江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)研（一）數(shù)學(xué)試題含附加題2

2019—2020學(xué)年度蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)查（一）數(shù)學(xué)I一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分，請將答案填寫在答題卷相應(yīng)的位置上．）1．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則＝．2．已知集合A＝，B＝，若AB中有且只有一個元素，則實數(shù)a的值為．3．已知一組數(shù)據(jù)1.6，，2，，，則該組數(shù)據(jù)的方差是．4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線(a＞0)的一條漸近線方程為，則a＝．5．甲乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，乙獲勝的概率是，則乙不輸?shù)母怕适牵?．右圖是一個算法的流程圖，則輸出的x的值為．7．“直線l1：與直線l2：平行”是“a＝2”的條件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）．8．已知等差數(shù)列的前n項和為，，，則＝．9．已知點M是曲線y＝2lnx＋x2﹣3x上一動點，當(dāng)曲線在M處的切線斜率取得最小值時，該切線的方程為．10．已知，(，)，則＝．11．如圖在矩形ABCD中，E為邊AD的中點，AB＝1，BC＝2．分別以A，D為圓心，1為半經(jīng)作圓弧EB，EC，將兩圓弧EB，EC及邊BC所圍成的平面圖形（陰影部分）繞直線AD旋轉(zhuǎn)一周，所形成的幾何體的體積為．12．在△ABC中，()⊥(＞1)，若角A的最大值為，則實數(shù)的值是．13．若函數(shù)(a＞0且a≠1)在定義域[m，n]上的值域是[m2，n2](1＜m＜n)，則a的取值范圍是．14．如圖，在△ABC中，AB＝4，D是AB的中點，E在邊AC上，AE＝2EC，CD與BE交于點O，若OB＝OC，則△ABC面積的最大值為．二、解答題（本大題共6小題，共計90分，請在答題紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15．（本小題滿分14分）在△ABC中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，且滿足．（1）求A；（2）已知a＝，B＝，求△ABC的面積．16．（本小題滿分14分）如圖，在四棱錐P—ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，BD⊥DC，△PCD為正三角形，平面PCD⊥平面ABCD，E為PC的中點．（1）證明：AP∥平面EBD

；（2）證明：BE⊥PC．17．（本小題滿分14分）某地為改善旅游環(huán)境進行景點改造．如圖，將兩條平行觀光道l1和l2通過一段拋物線形狀的棧道AB連通（道路不計寬度），l1和l2（百米），對岸堤岸線l3平行于觀光道且與l2（百米）（其中A為拋物線的頂點，拋物線的對稱軸垂直于l3，且交l3于M

