公務(wù)員數(shù)學(xué)習(xí)題分類及詳解

數(shù)學(xué)運(yùn)算行程問題專項(xiàng)輔導(dǎo)

一、基本知識點(diǎn)：

1、基本公式：距離=速度義時(shí)間

2、相遇追及問題：

相遇距離=（大速度+小速度）X相遇時(shí)間

追及距離=（大速度-小速度）X追及時(shí)間

3、環(huán)形運(yùn)動(dòng)問題：

環(huán)形周長=（大速度+小速度）X相向運(yùn)動(dòng)的兩人兩次相遇的時(shí)間間隔

環(huán)形周長=（大速度-小速度）X同向運(yùn)動(dòng)的兩人兩次相遇的時(shí)間間隔

4、流水行船問題：

順流路程=順流速度X順流時(shí)間=（船速+水速）X順流時(shí)間

逆流路程=逆流速度X逆流時(shí)間=（船速-水速）X逆流時(shí)間

5、電梯運(yùn)動(dòng)問題：

能看到的電梯級數(shù)=（人速+電梯速度）X沿電梯運(yùn)動(dòng)方向運(yùn)動(dòng)所需時(shí)間

能看到的電梯級數(shù)=（人速-電梯速度）X逆電梯運(yùn)動(dòng)方向運(yùn)動(dòng)所需時(shí)間

6、鐘面問題（此類問題很多可以轉(zhuǎn)化為追及問題）

（1）假設(shè)時(shí)鐘一圈是12格，則時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)1格，分針每小時(shí)轉(zhuǎn)12格。

（2）鐘面上每兩格之間為30°,時(shí)針與分針成某個(gè)角度一般都有對稱的兩種情況。

（3）時(shí)針與分針一晝夜重合22次，垂直44次，成180°也是22次。

二、例題和解題思路

1、甲、乙兩車同時(shí)從A、B兩地出發(fā)相向而行，兩車在離B地64千米處第一次相遇.相遇

后兩車仍以原速繼續(xù)行駛，并且在到達(dá)對方出發(fā)點(diǎn)后，立即沿原路返回，途中兩車在距A

地48千米處第二次相遇，問兩次相遇點(diǎn)相距多少千米？

解析：先畫示意圖：

可以看到它們到第二次相遇時(shí)共走了3個(gè)AB全程。當(dāng)甲、乙兩車共同走完一個(gè)AB全程時(shí),

乙車走了64千米，因此，我們可以理解為乙車一共走了3個(gè)64千米，再由上圖可知：乙車

一共走過的路程減去一個(gè)48千米后，正好等于一個(gè)AB全程。

①AB間的距離是64X3-48=192—48=144（千米）.

②兩次相遇點(diǎn)的距離為144—48-64=32（千米）.

2、甲、乙二人從相距100千米的A、B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，甲騎車，乙步行，在行走

過程中，甲的車發(fā)生故障，修車用了1小時(shí).在出發(fā)4小時(shí)后，甲、乙二人相遇，又已知甲

的速度為乙的2倍，且相遇時(shí)甲的車已修好，那么，甲、乙二人的速度各是多少？

解析：甲的速度為乙的2倍，因此，乙走4小時(shí)的路，甲只要2小時(shí)就可以了，因此，甲

走100千米所需的時(shí)間為（4-1+44-2）=5小時(shí).這樣就可求出甲的速度.

甲的速度為：100+（4-1+44-2）=100+5=20（千米/小時(shí)）.

乙的速度為：20+2=10（千米/小時(shí)）

3、在一條直的公路上，甲、乙兩個(gè)地點(diǎn)相距600米，張明每小時(shí)行4公里，李強(qiáng)每小時(shí)行

5公里.8點(diǎn)整，張李二人分別從甲、乙兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，1分鐘后他們都調(diào)頭反向而

行，再經(jīng)過3分鐘，他們又調(diào)頭相向而行，依次按照1,3,5,…（連續(xù)奇數(shù)）分鐘數(shù)調(diào)頭

行走，那么張、李二人相遇時(shí)是8點(diǎn)幾分？

解析無論相向還是反向，張李二人每分鐘都共走4000+60+5000+60=150（米）.如果兩人

一直相向而行，那么從出發(fā)經(jīng)過600?150=4（分鐘）兩人相遇.

畫圖可知：在16分鐘（=1+3+5+7）之內(nèi)兩人不會相遇.在這16分鐘之內(nèi)，他們相向走了6

分鐘（=1+5）,反向走了10分鐘（=3+7）,此時(shí)兩人相距600+[150X（3+7-1-5）]=1200米,

因此，再相向行走，經(jīng)過1200?150=8（分鐘）就可以相遇.

所以是600+150X（3+7-1-5）=1200（米）

12004-（40004-60+50004-60）=8（分鐘）

1+3+5+7+8=24（分鐘）

兩人相遇時(shí)是8點(diǎn)24分.

4、姐弟倆出游，弟弟先走一步，每分鐘走40米，走80米后姐姐去追他。姐姐每分鐘走60

米，姐姐帶的小狗每分鐘跑150米。小狗追上弟弟又轉(zhuǎn)去找姐姐，碰上姐姐又轉(zhuǎn)去追弟弟，

這樣跑來跑去，直到姐弟相遇小狗才停下來.問小狗共跑了多少米？（）

A、600B、800C、1200D、1600

解析：由于小狗的運(yùn)動(dòng)規(guī)律不規(guī)則，但速度保持不變，故求出小狗跑的總時(shí)間即可。

由于姐姐和小狗同時(shí)出發(fā)，同時(shí)終止，小狗跑的時(shí)間也就是姐姐追弟弟的時(shí)間。

這個(gè)時(shí)間為80米（60-40）=4分鐘

小狗跑了150X4=600米

5、小明放學(xué)后，沿某路公共騎車路線以不變的速度不行回家，該路公共汽車也以不變速度

不停地運(yùn)行。每隔30分鐘就有輛公共騎車從后面超過他，每隔20分鐘就遇到迎面開來的一

輛公共汽車。問：該路公共汽車每隔多少分鐘發(fā)?次車？（）

A、20B、24C、25D、30

解析：設(shè)兩輛車間距為S。有

S=(V車+V人)X20

S=(V車-V人)X30

求得V車=5V人

故發(fā)車間隔為：T=S/V車=24分鐘

6、商場的自動(dòng)扶梯以勻速由下往上行駛，兩個(gè)孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行駛的扶梯上，

