空間向量知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)(經(jīng)典)

PAGEPAGE1空間向量與立體幾何知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)一．知識(shí)要點(diǎn)。1.空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向線段表示同向等長(zhǎng)的有向線段表示同一或相等的向量。（2）向量具有平移不變性2.空間向量的運(yùn)算。定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算如下（如圖）。;;運(yùn)算律：⑴加法交換律：⑵加法結(jié)合律：⑶數(shù)乘分配律：運(yùn)算法則：三角形法則、平行四邊形法則、平行六面體法則3.共線向量。（1）如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，那么這些向量也叫做共線向量或平行向量，平行于，記作。（2）共線向量定理：空間任意兩個(gè)向量、（≠），//存在實(shí)數(shù)λ，使＝λ。（3）三點(diǎn)共線：A、B、C三點(diǎn)共線<=><=>（4）與共線的單位向量為4.共面向量（1）定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量。說(shuō)明：空間任意的兩向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果兩個(gè)向量不共線，與向量共面的條件是存在實(shí)數(shù)使。（3）四點(diǎn)共面：若A、B、C、P四點(diǎn)共面<=><=>5.空間向量基本定理：如果三個(gè)向量不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組，使。若三向量不共面，我們把叫做空間的一個(gè)基底，叫做基向量，空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底。推論：設(shè)是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)，使。6.空間向量的直角坐標(biāo)系：（1）空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系中，對(duì)空間任一點(diǎn)，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使，有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作，叫橫坐標(biāo)，叫縱坐標(biāo)，叫豎坐標(biāo)。注：①點(diǎn)A（x,y,z）關(guān)于x軸的的對(duì)稱點(diǎn)為(x,-y,-z),關(guān)于xoy平面的對(duì)稱點(diǎn)為(x,y,-z).即點(diǎn)關(guān)于什么軸/平面對(duì)稱，什么坐標(biāo)不變，其余的分坐標(biāo)均相反。②在y軸上的點(diǎn)設(shè)為(0,y,0),在平面yOz中的點(diǎn)設(shè)為(0,y,z)。空間中任一向量=（x,y,z）（3）空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：①若，，則，，，，，。②若，，則。一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。③定比分點(diǎn)公式：若，，，則點(diǎn)P坐標(biāo)為。推導(dǎo)：設(shè)P（x,y,z）則,顯然，當(dāng)P為AB中點(diǎn)時(shí)，④，三角形重心P坐標(biāo)為⑤ΔABC的五心：內(nèi)心P：內(nèi)切圓的圓心，角平分線的交點(diǎn)。