八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)壓軸題綜合試題帶解析(一)

八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)壓軸題綜合試題帶解析（一）1．（初步探索）（1）如圖：在四邊形中，，，、分別是、上的點(diǎn)，且，探究圖中、、之間的數(shù)量關(guān)系．(1)（1）小明同學(xué)探究此問題的方法是：延長到點(diǎn)，使．連接，先證明，再證明，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是_____________；(2)（靈活運(yùn)用）（2）如圖2，若在四邊形中，，，、分別是、上的點(diǎn)，且，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；2．完全平方公式：適當(dāng)?shù)淖冃?，可以解決很多的數(shù)學(xué)問題．例如：若，求的值．解：因?yàn)樗运缘茫鶕?jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題：（1）若，求的值；（2）①若,則；②若則；（3）如圖，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，以為邊向兩邊作正方形，設(shè)，兩正方形的面積和，求圖中陰影部分面積．3．已知，．（1）若，作，點(diǎn)在內(nèi)．①如圖1，延長交于點(diǎn)，若，，則的度數(shù)為；②如圖2，垂直平分，點(diǎn)在上，，求的值；（2）如圖3，若，點(diǎn)在邊上，，點(diǎn)在邊上，連接，，，求的度數(shù)．4．在中，，點(diǎn)在邊上，且是射線上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)重合，且)，在射線上截取，連接．當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，①若點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，請(qǐng)說明線段；②如圖2，若點(diǎn)不與點(diǎn)重合，請(qǐng)說明；當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，用等式表示線段之間的數(shù)量關(guān)系(直接寫出結(jié)果，不需要證明)．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，3），B（，0），AB=6，作∠DBO=∠ABO，點(diǎn)H為y軸上的點(diǎn)，∠CAH=∠BAO，BD交y軸于點(diǎn)E，直線DO交AC于點(diǎn)C．（1）證明：△ABE為等邊三角形；（2）若CD⊥AB于點(diǎn)F，求線段CD的長；（3）動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，沿A﹣O﹣B路線運(yùn)動(dòng)，速度為1個(gè)單位長度每秒，到B點(diǎn)處停止運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從B出發(fā)，沿B﹣O﹣A路線運(yùn)動(dòng)，速度為2個(gè)單位長度每秒，到A點(diǎn)處停止運(yùn)動(dòng)．兩點(diǎn)同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，都要到達(dá)相應(yīng)的終點(diǎn)才能停止．在某時(shí)刻，作PM⊥CD于點(diǎn)M，QN⊥CD于點(diǎn)N．問兩動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)多長時(shí)間時(shí)△OPM與△OQN全等？6．已知在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=BC．（1）如圖1，若∠BAD=90°，AD=2，求CD的長度；（2）如圖2，點(diǎn)P、Q分別在線段AD、DC上，滿足PQ=AP+CQ，求證：∠PBQ=90°?∠ADC；（3）如圖3，若點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到DC的延長線上，點(diǎn)P也運(yùn)動(dòng)到DA的延長線上時(shí)，仍然滿足PQ=AP+CQ，則（2）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給出證明過程，若不成立，請(qǐng)寫出∠PBQ與∠ADC的數(shù)量關(guān)系，并給出證明過程.7．我們不妨約定：把“有一組鄰邊相等”的凸四邊形叫做“菠菜四邊形”．