家公司都會(huì)得到該商品市場(chǎng)的全部份額。公司1品牌形象更佳。因此，若這兩家公司在同一市場(chǎng)（廉價(jià)或高檔次）中競(jìng)爭(zhēng)，則公司1可以得到80%的市場(chǎng)，公司2只能得到20％。公司2廉價(jià)高檔公司1廉價(jià)0.48,0.120.6,0.4高檔0.4,0.60.32,0.08

可以預(yù)測(cè)此博弈的結(jié)果是即公司1采取廉價(jià)策略，公司2將會(huì)采取高檔次策略。高檔市場(chǎng)40％廉價(jià)市場(chǎng)60％簡(jiǎn)單博弈的行為推理如果兩個(gè)人都有嚴(yán)格占優(yōu)策略，則可以預(yù)計(jì)他們均會(huì)采取嚴(yán)格占優(yōu)策略；如果只有一個(gè)人有嚴(yán)格占優(yōu)策略，則這個(gè)人會(huì)采取嚴(yán)格占優(yōu)策略，而另一方會(huì)采取此策略的最佳應(yīng)對(duì)（一定會(huì)有?。┤绻麅蓚€(gè)人都沒(méi)有嚴(yán)格占優(yōu)策略呢？（從哪開(kāi)始推理？）無(wú)占優(yōu)策略例子（三客戶博弈）假設(shè)有兩家公司，都希望和A、B、C三個(gè)大客戶之一洽談生意。每家公司都有三種可能的策略：是否找客戶A、B或C。它們決策的考量如下：若兩家公司都找同一個(gè)客戶，則該客戶會(huì)給每個(gè)公司一半的業(yè)務(wù)。公司1規(guī)模太小，以至于不能靠自身找到客戶源。所以，只要它和公司2分別尋找不同的客戶洽談生意，則公司1獲得的收益將會(huì)是0（生意做不成）。假設(shè)公司2單獨(dú)尋找客戶B或C洽談生意，則會(huì)得到客戶B或C的全部業(yè)務(wù)。但是A是一個(gè)大客戶。尋找客戶A洽談生意時(shí)，必須和公司1合作才能接下業(yè)務(wù)。因?yàn)锳是一個(gè)大客戶，和它做生意的收益是8（假設(shè)兩家公司合作，則每家公司會(huì)得到收益4）。但是，和B或C做生意的收益價(jià)值是2（合作的話，每個(gè)公司收益是1）“三客戶”博弈的推理收益矩陣公司2ABC公司1A4，40,20,2B0，01,10,2C0，00,21,1兩家公司都沒(méi)有嚴(yán)格占優(yōu)策略如何討論博弈的走向（結(jié)果）？納什均衡假定參與人甲選擇策略S，參與人乙選擇策略T。若S是T的最佳應(yīng)對(duì)，且T也是S的最佳應(yīng)對(duì)，則稱(chēng)策略組（S，T）是一個(gè)納什均衡。在均衡狀態(tài)，任何參與人都沒(méi)有動(dòng)機(jī)（理性的理由）去換一種策略。納什均衡：互為最佳應(yīng)對(duì)的策略組，誰(shuí)也不可能通過(guò)單方面改變策略而得到額外好處，盡管如果兩人都改變可能都會(huì)更好（相比都不改變而言）“三客戶”博弈的納什均衡存在納什均衡：(A，A)尋找納什均衡的兩種途徑：一是，檢查每一個(gè)策略組，看它們中的每一項(xiàng)是否是彼此間策略的最佳應(yīng)對(duì)策略。二是，找出每個(gè)參與人對(duì)于對(duì)方每個(gè)策略的最佳應(yīng)對(duì)，然后發(fā)現(xiàn)互為最佳應(yīng)對(duì)的策略組。公司2ABC公司1A4,40,20,2B0，01,10,2C0，00,21,1多重均衡：協(xié)調(diào)博弈

多重均衡－－存在多個(gè)均衡例子：協(xié)調(diào)博弈假設(shè)你和你拍檔都為一個(gè)合作項(xiàng)目準(zhǔn)備幻燈片簡(jiǎn)報(bào)（雙方不能通過(guò)電話等方式聯(lián)系商量）。你必須決定是用微軟的PPT或是用蘋(píng)果的Keynote軟件來(lái)制作你負(fù)責(zé)的半份幻燈片。假設(shè)你們使用同樣的軟件來(lái)設(shè)計(jì)，那就比較容易合并你們的幻燈片。協(xié)調(diào)博弈的推理存在兩個(gè)納什均衡：（PPT，PPT），（Keynote，Keynote）。如何預(yù)測(cè)協(xié)調(diào)博弈中參與人的行為？