2024年初二下冊數(shù)學(xué)期末考試專項復(fù)習(xí)《二次根式》全章復(fù)習(xí)與鞏固（基礎(chǔ)）知識講解

2024年初二下冊數(shù)學(xué)期末考試專項復(fù)習(xí)《二次根式》全章復(fù)習(xí)與鞏固（基礎(chǔ)）知識講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、理解并掌握二次根式、最簡二次根式、同類二次根式的定義和性質(zhì).2、熟練掌握二次根式的加、減、乘、除運(yùn)算，會用它們進(jìn)行有關(guān)實數(shù)的四則運(yùn)算.3、了解代數(shù)式的概念，進(jìn)一步體會代數(shù)式在表示數(shù)量關(guān)系方面的作用.【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點梳理】要點一、二次根式的相關(guān)概念和性質(zhì)1.二次根式形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.要點詮釋：二次根式有意義的條件是，即只有被開方數(shù)時，式子才是二次根式，才有意義.2.二次根式的性質(zhì)（1）；

（2）；

（3）.要點詮釋：（1）一個非負(fù)數(shù)可以寫成它的算術(shù)平方根的平方的形式，即（），如（）.（2）中的取值范圍可以是任意實數(shù)，即不論取何值，一定有意義.（3）化簡時，先將它化成，再根據(jù)絕對值的意義來進(jìn)行化簡.（4）與的異同不同點：中可以取任何實數(shù)，而中的必須取非負(fù)數(shù)；=，=（）.相同點：被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)取非負(fù)數(shù)時，=.3.最簡二次根式（1）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式；

（2）被開方數(shù)中不含有分母；（3）分母中不含有根號.滿足這三個條件的二次根式叫做最簡二次根式.如等都是最簡二次根式.要點詮釋：最簡二次根式有兩個要求：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中每個因式的指數(shù)都小于根指數(shù)2.4.同類二次根式幾個二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同，這幾個二次根式就叫同類二次根式.要點詮釋：判斷是否是同類二次根式，一定要化簡到最簡二次根式后，看被開方數(shù)是否相同，再判斷.如與，由于=，與顯然是同類二次根式.要點二、二次根式的運(yùn)算1.乘除法（1）乘除法法則：類型法則逆用法則二次根式的乘法積的算術(shù)平方根化簡公式：二次根式的除法商的算術(shù)平方根化簡公式：要點詮釋：（1）當(dāng)二次根式的前面有系數(shù)時，可類比單項式與單項式相乘（或相除）的法則，如.（2）被開方數(shù)a、b一定是非負(fù)數(shù)（在分母上時只能為正數(shù)）.如.2.加減法將二次根式化為最簡二次根式后，將同類二次根式的系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變，即合并同類二次根式.要點詮釋：二次根式相加減時，要先將各個二次根式化成最簡二次根式，再找出同類二次根式，最后合并同類二次根式.如.【典型例題】類型一、二次根式的概念與性質(zhì) 1．當(dāng)________時，二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義.【答案】≥3.【解析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，必須≥0才有意義.【總結(jié)升華】本例考查了二次根式成立的條件，要牢記，只有時才是二次根式.舉一反三【高清課堂：二次根式高清ID號：388065關(guān)聯(lián)的位置名稱：填空題5】【變式】①成立的條件是.②成立的條件是.【答案】①≤0；(≤0.)②2≤.(2≤)2．當(dāng)0≤＜1時，化簡的結(jié)果是__________.【思路點撥】由范圍判斷x、x－1的符號，再根據(jù)利用二次根式的性質(zhì)化簡二次根式，即=，同時聯(lián)系絕對值的意義正確解答.【答案】1.【解析】因為≥0，所以=；又因為<1,即-1<0,所以，所以=+1-=1.【總結(jié)升華】本題考查絕對值與二次根式的化簡．舉一反三

【變式】（x＞0，y＞0）【答案】解：原式=﹣=﹣，∵x＞0，y＞0，∴原式=﹣=﹣3xy．3.下列二次根式中屬于最簡二次根式的是（）.A.B.C.D.【答案】A.【解析】選項B：=；選項C：有分母；選項D：=，所以選A.【總結(jié)升華】本題考查了最簡二次根式的定義.類型二、二次根式的運(yùn)算4．（2016秋?普寧市期末）計算：（2﹣）（2+）+（2﹣）2﹣．【思路點撥】原式利用平方差公式，完全平方公式化簡，計算即可得到結(jié)果．【答案與解析】解：原式=4﹣5+4﹣4+2﹣=5﹣．【總結(jié)升華】此題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．舉一反三

【變式】計算：.【答案】.