），在堤岸線l3上的E，F(xiàn)兩處建造建筑物，其中E，F(xiàn)到M的距離為1

（百米），且F恰在B的正對岸（即BF⊥l3）．（1）在圖②中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并求棧道AB的方程；（2）游客（視為點P）在棧道AB的何處時，觀測EF的視角(∠EPF)最大？請在（1）的坐標(biāo)系中，寫出觀測點P的坐標(biāo)．18．（本小題滿分16分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：(a＞b＞0)的離心率為．且經(jīng)過點(1，)，A，B分別為橢圓C的左、右頂點，過左焦點F的直線l交橢圓C于D，E兩點（其中D在x軸上方）．（1）求橢圓C的標(biāo)準方程；（2）若△AEF與△BDF的面積之比為1：7，求直線l的方程．19．（本小題滿分16分）已知函數(shù)(mR)的導(dǎo)函數(shù)為．（1）若函數(shù)存在極值，求m的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），對任意mR，若關(guān)于x的不等式在(0，)上恒成立，求正整數(shù)k的取值集合．20．（本小題滿分16分）已知數(shù)列，，數(shù)列滿足，n．（1）若，，求數(shù)列的前2n項和；（2）若數(shù)列為等差數(shù)列，且對任意n，恒成立．①當(dāng)數(shù)列為等差數(shù)列時，求證：數(shù)列，的公差相等；②數(shù)列能否為等比數(shù)列？若能，請寫出所有滿足條件的數(shù)列；若不能，請說明理由．第II卷（附加題，共40分）21．【選做題】本題包括A，B，C三小題，請選定其中兩題作答，每小題10分共計20分，解答時應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．A．選修4—2：矩陣與變換已知矩陣，且二階矩陣M滿足AMB，求M的特征值及屬于各特征值的一個特征向量。B．選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線l的參數(shù)方程為，以原點O為極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為4sin。（1）求曲線C的普通方程；（2）求曲線l和曲線C的公共點的極坐標(biāo)。C．選修4—5：不等式選講已知正數(shù)x，y，z滿足xyzt（t為常數(shù)），且的最小值為，求實數(shù)t的值?！颈刈鲱}】第22題、第23題，每題10分，共計20分，解答時應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．22．（本小題滿分10分）某商店舉行促銷反饋活動，顧客購物每滿200元，有一次抽獎機會（即滿200元可以抽獎一次，滿400元可以抽獎兩次，依次類推）。抽獎的規(guī)則如下：在一個不透明口袋中裝有編號分別為1，2，3，4，5的5個完全相同的小球，顧客每次從口袋中摸出一個小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球編號一次比一次大（如1，2，5），則獲得一等獎，獎金40元；若摸得的小球編號一次比一次?。ㄈ?，3，1），則獲得二等獎，獎金20元；其余情況獲得三等獎，獎金10元.（1）某人抽獎一次，求其獲獎金額X的概率分布和數(shù)學(xué)期望;（2）趙四購物恰好滿600元，假設(shè)他不放棄每次抽獎機會，求他獲得的獎金恰好為60元的概率.23．（本小題滿分10分）已知拋物線C:x24py（p為大于2的質(zhì)數(shù)）的焦點為F，過點F且斜率為k(k0)的直線交C于A，B兩點，線段AB的垂直平分線交y軸于點E，拋物線C在點A，B處的切線相交于點G.記四邊形AEBG的面積為S.（1）求點G的軌跡方程；（2）當(dāng)點G的橫坐標(biāo)為整數(shù)時，S是否為整數(shù)？若是，請求出所有滿足條件的S的值；若不是，請說明理由.2019—2020學(xué)年度蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)查（一）數(shù)學(xué)I一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分，請將答案填寫在答題卷相應(yīng)的位置上．）