高中數(shù)學(xué)《空間向量與立體幾何》教案新課標(biāo)人教A版選修

3.1.2

3.1.23.1.2

3.1.2空間向量的數(shù)乘運算

空間向量的數(shù)乘運算空間向量的數(shù)乘運算

空間向量的數(shù)乘運算(

((

(-

-)

))

)

教學(xué)要求

教學(xué)要求教學(xué)要求

教學(xué)要求：

：了解共線或平行向量的概念，掌握表示方法；理解共線向量定理及其推論；

掌握空間直線的向量參數(shù)方程；會運用上述知識解決立體幾何中有關(guān)的簡單問題.

教學(xué)重點

教學(xué)重點教學(xué)重點

教學(xué)重點：

：空間直線、平面的向量參數(shù)方程及線段中點的向量公式.

教學(xué)過程

教學(xué)過程教學(xué)過程

教學(xué)過程:

一、復(fù)習(xí)引入

1.回顧平面向量向量知識：平行向量或共線向量？怎樣判定向量b

r與非零向量a

r是否共

線？

方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量

平行向量平行向量

平行向量.由于任何一組平行向量都可以平移到同

一條直線上，所以平行向量也叫做共線向量

共線向量共線向量

共線向量.

向量b

r與非零向量a

r共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)入，使b

r=Aa

r.稱平面向量

共線定理，

二、新課講授

1.定義：與平面向量一樣，如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合,

則這些向量叫做共線向量

共線向量共線向量

共線向量或平行向量

平行向量平行向量

平行向量.

.a

r平行于b

r記作a

r//b

r.

2.關(guān)于空間共線向量的結(jié)論有共線向量定理及其推論:

共線向量定理：空間任意兩個向量

空間任意兩個向量空間任意兩個向量

空間任意兩個向量a

r、

、、

、b

r(

((

(b

r/

豐豐

#0

00

0),

),),

),a

r//

UH

//b

r的

的的

的充要條件是存在實數(shù)

充要條件是存在實數(shù)充要條件是存在實數(shù)

充要條件是存在實數(shù)入

入入

入，

，，

使

使使

使a

r=

=入

入入

入b

理解：⑴上述定理包含兩個方面：麟質(zhì)定理：若a

rZfa

r(a

r￥0),則有b

r=

=入己

其中

入是唯一確定的實數(shù)。斷定理：若存在唯一實數(shù)入,

，，

，使b

r=

=入己

r（ar/O）,則有ar/6

r（若用此結(jié)論判斷a

r、b

r所在直線平行，還需a

r（或b

r）上有一點不在br（或a

r）

上）.

（2對于確定的人和a

r,b

=入5

r表示空間與ar平行或共線，長度為IXar|,當(dāng)人＞0時

與a

r同向，當(dāng)人＜0時與ar反向的所有向量.

3.推論：如果

如果如果

如果1

11

1為經(jīng)過已知點

為經(jīng)過已知點為經(jīng)過已知點

為經(jīng)過已知點A

AA

A且平行于己知非零向量

且平行于已知非零向量且平行于已知非零向量

且平行于已知非零向量a

r的直線

的直線的直線

的直線，

，，

,那么對于任意一點

那么對于任意一點那么對于任意一點

那么對于任意一點0

00

0,

，，

點

點點

點P

PP

P在直線

在直線在直線

在直線1

11

1上的充要條件是存在實數(shù)

上的充要條件是存在實數(shù)上的充要條件是存在實數(shù)

上的充要條件是存在實數(shù)t

tt

t滿足等式

滿足等式滿足等式

滿足等式

0P0At=+

uuuruuura

r.

其中向量a

r叫做直線1的方向向量

方向向量方向向量

方向向量.

推論證明如下：

Vl//a，，對于1上任意一點P,存在唯一的實數(shù)t,使得APt

uuura

r.(*)又?.?對于空間任意一點0,有AP0P0A=?

uuuruuuruuur,

/.OPOAt

?=

uuuruuura

r,

OPOAt=+

uuuruuura

r.①

若在1上取AB

uuura

r,則有OPOAtAB

=+

uuuruuuruuur.(**)

又■:ABOBOA

=7

uuuruuuruuur()

OPOAtOBOA=+?

uuuruuuruuuruuur

(1)tOAtOB=?+

uuuruuur.

.②

當(dāng)1

2

t=時，1()

2

OPOAOB=+

uuuruuuruuur.③

理解：⑴表達式①和聊叫做空間直線的向量參數(shù)表示式

空間直線的向量參數(shù)表示式空間直線的向量參數(shù)表示式

空間直線的向量參數(shù)表示式，黑是線段的中點公

中點公中點公

中點公

式

式式

式.事實上，表達式(*)和(**)既是表達式①口領(lǐng)基礎(chǔ)，也是直線參數(shù)方程的表達形

式.

⑵表達式講口隨角形法則得出的，可以據(jù)此記憶這兩個公式.

⑶推論一般用于解決空間中的三點共線問題的表示或判定.

空間向量共線（平行）的定義、共線向量定理與平面向量完全相同，

是平面向量相關(guān)知識的推廣.

4.出示例1:用向量方法證明順次連接空間四邊形四邊中點的四邊形

是平行四邊形.（分析：如何用向量方法來證明？）

5.出示例2:如圖

。是空間任意一點，C、D是線段AB的三等分點，分別用0A

uuur、OBuuur表

示OC

uuur、ODuuur.