一般來(lái)說(shuō)，從博弈結(jié)構(gòu)本身已經(jīng)不能預(yù)測(cè)參與者行為的趨向，需要利用一些外部因素，例如社會(huì)習(xí)俗。你的拍檔PPTKeynote你PPT1,10，0Keynote0，01，1不對(duì)等協(xié)調(diào)博弈假設(shè)你和項(xiàng)目拍檔都更喜歡使用蘋(píng)果軟件。謝林的聚點(diǎn)理論表明，可以預(yù)測(cè)參與人會(huì)傾向于收益情況更好的均衡（2,2）。你的拍檔PPTKeynote你PPT1,10，0Keynote0，02，2兩人的喜好不同呢假設(shè)你和你的拍檔喜歡的軟件不同。此時(shí)僅從博弈結(jié)構(gòu)很難預(yù)測(cè)具體哪種均衡會(huì)被達(dá)到。可以通過(guò)了解他們之間平常發(fā)生沖突時(shí)解決的慣例來(lái)預(yù)測(cè)。你的拍檔PPTKeynote你PPT1,20，0Keynote0，02，1獵鹿博弈假設(shè)兩獵人外出獵物。若他們合作，則可以獵到鹿（這可以給獵者帶來(lái)最高的收益）。獵人若分開(kāi)單干，都能獵到兔。若一方想單獨(dú)獵鹿，則收益是0。另一方依然能獵到兔。選擇何種均衡？要在高收益和由于另一方不合作而造成損失之間進(jìn)行權(quán)衡。

獵人2獵鹿獵兔獵人1獵鹿4，40，3獵兔3，03，3多重均衡：鷹鴿博弈假設(shè)兩只動(dòng)物要決定一塊食物的分配。每只動(dòng)物都可以選擇爭(zhēng)奪行為（鷹派策略）或分享行為（鴿派策略）。若兩種動(dòng)物都選擇分享行為，它們將會(huì)均勻的分配食物，各自的收益是3。若一方行為表現(xiàn)為爭(zhēng)奪，另一方行為表現(xiàn)是分享，則爭(zhēng)奪方會(huì)得到大多數(shù)食物，獲得收益是5，分享方只能得到收益為1。當(dāng)兩只動(dòng)物都表現(xiàn)為爭(zhēng)奪行為，由于在爭(zhēng)奪中踐踏了食物，則它們得到的收益將為0。鷹鴿博弈的推理很難預(yù)測(cè)參與者的行為一般來(lái)說(shuō)，納什均衡概念能有助于縮小預(yù)測(cè)范圍，但它并不一定能給出唯一的預(yù)測(cè)。動(dòng)物2鴿派鷹派動(dòng)物1鴿派3，31，5鷹派5，10，0幾種典型多重均衡博弈類(lèi)型對(duì)比動(dòng)物2鴿派鷹派鴿派3，31，5鷹派5，10，0你的拍檔PPTKeynotePPT1，10，0Keynote0，02，2你的拍檔PPTKeynotePPT1，20，0Keynote0，02，1獵人2獵鹿獵兔獵鹿4，40，3獵兔3，03，3簡(jiǎn)單博弈的推理（進(jìn)一步）如果雙方都有嚴(yán)格占優(yōu)策略，則都會(huì)采用如果只有一方有嚴(yán)格占優(yōu)策略，則可以預(yù)測(cè)另一方會(huì)采用此策略的最佳應(yīng)對(duì)如果不存在嚴(yán)格占優(yōu)策略，則尋找納什均衡存在一個(gè)納什均衡，該均衡對(duì)應(yīng)合理結(jié)果存在多個(gè)納什均衡（需要額外信息輔助推斷）協(xié)調(diào)博弈，鷹鴿博弈均衡有助于縮小考慮范圍，但不保證有效預(yù)測(cè)如果不存在納什均衡，該怎么辦？一個(gè)不存在納什均衡的例子硬幣配對(duì)－“零和博弈”（zerosumgame）甲乙各持一枚硬幣，同時(shí)選擇手中硬幣的正反面。若他們硬幣的朝向相同，乙將贏得甲的硬幣。反之，甲將贏得乙的硬幣。參與人乙正面H反面T參與人甲正面H-1，+1+1，-1反面T+1，-1-1，+1此時(shí)，不存在一組互為最佳應(yīng)對(duì)策略（純策略意義下的納什均衡）如果這樣的博弈重復(fù)進(jìn)行若干次，你會(huì)如何考慮自己的策略？預(yù)測(cè)對(duì)方采用不同策略的概率，據(jù)此確定自己的策略（概率）不要讓對(duì)方了解自己采用不同策略的概率此時(shí)，你的“策略”可以看成是在兩種固定策略（純策略）之間選擇的概率?；旌喜呗缘囊胍腚S機(jī)性，考慮參與人將以一定的概率分布在不同策略間進(jìn)行選擇，一種分布對(duì)應(yīng)一個(gè)“策略”（稱(chēng)為混合策略，此時(shí)，選擇策略就是選擇分布）對(duì)于雙策略（H和T）博弈，混合策略則可簡(jiǎn)略表示為一個(gè)概率。