江蘇省常州市市橫山橋高級中學高三數(shù)學文期末試題含解析

江蘇省常州市市橫山橋高級中學高三數(shù)學文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)f（x）=Msin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的部分圖象如下圖所示，其中A，B分別為函數(shù)f（x）圖象的一個最高點和最低點，且A，B兩點的橫坐標分別為1，4，若?=0，則函數(shù)f（x）的一個單調(diào)減區(qū)間為（）A．（﹣6，﹣3） B．（6，9） C．（7，10） D．（10，13）參考答案：C【考點】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【分析】求出函數(shù)的周期，利用周期公式可求ω，利用向量的坐標運算可求M，利用A（1，2）在函數(shù)圖象上可求φ，利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：由題意可得：周期T=2×（4﹣1）=6=，解得：ω=，可得坐標：A（1，M），B（4，﹣M），=（1，M），=（4，﹣M），由于：?=0，可得：1×4﹣M2=0，解得：M=2，可得：2sin（×1+φ）=2，解得：×1+φ=2kπ+，k∈Z，可得：φ=2kπ+，k∈Z，由于：0＜φ＜，可得：φ=，解得函數(shù)解析式為：f（x）=2sin（x+），令2kπ+＜x+＜2kπ+，k∈Z，解得：6k+1＜x＜6k+4，k∈Z，可得：當k=1時，函數(shù)f（x）的一個單調(diào)減區(qū)間為：（7，10）．故選：C．2.若從區(qū)間（0，2）內(nèi)隨機取兩個數(shù)，則這兩個數(shù)的比不小于4的概率為 （

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C略3.函數(shù)的最大值與最小值之和為（

）。(A)

(B)0

(C)

(D)參考答案：A4.若變量滿足約束條件，則的最大值為（A）6

（B）7

（C）8

（D）9參考答案：C5.已知、是雙曲線（a>0,b>0）的兩個焦點，為雙曲線上的點，若，則雙曲線的離心率為（

）Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．參考答案：答案：C

6.設集合，則(

)Ａ.

Ｂ.

Ｃ.Ｄ.參考答案：B略7.函數(shù)f（x）＝xsin2x＋cosx的大致圖象有可能是A．B．C．D．參考答案：A8.設，是兩條不同的直線，是一個平面，則下列命題正確的是(

)

A．若，，則

B．若，，則

C．，，則

D．若，，則參考答案：B略9.已知函數(shù)的最大值為4，最小值為0，最小正周期為，直線是其圖象的一條對稱軸，則下面各式中符合條件的解析式為A．B．C．D．參考答案：D略10.用數(shù)學歸納法證明“（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n?1?3…（2n﹣1）”（n∈N+）時，從“n=k到n=k+1”時，左邊應增添的式子是（）A．2k+1 B．2（2k+1） C．

D．參考答案：B【考點】數(shù)學歸納法．【分析】從n=k到n=k+1時左邊需增乘的代數(shù)式是，化簡即可得出【解答】解：用數(shù)學歸納法證明（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n?1?3?5…（2n﹣1）（n∈N*）時，從n=k到n=k+1時左邊需增乘的代數(shù)式是=2（2k+1）．故選B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進行了5次試驗，根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)（如表），由最小二乘法求得回歸方程為．現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)表中有一個數(shù)據(jù)模糊看不清，請你推斷出該數(shù)據(jù)的值為 ．參考答案：68

12.已知函數(shù)在點處的切線方程為，則__________．參考答案：4【詳解】，，，則13.為定義在上奇函數(shù)，時，，則 。參考答案：﹣3略14.一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的表面積與其外接球面積之比為________.

參考答案：略15.設m，n是兩條不同的直線，，，是三個不同的平面，給出下列命題：①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，，則．上面命題中，真命題的序號是

▲

（寫出所有真命題的序號）．參考答案：略16.若函數(shù)，則=

。參考答案：3因為，所以。17.如圖4，⊙的直徑，是延長線上的一點，過點作⊙的切線，切點為，連接，若，

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.不等式選講設函數(shù).（I）當，解不等式；（II）若的解集為，，求證：.

參考答案：（I）;（II）證明：略.解析：（I）由已知可得，原不等式可化為等價于或或解得或或原不等式的解集為

……5分（II）依題可知，所以，即……7分

…………9分當且僅當，,即時取等號

…………10分【思路點撥】（I）當a=2時，原不等式為，分段討論去絕對值得：或或解得或或原不等式的解集為.（II）依題可知，所以，即，所以，當且僅當，,即時取等號.

