安徽省蚌埠市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末學(xué)業(yè)水平監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題

蚌埠市2023—2024學(xué)年度第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平監(jiān)測(cè)高二數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知拋物線的焦點(diǎn)是，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)直接寫(xiě)出拋物線方程.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)是，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故選：B2.數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】令，代入各選項(xiàng)直接得出答案.【詳解】由題意得，令，A選項(xiàng)：，不合題意；B選項(xiàng)：，不合題意；C選項(xiàng)：，不合題意；D選項(xiàng)：，符合題意故選：D.3.直線的方向向量是，則下列選項(xiàng)中的直線與直線垂直的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由直線的方向向量可得其斜率為，進(jìn)而得到與直線垂直的直線的斜率為，分別計(jì)算各選項(xiàng)的斜率即可判斷.【詳解】因?yàn)橹本€方向向量是，所以直線斜率，所以與直線垂直的直線的斜率為.對(duì)于選項(xiàng)A:由，可得斜率為，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B:由，可得斜率為，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C:由，可得斜率為，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D:由，可得斜率為，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：A.4若圓：與圓：內(nèi)切，則（）A.29 B.9 C. D.19【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圓的方程確定圓心和半徑，結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系即可求解.【詳解】由圓：，可得圓心，半徑；圓：可化為，可得圓心，半徑，所以，由圓圓內(nèi)切，所以，即，解得：.故選：C.5.設(shè)函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】函數(shù)在上單調(diào)遞增等價(jià)于在上恒成立，參變分離，進(jìn)一步討論最值即可.【詳解】由題意在上恒成立，即，又在單增，，則．故選：C．6.美術(shù)繪圖中常采用“三庭五眼”作圖法．三庭：將整個(gè)臉部按照發(fā)際線至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下頦的范圍分為上庭、中庭、下庭，各占臉長(zhǎng)的，五眼：指臉的寬度比例，以眼形長(zhǎng)度為單位，把臉的寬度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份．如圖，假設(shè)三庭中一庭的高度為2cm，五眼中一眼的寬度為1cm，若圖中提供的直線AB近似記為該人像的劉海邊緣，且該人像的鼻尖位于中庭下邊界和第三眼的中點(diǎn)，則該人像鼻尖到劉海邊緣的距離約為（）A.1.8cm B.2.5cm C.3.2cm D.3.9cm【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求出直線的方程，利用點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解【詳解】解：如圖，以鼻尖所在位置為原點(diǎn)O，中庭下邊界為x軸，垂直中庭下邊界為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，所以，利用點(diǎn)斜式方程可得到直線：，整理為，所以原點(diǎn)O到直線距離為，故選:B7.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，得到，利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前項(xiàng)和公式，得出前100項(xiàng)的和，結(jié)合選項(xiàng)，即可求解.【詳解】由，所以，所以，故選：A.8.如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)；從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)．若雙曲線E：的左、右焦點(diǎn)分別為，，從發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)圖2中的A，B兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)C和D，且，，則E的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用雙曲線的光學(xué)性質(zhì)及雙曲線定義，用表示，再在兩個(gè)直角三角形中借助勾股定理求解作答.【詳解】依題意，直線都過(guò)點(diǎn)，如圖，有，，設(shè)，則，顯然有，，，因此，，在，，即，解得，即，令雙曲線半焦距為c，在中，，即，解得，所以E的離心率為.故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求雙曲線離心率的三種方法：①定義法，通過(guò)已知條件列出方程組，求得的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；②齊次式法，由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解；③特殊值法：通過(guò)取特殊值或特殊位置，求出離心率.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.曲線的焦距為4，則實(shí)數(shù)m的值可以是（）A.15 B.5 C.3 D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)曲線的類型分類討論，利用橢圓和雙曲線中之間的關(guān)系即可求解.【詳解】由題意.