(1)如下：①平行四邊形，②矩形，③菱形，④正方形，一定是“菠菜四邊形”的是________（填序號(hào)）；(2)如圖1，四邊形ABCD為“菠菜四邊形”，且∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝AB，AE⊥CD于點(diǎn)E，若AE＝4，求四邊形ABCD的面積；(3)①如圖2，四邊形ABCD為“菠菜四邊形”，且AB＝AD，記四邊形ABCD，△BOC，△AOD的面積依次為S，，，若．求證：ADBC；②在①的條件下，延長BA、CD交于點(diǎn)E，記BC＝m，DC＝n，求證：．8．如圖1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上一點(diǎn)，且DE＝CE，連接BD，CD．（1）判斷與的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）如圖2，若將△DCE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)一定的角度后，BD與AC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？并證明；（3）如圖3，將（2）中的等腰直角三角形都換成等邊三角形，其他條件不變，求BD與AC夾角的度數(shù)．【參考答案】2．(1)（初步探索）結(jié)論：∠BAE＋∠FAD＝∠EAF；(2)（靈活運(yùn)用）成立，理由見解析【分析】（1）延長FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，可判定△ABE≌△ADG，進(jìn)而得出∠BAE=∠D解析：(1)（初步探索）結(jié)論：∠BAE＋∠FAD＝∠EAF；(2)（靈活運(yùn)用）成立，理由見解析【分析】（1）延長FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，可判定△ABE≌△ADG，進(jìn)而得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF，據(jù)此得出結(jié)論；（2）延長FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，先判定△ABE≌△ADG，進(jìn)而得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF．（1）解：∠BAE＋∠FAD＝∠EAF．理由：如圖1，延長FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連接AG，∵，∴，∵DG＝BE，，∴△ABE≌△ADG，∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵EF=BE+FD，DG＝BE，∴，且AE＝AG，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF，∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF．故答案為：∠BAE＋∠FAD＝∠EAF；（2）如圖2，延長FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連接AG，∵∠B＋∠ADF＝180°，∠ADG＋∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADG，又∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵EF＝BE＋FD＝DG＋FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定以及性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等進(jìn)行推導(dǎo)變形．解題時(shí)注意：同角的補(bǔ)角相等．3．（1）12；（2）①6；②17；（3）【分析】（1）根據(jù)完全平方公式的變形應(yīng)用，解決問題；（2）①兩邊平方，再將代入計(jì)算；②兩邊平方，再將代入計(jì)算；（3）由題意可得：，，兩邊平方從而解析：（1）12；（2）①6；②17；（3）【分析】（1）根據(jù)完全平方公式的變形應(yīng)用，解決問題；（2）①兩邊平方，再將代入計(jì)算；②兩邊平方，再將代入計(jì)算；（3）由題意可得：，，兩邊平方從而得到，即可算出結(jié)果．【詳解】解：（1）；；；又；，，∴．（2）①，；又，．②由，；又，．（3）由題意可得，，；，；，；圖中陰影部分面積為直角三角形面積，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式的適當(dāng)變形靈活應(yīng)用，（1）可直接應(yīng)用公式變形解決問題．（2）①②小題都需要根據(jù)題意得出兩個(gè)因式和或者差的結(jié)果，合并同類項(xiàng)得①，②是解決本題的關(guān)鍵，再根據(jù)完全平方公式變形應(yīng)用得出答案．（3）根據(jù)幾何圖形可知選段，再根據(jù)兩個(gè)正方形面積和為18，利用完全平方公式變形應(yīng)用得到，再根據(jù)直角三角形面積公式得出答案．