高考數(shù)學(xué)藝體生文化課總復(fù)習(xí)第十二章概率與統(tǒng)計(jì)第2節(jié)離散型隨機(jī)變量的均值與方差點(diǎn)金課件

第十二章概率與統(tǒng)計(jì)第2節(jié)離散型隨機(jī)變量的均值與方差知識(shí)梳理1.離散型隨機(jī)變量(1)隨機(jī)變量如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來表示,這樣的變量叫做隨機(jī)變量,常用字母X,Y,ξ,η表示.(2)離散型隨機(jī)變量對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值,可以按一定次序一一列出,這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量.2.離散型隨機(jī)變量的分布列隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,…,xn,X取每一個(gè)值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,則表稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列,簡(jiǎn)稱X的分布列.其中:①pi≥0(i=1,2,…,n);②pi=p1+p2+…+pn=1.Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn3.離散型隨機(jī)變量的均值與方差(1)均值(數(shù)學(xué)期望,簡(jiǎn)稱期望)稱E(X)=xipi=x1p1+x2p2+…+xnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望.它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.(2)方差稱D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn為隨機(jī)變量X的方差.它刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度.其中算術(shù)平方根為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差.(3)性質(zhì)E(ax+b)=aE(x)+bD(ax+b)=a2D(x)D(x)=E(x2)-(E(x))24.兩點(diǎn)分布(1)若隨機(jī)變量X的分布列為則這樣的分布列稱為兩點(diǎn)分布列.(2)P(X=1)=p為成功概率.(3)E(X)=p.(4)D(X)=p(1-p).X01P1-pp5.超幾何分布在含有M件次品的N件產(chǎn)品中,任取n件,其中恰有X件次品,則事件{X=k}發(fā)生的概率為:P(X=k)=,k=0,1,2,…,m,(其中m=min{M,n},n≤N,M≤N),則稱分布列為超幾何分布列.X01…mP…精選例題【例2】某食品集團(tuán)生產(chǎn)的火腿按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成8個(gè)等級(jí),等級(jí)系數(shù)X依次為1,2,3,…,8,其中X≥5為標(biāo)準(zhǔn)A,X≥3為標(biāo)準(zhǔn)B.已知甲車間執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)A,乙車間執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)B生產(chǎn)該產(chǎn)品,且兩個(gè)車間的產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn).(1)已知甲車間的等級(jí)系數(shù)X1的概率分布列如下表,若X1的數(shù)學(xué)期望E(X1)=6.4,求a,b的值;X15678P0.2ab0.1【解析】(1)E(X1)=5×0.2+6a+7b+8×0.1=6.4,即6a+7b=4.6

①,又0.2+a+b+0.1=1,即a+b=0.7

②,聯(lián)立①②得

解得(2)為了分析乙車間的等級(jí)系數(shù)X2,從該車間生產(chǎn)的火腿中隨機(jī)抽取30根,相應(yīng)的等級(jí)系數(shù)組成一個(gè)樣本如下:3533855634

6347534853

8343447567用該樣本的頻率分布估計(jì)總體,將頻率視為概率,求等級(jí)系數(shù)X2的概率分布列和均值.【解析】(2)由樣本的頻率分布估計(jì)總體分布,可得等級(jí)系數(shù)X2的分布列如下:E(X2)=3×0.3+4×0.2+5×0.2+6×0.1+7×0.1+8×0.1=4.8,即乙車間的等級(jí)系數(shù)的均值為4.8.X2345678P0.30.20.20.10.10.1專題訓(xùn)練2.已知某一隨機(jī)變量X的分布列如下,且E(X)=6.3,則a的值為(

)

A.5 B.6 C.7 D.8X4a9P0.50.1b【答案】C

【解析】

由分布列性質(zhì)知,0.5+0.1+b=1,得b=0.4,∵E(X)=4×0.5+a·0.1+9×0.4=6.3,∴a=7.故選C.3.(2019浙江)設(shè)0<a<1,則隨機(jī)變量X的分布列是則當(dāng)a在(0,1)內(nèi)增大時(shí) (

) A.D(X)增大 B.D(X)減小 C.D(X)先增大后減小 D.D(X)先減小后增大X0a1P4.(2018江西六校聯(lián)考)若隨機(jī)變量ξ的分布列如表所示,E(ξ)=1.6,則a-b= (

) A.0.2 B.-0.2 C.0.8 D.-0.8ξ0123P0.1ab0.1【答案】B

【解析】

已知a,b∈[0,1],由0.1+a+b+0.1=1,得a+b=0.8,又由E(ξ)=0×0.1+1·a+2·b+3×0.1=1.6,得a+2b=1.3,解得a=0.3,b=0.5,則a-b=-0.2.故選B.5.(多選)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為若離散型隨機(jī)變量Y滿足Y=2X+1,則下列結(jié)果正確的有 (

)

