高中數(shù)學(xué)北師大版必修5課時作業(yè)第3章不等式24

§24基本不等式的應(yīng)用時間：45分鐘滿分：80分班級________姓名________分?jǐn)?shù)________一、選擇題：(每小題5分，共5×6＝30分)1．若實數(shù)a、b滿足a＋b＝2，則2a＋2bA.eq\r(2)B．2eq\r(2)C．2D．42．設(shè)x、y滿足x＋4y＝40且x、y都是正數(shù)，則lgx＋lgy的最大值為()A．40B．10C．4D．23．設(shè)M＝(eq\f(1,a)－1)(eq\f(1,b)－1)(eq\f(1,c)－1)，且a＋b＋c＝1，其中a，b，c均為正實數(shù)，則M的取值范圍是()A．[0，eq\f(1,8))B．[eq\f(1,8)，1)C．[1,8)D．[8，＋∞)4．設(shè)x，y為正數(shù)，則(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,y)))的最小值為()A．6B．9C．12D．155．設(shè)a>0，b>0.若eq\r(3)是3a與3b的等比中項，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值為()A.8B.4C.1D.eq\f(1,4)6．下列各函數(shù)中，最小值為2的是()A.y＝x＋eq\f(1,x)B.y＝sinx＋eq\f(1,sinx)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(x,2)))C.y＝eq\f(x2＋3,\r(x2＋2))D.y＝eq\r(x)＋eq\f(1,\r(x))二、填空題：(每小題5分，共5×3＝15分)7．已知非負(fù)實數(shù)a，b滿足2a＋3b＝10，則eq\r(3b)＋eq\r(2a)的最大值是________．8．已知a，b∈R＋，如果ab＝36，那么a＋b的最小值為________；如果a＋b＝18，那么ab的最大值為________．9．若不等式eq\f(ax,x2－x＋1)≤1對x>0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________．三、解答題：(共35分，其中第10小題11分，第11、12小題各12分)10．已知x>0，y>0，lgx＋lgy＝1，求eq\f(2,x)＋eq\f(5,y)的最小值．

11.一個直角三角形的周長為2p.(1)求其斜邊長的最小值；(2)求其直角邊的和的最大值；(3)求其面積的最大值．某種商品原來每件售價為25元，年銷售8萬件．(1)據(jù)市場調(diào)查，若價格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元？(2)為了擴大該商品的影響力，提高年銷售量，公司決定明年對該商品進行全面技術(shù)革新和營銷策略改革，并提高定價到x元．公司擬投入eq\f(1,6)(x2－600)萬元作為技改費用，投入50萬元作為固定宣傳費用，投入eq\f(1,5)x萬元作為浮動宣傳費用．試問：當(dāng)該商品明年的銷售量a至少應(yīng)達(dá)到多少萬件時，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總收入之和？并求出此時商品的每件定價．一、選擇題1．D由基本不等式得，2a＋2b≥2eq\r(2a·2b)＝2eq\r(2a＋b)＝4.2．D∵x，y∈R＋，∴40＝x＋4y≥2eq\r(4xy)＝4eq\r(xy)，∴xy≤100.∴l(xiāng)gx＋lgy＝lg(xy)≤lg100＝2.等號在x＝4y＝20，即x＝20，y＝5時成立．3．D∵M＝(eq\f(a＋b＋c,a)－1)(eq\f(a＋b＋c,b)－1)(eq\f(a＋b＋c,c)－1)＝(eq\f(b,a)＋eq\f(c,a))(eq\f(a,b)＋eq\f(c,b))(eq\f(a,c)＋eq\f(b,c))≥2eq\r(\f(bc,a2))·2eq\r(\f(ac,b2))·2eq\r(\f(ab,c2))＝8，∴M∈[8，＋∞)．4．B(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,y)))＝x·eq\f(1,x)＋eq\f(4x,y)＋eq\f(y,x)＋y·eq\f(4,y)＝1＋4＋eq\f(4x,y)＋eq\f(y,x)≥5＋2eq\r(\f(4x,y)·\f(y,x))＝9.5．B解法1：因為3a·3b＝3，所以a＋b∴ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝eq\f(1,4)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝eq\f(1,2)時，等號成立．∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,ab)＝eq\f(1,ab)≥4.解法2：因為3a·3b＝3，所以a＋beq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2＋eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(b,a)＝eq\f(a,b)，即a＝b＝eq\f(1,2)時，等式成立，故選B.6．D對于A，不能保證x>0，對于B，不能保證sinx＝eq\f(1,sinx)，對于C，不對保證eq\r(x2＋2)＝eq\f(1,\r(x2＋2))，對于D，y＝eq\r(x)＋eq\f(1,\r(x))≥2.二、填空題7．2eq\r(5)解析：利用a2＋b2≥eq\f(a＋b2,2)得10＝2a＋3b≥eq\f(\r(2a)＋\r(3b)2,2)，∴eq\r(2a)＋eq\r(3b)≤eq\r(20)＝2eq\r(5).8．1281解析：根據(jù)不等式a＋b≥2eq\r(ab)＝2eq\r(36)＝12，得a＋b的最小值為12；根據(jù)eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)＝9，即ab≤81，得ab的最大值為81.9．(－∞，1]解析：∵x>0，由eq\f(ax,x2－x＋1)≤1得a≤x＋eq\f(1,x)－1，x＋eq\f(1,x)－1≥2－1＝1，∴a≤1.三、解答題10．解法一：由已知條件lgx＋lgy＝1，可得x>0，y>0，且xy＝10.則eq\f(2,x)＋eq\f(5,y)＝eq\f(2y＋5x,10)≥eq\f(2\r(10xy),10)＝2，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋\f(5,y)))min＝2，當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2y＝5x，,xy＝10，))即x＝2，y＝5時等號成立．解法二：由已知條件lgx＋lgy＝1，可得x>0，y>0，且xy＝10，eq\f(2,x)＋eq\f(5,y)≥2eq\r(\f(2,x)·\f(5,y))＝2eq\r(\f(10,10))＝2(當(dāng)僅僅當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＝\f(5,y)，,xy＝10.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝5，))時，取等號)．11．設(shè)直角三角形的直角邊為a，b，斜邊為c＝eq\r(a2＋b2).由題意a＋b＋c＝2p.(1)由eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))＝eq\f(c,\r(2))，∴(a＋b)≤eq\r(2)c，∴eq\r(2)c＋c≥2p，c≥eq\f(2p,\r(2)＋1)＝2p(eq\r(2)－1)．∴斜邊長的最小值為2p(eq\r(2)－1)．(2)由eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))＝eq\f(c,\r(2))，c≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)，∴2p＝a＋b＋c≥a＋b＋eq\f(\r(2),2)(a＋b)＝eq\f(2＋\r(2),2)(a＋b)，∴a＋b≤eq\f(4p,2＋\r(2))＝(4－2eq\r(2))p，即兩直角邊的和的最大值為(4－2eq\r(2))p.(3)∵a＋b＋c＝2p，即a＋b＋eq\r(a2＋b2)＝2p，∴2p≥2eq\r(ab)＋eq\r(2ab)＝(2＋eq\r(2))eq\r(ab)，ab≤(6－4eq\r(2))p2，eq\f(1,2)ab≤(3－2eq\r(2))p2，所以三角形面積的最大值為(3,2eq\r(2))p2.12．(1)設(shè)每件定價為t元，依題意，有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8－\f(t－25,1)×0.2))t≥25×8，整理得t2－65t＋1000≤0，解得25≤t≤40.∴要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價最多為40元．(2)依題意，x＞25時，不等式ax≥25×8＋50＋eq\f(1,6)(x2－600)＋eq\f(1,5)