三、鞏固練習(xí)：作業(yè)：

3.1.2

3.1.23.1.2

3.1.2空間向量的數(shù)乘運算

空間向量的數(shù)乘運算空間向量的數(shù)乘運算

空間向量的數(shù)乘運算(

((

(-

二)

))

)

0A

B

C

D教學(xué)要求

教學(xué)要求教學(xué)要求

教學(xué)要求：

:了解向量與平面平行、共面向量的意義，掌握向量與平面平行的表示方法：

理解共面向量定理及其推論；掌握點在已知平面內(nèi)的充要條件；會用上述知識解決立幾

中有關(guān)的簡單問題.

教學(xué)重點

教學(xué)重點教學(xué)重點

教學(xué)重點：

:點在已知平面內(nèi)的充要條件.

教學(xué)難點

教學(xué)難點教學(xué)難點

教學(xué)難點:

:對點在已知平面內(nèi)的充要條件的理解與運用.

教學(xué)過程

教學(xué)過程教學(xué)過程

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入

1.空間向量的有關(guān)知識一共線或平行向量的概念、共線向量定理及其推論以及空間

直線的向量表示式、中點公式.

2.必修④《平面向量》，平面向量的一個重要定理一平面向量基本定理：如果e

ee

el、e

ee

e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么對這一平面內(nèi)的任意一個向量a

aa

a,有且只有一對

實數(shù)入1、入2,使

a

aa

4=入19

ee

61+入2e

ee

e2.其中不共線向量e

ee

el>e

ee

e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量

的一組基底

基底基底

基底.

二、新課講授

1.定義：如果表示空間向量

如果表示空間向量如果表示空間向量

如果表不空I可向量a

aa

a的有向線段所在直線與已知平面

的有向線段所在直線與已知平面的有向線段所在直線與已知平面

的有向線段所在直線與已知平面a平行或在平面

平行或在平面平行或在平面

平行或在平面a內(nèi)

內(nèi)內(nèi)

內(nèi)，

則稱向量

則稱向量則稱向量

則稱向量

aa

a平行于平面

平行于平面平行于平面

平行于平面a,

，，

,記作

記作記作

記作a

aa

a//

////

//a.

向量與平面平行，向量所在的直線可以在平面內(nèi)，而直線與平面平

行時兩者是沒有公共點的.

2.定義：平行于同一平面的向量叫做共面向量

平行于同一平面的向量叫做共面向量平行于同一平面的向量叫做共面向量

平行于同一平面的向量叫做共面向量.

.共面向量不一定是

在同一平面內(nèi)的，但可以平移到同一平面內(nèi).

3.討論：空間中任意三個向量一定是共面向量嗎？請舉例說明.

結(jié)論：空間中的任意三個向量不一定是共面向量.例如：對于空間四邊形ABCD,AB

uuur、ACuuuur、ADuuuur這三個向量就不是共面向量.

4.討論：空間三個向量具備怎樣的條件時才是共面向量呢？

5.得出共面向量定理

共面向量定理共面向量定理

共面向量定理：如果兩個向量

如果兩個向量如果兩個向量

如果兩個向量a

aa

a、

、、

、b

bb

b不共線

不共線不共線

不共線，

，，

,則向量

則向量則向量

則向量P

PP

P與向

與向與向

與向

量

量量

量a

aa

a、

、b

bb

b共面的充要條件是存在實數(shù)對

共面的充要條件是存在實數(shù)對共面的充要條件是存在實數(shù)對

共面的充要條件是存在實數(shù)對X,

，，

，V，

，，

，使得

使得使得

使得

P

PP

p=

=xa

aa

a+

++

+yb

bb

b

證明：必要性：由已知，兩個向量a

aa

a、b

bb

b不共線.

V向量p

PP

p與向量a

aa

a、b

bb

b共面

工由平面向量基本定理得：存在一對有序?qū)崝?shù)對x,y,使得p

PP

p=xa

aa

a+

++

+yb

bb

b.

充分性：如圖，：xa

aa

a,yb

bb

b分別與a

aa

a、b

bb

b共線，xa

aa

a,yb

bb

b都在a

aa

a、b

bb

b確定的平面內(nèi).

XVxa

aa

a+

++

+yb

bb

b是以Ixa

aa

al、Iyb

bb

bI為鄰邊的平行四邊形的一條對角線所表示的向量，并且此平行四邊形在a

aa

a、b

bb

b確定的平面內(nèi)，

P

PP

p=xa

aa

a+

++

+yb

bb

b在a

aa

a、b

bb

b確定的平面內(nèi)，即向量p

PP

p與向量a

aa

a、b

bb

b共面.

說明：當(dāng)p

pp

p、

、、

、a

aa

a、

、b

bb

b都是非零向量時，共面向量定理實際上也是p

PP

P、

、、

、a

aa

a>

、、

、b

bb

b所在的三條直

線共面的充要條件，但用于判定時，還需要證明其中一條直線上有一點在另兩條直線所

確定的平面內(nèi).

6.共面向量定理的推論是：空間一點

空間一點空間一點

空間一點P在平面

在平面在平面

在平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對

內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對

內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對X,

,，

，V，

，，

，使得

使得使得

使得MPxMAyMB=+

uuuuruuuuruuuur,①或?qū)τ诳臻g任意一定點

或?qū)τ诳臻g任意一定點或?qū)τ诳臻g任意一定點

或?qū)τ诳臻g任意一定點0,

，，

,有

有有

有

0P0MxMAyMB=++

uuuruuuuruuuuruuuur.②

分析：（1推論中的x、y是唯一的一對有序?qū)崝?shù)；（2由OPOMxMAyMB

=++

uuuuruuuuuruuuuruuuuur()()

OPOMxOAOMyOBOM=+?+?

uuuuruuuuuruuuuruuuuuruuuuruuuuur,Ad)

OPxyOMxOAyOB=??++

uuuuruuuuuruuuuruuuur③

公式頷鯽是P、M、A、B四點共面的充要條件.

7.例題：課本P88例1,解略.