當(dāng)曲線為橢圓時(shí)：則，則；當(dāng)曲線為雙曲線時(shí)：，則故選：BD.10.已知為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且，則以下結(jié)論正確的是（）.A. B.最小 C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由得，故正確；當(dāng)時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)知識(shí)可知無(wú)最小值，故錯(cuò)誤；根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算可知，故正確；根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)可得，故正確.【詳解】因?yàn)椋?，所以，即，故正確；當(dāng)時(shí)，無(wú)最小值，故錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，故正確；因?yàn)椋收_.故選：ACD.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式，考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于中檔題.11.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)，分別是棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)在四邊形內(nèi)，若，則下列結(jié)論正確的有（）A. B.//C.點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為 D.的最小值是【答案】ACD【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用空間位置關(guān)系的向量證明，解決A,B，用解析法求出軌跡方程處理C，結(jié)合參數(shù)方程處理D即可.【詳解】以原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，故，，，，故，，則，，則，故A正確，而，，顯然與無(wú)倍數(shù)關(guān)系，則//不成立，故B錯(cuò)誤，設(shè)，由兩點(diǎn)間距離公式得，化簡(jiǎn)得，又，故軌跡長(zhǎng)度為，故C正確，易知點(diǎn)的軌跡是圓，故該軌跡的參數(shù)方程為，，(是參數(shù))，故，由兩點(diǎn)間距離公式得，易知當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，故D正確.故選：ACD12.我們通常稱離心率為的橢圓為“黃金橢圓”，如圖，已知橢圓C：，，分別為左、右頂點(diǎn)，，分別為上、下頂點(diǎn)，，分別為左、右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，滿足下列條件能使橢圓為“黃金橢圓”的有（）A. B.C.軸，且 D.四邊形的內(nèi)切圓過(guò)焦點(diǎn)【答案】BD【解析】【分析】結(jié)合橢圓的定義、幾何性質(zhì)等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)的條件逐一分析，結(jié)合橢圓的離心率為確定正確答案.【詳解】由橢圓，可得，，對(duì)于A，，即，化簡(jiǎn)得，即，不符合題意，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，則，即，化簡(jiǎn)得，即有，解得（舍去），符合題意，故B正確；對(duì)于C，軸，且，由，解得，不妨設(shè)，由，可得，解得，又，所以，不符合題意，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，四邊形的內(nèi)切圓過(guò)焦點(diǎn)，，即四邊形的內(nèi)切圓的半徑為c，則，結(jié)合，即，解得（舍去）或即，符合題意，故D正確；故選：BD【點(diǎn)睛】本題的難點(diǎn)是在各種情況下求橢圓的離心率，主要的思路是求得的關(guān)系式，然后轉(zhuǎn)化為.也即是找到的一個(gè)等量關(guān)系式（齊次式），通過(guò)轉(zhuǎn)為后解方程來(lái)求得離心率.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為，則___________.【答案】3【解析】【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)已知條件利用等比數(shù)列的定義計(jì)算可得，，即可求得的值.【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，，由題意，因?yàn)榍?項(xiàng)和為168，故，又，所以，，則.故答案為：3.14.已知空間中兩點(diǎn)，，向量，，則________，________．【答案】①.，②.【解析】【分析】由向量模的坐標(biāo)表示計(jì)算模，由空間向量共線求得．【詳解】由題意，因，所以，解得，．故答案為：，．15.寫(xiě)出與圓和都相切的一條直線的一般式方程______.【答案】或或（答對(duì)其中一條即可）【解析】【分析】先判斷兩圓的位置關(guān)系，可設(shè)公切線方程，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑列出方程組，解之即可得出答案.【詳解】圓的圓心是，半徑是，圓的圓心是，半徑是，兩圓的圓心距是，滿足，所以兩圓相外切.如圖：當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，結(jié)合圖象可得直線滿足題意，其中直線到圓圓心的距離為，等于該圓的半徑，同時(shí)直線到圓圓心的距離為，等于該圓的半徑；當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線的方程為，即，滿足，可得：，若，將代入方程，可得：，，切線方程為，即；若，將代入方程，可得：，，切線方程為，即；綜上，切線方程為：，和.故答案是：或或（答對(duì)其中一條即可）.16.已知函數(shù).若，且，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)畫(huà)出的大致圖象，在根據(jù)圖象以及解析式得到的關(guān)系及的范圍即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞減，且，當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞增，且，所以的圖象大致如圖所示：由，得，即，令得，結(jié)合圖象可知，所以.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.