5.化簡：.【思路點撥】由于（）與()互為有理化因子，所以利用冪的運(yùn)算法則使其盡可能地結(jié)合在一些進(jìn)行乘法運(yùn)算.【答案與解析】解：【總結(jié)升華】本題的求解用到了積的乘方的性質(zhì)，乘法運(yùn)算律，平方差公式及根式的性質(zhì)，是一道綜合運(yùn)算題型.6已知的值.【答案與解析】解：

【總結(jié)升華】化簡求值時要注意x的取值范圍，如果未確定要注意分類討論.舉一反三【高清課堂:二次根式高清ID號：388065關(guān)聯(lián)的位置名稱：計算技巧6-7】【變式】已知=-3,=1,求的值.【答案】解：∵=-3,=1，∴,，.《二次根式》全章復(fù)習(xí)與鞏固（基礎(chǔ)）鞏固練習(xí)一.選擇題

1．下列式子一定是二次根式的是().

A．B．C．D．

2.（2016?高青縣模擬）若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）A．x≥3 B．x≤3且x≠1 C．1＜x≤3 D．x≥1且x≠33.的同類二次根式是（）.A.B.C.D.4．下列說法正確的是().

A．若，則a＜0B．

C．D．5的平方根是5．的值是().

A．-7B．-5C．3D．7

6．下列各式中，最簡二次根式是（）.A.B.C.D.

7．（2015?潛江）下列各式計算正確的是（）A.+=B.4﹣3=1C.2×3=6 D.÷=38．把化成最簡二次根式，正確結(jié)果是（）.A.B.C.D.二.填空題9.計算=___________.10.（2015?永州模擬）設(shè)m=+1，那么的整數(shù)部分是．11．比較大?。?

12.已知最簡二次根式是同類二次根式，則的值為___________.

13．已知.14．的值等于___________.

15．已知數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示：則=__________.16．在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解：(1)=___________________.(2)=___________________.三.解答題17．（2015?新疆模擬）計算：﹣﹣（）2+|2﹣|．18.已知：，求的值.

19．（2016春?浠水縣期末）已知：a=﹣1，求÷﹣的值．20.（2016春?饒平縣期末）已知：y=++，求﹣的值．【答案與解析】一.選擇題

1．【答案】C.【解析】滿足二次根式必須被開方數(shù)大于等于0，因為沒有取值范圍，所以只有中無論取何值≥0，即選C.2．【答案】A.【解析】解：由題意得：，解得：x≥3，故選A．3．【答案】C.【解析】判斷是否是同類二次根式，一定要先化為最簡二次根式，再判斷.因為AB.C.D.而，所以選C.4．【答案】C.5．【答案】D.【解析】則，即.6．【答案】C.【解析】只有選項C滿足被開方數(shù)是整數(shù)或是整式；且被開方數(shù)中不含能開方的因式或因數(shù).7．【答案】D.【解析】解：A.，無法計算，故此選項錯誤，B.4﹣3=，故此選項錯誤，C.2×3=6×3=18，故此選項錯誤，D.=，此選項正確，故選D．8.【答案】D.【解析】，因為，所以原式=.二.填空題

9.【答案】.10.【答案】3.【解析】解：∵m=+1，∴==，∴=+1+=∵2＜＜2.5∴10＜5＜12.5∴13＜5+3＜15.5∴3＜＜＜15.5÷4＜4∴的整數(shù)部分為3．故答案為：3．11．【答案】.12．【答案】2.【解析】因為是同類二次根式，所以,解方程組得.13．【答案】.【解析】因為，又因為，所以原式=.14．【答案】0.【解析】因為≥0，即≤0，即，所以原式=0.15．【答案】0.【解析】由圖像知：,所以原式===0.16．【答案】(1);(2)三.解答題