通常，我們說(shuō)參與人1的策略是概率p，是指他以概率p執(zhí)行H；以概率1-p執(zhí)行T參與人2的策略是概率q，是指他以概率q執(zhí)行H，以概率1-q執(zhí)行T 作為博弈，三要素齊了沒(méi)有？參與人策略（概率）收益??？此時(shí)的策略是在兩種固定（純）策略上選擇的概率，每一組純策略是對(duì)應(yīng)有固定收益的。因而，從概率意義出發(fā)，此時(shí)的收益應(yīng)該體現(xiàn)一種在兩種純策略上的“平均”（期望）。討論混合策略的框架（雙人雙策略）從一個(gè)純策略博弈出發(fā)，如下定義混合策略參與人：同基礎(chǔ)純策略參與人的策略：在各自純策略集合上的一個(gè)概率分布于是，存在有無(wú)窮多個(gè)策略某參與人在策略組（p,q）上的回報(bào)：基于在純策略上的收益，按照自己和他人的策略概率p,q算得的收益期望不同的（p,q）導(dǎo)致不同的回報(bào)立刻可能想到的(例)p\q0.10.20.30.4…0.12.74,??,??,??,?0.2?,??,??,??,?0.3?,??,??,??,?0.4?,??,??,??,?乙L(q)R(1-q)甲U(p)4，40，3D(1-p)3，03，3P1(p,q)=?P2(p,q)=?但是，在研究一個(gè)混合策略博弈的時(shí)候，我們一般并不關(guān)心在每個(gè)策略下的具體回報(bào)情況，而是關(guān)心是否能達(dá)到均衡？在什么混合策略組下達(dá)到均衡？哪兩個(gè)概率是互為最佳應(yīng)對(duì)？混合策略的均衡：互為最佳應(yīng)對(duì)在各自概率策略的選擇下，雙方的收益期望互為最大（任何單方面改變不會(huì)增加其收益）納什的奠基性貢獻(xiàn)：證明了具有有限參與者和有限純策略集的博弈一定存在納什均衡（包括混合策略均衡）一般來(lái)說(shuō)，找到混合策略的納什均衡是很困難的，但在某些特定條件下能有系統(tǒng)的方法。雙人雙策略、不含純策略均衡的博弈中的混合策略納什均衡求解你若不知道對(duì)方的策略，你會(huì)以什么概率出H？他正面H反面T你H-1，+1+1，-1T+1，-1-1，+1考慮硬幣面向的博弈你若知道對(duì)方的策略是以0.5的概率出H，你會(huì)采取什么策略？你若知道對(duì)方的策略是以0.7的概率出H，你會(huì)采取什么策略？如果他的概率是0.2呢？“0.5”策略在此有什么特別？如果對(duì)方用0.5，我出什么都無(wú)所謂即：我的任何策略都是它的“最佳應(yīng)對(duì)”他正面H反面T你H-1，+1+1，-1T+1，-1-1，+1反過(guò)來(lái)也一樣，如果我用0.5，對(duì)方出什么（對(duì)他來(lái)說(shuō)）都是一樣的回報(bào)即：（0.5,0.5）是“互為最佳應(yīng)對(duì)”由此我們可以體會(huì)到一對(duì)混合策略互為最佳應(yīng)對(duì)的必要條件是它們分別使得對(duì)方在兩個(gè)純策略選擇上得到的回報(bào)無(wú)差異。這就是我們借以求解混合策略均衡的原理－－無(wú)差異原理做法思路是：設(shè)一方的混合策略概率為p，寫(xiě)出另一方在兩個(gè)純策略上分別的收益期望，令它們相等，方程的解即為均衡策略好的概率策略就是使對(duì)方不知道用哪個(gè)純策略更好的策略混合策略的收益設(shè)參與人1采用概率p執(zhí)行H，1-p執(zhí)行T，則：若參與人2采用H，則他的收益期望是若參與人2采用T，則他的收益期望是這是兩個(gè)關(guān)于p的線性表達(dá)式，令它們相等，若唯一解存在且在（0，1）中，則求得了參與人1的均衡策略p混合策略的收益計(jì)算例子用收益期望來(lái)表達(dá)回報(bào)當(dāng)參與人2采用策略q時(shí)，參與人1使用不同純策略的回報(bào)分別為：純策略H的期望收益=(-1)(q)+(+1)(1-q)=1-2q純策略T的期望收益=(1)(q)+(-1)(1-q)=2q-1參與人2正面H(q)反面T(1-q)參與人1正面H-1，+1+1，-1反面T+1，-1-1，+1按照無(wú)差異原則，均衡中的q應(yīng)使這兩個(gè)表達(dá)式相等。