4．（1）①15°；②；（2）【分析】（1）①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，連接，得，，所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，可得，所以可得，，，和是等腰三角形，由外角性質(zhì)計(jì)算可得；②構(gòu)造“一線三垂直”模型，證解析：（1）①15°；②；（2）【分析】（1）①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，連接，得，，所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，可得，所以可得，，，和是等腰三角形，由外角性質(zhì)計(jì)算可得；②構(gòu)造“一線三垂直”模型，證明三角形，利用面積比等于等高的三角形的底邊的比，結(jié)合已知條件即可解得．（2）構(gòu)造等邊，通過證明，等邊代換，得出等腰三角形，代入角度計(jì)算即得．【詳解】（1）①連接ＡＥ，在，因?yàn)?，，，，，，，，，，，，，，故答案為：．②過Ｃ作交ＤＦ延長線于Ｇ，連接ＡＥＡＤ垂直平分ＢＥ，，，，，故答案為：；（2）以AB向下構(gòu)造等邊，連接DK，延長AD，BK交于點(diǎn)T，，，，，，，等邊中，，，，，在和中，，等邊三角形三線合一可知，BD是邊AK的垂直平分線，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，外角的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造等邊三角形的方法證明全等，全等三角形的性質(zhì)應(yīng)用很關(guān)鍵，熟記幾何圖形的性質(zhì)和判定是解決圖形問題的重要方法依據(jù)．5．（1）①證明見解析；②證明見解析；（2）BF＝AE-CD【分析】（1）①根據(jù)等邊對(duì)等角，求到，再由含有60°角的等腰三角形是等邊三角形得到是等邊三角形，之后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及鄰補(bǔ)角的性質(zhì)得解析：（1）①證明見解析；②證明見解析；（2）BF＝AE-CD【分析】（1）①根據(jù)等邊對(duì)等角，求到，再由含有60°角的等腰三角形是等邊三角形得到是等邊三角形，之后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及鄰補(bǔ)角的性質(zhì)得到，推出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；②過點(diǎn)A做AG∥EF交BC于點(diǎn)G，由△DEF為等邊三角形得到DA＝DG，再推出AE＝GF，根據(jù)線段的和差即可整理出結(jié)論；（2）根據(jù)題意畫出圖形，作出AG，由（1）可知，AE=GF，DC=BG，再由線段的和差和等量代換即可得到結(jié)論．【詳解】（1）①證明：，且E與A重合，是等邊三角形在和中②如圖2，過點(diǎn)A做AG∥EF交BC于點(diǎn)G，∵∠ADB＝60°DE＝DF∴△DEF為等邊三角形∵AG∥EF∴∠DAG＝∠DEF＝60°，∠AGD＝∠EFD＝60°∴∠DAG＝∠AGD∴DA＝DG∴DA－DE＝DG－DF，即AE＝GF由①易證△AGB≌△ADC∴BG＝CD∴BF＝BG＋GF＝CD＋AE（2）如圖3，和（1）中②相同，過點(diǎn)A做AG∥EF交BC于點(diǎn)G，由（1）可知，AE=GF，DC=BG，故．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．6．（1）詳見解析；（2）CD=；（3）當(dāng)兩動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為、、6秒時(shí)，△OPM與△OQN全等.【分析】（1）先證△AOB≌△EOB得到AE=BE=AB，從而可以得出結(jié)論；（2）由（1）知∠ABE解析：（1）詳見解析；（2）CD=；（3）當(dāng)兩動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為、、6秒時(shí)，△OPM與△OQN全等.【分析】（1）先證△AOB≌△EOB得到AE=BE=AB，從而可以得出結(jié)論；（2）由（1）知∠ABE=∠BEA=∠EAB=60°，進(jìn)而得出∠AOF=30°，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)得到AF、OF的長．再證明∠ACF=∠AOF=30°，∠D=30°，同理得出CF、DF的長，進(jìn)而可得出結(jié)論．（3）設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．