略19.已知函數(shù)f（x）=alnx++1．（Ⅰ）當a=﹣時，求f（x）在區(qū)間[，e]上的最值；（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（Ⅲ）當﹣1＜a＜0時，有f（x）＞1+ln（﹣a）恒成立，求a的取值范圍．參考答案：【考點】導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用．【分析】（Ⅰ）求導f（x）的定義域，求導函數(shù)，利用函數(shù)的最值在極值處與端點處取得，即可求得f（x）在區(qū)間[，e]上的最值；（Ⅱ）求導函數(shù)，分類討論，利用導數(shù)的正負，可確定函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當﹣1＜a＜0時，f（x）min=f（），即原不等式等價于f（）＞1+ln（﹣a），由此可求a的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）當a=﹣時，，∴．∵f（x）的定義域為（0，+∞），∴由f′（x）=0得x=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴f（x）在區(qū)間[，e]上的最值只可能在f（1），f（），f（e）取到，而f（1）=，f（）=，f（e）=，∴f（x）max=f（e）=，f（x）min=f（1）=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ），x∈（0，+∞）．①當a+1≤0，即a≤﹣1時，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②當a≥0時，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣③當﹣1＜a＜0時，由f′（x）＞0得，∴或（舍去）∴f（x）在（，+∞）單調(diào)遞增，在（0，）上單調(diào)遞減；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣綜上，當a≥0時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；當﹣1＜a＜0時，f（x）在（，+∞）單調(diào)遞增，在（0，）上單調(diào)遞減；當a≤﹣1時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當﹣1＜a＜0時，f（x）min=f（）即原不等式等價于f（）＞1+ln（﹣a）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣即aln+﹣+1＞1+ln（﹣a）整理得ln（a+1）＞﹣1∴a＞﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又∵﹣1＜a＜0，∴a的取值范圍為（﹣1，0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣20.（12分）已知數(shù)列{xn}的首項x1=3，通項xn=2np+nq（n∈N*，p，q為常數(shù)），且x1，x4，x5成等差數(shù)列．求：（Ⅰ）p，q的值；（Ⅱ）數(shù)列{xn}前n項和Sn的公式．參考答案：【考點】：數(shù)列遞推式；等差數(shù)列的前n項和；等比數(shù)列的前n項和；等差數(shù)列的性質(zhì)．【專題】：計算題；綜合題．【分析】：（Ⅰ）根據(jù)x1=3，求得p，q的關系，進而根據(jù)通項xn=2np+np（n∈N*，p，q為常數(shù)），且x1，x4，x5成等差數(shù)列．建立關于p的方求得p，進而求得q．（Ⅱ）進而根據(jù)（1）中求得數(shù)列的首項和公差，利用等差數(shù)列的求和公式求得答案．解：（Ⅰ）∵x1=3，∴2p+q=3，①又x4=24p+4q，x5=25p+5q，且x1+x5=2x4，∴3+25p+5q=25p+8q，②聯(lián)立①②求得p=1，q=1（Ⅱ）由（1）可知xn=2n+n∴Sn=（2+22+…+2n）+（1+2+…+n）=．【點評】：本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本知識，考查運算及推理能力．21.(本小題滿分14分)（I）已知拋物線過焦點的動直線l交拋物線于A，B兩點，O為

坐標原點,求證:為定值;

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知:過拋物線的焦點的動直線l交拋物線于兩點,存在定點,

使得為定值.請寫出關于橢圓的類似結(jié)論,并給出證明.參考答案：解:(I)若直線l垂直于x軸,則,.……………2分若直線l不垂直于x軸,設其方程為,.由……………4分.綜上,為定值.……………6分(II)關于橢圓有類似的結(jié)論:過橢圓的一個焦點的動直線l交橢圓于、兩點,存在定點,使為定值.……………7分證明:不妨設直線l過橢圓的右焦點其中若直線l不垂直于x軸,則設其方程為:,.由得:……………9分由對稱性可知,設點在x軸上,其坐標為所以要使為定值,只要即此時……………12分若直線l垂直于x軸,則其方程為,,.取點,有……………13分綜上,過焦點的任意直線l交橢圓于、兩點,存在定點使為定值.

……………14分22.若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“平方遞推數(shù)列”．已知數(shù)列中，，點()在函數(shù)的圖像上，其中為正整數(shù)．（Ⅰ）證明數(shù)列是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列為等比數(shù)列；（Ⅱ）設(1)中“平方遞推數(shù)列”的前項之積為，即

，求數(shù)列的通項及關于的表達式；（Ⅲ）記，求數(shù)列的前項和．參考答案：解：（I）因為

所以數(shù)列是“平方遞推數(shù)列”．

--------2分

由以上結(jié)論，