17.【解析】解：原式=2﹣﹣2+2﹣=．18.【解析】解：

∴原式.19.【解析】解：∵a=﹣1，∴a＜2，∴÷﹣======．20.【解析】解：∵+有意義，∴，解得x=8，∴y=++=++=0+0+=∴﹣=﹣=﹣=﹣=﹣=《二次根式》全章復(fù)習(xí)與鞏固（提高）知識講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、理解并掌握二次根式、最簡二次根式、同類二次根式的定義和性質(zhì).2、熟練掌握二次根式的加、減、乘、除運(yùn)算，會用它們進(jìn)行有關(guān)實數(shù)的四則運(yùn)算.3、了解代數(shù)式的概念，進(jìn)一步體會代數(shù)式在表示數(shù)量關(guān)系方面的作用.【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點梳理】知識點一、二次根式的相關(guān)概念和性質(zhì)1.二次根式形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.要點詮釋：二次根式有意義的條件是，即只有被開方數(shù)時，式子才是二次根式，才有意義.2.二次根式的性質(zhì)（1）；

（2）；

（3）.要點詮釋：（1）一個非負(fù)數(shù)可以寫成它的算術(shù)平方根的平方的形式，即（），如（）.（2）中的取值范圍可以是任意實數(shù)，即不論取何值，一定有意義.（3）化簡時，先將它化成，再根據(jù)絕對值的意義來進(jìn)行化簡.（4）與的異同不同點：中可以取任何實數(shù)，而中的必須取非負(fù)數(shù)；=，=（）.相同點：被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)取非負(fù)數(shù)時，=.3.最簡二次根式（1）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式；

（2）被開方數(shù)中不含有分母；（3）分母中不含有根號.滿足這三個條件的二次根式叫做最簡二次根式.如等都是最簡二次根式.要點詮釋：最簡二次根式有兩個要求：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中每個因式的指數(shù)都小于根指數(shù)2.4.同類二次根式幾個二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同，這幾個二次根式就叫同類二次根式.要點詮釋：判斷是否是同類二次根式，一定要化簡到最簡二次根式后，看被開方數(shù)是否相同，再判斷.如與，由于=，與顯然是同類二次根式.知識點二、二次根式的運(yùn)算1.乘除法（1）乘除法法則：類型法則逆用法則二次根式的乘法積的算術(shù)平方根化簡公式：二次根式的除法商的算術(shù)平方根化簡公式：要點詮釋：（1）當(dāng)二次根式的前面有系數(shù)時，可類比單項式與單項式相乘（或相除）的法則，如.（2）被開方數(shù)a、b一定是非負(fù)數(shù)（在分母上時只能為正數(shù)）.如.2.加減法將二次根式化為最簡二次根式后，將同類二次根式的系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變，即合并同類二次根式.要點詮釋：二次根式相加減時，要先將各個二次根式化成最簡二次根式，再找出同類二次根式，最后合并同類二次根式.如.【典型例題】類型一、二次根式的概念與性質(zhì) 1．x是怎樣的實數(shù)時，下列各式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？

(1)；(2)；【答案】（1）;（2）.【解析】(1)要使在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則必有.

∴當(dāng)時，在實數(shù)范圍內(nèi)有意義.

(2)要使在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則必有.

∴當(dāng)時，在實數(shù)范圍內(nèi)有意義.【總結(jié)升華】本例考查了二次根式成立的條件，要牢記，只有時才是二次根式.舉一反三：【變式】已知，求的值.

【答案】解：根據(jù)二次根式的意義有.

將代入已知等式得2.把根號外的因式移到根號內(nèi)，得().

A．B．C．D．

【思路點撥】首先分析出x的取值范圍x＜0，然后再向根號里移，到根號里面要變成.【答案】C.【解析】由二次根式的意義知x＜0，則.