1．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則＝．答案：考點：復(fù)數(shù)解析：．2．已知集合A＝，B＝，若AB中有且只有一個元素，則實數(shù)a的值為．答案：2考點：集合交集運算解析：由題意知a﹣1＝1，得a＝2．3．已知一組數(shù)據(jù)1.6，，2，，，則該組數(shù)據(jù)的方差是．答案：0.08考點：方差解析：首先求得，．4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線(a＞0)的一條漸近線方程為，則a＝．答案：3考點：雙曲線的漸近線解析：由題意知：，∴a＝3．5．甲乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，乙獲勝的概率是，則乙不輸?shù)母怕适牵鸢福嚎键c：概率解析：乙不輸包括乙獲勝或和棋，故P＝＋＝．6．右圖是一個算法的流程圖，則輸出的x的值為．答案：6考點：算法與流程圖解析：第一次：x＝4，y＝16，第二次：x＝5，y＝32，第三次：x＝6，y＝64，此時64＞10×6＋3，輸出x，故輸出x的值為6．7．“直線l1：與直線l2：平行”是“a＝2”的條件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）．答案：必要不充分考點：兩直線平行，充要性解析：“直線l1：與直線l2：平行”等價于a＝±2，故“直線l1：與直線l2：平行”是“a＝2”的必要不充分條件．8．已知等差數(shù)列的前n項和為，，，則＝．答案：考點：等差數(shù)列及其性質(zhì)解析：．9．已知點M是曲線y＝2lnx＋x2﹣3x上一動點，當(dāng)曲線在M處的切線斜率取得最小值時，該切線的方程為．答案：考點：導(dǎo)數(shù)與切線，基本不等式解析：，＝1時有最小值1，此時M(1，﹣2)，故切線方程為：，即．10．已知，(，)，則＝．答案：考點：兩角和與差的三角函數(shù)，二倍角的三角函數(shù)，同角三角函數(shù)關(guān)系式解析：∵，∴，則，．11．如圖在矩形ABCD中，E為邊AD的中點，AB＝1，BC＝2．分別以A，D為圓心，1為半經(jīng)作圓弧EB，EC，將兩圓弧EB，EC及邊BC所圍成的平面圖形（陰影部分）繞直線AD旋轉(zhuǎn)一周，所形成的幾何體的體積為．答案：考點：圓柱與球的體積解析：．12．在△ABC中，()⊥(＞1)，若角A的最大值為，則實數(shù)的值是．答案：3考點：平面向量數(shù)量積解析：，解得＝3．13．若函數(shù)(a＞0且a≠1)在定義域[m，n]上的值域是[m2，n2](1＜m＜n)，則a的取值范圍是．答案：(1，)考點：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合解析：由題意知：與的圖像在(1，)上恰有兩個交點考查臨界情形：與切于，．14．如圖，在△ABC中，AB＝4，D是AB的中點，E在邊AC上，AE＝2EC，CD與BE交于點O，若OB＝OC，則△ABC面積的最大值為．答案：考點：向量與解三角形、圓的綜合解析：設(shè)B，O，E共線，則，解得，從而O為CD中點，故，在△BOD中，BD＝2，，易知O的軌跡為阿圓，其半徑，故．二、解答題（本大題共6小題，共計90分，請在答題紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15．（本小題滿分14分）在△ABC中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，且滿足．（1）求A；（2）已知a＝，B＝，求△ABC的面積．解：（1）由正弦定理：，得：B為△ABC內(nèi)角，故sinB＞0，所以，若，則，與矛盾，故，因此，又A為△ABC內(nèi)角，所以；（2）由正弦定理得：，故．16．（本小題滿分14分）如圖，在四棱錐P—ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，BD⊥DC，△PCD為正三角形，平面PCD⊥平面ABCD，E為PC的中點．（1）證明：AP∥平面EBD