男孩每秒鐘向上走2個(gè)梯級，女孩每2秒向上走3個(gè)梯級。結(jié)果男孩用40秒鐘到達(dá)，女孩

用50秒鐘到達(dá)。則當(dāng)該扶梯靜止時(shí)，可看到的扶梯級有：

A.80級B.100級C.120級D.140級

解析；總路程為“扶梯靜止時(shí)可看到的扶梯級”，速度為“男孩或女孩每個(gè)單位向上運(yùn)動(dòng)的

級數(shù)”，如果設(shè)電梯勻速時(shí)的速度為X,則可列方程如下，

(X+2)X40=(X+3/2)X50

解得X=0.5也即扶梯靜止時(shí)可看到的扶梯級數(shù)=(2+0.5)X40=100

7、甲、乙兩人從400米的環(huán)形跑道的一點(diǎn)A背向同時(shí)出發(fā)，8分鐘后兩人第三次相遇。已

知甲每秒鐘比乙每秒鐘多行0.1米，那么，兩人第三次相遇的地點(diǎn)與A點(diǎn)沿跑道上的最短

距離是

A.166米B.176米C.224米D.234米

解析，此題為典型的速度和問題，為方便理解可設(shè)甲的速度為X米/分，乙的速度為Y米/

分，則依題意可列方程

8X+8Y=400x3

X-Y=6(速度差0.1米/秒=6米/分)

從而解得X=78Y=72

由Y=72,可知，8分鐘乙跑了576米，顯然此題距起點(diǎn)的最短距離為176米。

8、甲、乙、丙三人沿湖邊散步，同時(shí)從湖邊一固定點(diǎn)出發(fā)，甲按順時(shí)針方向行走，乙與丙

按逆時(shí)針方向行走，甲第一次遇到乙后1又1/4分鐘遇到丙，再過3又3/4分鐘第二次遇到

乙。已知乙的速度是甲的2/3,湖的周長為600米，則丙的速度為；

A.24米/分B.25米/分C26米/分D.27米/分

r解析』解題關(guān)鍵點(diǎn)為“相遇問題的核心是‘速度和'的問題”可設(shè)甲的速度為

,則乙的速度為2x/3,又根據(jù)“甲第?次遇到乙后1又1/4分鐘遇到丙，再過3又3/4分鐘

第二次遇到乙”，可知（+2x/3）X（1+1/4+3+3/4）=600,貝U=72,如果設(shè)丙的速度為，

則有（+）X（1+1/4+3+3/4+1+1/4）=600,從而解得=24。

9、某校下午2點(diǎn)整派車去某廠接勞模作報(bào)告，往返需1小時(shí)。該勞模在下午1點(diǎn)整就離廠

步行向?qū)W校走來，途中遇到接他的車，便坐上車去學(xué)校，于下午2點(diǎn)30分到達(dá)。問汽車的

速度是勞模的步行速度的幾倍？

A.5倍B.6倍C.7倍D.8倍（2003年中央B類）

解析，如果接勞模往返需1小時(shí)，而實(shí)際上汽車2點(diǎn)出發(fā)，30分鐘便回來，這說明遇到勞

模的地點(diǎn)在中點(diǎn)，也即勞模以步行速度（時(shí)間從1點(diǎn)到2點(diǎn)15分）走的距離和汽車所行的

距離（2點(diǎn)到2點(diǎn)15分）相等。設(shè)勞模的步行速度為A/小時(shí)，汽車的速度是勞模的步行速

度的X倍，則可列方程

5/4A=l/4AX

解得X=5

所以，正確答案為A。

10、某時(shí)刻鐘表時(shí)針在10點(diǎn)到11點(diǎn)之間，此時(shí)刻再過6分鐘后分針和此時(shí)刻3分鐘前的時(shí)

針正好方向相反且在一條直線上，則時(shí)刻為幾點(diǎn)幾分？

A、10點(diǎn)15分B、10點(diǎn)19分C、10點(diǎn)20分D、10點(diǎn)25分

解析：

設(shè)此時(shí)刻是10點(diǎn)X分。3分鐘前是10點(diǎn)X-3分；6分鐘后是10點(diǎn)X+6分。

則：10點(diǎn)X-3分時(shí),時(shí)針從12點(diǎn)位置上轉(zhuǎn)過了300°+（X-3）X30°/600

10點(diǎn)x+6分時(shí)，分針從12點(diǎn)位置上轉(zhuǎn)過了（X+6）X3600

300°+(X-3)X30°/600-(X+6)X3600=>X=15

所以選A

注：一般時(shí)針問題都有簡便的方法來解

比如此題，可以使用代入法

B,C,D的時(shí)刻的3分鐘前都還是10點(diǎn)多，因此時(shí)針在鐘面上的10與11之間，而3個(gè)時(shí)刻6

分鐘以后已經(jīng)至少是25分了，即分針已經(jīng)在鐘面上的5上或者之后了。而鐘面上10與11

之間反過來對應(yīng)的是4和5之間，所以這三項(xiàng)都不符。選擇A

11、有一只鐘，每小時(shí)慢3分鐘，早晨4點(diǎn)30分的時(shí)候，把鐘對準(zhǔn)了標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間，則鐘走到

當(dāng)天上午10點(diǎn)50分的時(shí)候，標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間是多少？()