.【總結(jié)升華】在利用二次根式性質(zhì)化簡時，要注意其符號，要明確是非負(fù)數(shù)，反過來將根號外的因式移到根號內(nèi)時，也必須向里移非負(fù)數(shù).舉一反三：【變式】（2015春?綏中縣期中）若（3x﹣y+5）2+=0，求x+y的立方根．【答案】解：由題意得（3x﹣y+5）2=0，即3x﹣y+5=0，=0，即2x﹣y+3=0，∴解得∴x+y=﹣3，∴x+y的立方根=．3.（2016秋?商水縣校級月考）已知a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖，化簡：+．【思路點撥】根據(jù)數(shù)軸得到a＜b＜0＜c，據(jù)此來化簡二次根式，去絕對值．【答案與解析】解：如圖所示：a＜b＜0＜c，則+=|a|+a+b+|c﹣a+b|+c+b+b=﹣a+a+b+c﹣a+b+c+b+b=4b+2c﹣a．【總結(jié)升華】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，實數(shù)與數(shù)軸．根據(jù)數(shù)軸求得a、b、c的取值范圍是解題的關(guān)鍵．【高清課堂：二次根式高清ID號：388065關(guān)聯(lián)的位置名稱：填空題5】舉一反三：

【變式】ABC的三邊長為a、b、c，則=.【答案】.類型二、二次根式的運(yùn)算4．（2015?昆山市一模）計算：（1）；（2）．【答案與解析】解：（1）原式=2﹣1+3=4；（2）原式=2﹣3﹣﹣2=﹣﹣3．

【總結(jié)升華】此題考查二次根式的混合運(yùn)算，正確掌握二次根式的性質(zhì)化簡以及乘法計算公式是解決問題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】計算：【答案】

5.已知a、b、c為△ABC的三邊長，化簡：

【答案與解析】解：∵a、b、c為△ABC的三邊長，

∴原式

【總結(jié)升華】利用三角形任意兩邊之和大于第三邊和進(jìn)行化簡.

6.若，化簡.【答案】【解析】

【總結(jié)升華】把分子分母分別分解因式，然后約分，可以簡化化簡步驟.舉一反三：

【變式】當(dāng).【答案】解：將代入，原式=3.《二次根式》全章復(fù)習(xí)與鞏固（提高）鞏固練習(xí)一.選擇題1．是怎樣的實數(shù)時，在實數(shù)范圍內(nèi)有意義（）.A.B.C.D.2．若，則().

A．b＞3B．b＜3C．b≥3D．b≤3

3．已知，那么滿足上述條件的整數(shù)的個數(shù)是（）.A．4B.5C.6D.74．若x＜0，則的結(jié)果是().

A．0B．-2C．0或-2D．2

5．的值是().

A．-7B．-5C．3D．7

6．（2016春?東莞市校級期中）已知，則=（）A． B．﹣ C． D．7．小明的作業(yè)本上有以下四題：

①；②；③；④.

做錯的題是().A．①B．②C．③D．④

8．相比較，下面四個選項中正確的是（）.A.B.C.D.

二.填空題9.計算＝___________.10.若的整數(shù)部分是a，小數(shù)部分是b，則___________.11．比較大小①______；②___.（用>或<填空）

12.已知最簡根式是同類根式，則的值為___________.

13．若m＜0，則＝___________.

14.已知實數(shù)滿足，則＝____________.15．已知數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示：則＝__________.16．（2015?黔西南州）已知x=，則x2+x+1=．三.解答題17．計算：(1)(2)

18.（2016春?巢湖市校級月考）已知x=，y=，求代數(shù)式2x2﹣4xy+2y2的值．19已知：

20.（2015?蓬溪縣校級模擬）如圖，面積為48cm2的正方形四個角是面積為3cm2的小正方形，現(xiàn)將四個角剪掉，制作一個無蓋的長方體盒子，求這個長方體的底面邊長和高分別是多少？（精確到0.1）

【答案與解析】一、選擇題

1．【答案】D.【解析】要使有意義，就要滿足即.2．【答案】D.【解