小結(jié)：向量方法證明四點共面

三、鞏固練習(xí)

向量的數(shù)量積

向量的數(shù)量積向量的數(shù)量積

向量的數(shù)量積(

((

(2)

))

)

、教學(xué)目標(biāo)

教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)

教學(xué)目標(biāo)：

:①

。向量的數(shù)量積運算

向量的數(shù)量積運算向量的數(shù)量積運算

向量的數(shù)量積運算

②

額

用向量的數(shù)量積運算判定垂直

利用向量的數(shù)量積運算判定垂直利用向量的數(shù)量積運算判定垂直

利用向量的數(shù)量積運算判定垂直、

、求模

求模求模

求模、

、求角

求角求角

求角

--、

、、

、教學(xué)重點

教學(xué)重點教學(xué)重點

教學(xué)重點：

:①

領(lǐng)量的數(shù)量積運算

向量的數(shù)量積運算向量的數(shù)量積運算

向量的數(shù)量積運算

②

酶

金I」用向量的數(shù)量積運算判定垂直

利用向量的數(shù)量積運算判定垂直利用向量的數(shù)量積運算判定垂直

利用向量的數(shù)量積運算判定垂直、

、求模

求模求模

求模、

、、

、求角

求角求角

求角

、、

、教學(xué)方法

教學(xué)方法教學(xué)方法

教學(xué)方法：

:練習(xí)法

練習(xí)法練習(xí)法

練習(xí)法，

，，

,糾錯法

糾錯法糾錯法

糾錯法，

，，

，歸納法

歸納法歸納法

歸納法四

四四

四、

、、

、教學(xué)過程

教學(xué)過程教學(xué)過程

教學(xué)過程：

考點~,

考?J占，、、、一考-J占，、、、一

考點一：

:向量的數(shù)量積運算

向量的數(shù)量積運算向量的數(shù)量積運算

向量的數(shù)量積運算

(

((

(-

-)、

)、)、

)、知識要點

知識要點知識要點

知識要點:

1)定義：①設(shè)<,

ab

rr>=9z

則ab=

rr

(e的范圍為)

皺(,)

axy=

r,22(,)

bxy=

r則ab

rr

o

注：①ib

rr

不能寫成ab

rr,或ab

X

rr

巔

rr

的結(jié)果為一個數(shù)值。

2)投影：b

r在ar方向上的投影為

3)向量數(shù)量積運算律：

至bba

rrrr

)()()ababab入入入==

rrrrrr

③)abcacbc+=+

rrrrrrr

注：。沒有結(jié)合律()()

abcabc=

rrrrrr

(

((

(二

二)

))

)例題講練

例題講練例題講練

例題講練

1、下列命題：Q若Oab

rr

，則a

r,br中至少一個為OrarO^r且abac

rrrr

，則bc=

rr

③）（）

abcabc=

rrrrrr

?2（32）（32）94ababab+?=?

rrrrrr

中正確有個數(shù)為（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

2、已知ABC

?中，A,B,C所對的邊為a,b,c,且a=3,b=l,C=30°,則BCCA

uuuruuur

=o

3、若a

r,br,cr滿足0

abc++=

rrrr,且

3,lz4abc===rrr,則abbcac++

rrrrrr

4、已知2ab==rr,且a

r與br的夾角為3

n,則ab+

rr在ar上的投影為

o

考點二

考點二考點二

考點二：

:向量數(shù)量積性質(zhì)應(yīng)用

向量數(shù)量積性質(zhì)應(yīng)用向量數(shù)量積性質(zhì)應(yīng)用

向量數(shù)量積性質(zhì)應(yīng)用

、知識要點

知識要點知識要點

知識要點：

?I

abab_L?=

rrrr

（用于判定垂直問題）

@aa

rr（用于求模運算問題）

③osab

ab6=

rr

rr（用于求角運算問題）

（

（（

（二

二）

））

）例題講練

例題講練例題講練

例題講練

1、已知2a

r,3b

r,且a

r與br的夾角為2n,32

cab=+

rrr,dmab

=?

urrr,求當(dāng)

m為

何值時cd

±

rur2、已知la=r,lb=r,323ab?=rr,則3ab+=rr

3、已知a

r和br是非零向量，且

ar=br=ab?rr,求a

r與ab

+

rr的夾角

4、已知4a=r,

2b=r,且a

r和br不共線，求使ab

入+

rr與ab入？rr的夾角是銳角時入的

取值范圍

鞏固練習(xí)

鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)

鞏固練習(xí)

1、已知le

ur和2euur是兩個單位向量,夾角為3n,則(12ee

2

uruur)12(32)

ee?+

uruur

等于()

A.-8B.9

2C.52

?D.8

2、已知le

ur和2euur是兩個單位向量,夾角為3n,則下面向量中與212

ee?

uurur垂直的是（

）

A.12ee

uruurB.12ee

?

uruurC.leurD.2euur

3、在ABC

?中，S=ABa,=BCb,=CAc,若0）（＜+baa,則ABC?（））（A直角三角形）（B

銳角三角形）（C鈍角三角形）（D無法判定

4、已知a

r和br是非零向量，且3ab

+

rr與75ab

?

rr垂直，4ab

9

rr與72ab

9

rr垂直，求ar與br的

夾角。

5、已知OA

uuur>OBuuur、OCuuur是非零的單位向量，且OAuuur+OBuuur+OCuuur=Or,求證:

ABC?為正三角形。

3.1.4

3.1.43.1.4

3.1.4空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示

空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示

空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示

教學(xué)要求

教學(xué)要求教學(xué)要求

教學(xué)要求：

:掌握空間向量的正交分解及空間向量基本定理和坐標(biāo)表示；掌握空間向量的

坐標(biāo)運算的規(guī)律；會根據(jù)向量的坐標(biāo)，判斷兩個向量共線或垂直.