（單位向量）外心P：外接圓的圓心，中垂線的交點(diǎn)。垂心P：高的交點(diǎn)：（移項(xiàng)，內(nèi)積為0，則垂直）重心P：中線的交點(diǎn)，三等分點(diǎn)（中位線比）中心：正三角形的所有心的合一。（4）模長(zhǎng)公式：若，，則，（5）夾角公式：。ΔABC中①<=>A為銳角②<=>A為鈍角，鈍角Δ（6）兩點(diǎn)間的距離公式：若，，則，或7.空間向量的數(shù)量積。（1）空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量，在空間任取一點(diǎn)，作，則叫做向量與的夾角，記作；且規(guī)定，顯然有；若，則稱與互相垂直，記作：。（2）向量的模：設(shè)，則有向線段的長(zhǎng)度叫做向量的長(zhǎng)度或模，記作：。（3）向量的數(shù)量積：已知向量，則叫做的數(shù)量積，記作，即。（4）空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：①。②。③。（5）空間向量數(shù)量積運(yùn)算律：①。②（交換律）。③（分配律）。④不滿足乘法結(jié)合率：二．空間向量與立體幾何1．線線平行兩線的方向向量平行1-1線面平行線的方向向量與面的法向量垂直1-2面面平行兩面的法向量平行2線線垂直（共面與異面）兩線的方向向量垂直2-1線面垂直線與面的法向量平行2-2面面垂直兩面的法向量垂直3線線夾角（共面與異面）兩線的方向向量的夾角或夾角的補(bǔ)角，3-1線面夾角：求線面夾角的步驟：先求線的方向向量與面的法向量的夾角，若為銳角角即可，若為鈍角，則取其補(bǔ)角；再求其余角，即是線面的夾角.3-2面面夾角（二面角）：若兩面的法向量一進(jìn)一出，則二面角等于兩法向量的夾角；法向量同進(jìn)同出，則二面角等于法向量的夾角的補(bǔ)角.4．點(diǎn)面距離：求點(diǎn)到平面的距離：在平面上去一點(diǎn)，得向量;；計(jì)算平面的法向量;.4-1線面距離（線面平行）：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離4-2面面距離（面面平行）：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離【典型例題】1．基本運(yùn)算與基本知識(shí)（）例1.已知平行六面體ABCD－，化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式，標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量。⑴；⑵；⑶；⑷。例2.對(duì)空間任一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)，問滿足向量式：（其中）的四點(diǎn)是否共面？。。。。。例3已知空間三點(diǎn)A（0，2，3），B（－2，1，6），C（1，－1，5）。⑴求以向量為一組鄰邊的平行四邊形的面積S；⑵若向量分別與向量垂直，且||＝，求向量的坐標(biāo)。2．基底法（如何找，轉(zhuǎn)化為基底運(yùn)算）3．坐標(biāo)法（如何建立空間直角坐標(biāo)系，找坐標(biāo)）4．幾何法編號(hào)03晚自習(xí)測(cè)試；17，18題例4.如圖，在空間四邊形中，，，，，，，求與的夾角的余弦值。說(shuō)明：由圖形知向量的夾角易出錯(cuò)，如易錯(cuò)寫成，切記！例5.長(zhǎng)方體中，，為與的交點(diǎn)，為與的交點(diǎn)，又，求長(zhǎng)方體的高?！灸M試題】1.已知空間四邊形，連結(jié)，設(shè)分別是的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列各表達(dá)式，并標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果向量：（1）；（2）；（3）。2.已知平行四邊形ABCD，從平面外一點(diǎn)引向量。。（1）求證：四點(diǎn)共面；（2）平面平面。3.如圖正方體中，，求與所成角的余弦。5.已知平行六面體中，，，求的長(zhǎng)。