A、ll點(diǎn)整B、11點(diǎn)5分C、11點(diǎn)10分D、11點(diǎn)15分

解析：壞表問題的基本解題思路是找準(zhǔn)壞表的“標(biāo)準(zhǔn)比”，然后按照比例來計(jì)算。

設(shè)此時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間為y時(shí)，得到這樣的比較：

標(biāo)準(zhǔn)鐘慢鐘

時(shí)刻1:4+30/604+30/60

時(shí)刻2：y10+50/60

兩次時(shí)間差：y-(4+30/60)(10+50/60)-(4+30/60)

標(biāo)準(zhǔn)比：6057

列出比例關(guān)系：y-(4+30/60):(10+50/60)-(4+30/60)=60：57

解得y=l1+10/60,即此時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間為11時(shí)10分。

三、練習(xí)

1.甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點(diǎn)離

A地4千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對方出發(fā)點(diǎn)后立即返回，在距B地3千米處第二

次相遇，求兩次相遇地點(diǎn)之間的距離.

2.一列快車和一列慢車相向而行，快車的車長是280米，慢車的車長為385米，坐在快車上

的人看見慢車駛過的時(shí)間是11秒，那么坐在慢車上的人看見快車駛過的時(shí)間是多少？

3.前進(jìn)鋼鐵廠用兩輛汽車從距工廠90千米的礦山運(yùn)礦石，現(xiàn)有甲、乙兩輛汽車，甲車自礦

山，乙車自鋼鐵廠同時(shí)出發(fā)相向而行，速度分別為每小時(shí)40千米和50千米，到達(dá)目的地后

立即返回，如此反復(fù)運(yùn)行多次，如果不計(jì)裝卸時(shí)間，且兩車不作任何停留，則兩車在第三次

相遇時(shí)，距礦山多少千米？

4.甲乙兩地有公共騎車，每隔3分鐘就從兩地各發(fā)一輛汽車，30分鐘駛完全程。如果車速均

勻，一個(gè)人坐上午9點(diǎn)的車從甲地開往乙地，一共遇上多少輛汽車？

A15B18C19D20

5.甲、乙兩人站在勻速上升的自動(dòng)扶梯從底部向頂部走，甲每分鐘走扶梯的級數(shù)是乙的2倍;

當(dāng)甲走了36級到達(dá)頂部，而乙走了24級到達(dá)頂部。那么，自動(dòng)扶梯有多少級露在外面？

A68B56C72D85

6、繞湖?周是20千米，甲、乙二人從湖邊某一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行，甲以每小時(shí)4千米

的速度每走一小時(shí)以后休息5分鐘，乙以每小時(shí)6千米的速度每走50分鐘后休息10分鐘，

則兩人從出發(fā)到第一次相遇用了多少分鐘？

A120B125C130D136

7、人乘竹排沿江順流漂流而下，迎面遇到一艘逆流而上的快艇，他問快艇員：你后面有輪

船開過來嗎？快艇員回答：半小時(shí)前我超過一艘輪船。竹排繼續(xù)順?biāo)髁?小時(shí)遇到了迎

面開來的這艘輪船。那么快艇靜水速度是輪船靜水速度的幾倍？

A2B2.5C3D3.5

8、某司機(jī)開車從A城到B城。如果按原定速度前進(jìn)，可準(zhǔn)時(shí)到達(dá)。當(dāng)路程走了一半時(shí);司

機(jī)發(fā)現(xiàn)前一半路程中，實(shí)際平均速度只可達(dá)到原定速度的11/13.現(xiàn)在司機(jī)想準(zhǔn)時(shí)到達(dá)B城，

在后一半的行程中，實(shí)際平均速度與原速度之比是（）

All：9B12：7C11：8D13：8

9、在一圓形跑道上，甲從A點(diǎn)、乙從B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行，8分鐘后兩人相遇，再過6

分鐘甲到B點(diǎn)，又過10分鐘兩人再次相遇，則甲環(huán)行一周需要（）?

A24分鐘B26分鐘C28分鐘D30分鐘

10、一個(gè)圓的周長為1.26米，兩只螞蟻從一條直徑的兩端同時(shí)出發(fā)沿圓周相向爬行。這兩

只螞蟻每秒分別爬行5.5厘米和3.5厘米，他們每爬行1秒，3秒，5秒……（連續(xù)的奇數(shù)），

就掉頭爬行，那么，他們相遇時(shí)已爬行的時(shí)間是多少秒?（）

A46B47C48D49

1.解：①A、B兩地間的距離：4X3—3=9（千米）.

②兩次相遇點(diǎn)的距離：9—4—3=2（千米）.

2.解:2804-（3854-11）=8（秒）.

提示：在這個(gè)過程中，對方的車長=兩列車的速度和X駛過的時(shí)間.而速度和不變.

3.解：①第三次相遇時(shí)兩車的路程和為：90+90X2+90X2=450（千米）.

②第三次相遇時(shí)，兩車所用的時(shí)間:4504-（40+50）=5（小時(shí)）.

③距礦山的距離為：40X5—2X90=20（千米）.

4、C解析：乙站在上午8點(diǎn)半到9點(diǎn)半，共發(fā)送21輛車，這21輛車也就是甲站九點(diǎn)鐘發(fā)

出所應(yīng)遇到的，除去首尾就是途中遇到的即21-2=19輛車。

5、C解析：甲乙到達(dá)頂部所用的時(shí)間之比是36/2:24=3：4

假設(shè)扶梯的速度為x,那么36+3x=24+4x,得到x=12,所以扶梯長為36+3X12=72.