教學(xué)重點

教學(xué)重點教學(xué)重點

教學(xué)重點：

:空間向量基本定理、向量的坐標(biāo)運算.

教學(xué)難點

教學(xué)難點教學(xué)難點

教學(xué)難點：

:理解空間向量基本定理.

教學(xué)過程

教學(xué)過程教學(xué)過程

教學(xué)過程:

一、新課引入

1.回顧：平面向量的加減與數(shù)乘運算以及平面向量的坐標(biāo)運算,

2.復(fù)習(xí)：平面向量基本定理.

二、講授新課

1.類比：由平面向量的基本定理，對平面內(nèi)的任意向量a

r,均可分解為不共線的兩個

向量11a

入uur和22a入uur,使1122aaa入入=+

ruuruur.如果12aa

±

uuruur時，這種分解就是平面向量的正交分解.

如果取12,

aa

uuruur為平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸方向的兩個單位向量，

ij

rr,則存在一對實數(shù)x、y,

使得axiyj

=+

rrr,即得到平面向量的坐標(biāo)表示(，)

axy=

r.

推廣到空間向量，結(jié)論會如何呢？

(1)空間向量的正交分解

空間向量的正交分解空間向量的正交分解

空間向量的正交分解：對空間的任意向量a

r,均可分解為不共面的三個向量11a入uur、22a

入uur、33a入uur,使112233aaaa入入入=++

ruuruuruur.如果123,,

aaa

uuruuruur兩兩垂直，這種分解就是空間向量的

正交分解.

(2)空間向量基本定理：如果三個向量，，

abc

rrr不共面，那么對空間任一

向量p

ur,存在有序?qū)崝?shù)組｛一｝

xyz,使得pxaybzc=++urrrr?把｛,,｝abc

rrr叫

做空間的一個基底(base),,,

abc

rrr都叫做基向量.

2.單位正交基底：如果空間一個基底的三個基向量互相垂直，且長

度都為1,則這個基底叫做單位正交基底

單位正交基底單位正交基底

單位正交基底，通常用｛

i

ii

i，j

j,k

kk

k)表示.

單位一三個基向量的長度都為1；正交一三個基向量互相垂直.

選取空間一點0和一個單位正交基底｛i

i，j

jj

j，k

kk

k),以點0為原點，

分別以i

ii

i,j

jj

j，k

kk

k的方向為正方向建立三條坐標(biāo)軸：x軸、y軸、z軸，

得到空間直角坐標(biāo)系

空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系

空間直角坐標(biāo)系

O-xyz,

3.空間向量的坐標(biāo)表示：給定一個空間直角坐標(biāo)系和向量

a

aa

a,且設(shè)i

ii

i、j

jj

j、k

kk

k為坐標(biāo)向量，則存在唯一的有序?qū)崝?shù)組123(,,)aaa,使a

aa

a=lai

i+2aj

jj

j+3ak

kk

k.

空間中相等的向量其坐標(biāo)是相同的.-討論：向量坐標(biāo)與點的坐

標(biāo)的關(guān)系？

向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)的求法：設(shè)Alli,)xyz,B222(,,)xyz,

則AB

uuur=OBuuur—OAuuur=222(,,)xyz-111(,,)xyz=212121(,,)xxyyzz???.

4.向量的直角坐標(biāo)運算：設(shè)a

aa

a=123(,,)aaa,b

bb

b=123(,,)bbb,則

(垃

aa

a+b

bb

b=112233(z,)ababab+++；(2今

aa

a-b

bb

b=112233(,,)ababab???；(3Xa

aa

a=123(,,)43a人人入()區(qū)入5(小

aa

a-b

bb

b=112233ababab++

證明方法：與平面向量一樣，將

a

aa

a=lai

ii

i+2aj

jj

j+3ak

kk

k和b

bb

b=lbi

ii

i+2bj

jj

j+3bk

kk

k代入即可.

5.兩個向量共線或垂直的判定：設(shè)a

aa

a=123(,,)aaa,b

bb

b=123(,,)bbb,則

(垃

aa

a//b

bb

b?a

aa

bb

b?112233,,ababab入入入===,()R入e?312

123a

aa

bbb==；

(2i

aa

aJb

bb

b?a

aa

a-b

bb

b=0?1122330ababab++=.

6.練習(xí)：已知a

aa

a=(2,3,5)?,b

bb

b=(3,1,4)??,求a

aa

a+b

bb

b,a

aa

a-b

bb

b,8a

aa

a,a

aa

a-b

bb

b.解：略.

7.出示例：

三、鞏固練習(xí)作業(yè)

3.1.5

3.1.53.1.5

3.1.5空間向量運算的坐標(biāo)表示

空間向量運算的坐標(biāo)表示空間向量運算的坐標(biāo)表示

空間向量運算的坐標(biāo)表示（

（（

（夾角和距離公式

夾角和距離公式夾角和距離公式

夾角和距離公式）

))

)

教學(xué)要求

教學(xué)要求教學(xué)要求

教學(xué)要求：

:掌握空間向量的長度公式、夾角公式、兩點間距離公式、中點坐標(biāo)公式，并

會用這些公式解決有關(guān)問題.

教學(xué)重點

教學(xué)重點教學(xué)重點

教學(xué)重點：

:夾角公式、距離公式.

教學(xué)

教學(xué)教學(xué)

教學(xué)難點

難點難點

難點：

:夾角公式、距離公式的應(yīng)用.