A.q=0.1 B.E(X)=2,D(X)=1.4 C.E(X)=2,D(X)=1.8 D.E(Y)=5,D(Y)=7.2【答案】ACD

【解析】

因?yàn)閝+0.4+0.1+0.2+0.2=1,所以q=0.1,故A正確;又E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2=2,D(X)=(0-2)2×0.1+(1-2)2×0.4+(2-2)2×0.1+(3-2)2×0.2+(4-2)2×0.2=1.8,故C正確;因?yàn)閅=2X+1,所以E(Y)=2E(X)+1=5,D(Y)=4D(X)=7.2,故D正確.故選ACD.X01234Pq0.40.10.20.26.(2020新課標(biāo)Ⅲ卷)在一組樣本數(shù)據(jù)中,1,2,3,4出現(xiàn)的頻率分別為p1,p2,p3,p4,且

pi=1,則下面四種情形中,對(duì)應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是 (

) A.p1=p4=0.1,p2=p3=0.4 B.p1=p4=0.4,p2=p3=0.1 C.p1=p4=0.2,p2=p3=0.3 D.p1=p4=0.3,p2=p3=0.2【答案】B

【解析】對(duì)于A選項(xiàng),該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為=(1+4)×0.1+(2+3)×0.4=2.5,方差為sA2=(1-2.5)2×0.1+(2-2.5)2×0.4+(3-2.5)2×0.4+(4-2.5)2×0.1=0.65;對(duì)于B選項(xiàng),該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為=(1+4)×0.4+(2+3)×0.1=2.5,方差為sB2=(1-2.5)2×0.4+(2-2.5)2×0.1+(3-2.5)2×0.1+(4-2.5)2×0.4=1.85;對(duì)于C選項(xiàng),該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為=(1+4)×0.2+(2+3)×0.3=2.5,方差為sC2=(1-2.5)2×0.2+(2-2.5)2×0.3+(3-2.5)2×0.3+(4-2.5)2×0.2=1.05;對(duì)于D選項(xiàng),該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為=(1+4)×0.3+(2+3)×0.2=2.5,方差為sD2=(1-2.5)2×0.3+(2-2.5)2×0.2+(3-2.5)2×0.2+(4-2.5)2×0.3=1.45.因此,B選項(xiàng)這一組的標(biāo)準(zhǔn)差最大.故選B.7.一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄,繪制了日銷售量的頻率分布直方圖,如圖所示.將日銷售量落入各組的頻率視為概率,并假設(shè)每天的銷售量相互獨(dú)立.X表示在未來3天內(nèi)日銷售量不低于100個(gè)的天數(shù),則數(shù)學(xué)期望E(X)=

,方差D(X)=

.

【答案】

1.8;0.72

【解析】

由題意知,日銷售量不低于100個(gè)的頻率為(0.006+0.004+0.002)×50=0.6,且X~B(3,0.6),所以期望E(X)=3×0.6=1.8,方差D(X)=3×0.6×(1-0.6)=0.72.8.(2020浙江)一個(gè)盒子里有1個(gè)紅1個(gè)綠2個(gè)黃四個(gè)相同的球,每次拿一個(gè),不放回,拿出紅球即停,設(shè)拿出黃球的個(gè)數(shù)為ξ,則P(ξ=0)=

;E(ξ)=

.

9.甲,乙,丙三位學(xué)生獨(dú)立地解同一道題,甲做對(duì)的概率為,乙,丙做對(duì)的概率分別為m,n(m>n),且三位學(xué)生是否做對(duì)相互獨(dú)立.記ξ為這三位學(xué)生中做對(duì)該題的人數(shù),其分布列為:(1)求至少有一位學(xué)生做對(duì)該題的概率;ξ0123Pab(2)求m,n的值;(3)求ξ的數(shù)學(xué)期望.10.某中藥種植基地有兩處種植區(qū)的藥材需在下周一、下周二兩天內(nèi)采摘完畢,基地員工一天可以完成一處種植區(qū)的采摘.由于下雨會(huì)影響藥材品質(zhì),基地收益如下表所示:若基地額外聘請(qǐng)工人,可在周一當(dāng)天完成全部采摘任務(wù).無雨時(shí)收益為20萬元;有雨時(shí),收益為10萬元.額外聘請(qǐng)工人的成本為a萬元.已知下周一和下周二有雨的概率相同,兩天是否下雨互不影響,基地收益為20萬元的概率為0.36.周一無雨無雨有雨有雨周二無雨有雨無雨有雨收益20萬元15萬元10萬元7.5萬元(1)若不額外聘請(qǐng)工人,寫出基地收益X的分布列及基地的預(yù)期收益;【解析】(1)設(shè)下周一無雨的概率為p,由題意,p2=0.36,p=0.6,基地收益X的可能取值為20,15,10,7.5,則P(X=20)=0.36,P(X=15)=0.24,P(X=10)=0.24,P(X=7.5)=0.16,則基地收益X的分布列為:E(X)=20×0.36+15×0.24+10×0.24+7.5×0.16=14.4,所以基地的預(yù)期收益為14.4萬元.X2015107.5P0.360.240.240.16(2)該基地是否應(yīng)該外聘工人,請(qǐng)說明理由.【解析】(2)設(shè)基地額外聘請(qǐng)工人時(shí)的收益為Y萬元,則其預(yù)期收益E(Y)=20×0.6+10×0.4-a=16-a(萬元),E(Y)-E(X)=1.6-a,綜上,當(dāng)額外聘請(qǐng)工人的成本高于1.6萬元時(shí),不外聘工人;成本低于1.6萬元時(shí),外聘工人;成本恰為1.6萬元時(shí),是否外聘工人均可以.11.甲、乙兩家外賣公司,其送餐員的日工資方案如下:甲公司