[參考答案]1.解：如圖，（1）；（2）。；（3）。2.解：（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴共面；（2）解：∵，又∵，∴。所以，平面平面。3.解：不妨設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，∴，，∴，。。4.分析：⑴∴∠BAC＝60°，⑵設(shè)＝（x，y，z），則解得x＝y(tǒng)＝z＝1或x＝y(tǒng)＝z＝－1，∴＝（1，1，1）或＝（－1，－1，－1）。5.解：所以，。轉(zhuǎn)瞬即逝，一轉(zhuǎn)眼我都大四了，三年的大學(xué)生活已經(jīng)結(jié)束。迎來(lái)了大四，我就要開始找工作。踏上求職的這條征程，我才知道求職的艱辛與無(wú)奈，現(xiàn)在我想把我的求職感想說(shuō)一下。在“金融危機(jī)”寒流的沖擊過(guò)后，我從一些報(bào)刊電視上的報(bào)道，從師兄師姐口中了解到高校畢業(yè)生就業(yè)形勢(shì)還是非常嚴(yán)峻的，所以一到大四我就有了嚴(yán)重的危機(jī)感，很難接受這樣的社會(huì)現(xiàn)實(shí)，它使得我們難以安心地在學(xué)校里無(wú)憂無(wú)慮地學(xué)習(xí)生活，但即便前面的路再如何的坎坷，如何的不平，如何的曲折，我們也要擺正自己的心態(tài)，樹立堅(jiān)定的信念，結(jié)合自身綜合素質(zhì)合理確定職業(yè)期望值，以發(fā)展的眼光來(lái)看待工作的選擇，要真正樹立“先就業(yè)后擇業(yè)”的就業(yè)意識(shí)，在實(shí)踐中，逐步實(shí)現(xiàn)自己的職業(yè)理想。我們必須接受，而且還得面對(duì)現(xiàn)實(shí)。首先切勿認(rèn)為工資待遇不高，環(huán)境不好，專業(yè)不對(duì)口、工作環(huán)境不穩(wěn)定，而不參加工作。我們應(yīng)該應(yīng)當(dāng)降低期望值，搶先占據(jù)位置，但不要盲動(dòng)。大部分同學(xué)都希望找到一份高收入、高福利、清閑而又穩(wěn)定工作，而實(shí)現(xiàn)往往是殘酷的。我想每一位同學(xué)都想找一份自己非常滿意的工作，可是要達(dá)到那樣的期望值的同學(xué)并不是很多，那么我們?cè)撛鯓颖M量縮小我們找到的工作與我們所期望的工作差距不是很大呢？我認(rèn)為應(yīng)該做到以下幾點(diǎn)：一．求職前的準(zhǔn)備工作首先，要定好位。也就是說(shuō)，在找工作之前，要先結(jié)合自己的具體情況對(duì)自己的將來(lái)有一個(gè)大體的規(guī)劃和定位。自己的具體情況包括學(xué)歷、專業(yè)、年齡、生源等，還有學(xué)習(xí)、工作等各方面的表現(xiàn)；定位的內(nèi)容則大體有自己想在什么樣的城市工作、以后想從事的職業(yè)、期望的薪金以及前景等等。其次，注意平時(shí)積累。這個(gè)積累，不僅僅是學(xué)習(xí)知識(shí)上的積累，還包括社會(huì)活動(dòng)、兼職工作、社會(huì)經(jīng)驗(yàn)以及人生閱歷等方面的積累。專業(yè)課程要學(xué)好，這樣才能在專業(yè)對(duì)口的工作競(jìng)爭(zhēng)中脫穎而出；而專業(yè)學(xué)習(xí)之外的社會(huì)活動(dòng)以及兼職工作的鍛煉，又可以在就業(yè)過(guò)程中脫離專業(yè)的限制，就業(yè)面更廣闊。自己在學(xué)校學(xué)習(xí)的過(guò)程中要積極參加學(xué)校組織的各種活動(dòng)，而且還應(yīng)該積極去外面做一些兼職工作，這些事情都是可以很好的鍛煉我們的。