教學(xué)過程

教學(xué)過程教學(xué)過程

教學(xué)過程:

一、復(fù)習(xí)引入

1.向量的直角坐標(biāo)運算法則：設(shè)a

aa

a=123(,,)aaa,b

bb

b=123(,,)bbb,則

(匕

aa

a+b

bb

b=112233(,,)ababab+++；(%

aa

a-b

bb

b=112233(,,)ababab???；

(3Aa

aa

a=123(,,加&入入入()1^入。(4擊

aa

a-b

bb

b=112233ababab++

上述運算法則怎樣證明呢？（將a

aa

a=1ai

i+2aj

j+3ak

kk

k和b

bb

b=lbi

ii

i+2bj

jj

j+3bk

kk

k代入即可)

2.怎樣求一個空間向量的坐標(biāo)呢？(表示這個向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去起點

的坐標(biāo).)

二、新課講授

1.向量的模：設(shè)a

aa

a=123(rtb

bb

b=123(,,)bbb,求這兩個向量的模.

Ia

aa

aI=222

123aaa

++,Ib

bb

bI=222

123bbb

++.這兩個式子我們稱為向量的長度公式

向量的長度公式向量的長度公式

向量的長度公式.

這個公式的幾何意義是表示長方體的對角線的長度.

3.夾角公式推導(dǎo)：:a

aa

a-b

bb

b=|a

aa

aI|b

bb

b|cos<a

aa

a,b

bb

b>

J112233ababab

++=222

123aaa

++-222

123bbb

++-cos<a

aa

a,b

bb

b>

由此可以得出：cosVa

aa

a,b

bb

b>=112233

222222

123123ababab

aaabbb

++

++++

這個公式成為兩個向量的夾角公式

兩個向量的夾角公式兩個向量的夾角公式

兩個向量的夾角公式.利用這個共識，我們可以求出兩個向量的夾角,

并可以進一步得出兩個向量的某些特殊位置關(guān)系：

當(dāng)cos<a

aa

a、b

bb

b>=l時，a

aa

a與b

bb

b同向；當(dāng)cos<a

aa

a、b

bb

b>=-l時，a

aa

a與b

bb

b反向；

當(dāng)cos<a

aa

a、b

bb

b>=0時，a

aa

a_lb

bb

b.

4.兩點間距離共識：利用向量的長度公式，我們還可以得出空間兩點間的距離公式

空間兩點間的距離公式空間兩點間的距離公式

空間兩點間的距離公式：

在空間直角坐標(biāo)系中，已知點111(,,)Axyz,222(,,)Bxyz,貝lj222

211212()()()ABdxxyyzz

=?+?+?、，其中ABd、表示A與B兩點間的距離.

5.練習(xí)：已知A(3,3,l)、B(l,0,5),求：(1我段

AB的中點坐標(biāo)和長度；(2到A、B兩點距離相等的點(一)Pxyz的坐標(biāo)x、y、z滿足的條

件.

(答案：(2,3

2,3)；29；46870xyz

+?+=)

說明：(1用點坐標(biāo)公式

中點坐標(biāo)公式中點坐標(biāo)公式

中點坐標(biāo)公式：1

0

2OMOAOB

=+

uuuuruuuruuur=121212(,,)

222xxyyzz

+++;

(2巾點p的軌跡是線段AB的垂直平分平面.在空間中，關(guān)于X、V、

z的三元一

次方程的圖形是平面.4.出示例5:如圖，在正方.體1111ABCDABCD?中，11

11114

AB

BEDF==,

求1BE與1DF所成的角的余弦值.

分析：如何建系？一點的坐標(biāo)？-如何用向量運算求夾

角？-變式：課本P96、例6

5.用向量方法證明：如果兩條直線同垂直于一個平面

如果兩條直線同垂直于一個平面如果兩條直線同垂直于一個平面

如果兩條直線同垂直于一個平面，

，，

,則這兩條直線平行

則這兩條直線平行則這兩條直線平行

則這兩條直線平行.

三.鞏固練習(xí)

作業(yè)：課本P97練習(xí)3題.

3.2

3.23.2

6.2立體幾何中的向量方法

立體幾何中的向量方法立體幾何中的向量方法

立體幾何中的向量方法(

((

(-

-)

))

)

教學(xué)要求

教學(xué)要求教學(xué)要求

教學(xué)要求：向量運算在幾何證明與計算中的應(yīng)用.掌握利用向量運算解幾何題的方法,

并能解簡單的立體幾何問題.

教學(xué)重點

教學(xué)重點教學(xué)重點

教學(xué)重點：

：向量運算在幾何證明與計算中的應(yīng)用.

教學(xué)難點

教學(xué)難點教學(xué)難點

教學(xué)難點：

:向量運算在幾何證明與計算中的應(yīng)用.教學(xué)過程

教學(xué)過程教學(xué)過程

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入

1.用向量解決立體幾何中的一些典型問題的基本思考方法是：（1如何把已知的幾何條

件（如線段、角度等）轉(zhuǎn)化為向量表示；（■慮一些未知的向量能否用基向量或其他

已知向量表式；（3如何對己經(jīng)表示出來的向量進行運算，才能獲得需要的結(jié)論？

2.通法分析：利用兩個向量的數(shù)量積的定義及其性質(zhì)可以解決哪些問題呢？

（喇用定義a

aa

a-b

bb

b=|a

aa

aI|b

bb

b|cosVa

aa

a,b

bb

b>或cos<a

aa

a,b

bb

b>=ab

ab

2

9

rr

rr,可求兩個向量的數(shù)量積

或夾角問題；

（班I」用性質(zhì)a

aa

a_lb

bb

b?a

aa

a-b

bb

b=0可以解決線段或直線的垂直問題;

（喇用性質(zhì)a

aa

a-a

aa

a=Ia

aa

aI2,可以解決線段的長或兩點間的距離問題.