然后分四種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)P、Q分別在y軸、x軸上時(shí)，；②當(dāng)點(diǎn)P、Q都在y軸上時(shí)，；③當(dāng)點(diǎn)P在x軸上，Q在y軸且二者都沒有提前停止時(shí)，；④當(dāng)點(diǎn)P在x軸上，Q在y軸且點(diǎn)Q提前停止時(shí)，，列方程求解即可．【詳解】（1）在△AOB與△EOB中，∵∠AOB=∠EOB，OB=OB，∠EBO=∠ABO，∴△AOB≌△EOB(ASA)，∴AO=EO=3，BE=AB=6，∴AE=BE=AB=6，∴△ABE為等邊三角形．（2）由（1）知∠ABE=∠BEA=∠EAB=60°．∵CD⊥AB，∴∠AOF=30°，∴AF=．在Rt△AOF中，OF=．∵∠CAH=∠BAO=60°，∴∠CAF=60°，∠ACF=∠AOF=30°，∴AO=AC．又∵CD⊥AB，∴CF=．∵AB=6，AF=，∴BF=．在Rt△BDF中，∠DBF=60°，∠D=30°，∴BD=．由勾股定理得：∴DF=，∴CD=．（3）設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．①當(dāng)點(diǎn)P、Q分別在y軸、x軸上時(shí)，，PO=QO得：，解得：（秒）；②當(dāng)點(diǎn)P、Q都在y軸上時(shí)，，PO=QO得：，解得（秒）；③當(dāng)點(diǎn)P在x軸上，Q在y軸且二者都沒有提前停止時(shí)，，則PO=QO，得：，解得：，不合題意，舍去．④當(dāng)點(diǎn)P在x軸上，Q在y軸且點(diǎn)Q提前停止時(shí)，有，解得：（秒）．綜上所述：當(dāng)兩動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為、、6秒時(shí)，△OPM與△OQN全等．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)．正確分類討論是解題的關(guān)鍵．7．（1）CD=2；（2）證明見解析；（3）（2）中結(jié)論不成立，應(yīng)該是：，理由見解析.【分析】（1）如圖1，利用HL證得兩個(gè)直角三角形全等：Rt△BAD≌Rt△BCD，則其對(duì)應(yīng)邊相等：AD=DC=2解析：（1）CD=2；（2）證明見解析；（3）（2）中結(jié)論不成立，應(yīng)該是：，理由見解析.【分析】（1）如圖1，利用HL證得兩個(gè)直角三角形全等：Rt△BAD≌Rt△BCD，則其對(duì)應(yīng)邊相等：AD=DC=2；（2）如圖2，延長DC，在上面找一點(diǎn)K，使得CK=AP，連接BK，通過證△BPA≌△BCK（SAS）得到：∠1=∠2，BP=BK．然后由全等三角形△PBQ≌△BKQ的對(duì)應(yīng)角相等求得∠PBQ=∠ABC，結(jié)合已知條件“∠ABC+∠ADC=180°”可以推知∠PBQ=90°-∠ADC；（3）（2）中結(jié)論不成立，應(yīng)該是：∠PBQ=90°+∠ADC．如圖3，在CD延長線上找一點(diǎn)K，使得KC=AP，連接BK，構(gòu)建全等三角形：△BPA≌△BCK（SAS），由該全等三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定定理SSS證得：△PBQ≌△BKQ，則其對(duì)應(yīng)角相等：∠PBQ=∠KBQ，結(jié)合四邊形的內(nèi)角和是360度可以推得：∠PBQ=90°+∠ADC．【詳解】（1）∵，

∴在Rt△BAD和Rt△BCD中，∴Rt△BAD≌Rt△BCD（HL）∴AD=DC=2

∴DC=2

（2）如圖，延長DC，在上面找一點(diǎn)K，使得CK=AP，連接BK∵∴∵∴在△BPA和△BCK中∴△BPA≌△BCK（SAS）∴，BP=BK∵PQ=AP+CQ∴PQ=QK在△PBQ和△BKQ中∴△PBQ≌△BKQ（SSS）∴∴∴∵∴∴∴（3）（2）中結(jié)論不成立，應(yīng)該是：在CD延長線上找一點(diǎn)K，使得KC=AP，連接BK∵∴∵∴在△BPA和△BCK中∴△BPA≌△BCK（SAS）∴，BP=BK∴∵PQ=AP+CQ∴PQ=QK在△PBQ和△BKQ中∴△PBQ≌△BKQ（SSS）∴∴∴∴【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形.8．(1)③④(2)16(3)①見解析；②見解析【分析】（1）根據(jù)菠菜四邊形的定義結(jié)合各個(gè)特殊四邊形的定義即可得出結(jié)論；（2）過A作，交CB的延長線于F，求出四邊形AFCE是矩形，則，解析：(1)③④(2)16(3)①見解析；②見解析【分析】（1）根據(jù)菠菜四邊形的定義結(jié)合各個(gè)特殊四邊形的定義即可得出結(jié)論；（2）過A作，交CB的延長線于F，求出四邊形AFCE是矩形，則，求出，得出，有全等的出AE=AF=3，，求出，求出，代入求解即可；（3）記面積為，則，，根據(jù)已知條件可得，進(jìn)而可得，得出由平分線的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)可得BD平分，過點(diǎn)D作于點(diǎn)H，作于點(diǎn)N，則D