平時(shí)的積累雖然不一定在就業(yè)中都能派上用場(chǎng)，不過(guò)可以肯定的是，全面發(fā)展的人才正是學(xué)校滿意的社會(huì)歡迎的人才，求學(xué)期間的積累是會(huì)在我們以后的人生道路上起到很大作用的。二．求職開始應(yīng)該準(zhǔn)備的工作1.做好自己的個(gè)人簡(jiǎn)歷。因?yàn)楹?jiǎn)歷是不用語(yǔ)言的展示自己，我們一開始和面試官?zèng)]有任何接觸的時(shí)候，怎樣讓面試官給自己一個(gè)面試的機(jī)會(huì)，就得靠這張簡(jiǎn)歷。在做個(gè)人簡(jiǎn)歷的時(shí)候，我認(rèn)為應(yīng)該注意一下幾點(diǎn)：(1)個(gè)人資料：姓名、性別、出生年月、家庭地址、政治面貌、婚姻狀況，身體狀況，興趣、愛好、性格等等；(2)學(xué)業(yè)有關(guān)內(nèi)容：就讀學(xué)校、所學(xué)專業(yè)、學(xué)位、外語(yǔ)及計(jì)算機(jī)掌握程度等等；(3)個(gè)人經(jīng)歷：入學(xué)以來(lái)的簡(jiǎn)單經(jīng)歷，主要是擔(dān)任學(xué)校院校工作或加入黨團(tuán)等方面的情況;(4)所獲榮譽(yù)；三好學(xué)生、優(yōu)秀團(tuán)員、優(yōu)秀學(xué)生...這些信息都應(yīng)該在簡(jiǎn)歷里面表現(xiàn)出來(lái)。2.抓住每一個(gè)機(jī)會(huì)。自從今年學(xué)校一開學(xué)過(guò)時(shí)間不長(zhǎng)，各學(xué)校里招聘會(huì)就一個(gè)一個(gè)地接踵而來(lái)，跨國(guó)公司、國(guó)內(nèi)知名企業(yè)、各種事業(yè)單位、政府機(jī)關(guān)，之多之頻足以令人眼花繚亂，這個(gè)時(shí)候就要注意抓住每一個(gè)機(jī)會(huì)，多跑跑其他學(xué)校的招聘會(huì)，不要局限于只參加本校的招聘會(huì)，往往其他學(xué)校的招聘單位有自己想去的，招聘的職位有自己以后想從事的崗位，只要是自己心儀的、適合自己的單位就要遞出簡(jiǎn)歷去，之后再等一輪一輪的面試、考試就是了。說(shuō)到考式，自己想去的地方，有考試就盡量參加?？荚嚨某煽?jī)雖然最后不一定都能用得上，不過(guò)總比要用的時(shí)候強(qiáng)。至于收集信息的途徑，現(xiàn)在的條件好多了，總的說(shuō)來(lái)，報(bào)紙、網(wǎng)絡(luò)是重要徑，還有就是院系里的老師通知也很重要。3.面試需謹(jǐn)慎。當(dāng)我第一次接到面試通知的時(shí)候，我當(dāng)時(shí)很高興，可是高興之后并沒有做其他與面試相關(guān)的工作，結(jié)果去面試了?？上攵嬖嚨慕Y(jié)果，是很慘的。我個(gè)人認(rèn)為面試的時(shí)候要做的工作：(1)研究這個(gè)公司，要有意識(shí)的了解和調(diào)查應(yīng)聘單位的一些情況，以便于能更好的回答應(yīng)聘官問我們公司的一些問題；(2)注意自己的外表形象。(3)不能讓面試官等待。面試遲到了，不管什么原因，見面時(shí)都應(yīng)該道歉，如果沒趕到，得打電話道歉。(4)面試過(guò)程中藥表現(xiàn)出積極的態(tài)度，落落大方，面帶微笑。在言辭上應(yīng)該謙虛而不自卑。(5)面試時(shí)要表現(xiàn)出熱烈和激情，專心的傾聽。表現(xiàn)出熱烈和激情，可以自信認(rèn)為我是面試官遇到的最有價(jià)值的人，這會(huì)給自己增添光彩。因?yàn)樽孕乓彩且粋€(gè)人內(nèi)在的品質(zhì)。面試官在講話時(shí)，要直接看著他，使他知道你對(duì)他所講的感興趣，知道你在專心傾聽。這也表現(xiàn)出你是尊重面試官的。(6)謹(jǐn)慎談及工資報(bào)酬及福利問題。面試時(shí)不要對(duì)這兩項(xiàng)流露太關(guān)心，一般來(lái)說(shuō)招聘方早已擬訂，盡管你比較優(yōu)秀，但用人單位也許雇不起你。面試官可能問你“你要求多高的報(bào)酬？”