6、D解析：兩人相遇時(shí)間要超過2小時(shí)，出發(fā)130分鐘后，甲、乙都休息完2次，甲已經(jīng)

行了4X2=8千米，乙已經(jīng)行了6X(130-20)/60=11千米。相遇還需要(20-8-11)/(4+6尸0.1

小時(shí)=6分鐘，故兩人從出發(fā)到第一次相遇用了130+6=136分鐘。

7、C解析：對于竹排來說，它自身不動(dòng)，而快艇、輪船都以它們在靜水中的速度向它駛來。

快艇半小時(shí)走的路程，輪船用了1個(gè)半小時(shí)。因此快艇靜水中的速度是輪船靜水速度的3

倍。

8、A解析：前一半路程用的時(shí)間是原定的13/11.多用了2/11.要想準(zhǔn)時(shí)到達(dá)，后一半路程只

能用原定時(shí)間的1-2/11=9/11。所以后一半行程的速度是原定速度的9/11.即11：9。

9、C解析：甲、乙兩人從第一次相遇到第二次相遇，用了6+10=16分鐘。也就是說，兩人

16分鐘走了一圈。從出發(fā)到兩人第一次相遇用了8分鐘，所以兩人共走版權(quán)，即從A到B

是半圈，A從A到B用了8+6=14分鐘，故甲環(huán)行一周需要14*2=28分鐘。

10、D解析：半圓周長63厘米。如果螞蟻不掉頭走，用63/(5.5+3.5尸7秒即相遇。由于

13-11+9-7+5-3+1=7,所以經(jīng)過13+11+9+7+5+3+1=49秒，兩只螞蟻相遇。

濃度一類問題的解題辦法

一、十字交叉法

十字交叉法是公務(wù)員考試數(shù)算里面的一個(gè)重要方法，很多比例問題，都可以用十字交叉法來

很快地解決，而在資料分析中，也能夠派上很大用場，所以應(yīng)該認(rèn)真掌握它。

(-)原理介紹

通過一個(gè)例題來說明原理。

例：某班學(xué)生的平均成績是80分，其中男生的平均成績是75,女生的平均成績是85。求該

班男生和女生的比例。

方法一：男生一人，女生一人，總分160分，平均分80分。男生和女生的比例是1：1。

方法二：假設(shè)男生有A,女生有B。(A*75+B85)/(A+B)=80

整理后A=B,因此男生和女生的比例是1：1。

方法三：

男生：755

80

女生：855

男生：女生=1：1。

一個(gè)集合中的個(gè)體，只有2個(gè)不同的取值，部分個(gè)體取值為A,剩余部分取值為B。平均值

為C。求取值為A的個(gè)體與取值為B的個(gè)體的比例。假設(shè)A有X,B有(1-X)。

AX+B(1-X)=C

X=(C-B)/(A-B)

1-X=(A-C)/(A-B)

因此:X：(1-X)=(C-B)：(A-C)

上面的計(jì)算過程可以抽象為：

AC-B

C

BA-C

這就是所謂的十字相乘法。

十字相乘法使用時(shí)要注意幾點(diǎn)：

第一點(diǎn)：用來解決兩者之間的比例關(guān)系問題。

第二點(diǎn)：得出的比例關(guān)系是基數(shù)的比例關(guān)系。

第三點(diǎn)：總均值放中央，對角線上，大數(shù)減小數(shù)，結(jié)果放對角線上。

(二)例題與解析

1.某體育訓(xùn)練中心，教練員中男占90%,運(yùn)動(dòng)員中男占80%,在教練員和運(yùn)動(dòng)員中男占

82%,教練員與運(yùn)動(dòng)員人數(shù)之比是

A.2：5B.1：3C.1：4D.1：5

答案：C

分析：

男教練：90%2%

82%

男運(yùn)動(dòng)員：80%8%

男教練：男運(yùn)動(dòng)員=2%：8%=1：4

2.某公司職員25人，每季度共發(fā)放勞保費(fèi)用15000元，已知每個(gè)男職必每季度發(fā)580元，每

個(gè)女職員比每個(gè)男職員每季度多發(fā)50元，該公司男女職員之比是多少

A.2：1B.3：2C.2：3D.1：2

答案：B

分析：職工平均工資15000/25=600

男職工工資：58030

600

女職工工資：63020

男職工：女職工=30：20=3：2

3.某城市現(xiàn)在有70萬人口，如果5年后城鎮(zhèn)人口增加4%,農(nóng)村人口增加5.4%,則全市人

口將增加4.8%?，F(xiàn)在城鎮(zhèn)人口有()萬。

A30B31.2C40D41.6

答案A

分析：城鎮(zhèn)人口：4%0.6%

4.8%

農(nóng)村人口：5.4%0.8%

城鎮(zhèn)人口：農(nóng)村人口=0.6%；0.8%=3：4

70*(3/7)=30

4.某班男生比女生人數(shù)多80%,一次考試后，全班平均成級為75分，而女生的平均分比

男生的平均分高20%,則此班女生的平均分是：

A.84分B.85分C.86分D.87分

答案：A

分析：假設(shè)女生的平均成績?yōu)閄,男生的平均Y。男生與女生的比例是1.8：1=9：5o

男生：Y9

75

女生：X5

根據(jù)十字相乘法原理可以知道

X=84

5.某高校2006年度畢業(yè)學(xué)生7650名，比上年度增長2%.其中本科畢業(yè)生比上年度減少

2%.而研究生畢業(yè)數(shù)量比上年度增加10%,那么，這所高校今年畢業(yè)的本科生有：

A.3920人B.4410人C.4900人D.5490人

答案：C

分析：去年畢業(yè)生一共7500人。7650/(1+2%)=7500人。

本科生：-2%8%

2%

研究生：10%4%

本科生：研究生=8%：4%=2：lo

7500*(2/3)=50005000*0.98=4900

6.某市按以下規(guī)定收取燃?xì)赓M(fèi)：如果用氣量60立方米，按每立方0.8元收費(fèi)；如果用氣量

超過60立方米，則超過部分按每立方1.2元收費(fèi)。某用戶8月份交的燃?xì)赓M(fèi)平均每立方米

0.88元。則該用戶8月份的燃?xì)赓M(fèi)是()