求過(guò)兩條直線與的交點(diǎn)，且分別滿足下列條件的直線方程.（1）過(guò)點(diǎn)；（2）平行于直線.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出兩條直線與的交點(diǎn)，利用兩點(diǎn)式方程整理計(jì)算即可;（2）求出平行于的直線斜率，利用點(diǎn)斜式方程整理計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】由解得,即兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為.直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，由兩點(diǎn)式方程得，，化簡(jiǎn)得所求直線方程為.【小問(wèn)2詳解】由可得直線的斜率為，故平行于直線的直線的斜率為，結(jié)合（1）問(wèn)可得：兩條直線與的交點(diǎn)為，由點(diǎn)斜式方程得，，化簡(jiǎn)得所求直線方程為.18.已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處切線方程為．（1）求的值；（2）討論的單調(diào)性，并求的極大值．【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析.【解析】【詳解】試題分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及曲線在點(diǎn)處切線方程為，建立方程，即可求得，的值；（2）利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得的單調(diào)性，從而可求的極大值．試題解析：（1）．由已知得，．故，．從而，．（2）由（1）知，，．令得，或．從而當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，極大值為．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【方法點(diǎn)晴】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．求極值的步驟是：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)；(3)解方程，求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；(4)列表檢驗(yàn)在的根左右兩側(cè)值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么在處取極大值，如果左負(fù)右正，那么在處取極小值．19.已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，且圓心在直線上.（1）求圓方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與圓相交于，兩點(diǎn)，若，求直線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）求出線段的中垂線方程，與直線聯(lián)立，可得圓心坐標(biāo)，然后與點(diǎn)求出半徑，可得答案；（2）設(shè)圓心到直線的距離為，利用求出，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)直接得答案；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為求出直線的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出可得答案.【小問(wèn)1詳解】直線的斜率為，線段的中點(diǎn)為，線段的中垂線方程為，即，聯(lián)立，解得，所以圓心，半徑，故圓的方程為；【小問(wèn)2詳解】設(shè)圓心到直線的距離為，由，解得，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，其方程為，滿足條件；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為，直線的方程為，即，由，解得，故直線的方程為.綜上，直線的方程為或.20.已知數(shù)列中，，滿足.（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，若不等式對(duì)任意正整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；；（2）【解析】【分析】（1）利用遞推關(guān)系式得，由此可證得是等比數(shù)列；由等比數(shù)列通項(xiàng)公式推導(dǎo)可得；（2）采用分組求和法可求得，分離變量可得，利用可知，由此可求得的范圍.【小問(wèn)1詳解】由得：，又，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；，.【小問(wèn)2詳解】由（1）得：，，；令，，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；，，解得：，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.21.在四棱錐中，底面為直角梯形，，側(cè)面底面，且分別為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若直線與平面所成的角為，求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，通過(guò)證明四邊形為平行四邊形，即可證明結(jié)論；（2）由直線與平面所成的角為，可得，建立以G為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，利用向量方法可得答案.【小問(wèn)1詳解】證明：取中點(diǎn)，連接，為的中點(diǎn)，，又，，四邊形為平行四邊形：，平面平面，平面；【小問(wèn)2詳解】平面平面，平面平面平面，平面，取中點(diǎn)，連接，則平面，，，又，如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，，則，取，則，平面的一個(gè)法向量可取，設(shè)平面與平面所成的夾角為，,平面與平面所成的夾角的余弦為22.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，為拋物線上一點(diǎn)，．（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點(diǎn)，點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，連接PB交拋物線于另一點(diǎn)T，證明：直線Q