二、例題講解

1.出示例1:已知空間四邊形OABC中，OABC

,LOBAC_L求證：OCAB.L

證明：?

OCAB

uuuuruuur=,

()OCOBOA?

uuuuruuuruuur='

OCOB

uuuuruuur—?

OCOA

uuuuruuur.

?QABC

,LOBAC.L.*.-OOABC=

uuuruuur,,

OOBAC=

uuuruuuur,

()OOAOCOB?=

uuuruuuuruuur,,

()OOBOCOA?=

uuuruuuuruuur.

?OAOCOAOB=

uuuruuuuruuuruuur,

?OBOCOBOA=

uuuruuuuruuuruuur.

OCOB

uuuuruuur=?

OCOA

uuuuruuur,?

OCAB

uuuuruuur=O./OCAB

±

練習(xí)：教材P105例1及Pl06思考題

分析：如何轉(zhuǎn)化為向量問題？進行怎樣的向量運算？

2.出示例2:如圖，已知線段AB在平面a內(nèi)，線段ACa，

線段BDJAB,線段，DDal,'30DBD

z=o,如果AB=a,AC=BD=b,求C、D間的距離.

解：由AC

al,可知ACAB_L

由'30DBD

4?？芍?，<,CABD

uuuruuuur>=120o>

/2||CD

uuuur=2()CAABBD

++

uuuruuuruuuur=2||CAuuur+2||ABuuur+2||BDuuuur+2(-CAABuuuruuur

+*CABDuuuruuuur+-ABBDuuuruuuur)

=22222cosl20babb

+++o=22ab+?

/22CDab

=+.

練習(xí)：教材P106例2及其107思考題

分析：如何轉(zhuǎn)化為向量問題？進行怎樣的向量運算？

說明：此方法也是用向量法求二面角的一種有效方法，應(yīng)引起注意。3.出示例3：如圖,

M、N分別是棱長為1的正方體，'5ABCDABCD?的棱，BB、，'BC的

中點.求異面直線MN與，

CD所成的角.

解：,.MN

uuuur=l

「)

2

CCBC+

uuuuruuur,1

CD

uuuur=1

CCCD+uuuuruuuur,

'MNCD

uuuuruuuur=l

「)

2

CCBC+uuuuruuur?(1)

CCCD+uuuuruuuur=1

2(2|,|

cc

uuuur+'

CCCD

uuuuruuuur

+-1BCCC

uuuruuuur+-

BCCD

uuuruuuur).

?j

CCCD_L'CCBC-LBCCDJL,.VOCCCD=uuuuruuuur

，

,OBCCC=uuuruuuur,,OBCCD=uuuruuuur,

'MNCD

uuuuruuuur=l

22|1|

CC

uuuur=1

2.…求得cos<,'

MNCD

uuuuruuuur>1

1

2=,/<z

MNCD

uuuuruuuur>=60。.

4.小結(jié)：.

(1)向量法解題''三步曲"：①匕為向量問題-鈿行向量運算-頷1到圖形問題.

(2)利用向量解幾何題的一般方法：把線段或角度轉(zhuǎn)化為向量表示式，并用已知向量

表示未知向量，然后通過向量的運算去計算或證明

三、鞏固練習(xí)作業(yè)：課本P107練習(xí)1、2題.

3.2

3.23.2

3.2立體幾何中的向量方法

立體幾何中的向量方法立體幾何中的向量方法

立體幾何中的向量方法(

((

(二

二)

))

)

教學(xué)要

教學(xué)要教學(xué)要

教學(xué)要求

求求

求：向量運算在幾何證明與計算中的應(yīng)用.掌握利用向量運算解幾何題的方法,

并能解簡單的立體幾何問題.

教學(xué)重點

教學(xué)重點教學(xué)重點

教學(xué)重點：

:向量運算在幾何證明與計算中的應(yīng)用.

教學(xué)難點

教學(xué)難點教學(xué)難點

教學(xué)難點：

:向量運算在幾何證明與計算中的應(yīng)用.

教學(xué)過程

教學(xué)過程教學(xué)過程

教學(xué)過程:

一、復(fù)習(xí)引入

討論：將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題的途徑？

(1)通過一組基向量研究的向量法，它利用向量的概念及其運算解決問題；

(2)通過空間直角坐標(biāo)系研究的坐標(biāo)法，它通過坐標(biāo)把向量轉(zhuǎn)化為數(shù)及其運算來解

決問題.

二、例題講解

1.出示例1:如圖，在正方體1111ABCDABCD

?中，E、F分別是IBB、CD的中點，求證：1DF呼面ADE.

證明：不妨設(shè)已知正方體的棱長為1個單位長度，且設(shè)DA

uuur=i

i,DC

uuuur=j

jj

j,1DD

uuuur=k

kk

k.以i

ii

i、j

jj

j、k

kk

k為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz,則

uuuur=(-lz0,0),lDFuuuur=(0,1

2,-1),/AD

uuuur,lDFuuuur=(-1,0,0),(0,1

2,-1)=0,

?口DFJAD.

又AE

uuur=(0,1,1

2),；AE

uuur,lDFuuuur=(0,1,1

2)-(0,12,-1)=0,/1DF±AE.

又ADAEA

=1,.'』DF呼面ADE.

說明：(1，不妨設(shè)”是我們在解題中常用的小技巧，通?？捎糜谠O(shè)定某些與題目要求

無關(guān)的一些數(shù)據(jù)，以使問題的解決簡單化.如在立體幾何中求角的大小、判定直線與直

線或直線與平面的位置關(guān)系時，可以約定一些基本的長度.(出間直角坐標(biāo)些建立，可

以選取任意一點和一個單位正交基底，但具體設(shè)置時仍應(yīng)注意兒何體中的點、線、面的

特征，把它們放在恰當(dāng)?shù)奈恢?，才能方便計算和證明.