；（2）證明：BE⊥PC．證明：（1）連結(jié)AC交BD于點O，連結(jié)OE因為四邊形ABCD為平行四邊形∴O為AC中點，又E為PC中點，故AP∥OE，又AP平面EBD，OE平面EBD所以AP∥平面EBD

；（2）∵△PCD為正三角形，E為PC中點所以PC⊥DE因為平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD平面ABCD＝CD，又BD平面ABCD，BD⊥CD∴BD⊥平面PCD又PC平面PCD，故PC⊥BD又BDDE＝D，BD平面BDE，DE平面BDE故PC⊥平面BDE又BE平面BDE，所以BE⊥PC．17．（本小題滿分14分）某地為改善旅游環(huán)境進行景點改造．如圖，將兩條平行觀光道l1和l2通過一段拋物線形狀的棧道AB連通（道路不計寬度），l1和l2（百米），對岸堤岸線l3平行于觀光道且與l2（百米）（其中A為拋物線的頂點，拋物線的對稱軸垂直于l3，且交l3于M

），在堤岸線l3上的E，F(xiàn)兩處建造建筑物，其中E，F(xiàn)到M的距離為1

（百米），且F恰在B的正對岸（即BF⊥l3）．（1）在圖②中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并求棧道AB的方程；（2）游客（視為點P）在棧道AB的何處時，觀測EF的視角(∠EPF)最大？請在（1）的坐標(biāo)系中，寫出觀測點P的坐標(biāo)．解：（1）以A為原點，l1為x軸，拋物線的對稱軸為y軸建系由題意知：B(1，0.5)，設(shè)拋物線方程為代入點B得：p＝1，故方程為，x[0，1]；（2）設(shè)P(，)，t[0，]，作PQ⊥l3于Q，記∠EPQ＝，∠FPQ＝，，令，，則：當(dāng)且僅當(dāng)即，即，即時取等故P(，)時視角∠EPF最大，答：P(，)時，視角∠EPF最大．18．（本小題滿分16分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：(a＞b＞0)的離心率為．且經(jīng)過點(1，)，A，B分別為橢圓C的左、右頂點，過左焦點F的直線l交橢圓C于D，E兩點（其中D在x軸上方）．（1）求橢圓C的標(biāo)準方程；（2）若△AEF與△BDF的面積之比為1：7，求直線l的方程．解：（1）設(shè)焦距為2c，由題意知：；（2）由（1）知：F(﹣1，0)，設(shè)l：，D(，)，E(，)，＜0＜①，，，由①②得：，，代入③得：，又，故，因此，直線l的方程為．19．（本小題滿分16分）已知函數(shù)(mR)的導(dǎo)函數(shù)為．（1）若函數(shù)存在極值，求m的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），對任意mR，若關(guān)于x的不等式在(0，)上恒成立，求正整數(shù)k的取值集合．解：（1）因為，所以，所以，則，由題意可知，解得；（2）由（1）可知，，所以因為整理得，設(shè)，則，所以單調(diào)遞增，又因為，且＋m﹣，所以存在，使得，設(shè)，則，設(shè)，則，，所以單調(diào)遞增，因為，所以存在，使得，即，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因為，所以，又由題意可知，所以，解得，所以正整數(shù)k的取值集合為{1，2}．20．（本小題滿分16分）已知數(shù)列，，數(shù)列滿足，n．（1）若，，求數(shù)列的前2n項和；（2）若數(shù)列為等差數(shù)列，且對任意n，恒成立．①當(dāng)數(shù)列為等差數(shù)列時，求證：數(shù)列，的公差相等；②數(shù)列能否為等比數(shù)列？若能，請寫出所有滿足條件的數(shù)列；若不能，請說明理由．解：（1）因為，，所以，且，由題意可知，數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，數(shù)列是首項和公比均為4的等比數(shù)列，所以；（2）①設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公差為，當(dāng)n為奇數(shù)時，，若，則當(dāng)時，，即，與題意不符，所以，當(dāng)n為偶數(shù)時，，，若，則當(dāng)時，，即，與題意不符，所以，綜上，，原命題得證；②假設(shè)可以為等比數(shù)列，設(shè)公比為q，因為，所以，所以，，因為當(dāng)時，，所以當(dāng)n為偶數(shù)，且時，，即當(dāng)n為偶數(shù)，且時，不成立，與題意矛盾，所以數(shù)列不能為等比數(shù)列．第II卷（附加題，共40分）21．【選做題】本題包括A，B，C三小題，請選定其中兩題作答，每小題10分共計20分，解答時應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．A．選修4—2：矩陣與變換已知矩陣，且二階矩陣M滿足AMB，求M的特征值及屬于各特征值的一個特征向量。解：設(shè)矩陣M＝，則AM＝，所以，解得，所以M＝，則矩陣M的特征方程為，解得，即特征值為1，設(shè)特征值的特征向量為，則，即，解得x＝0，所以屬于特征值的的一個特征向量為．B．選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線l的參數(shù)方程為，以原點O為極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為4sin。（1）求曲線C的普通方程；（2）求曲線l和曲線C的公共點的極坐標(biāo)．解：（1）∵曲線C的極坐標(biāo)方程為，∴，則即：（2），∴，∴（舍）或，公共點(，3)，極坐標(biāo)(2，)．C．選修4—5：不等式選講已知正數(shù)x，y，z滿足xyzt（t為常數(shù)），且的最小值為，求實數(shù)t的值。解：因為即，當(dāng)且僅當(dāng)，，時，上述等號成立，所以，即，又x，y，z＞0，∴xyzt＝4．【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分，解答時應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．22．（本小題滿分10分）某商店舉行促銷反饋活動，顧客購物每滿200元，有一次抽獎機會（即滿200元可以抽獎一次，滿400元可以抽獎兩次，依次類推）。抽獎的規(guī)則如下：在一個不透明口袋中裝有編號分別為1，2，3，4，5的5個完全相同的小球，顧客每次從口袋中摸出一個小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球編號一次比一次大（如1，2，5），則獲得一等獎，獎金40元；若摸得的小球編號一次比一次?。ㄈ?，3，1），則獲得二等獎，獎金20元；其余情況獲得三等獎，獎金10元.（1）某人抽獎一次，求其獲獎金額X的概率分布和