A66元B56元C48元D61.6元

答案：A

解析：方法一：整除法

費(fèi)用必須能被單價(jià)除盡(類似用電、用水也好，使用煤氣也好，總使用量一般是整數(shù)，這是

關(guān)鍵)，已知單價(jià)0.88元，其中含有11這個(gè)因子，只有A滿足。

方法二：十字相乘法

標(biāo)準(zhǔn)用氣0.80.32

0.88

超標(biāo)用氣1.20.08

標(biāo)準(zhǔn)用氣：超標(biāo)用氣=0.32：0.08=4：1=60：15

所以8月份的燃?xì)赓M(fèi)=(60+15)*0.88=75*0.88=66

7.資料分析：

2006年5月份北京市消費(fèi)品市場較為活躍，實(shí)現(xiàn)社會消費(fèi)品零售額272.2億元，創(chuàng)今年

歷史第二高。據(jù)統(tǒng)計(jì)，1-5月份全市累計(jì)實(shí)現(xiàn)社會消費(fèi)品零售額1312.7億元，比去年同期增

長12.5%。

汽車銷售繼續(xù)支撐北京消費(fèi)品市場的繁榮。5月份，全市.機(jī)動(dòng)車類銷售量為5.4萬輛，

同比增長23.9%。據(jù)對限額以上批發(fā)零售貿(mào)易企業(yè)統(tǒng)計(jì)，汽車類商品當(dāng)月實(shí)現(xiàn)零售額32.3

億元，占限額以上批發(fā)零售貿(mào)易企業(yè)零售額比重的20.3%

據(jù)對限額以上批發(fā)零售貿(mào)易企業(yè)統(tǒng)計(jì)，5月份，家具類、建筑及裝潢材料類銷售延續(xù)了

4月份的高幅增長，持續(xù)旺銷，零售額同比增長了50%。其中，家具類商品零售額同比增長

27.3%,建筑及裝潢材料類商品零售額同比增長60.8%。同時(shí)由于季節(jié)變換和節(jié)日商家促銷

的共同作用，家電銷售大幅增長，限額以上批發(fā)零售貿(mào)易企業(yè)家用電器和音像器材類商品零

售額同比增長13.6%。

123.2006年5月份，限額以上批發(fā)零售貿(mào)易企業(yè)中，家具類商品零售額占家具類和建筑及

裝潢材料類商品零售額的比例是：

A.27.4%B.29.9%C.32.2%D.34.6%

答案:A

解析：方法一：比較常規(guī)的做法假設(shè)2005年家具類所占比例為X。

X*(1+27.3%)+(1-X)*(1+60.8%)=1+50%

X=32.2%。

[32.2%*(1+27.3%)]/[32.2%*(1+27.3%)+(1-32.2%)*(1+60.8%0)]=27.4%

方法二：十字相乘法

家具27.3%,近似為27%；

建筑60.8%,近似為61%。

家具：27%11%

50%

建筑：61%23%

家具：建筑=11%：23%大約等于1：2。

注意這是2006年4月份的比例。

建筑類2006年所占比例為：1*(1+27.3%)/[I*(1+27.3%)+2*(1+60.8%)=1.27/(1.27+3.2)

=1.27/4.5=28%。和A最接近。

二、濃度問題

(―)基本知識點(diǎn)：

1、溶液=溶質(zhì)+溶劑；

2、濃度=溶質(zhì)/溶液；

3、溶質(zhì)=溶液*濃度；

4、溶液=溶質(zhì)/濃度；

(二)例題與解析

1.甲容器中有濃度為4%的鹽水250克，乙容器中有某種濃度的鹽水若干克。現(xiàn)從乙中取

出750克鹽水，放人甲容器中混合成濃度為8%的鹽水。問乙容器中的鹽水濃度約是多少？

A.9.78%B.10.14%C,9.33%D.11.27%

答案：C

解析：

方法一：設(shè)濃度為x

(250*4%+750*x)/(250+750)=8%

x=9.33%

方法二：設(shè)濃度為x

甲：4X-8

8

乙：X4

(X-8)：4=250：750=1：3

X=9.33%

2.一個(gè)容器內(nèi)有若干克鹽水。往容器內(nèi)加入一些水，溶液的濃度變?yōu)?%,再加入同樣多

的水，溶液的濃度為2%,問第三次再加入同樣多的水后，溶液的濃度是多少？

A.1.8%B.1.5%C.1%D.0.5%

答案：B

解析：設(shè)加入x的水

3/(100+x)=2/100

x=50

3/100+50+50=1.5%

3.現(xiàn)有種預(yù)防禽流感藥物配置成的甲、乙兩種不同濃度的消毒溶液。若從甲中取2100克,

乙中取700克混合而成的消毒濃度為3%；若從甲中取900克，乙中取2700克，則混合而

成的溶液的濃度為5%。則甲、乙兩種消毒溶液的濃度分別為：

A、3%6%B、3%4%C、2%6%D、4%6%

答案：C

解析：設(shè)甲的濃度為x,乙的濃度為y

1(2100x+700y)/2800=3%

2(900x+2700y)/3600=6%

14-2快速變形后得到：5(3x+y)=3(x+3y)

y=3x

4.甲、乙兩瓶酒精溶液分別重300克和120克；甲中含酒精120克，乙中含酒精90克。問

從兩瓶中應(yīng)各取出多少克才能兌成濃度為50%的酒精溶液140克？

A甲100克，乙40克B甲90克，乙50克

C甲110克，乙30克D甲70克，乙70克

答案：A

解析：甲濃度為40%,乙濃度為75%,

甲中取A,乙中取140-A

甲：4025

50

乙：7510

A：(140-A)=5：2

A=100

5.從裝有100克濃度為10%的鹽水瓶中倒出10克鹽水后，再向瓶中倒入10克清水，這樣

算一次操作，照這樣進(jìn)行下去，第三次操作完成后，瓶中鹽水的濃度為：

A.7%B.7.12%C.7.22%D,7.29%

答案：D

10%*(1-10%)八3=7.29%

6.杯中原有濃度為18%的鹽水溶液100ml,重復(fù)以下操作2次，加入100ml水，充分配合

后，倒出100ml溶液，問杯中鹽水溶液的濃度變成了多少?()