硬幣配對(duì)博弈的混合策略均衡也就是：1-2q=2q-1，即q=0.5對(duì)稱(chēng)地，可以得到參與人1的最佳應(yīng)對(duì)p=0.5因此，（0.5,0.5）是這個(gè)硬幣配對(duì)博弈的混合策略納什均衡（符合直覺(jué)）參與人2正面H(q)反面T(1-q)參與人1正面H-1，+1+1，-1反面T+1，-1-1，+1混合策略：進(jìn)一步的例子持球-拋球博弈橄欖球賽：進(jìn)攻方可以選擇持球或者是拋球。防御方可以選擇攔斷持球或者選擇防守拋球。若正確阻止了進(jìn)攻方的行為，則進(jìn)攻方的收益為0。假設(shè)進(jìn)攻方選擇持球而防守方卻選擇防守拋球行為，則進(jìn)攻方的收益為5（防守方相應(yīng)損失）。假設(shè)進(jìn)攻方選擇拋球，同時(shí)防守方卻選擇攔斷持球，則進(jìn)攻方的收益是10（防守方相應(yīng)損失）。防守方防守拋球攔斷持球進(jìn)攻方拋球0，010，-10持球5，-50，0持球拋球博弈的混合策略均衡這是一個(gè)沒(méi)有純策略納什均衡的博弈（檢查）設(shè)防守方選擇防守拋球的概率為q進(jìn)攻方選擇拋球的期望收益：0*q＋10(1-q)進(jìn)攻方選擇持球的期望收益：5q＋0*q依無(wú)差異原理，令10-10q=5q，解得q=2/3防守方防守拋球(q)攔斷持球(1-q)進(jìn)攻方拋球0，010，-10持球5，-50，0持球拋球混合策略均衡（續(xù)）設(shè)進(jìn)攻方選擇拋球的概率為p防守方選擇防守拋球的期望收益：-5(1-p)防守方選擇攔斷持球的期望收益：-10p令-10p=-5(1-p)，解得p=1/3于是，這個(gè)博弈的混合策略均衡為(1/3,2/3)防守方防守拋球攔斷持球進(jìn)攻方拋球(p)0，010，-10持球(1-p)5，-50，0討論為什么拋球有可能收益更大，而均衡中進(jìn)攻方選擇拋球的概率只有1/3？由于防守方高概率防守拋球，若拋球概率p>1/3，則損失會(huì)比較大為什么進(jìn)攻方的拋球概率只有p=1/3，但防守方還要更多的防守拋球？由于拋球?qū)M(jìn)攻方更有利，需要加大防守力度防守方防守拋球(2/3)攔斷持球(1/3)進(jìn)攻方拋球(1/3)0，010，-10持球(2/3)5，-50，0假設(shè)你得到了1000次點(diǎn)球的如下數(shù)據(jù)射手是射向左還是右守門(mén)員是撲向左還是右每次點(diǎn)球得分與否你可做什么研究（從數(shù)據(jù)中得到結(jié)論）？（忽略中間的情況）進(jìn)球％，射向左邊（右邊）進(jìn)球％，射門(mén)方向與撲球方向一致（不一致）的％，在射門(mén)與撲球方向一致（不一致）情況下進(jìn)球％，…這數(shù)據(jù)中是否隱含更加深刻的信息－－博弈均衡？例子：罰點(diǎn)球博弈2002年，有人做了一項(xiàng)有關(guān)罰點(diǎn)球研究射手要決定從球門(mén)的左側(cè)或是右側(cè)進(jìn)球。守門(mén)員則要決定是撲向左側(cè)或是右側(cè)攔斷進(jìn)球。兩人需要同時(shí)做選擇。

守門(mén)員LR射球方L0.58，-0.580.95，-0.95R0.93，-0.930.70，-0.70得到如上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。可見(jiàn)，射球方總是有贏頭（符合實(shí)際）。發(fā)點(diǎn)球博弈的混合策略均衡計(jì)算得到的均衡：0.58q+0.95(1-q)=0.93q+0.70(1-q)，q=0.42-0.58p-0.93(1-p)=-0.95p-0.70(1-p)，p=0.39實(shí)戰(zhàn)統(tǒng)計(jì)得到的數(shù)據(jù)：q=0.42,p=0.40對(duì)應(yīng)前面的示意數(shù)據(jù)表中的什么數(shù)據(jù)？守門(mén)員L(q)R射球方L(p)0.58，-0.580.95，-0.95R0.93，-