2.出示例2：課本P107例3

分析：如何轉(zhuǎn)化為向量問題？進行怎樣的向量運算？

3.出示例3：課本P109例4

分析：如何轉(zhuǎn)化為向量問題？進行怎樣的向量運算？

4.出示例4：證：如果兩條直線同垂直于一個平面，則這兩條直線平行.

改寫為：已知：直線0A呼面a,直線BD呼面a,0、B為垂足.求證：0A//BD.

證明：以點0為原點，以射線0A為非負z軸，建立空間直

角坐標(biāo)系

0-xyz,i

ii

i，j

jj

j，k

kk

k為沿x軸，y軸，z軸的坐標(biāo)向量，且設(shè)BD

uuuur=(,,)

xyz.

/BD

uuuur±L

ii

i,BD

uuuur_lj

jj

j，

/BD

uuuur?i

ii

i=(,,)xyz?(1,0,0)=x=0，BD

uuuur?j

jj

j=(,,)xyz,(0,1,0)=v=0,

/BD

uuuur=(0z0zz)..*BDuuuur=zk

kk

k.BPBD

uuuur//k

kk

k.由已知0、B為兩個不同的點，.'0A//BD.

5.法向量定義：如果表示向量a

aa

a的有向線段所在直線垂直于平面CG則稱這個向量垂

向量垂向量垂

向量垂

直于平面

直于平面直于平面

直于平面CG記作

a

aa

a_la.如果a

aa

ah,那么向量a

aa

a叫做平面

平面平面

平面a的法向量

的法向量的法向量

的法向量.

6.小結(jié)：

向量法解題''三步曲"：(1)化為向量問題

化為向量問題化為向量問題

化為向量問題-(2)進行向量運算

進行向量運算進行向量運算

進行向量運算一(3)回到圖形問

回到圖形問回到圖形問

回到圖形問

題

題題

題.

三、鞏固練習(xí)作業(yè)：課本Pill、習(xí)題A組1、2題.

3.2

3.23.2

7.2立體幾何中的向量方法

立體幾何中的向量方法立體幾何中的向量方法

立體幾何中的向量方法(

((

(三

三)

))

)

教學(xué)要求

教學(xué)要求教學(xué)要求

教學(xué)要求：向量運算在幾何證明與計算中的應(yīng)用.掌握利用向量運算解幾何題的方法,

并能解簡單的立體幾何問題.

教學(xué)重點

教學(xué)重點教學(xué)重點

教學(xué)重點：

:向量運算在幾何證明與計算中的應(yīng)用.

教學(xué)難點

教學(xué)難點教學(xué)難點

教學(xué)難點：

:向量運算在幾何證明與計算中的應(yīng)用.

教學(xué)過程

教學(xué)過程教學(xué)過程

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入

1.法向量定義：如果直線la_L

平面，取直線1的方向向量為a

r,則向量ar叫作平面a的

法向量(normalvectors).利用法向量，可以巧妙的解決空間角度和距離.

2.討論：如何利用法向量求線面角？-面面角？

直線AB與平面a所成的角0,可看成是向量ABuuur所在直線與平面a的法向量

n所在

直線夾角的余角，從而求線面角轉(zhuǎn)化為求直線所在的向量與平面的法向量的所成的線線

角，根據(jù)兩個向量所成角的余弦公式cos,ab

ab

ab=

rr

rr

rr

,我們可以得到如下向量法的公式

公式公式

公式：sincos,

ABn

ABn

ABn0==

uuurr

uuurr

uuurr

3.討論：如何利用向量求空間距離？

兩異面直線的距離，轉(zhuǎn)化為與兩異面直線都相交的線段在公垂向量上的投影長.

點到平面的距離，轉(zhuǎn)化為過這點的平面的斜線在平面的法向量上的投影長.

二、例題講解:

1.出示例1:長方體1111ABCDABCD

?中，AD=1AA=2,

，，

，AB=4,E、F分別是11AD、AB的中點，0是11BCBC與的交點.求直

線OF與平面DEF所成角的正弦.

解：以點D為空間直角坐標(biāo)系的原點，

DA、DC、1DD為坐

標(biāo)軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則

(2,2,0),(1,0,2),(2,2,0),(1,4,1),(0,4,0)

DEFOC.

設(shè)平面DEF的法向量為(,,)

nxyz=r,

則nDE

nDF?!?

?!?

2

ruuur

ruuur,而(1,0,2)

DE=uuur>(2,2,0)DF=uuur.

J0

0

nDE

nDF?=?

?=?

7

ruuur

ruuur

,即20

220

xz

XV

+=

?

9

+=

?,解得：：2:2:1

xyz=?,(2,2,1)n=?r.

VI|||cos

nOFnOFa?=ruuurruuur,ffff(lz2,1)0F=??uuur.

:.cosa=22222212(2)1(1)76

18

Illi

(2)211(2)(1)

nOF

nOF

??x+x?+x?

==?

9

?+++?+?

ruuur

ruuur

所以，直線OF與平面DEF所成角的正弦為76

18.

2.變式：用向量法求：二面角1ADE0

??余弦；OF與DE的距離；。點到平面DEF的距

離.

三、鞏固練習(xí)

作業(yè)：課本P112、習(xí)題A組5、6題.