A9%B7.5%C4.5%D3.6%

答案：C

18%*(100/100+100)A2=4.5%

注：多次混合問題核心公式：

1、設(shè)鹽水瓶中鹽水的質(zhì)量為M,每次操作先倒出N克鹽水，再倒入N克清水。

Cn=Co（1-N/M）An[Cn為新濃度，Co為原濃度]

2、設(shè)鹽水瓶中鹽水的質(zhì)量為M,每次操作先倒入N克清水，再倒出N克鹽水。

Cn=Co（M/M+N）An[Cn為新濃度，Co為原濃度]

三、練習(xí)

1.某市居民生活用電每月標(biāo)準(zhǔn)用電價(jià)格為每度0.50元，若每月用電超過規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)用電，超

標(biāo)部分按照基本價(jià)格的80%收費(fèi)。某用戶九月份用電84度，共交電費(fèi)39.6元，則該市每月

標(biāo)準(zhǔn)用電為（）度。

A60B65C70D75

2.某車間進(jìn)行考核，整個(gè)車間平均分是85分，其中2/3的人得80分以上（含80分），他們

的平均分是90分，則低于80分的人的平均分是多少？（）

A68B70C75D78

3.一只貓每天吃由食品A和食品B攪拌成的食物300g,食品A的蛋白質(zhì)含量為10%,食品

B的蛋白質(zhì)含量為15%,如果該貓每天需要38g蛋白質(zhì)，問十五中食品A的比重是百分之

兒？

A47%B40%C1/3D50%

4.一塊試驗(yàn)田，以前這塊地所種植的是普通水稻。現(xiàn)在將該試驗(yàn)III的1/3中上超級水稻，收

割時(shí)發(fā)現(xiàn)該試驗(yàn)田水稻總產(chǎn)量是以前產(chǎn)量的1.5倍。如果普通水稻的產(chǎn)量不變，則超級水稻

和普通水稻的平均產(chǎn)量之比是多少？（）

A5：2B4：3C3：1D2：1

5.甲容器中有濃度為4%的鹽水150克，乙容器中有某種濃度的鹽水若干，從乙中取出450

克鹽水，放入甲中混合成濃度為8.2%的鹽水。問乙容器中鹽水的濃度是多少？（）

A.9.6%B.9.8%C.9.9%D,10%

6.甲杯中有濃度為17%的溶液400克，乙杯中有濃度為23%的溶液600克?，F(xiàn)在從甲、乙兩

杯中取出相同總量的溶液，把從甲杯中取出的倒入乙杯中，把從乙杯中取出的倒入甲杯中，

使甲、乙兩杯溶液的濃度相通，現(xiàn)在兩杯溶液的濃度是（）

A20%B20.6%C21.2%D21.4%

7.兩個(gè)相同的瓶子裝滿酒精溶液，?個(gè)瓶子中酒精與水的體積比是3：1.另一個(gè)瓶子中酒精

與水的體積比是4：1,若把兩瓶酒精溶液混合，則混合后的酒精與水的體積之比是多少？

（）

A31：9B7：2C31：40D20：11

8.從裝滿100克濃度為80%的鹽水杯中倒出40克鹽水，然后倒入清水把杯子裝滿，這樣反

復(fù)3次后，杯中鹽水的濃度是（）

A17.28%B28.8%C11.52%D48%

答案：ACAAAB（提示：相當(dāng)于直接將甲、乙混合）AA

數(shù)學(xué)運(yùn)算之工程問題專題

數(shù)學(xué)運(yùn)算之工程問題專題

1.由于工程問題解題中遇到的不是具體數(shù)量，與學(xué)生的習(xí)慣性思維相逆，同學(xué)們往往感到

很抽象，不易理解。

2.比較難的工程問題，其數(shù)量關(guān)系一般很隱蔽，工作過程也較為復(fù)雜，往往會出現(xiàn)多人多

次參與工作的情況，數(shù)量關(guān)系難以梳理清晰。

3.一些較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題、流水問題、工資分配、周期問題等，其實(shí)質(zhì)也是工程問題，

但同學(xué)們易受其表面特征所迷惑，難以清晰分析、理解其本質(zhì)結(jié)構(gòu)特征是工程問題，從而未

按工程問題思路解答，誤入歧途。

工程問題是從分率的角度研究工作總量、工作時(shí)間和工作效率三個(gè)量之間的關(guān)系，它們

有如下關(guān)系：工作效率X工作時(shí)間=工作總量；工作總量+工作效率=工作時(shí)間；工作總量

?工作時(shí)間=工作效率。那我們應(yīng)該怎樣分析工程問題呢？

1.深刻理解、正確分析相關(guān)概念。

對于工程問題，要深刻理解工作總量、工作時(shí)間、工作效率，簡稱工總、工時(shí)、工效。

通常工作總量的具體數(shù)值是無關(guān)緊要的，一般利用它不變的特點(diǎn)，把它看作單位“1”；工作

時(shí)間是指完成工作總量所需的時(shí)間；工作效率是指單位時(shí)間內(nèi)完成的工作量，即用單位時(shí)間

內(nèi)完成工作總量的幾分之一或幾分之幾來表示工作效率。

分析工程問題數(shù)量關(guān)系時(shí)，運(yùn)用畫示意圖、線段圖等方法，正確分析、弄請題目中哪個(gè)