請(qǐng)你回避這個(gè)問題，盡量不要正面回答，讓面試官說(shuō)出一個(gè)數(shù)目。有些人就可能忽略這個(gè)問題，盡管你比較優(yōu)秀，可就是你自己的一句話，讓面試官產(chǎn)出了不要用你的想法，你就可能失去一次簽約的機(jī)會(huì)。(7)必須準(zhǔn)備好對(duì)方想聽聽的內(nèi)容。一個(gè)企業(yè)評(píng)定好員工是這樣一個(gè)人：不只為薪水工作的人，可靠的人，有頭腦，有精力，有熱情的人；嚴(yán)于律己，組織性強(qiáng)，目標(biāo)明確善于把握時(shí)間的人；工作認(rèn)真負(fù)責(zé)，任務(wù)完成出色的人；守時(shí)按時(shí)上班或提前上班，下班后仍繼續(xù)工作甚至在辦公室干到很晚的人；熱愛學(xué)習(xí)，有培養(yǎng)前途的人；機(jī)智靈活，善于應(yīng)付各種形式，對(duì)工作環(huán)境適應(yīng)力強(qiáng)的人。我們不但要表現(xiàn)出自己對(duì)這份工作的熱情，還要表現(xiàn)出自己是一個(gè)紀(jì)律嚴(yán)明，組織性強(qiáng)的人，而且對(duì)待工作負(fù)責(zé)，能按時(shí)完成工作任務(wù)，適應(yīng)性強(qiáng).自學(xué)能力比較強(qiáng)的人。這樣的話公司會(huì)覺得你是一個(gè)能用的.可以培養(yǎng)的員工，以后可能會(huì)給公司帶來(lái)效益。我總結(jié)了一下身邊的同學(xué)以及自己的親身體驗(yàn)，我認(rèn)為那些沒能找到工作的同學(xué)主要是存在一下問題：(1)自以為是；(2)對(duì)企業(yè)一無(wú)所知。我在第一次面試的時(shí)候就是沒能充分準(zhǔn)備，以致最后失掉一次機(jī)會(huì);(3)應(yīng)聘太盲目;(4)不愿到基層去吃苦。像我們這樣的大學(xué)生剛剛踏入社會(huì)，剛進(jìn)入企業(yè)，很難立刻進(jìn)入角色。一些公司規(guī)定所有新參加工作的大學(xué)生都要到一線去鍛煉一年，有的同學(xué)一看不能馬上搞設(shè)計(jì)、搞管理工作，要“吃一年的苦”，就打退堂鼓不愿意干了，白白丟掉了很好的工作;(5)獨(dú)立性欠缺。有這樣的同學(xué)，去參加應(yīng)聘的時(shí)候還讓父母陪著，這樣缺乏獨(dú)立性的人公司敢用他嗎？答案當(dāng)然是否定的。三．面對(duì)抉擇的時(shí)候應(yīng)該怎么做當(dāng)我們被幾家公司同時(shí)錄取的時(shí)候，這是我們就得慎重做出選擇。當(dāng)在擇業(yè)過(guò)程中遇到抉擇的時(shí)候，權(quán)衡利弊得失，就需要慎重了。外企、機(jī)關(guān)、事業(yè)單位哪個(gè)更好？自然是見仁見智。我個(gè)人認(rèn)為，外企收入高，但穩(wěn)定性差；機(jī)關(guān)最初清貧，不過(guò)熬上年頭就是青云直上；事業(yè)單位穩(wěn)定性較外企強(qiáng)，而收入則處于外企與機(jī)關(guān)之間。但是，以上情況的個(gè)體差異也很大。另外，個(gè)人的性格因素也決定了每個(gè)人的不同選擇。我在求職過(guò)程中當(dāng)時(shí)遇到兩個(gè)公司，一個(gè)是工作地點(diǎn)比較流動(dòng)，另外一個(gè)是工作地點(diǎn)固定，我思前想后還是去了工作地點(diǎn)比較流動(dòng)的那個(gè)單位。這與我的性格比較符合，我不太想呆在一個(gè)地方，那樣時(shí)間長(zhǎng)了，就會(huì)覺得煩。四．求職失敗后應(yīng)該怎么做

一次求職失敗后并不能說(shuō)明什么，我們并不能灰心，應(yīng)該對(duì)自己充滿信心，這樣我們才能充滿信心去下參加一家公司的挑戰(zhàn)。同時(shí)我們應(yīng)該調(diào)動(dòng)各方面的人際關(guān)系。中國(guó)社會(huì)的人際關(guān)系網(wǎng)非常發(fā)