法向量在立體幾何中的應(yīng)用

法向量在立體幾何中的應(yīng)用法向量在立體幾何中的應(yīng)用

法向量在立體幾何中的應(yīng)用

向量在數(shù)學(xué)和物理學(xué)中的應(yīng)用很廣泛，在解析幾何與立體幾何里的應(yīng)用更為直接，用向

量的方法特別便于研究空間里涉及直線和平面的各種問題。將向量引入中學(xué)數(shù)學(xué)后，既

豐富了中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容，拓寬了中學(xué)生的視野；也為我們解決數(shù)學(xué)問題帶來了一套全新的

思想方法一向量法。下面就向量中的一種特殊向量一法向量，結(jié)合近幾年的高考題，

談?wù)勂湓诹Ⅲw幾何有關(guān)問題中的應(yīng)用。

Bzy

xP

C

A

圖a

An?

H

P

圖2—、平面的法向量的定義

如果表示向量a的有向線段所在直線垂直于平面a,則稱這個向量a垂直于平面a,

記作a-la,如果

aJa,那么向量a叫做平面

平面平面

平面a的法向量

的法向量的法向量

的法向量二、平面的法向量的求法

1、在幾何體中找平面的垂線對應(yīng)的有向線段作為平面的法向量;

2、在空間直角坐標(biāo)系中利用向量的坐標(biāo)運算來求法向量。

練習(xí)：在三棱錐P-ABC中，PA坪面ABC,

Z6AC=90O,AB=2,AC=PA=1,

求平面PBC的一個法向量。

寫出平面ABC的一個法向量。三、利用平面的法向量求空間角

1、求直線和平面所成的角。

如圖（圖2）所示，設(shè)PA與平面a的

法向量n所在直線所成的角為6,則PA與

a所成的角為9

n?

2,

問題

問題問題

問題：

:已知不共線的三點坐標(biāo)

已知不共線的三點坐標(biāo)已知不共線的三點坐標(biāo)

已知不共線的三點坐標(biāo)，

，，

，如何求經(jīng)過這三點的

如何求經(jīng)過這三點的如何求經(jīng)過這三點的

如何求經(jīng)過這三點的

平面的一個法向量

平面的一個法向量平面的一個法向量

平面的一個法向量？

??

在空間直角坐標(biāo)系中

在空間直角坐標(biāo)系中在空間直角坐標(biāo)系中

在空間直角坐標(biāo)系中，

，，

,已知

己知己知

已知(3,0,0),(0,4,0)

AB,

(0,0,2)C,

，，

,試求平面

試求平面試求平面

試求平面ABC

ABCABC

ABC的一個法向量

的一個法向量的一個法向量

的一個法向量.

解

解解

解：

:設(shè)平面

設(shè)平面設(shè)平面

設(shè)平面ABC的一個法向量為

的一個法向量為的一個法向量為

的一個法向量為(,,)nxyz=

r

rr

r

則

則則

則nABnACJ_L

J_L

ruuurruuur

ruuurruuurruuurruuur

ruuurruuur

V(3,4Z0)AB=?

=9=9

=?

uuur

uuuruuur

uuurz

，，

,(3,0,2)AC=?

=9=9

=?

uuur

uuuruuur

uuur

???(，，)(3,4,0)。

(,,)(3,0,2)0

xyz

xyz

??=

??=??=

99=

?

2?

2

2

??

7

97=

99=99=

??二

?

??

?即

即即

即340

320

xy

XZ

?+=

?+=?+=

?+=

7

??

9

?

??

?

?+=

?+=?+=

?+=

2

??

9

取

取取

取4x=

一,

，，

，則

則則

則（4,3,6）n=

r

rr

r

.*.(4r3,6)n=

r

rr

r是

是是

是平面

平面平面

平面ABC的一個法向量

的一個法向量的一個法向量

的一個法向量.

問題

問題問題

問題：如何求平面的法向量

如何求平面的法向量如何求平面的法向量

如何求平面的法向量？⑴

(101)

(1段平面的法向量為

設(shè)平面的法向量為設(shè)平面的法向量為

設(shè)平面的法向量為(，,)nxyz=

r

rr

r(2)

(202)

⑵戈出

找出找出

找出(

((

(求出

求出求出

求出)

))

)平面內(nèi)的兩個不共線的向量的

平面內(nèi)的兩個不共線的向量的平面內(nèi)的兩個不共線的向量的

平面內(nèi)的兩個不共線的向量的

坐標(biāo)

坐標(biāo)坐標(biāo)

坐標(biāo)111222(,,),(,,)

aabcbabc==

rr

rrrr

rr(3)

(303)

(瑕據(jù)法向量的定義建立關(guān)于

根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于

根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于，，xyz的方程

的方程的方程

的方程

組

組組

組0

0

na

nb

?

??

2

?=

9=7=

?=

?

??

?

9

??

?

?=

?=?=

?=

2

??

2

9

??

?

rr

rrrr

rr

rr

rrrr

rr(4)

(4M)

(4解方程組

解方程組解方程組

解方程組，

，，

，取其中的一個解

取其中的一個解取其中的一個解

取其中的一個解，

，，

,即得法向量

即得法向量即得法向量

即得法向量.

.(M411,cos|cos><=nPAG)

所以：

例2.如圖(圖3)所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形,

PA1?面ABCD,AEJPD,EF//CD,PA=3AB,

求直線AC與平面AEFB所成角的正弦值。

3.直線與直線所成的角:

4.求二面角的大小。

設(shè)21,nn分別為平面B

鄧

pa

a,的法向量，二面角p

BB

Pa

aa

a?

??

??

??

?i的大小為e

ee

e,向量

2

l,nn的夾角為？

??

?，則有n

nn

n?

??

?e

ee

e=

=+

++

+（圖4）或？

??

?e

oe

e=

=（圖5）

圖4圖5

例3.如圖(圖6)所示，在棱長為1的正方體

ABCD—A1B1C1D1中，

AC與BD交于點E,C1B與

CB1交于點

F。(1)求證：A1C呼