量是工作總量、工作時(shí)間和工作效率。

2.抓住基本數(shù)量關(guān)系。

解題時(shí)，要抓住工程問題的基本數(shù)量關(guān)系：工作總量=工作效率X工作時(shí)間，靈活地運(yùn)

用這一數(shù)量關(guān)系提高解題能力。這是解工程問題的核心數(shù)量關(guān)系。

3.以工作效率為突破口。

工作效率是解答工程問題的要點(diǎn)，解題時(shí)往往要求出一個(gè)人一天（或一個(gè)小時(shí)）的工作

量，即工作效率（修路的長度、加工的零件數(shù)等）。如果能直接求出工作效率，再解答其他

問題就較容易，如果不能直接求出工作效率，就要仔細(xì)分析單獨(dú)或合作的情況，想方設(shè)法求

出單獨(dú)做的工作效率或合作的工作效率。

工程問題中常出現(xiàn)單獨(dú)做、幾人合作或輪流做的情況，分析時(shí)要梳理、理順工作過程，

抓住完成工作的幾個(gè)過程或幾種變化，通過對應(yīng)工作的每一階段的工作量、工作時(shí)間來確定

單獨(dú)做或合作的工作效率。也常常將問題轉(zhuǎn)化為由甲（或乙）完成全部工程（工作）的情況,

使問題得到解決

要抓住題目中總的工作時(shí)間比、工作效率比、工作量比，及抓住隱蔽的條件來確定工作

效率，或者確定工作效率之間的關(guān)系。

總之，單獨(dú)的工作效率或合作的工作效率是解答工程問題的關(guān)鍵。

【例1】一件工作，甲單獨(dú)做12小時(shí)完成，乙單獨(dú)做9小時(shí)可以完成。如果按照甲先乙后

的順序，每人每次1小時(shí)輪流進(jìn)行，完成這件工作需要幾小時(shí)？

【解析】設(shè)這件工作為“1”，則甲、乙的工作效率分別是1/12和l/9o按照甲先乙后的順序,

每人每次1小時(shí)輪流進(jìn)行，甲、乙各工作1小時(shí)，完成這件工作的7/36,甲、乙這樣輪流進(jìn)

行了5次，即10小時(shí)后，完成了工作的35/36,還剩下這件工作的1/36,剩下的工作由甲

來完成，還需要1/3小時(shí)，因此完成這件工作需要31/3小時(shí)。

【例2】一份稿件，甲、乙、丙三人單獨(dú)打各需20、24、30小時(shí)?，F(xiàn)在三人合打，但甲因中

途另有任務(wù)提前撤出，結(jié)果用12小時(shí)全部完成。那么，甲只打了幾小時(shí)？

【解析】設(shè)打這份稿件的總工作量是“1”，則甲、乙、丙三人的工作效率分別1/20、1/24

和1/30。在甲中途撤出前后，其實(shí)乙、丙二人始終在打這份稿件，乙、丙12小時(shí)打了這份

稿件的9/10,還剩下稿件的1/10,這就是甲打的。所以，甲只打了2小時(shí)。

【例3］一件工程，甲、乙合作6天可以完成。現(xiàn)在甲、乙合作2天后，余下的工程由乙

獨(dú)做又用8天正好做完。這件工程如果由甲單獨(dú)做，需要兒天完成？

［解析］甲、乙合作2天，甲2乙2,剩下應(yīng)該是甲4乙4=乙8.則甲=乙，所以甲單獨(dú)

完成需要12天。

【例4】一個(gè)游泳池，甲管放滿水需6小時(shí)，甲、乙兩管同時(shí)放水，放滿需4小時(shí)。如果

只用乙管放水，則放滿需：

A8小時(shí)B10小時(shí)C12小時(shí)D14小時(shí)(2001年A類真題)

【解析】：設(shè)游泳池放滿水的工作量為1,甲管放滿水需6小時(shí)，則甲每小時(shí)完成工作量的

1/6甲、乙兩管同時(shí)放水，放滿需4小時(shí)，則甲乙共同注水，每小時(shí)可注游泳池的1/4,則

乙每小時(shí)注水的量為1/4-1/6=1/12,則如果只用乙管放水，則放滿需12小時(shí)。

另法：甲乙同時(shí)放水需要4小時(shí)=甲4乙4=甲6則乙=0.5甲，需要12小時(shí)。

【例5】一個(gè)水池有兩個(gè)排水管甲和乙，一個(gè)進(jìn)水管丙.若同時(shí)開放甲、丙兩管，20小時(shí)可

將滿池水排空；若同時(shí)開放乙、丙兩水管，30小時(shí)可將滿池水排空，若單獨(dú)開丙管，60小

忖可將空池注滿.若同時(shí)打開甲、乙、丙三水管，要排空水池中的滿池水，需兒小時(shí)？

【解析】工程問題最好采用方程法。

由題可設(shè)甲X小時(shí)排空池水，乙Y小時(shí)排空池水，則可列方程組

1/X-1/60=1/20解得X=15

l/Y-l/60=l/30解得Y=20

則三個(gè)水管全部打開，則需要1+(1/15+1/20-1/60)=10

所以，同時(shí)開啟甲、乙、丙三水管將滿池水排空需10小時(shí)。

【例6】鋪設(shè)一條自來水管道，甲隊(duì)單獨(dú)鋪設(shè)8天可以完成，而乙隊(duì)每天可鋪設(shè)50米。如

果甲、乙兩隊(duì)同時(shí)鋪設(shè)，4天可以完成全長的2/3,這條管道全長是多少米？

A1000米B1100米C1200米D1300米(2002年B類真題)

【解析】設(shè)乙需要X天完成這項(xiàng)工程，依題意可列方程

(1/8+1/X)X4=2/3

解得X=24

也即乙每天可完成總工程的1/24,也即50米，所以管道總長為1200米。

所以，正確答案為C。

另法：甲4天完成1/2,乙4天完成200米=1/6,全長1200米。

【例7】一項(xiàng)工程甲乙丙合作5天完成，現(xiàn)在三人合作2天后，甲調(diào)走，乙丙繼續(xù)合作5天

后完工，問甲一人獨(dú)做需幾天完工？

【解析】三人合作2天完成2/5,剩余3/5需要乙丙5天，效率為3/25,則甲的效率為

1/5-3/25=2/25,所以甲單獨(dú)做需要12.5天。

［例8］制作一批零件，甲車間要10天完成；茹果甲車間和乙車間一起做只要6天就能完

成，乙車間和丙車間一起做需要8天?，F(xiàn)在三個(gè)車間一起做，完成后發(fā)現(xiàn)甲比乙多做2400

個(gè)。丙制作零件多少個(gè)？

【解析】效率比甲：乙=3：2,則乙單獨(dú)需要15天，則乙：丙=8：7,則甲：乙：丙=12：

8：7,假設(shè)丙做了7X個(gè)，則甲比乙多做4X=2400,7X=4200個(gè)。

【例9】蓄水池有甲丙兩條進(jìn)水管和乙丁兩臺排水管。要注滿一池水，單開甲管要3小時(shí)，

單開丙管要5小時(shí)。要排光一池水，單開乙管要4小時(shí)，單開丁管要6小時(shí)?，F(xiàn)知池內(nèi)有

1/6池水，如果按甲乙丙丁、甲乙丙丁……的順序輪流各開一小時(shí)，問多少時(shí)間后，水開始

溢出水池？

【解析】甲乙丙丁四條水管各開一個(gè)小時(shí)以后，也就是一個(gè)輪回，水池的水量是：

（1/3+1/5）-（1/4+1/6）=7/60；

當(dāng)N個(gè)輪回結(jié)束，水池水量超過2/3時(shí)候，再單獨(dú)開甲就要有水溢出。

l/6+N*7/60=2/3解得N=4.。。2,取N=5

1-1/6-5*7/60=1/4需要3/4小時(shí)。則總時(shí)間為4*5+3/4=20又3/4

數(shù)學(xué)運(yùn)算之牛吃草問題

（一）“牛吃草”問題的關(guān)鍵知識點(diǎn)共有以下三點(diǎn)：

1、草場原有的草量，假設(shè)為A

2、草場每天生長的草量，假設(shè)為B

3、牛每天吃的草量，假設(shè)為1

1,牧場上有一片勻速生長的草地，可供27頭牛吃6天，或供23頭牛吃9天.那么它可供21

頭牛吃幾天？

解析：A+6B=27*6

A+9B=23*9

可得B=（23*9-27*6）4-3=15,A=72

也就是說，原有草量（A）可以供1頭牛吃72天。而每天新增長的草量（B）,每天需要15

頭牛來吃，才能剛剛好吃完。

那么，解這題的時(shí)候，不妨把問的21頭牛分成2部分。一部分是15頭，每天吃新增長的草

量（B）,剛好平衡。而另外6頭只吃原有的草量（A）。這樣，牧場上的草夠吃72+6=12

天。

2、一只船發(fā)現(xiàn)漏水時(shí)，已經(jīng)進(jìn)了一些水，水勻速進(jìn)入船內(nèi).如果10人淘水，3小時(shí)淘完；如

5人淘水8小時(shí)淘完.如果要求2小時(shí)淘完，要安排多少人淘水？

解析：A+3B=10*3

A+8B=5*8

求出B=2,A=24

也就是說，每小時(shí)進(jìn)水的量（B）需要2個(gè)人來淘才可以剛剛平衡

而原有水量要淘完需要244-2=12個(gè)人

因此一共需要12+2=14個(gè)人淘水。

3、一塊草地，每天生長的速度相同.現(xiàn)在這片牧草可供16頭牛吃20天，或者供80只羊吃

12天.如果一頭牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草量，那么10頭牛與60只羊起吃可

以吃多少天？

解析：由于1頭牛每天的吃草量等于4只羊每天的吃草量，故60只羊每天的吃草量和15

頭牛每天吃草量相等，80只羊每天吃草量與20頭牛每天吃草量相等。

A+20B=16*20

A+12B=20*12

B=10,A=120

每天新生長的草量需要10只牛吃才剛剛平衡。因此，剩下的60只羊=15只牛全部去吃原有

草量，需要120?15=8天

4、一水庫原有存水量一定，河水每天均勻入庫.5臺抽水機(jī)連續(xù)20天可抽干；6臺同樣的抽

水機(jī)連續(xù)15天可抽干.若要求6天抽干，需要多少臺同樣的抽水機(jī)？

解：A+20B=5*20

A+15B=6*15

B=2.A=60

水庫原有水量（A）抽干的話需要60/6=10臺抽水機(jī)，另外，每天新進(jìn)水量（B）需要2臺

抽水機(jī)來抽才剛剛好平衡。

所以一共需要10+2=12臺抽水機(jī)。

數(shù)學(xué)運(yùn)算之排列組合問題

公務(wù)員考試排列組合問題

（―）基本概念

（1）加法原理：分類的用加法

乘法原理：分步的用乘法

排列：與順序有關(guān)

組合：與順序無關(guān)

（2）主要解題技巧：逆向考慮法，特殊位置先排，隔板法，插空法，分類法，捆綁法等。

因?yàn)檫@部分內(nèi)容比較多，所以抽屜原理另外在下?個(gè)專題里單獨(dú)講。

（二）習(xí)題與解析：

1、用1、2、3、4、5、6、7、8可組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？

解析：這是?個(gè)從8個(gè)元素中取5個(gè)元素的排列問題，由排列數(shù)公式，共可組成：

P85=8*7*6*5*4=6720

2、由數(shù)字0、1、2、3可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的偶數(shù)？

解析：分類法

注意到由四個(gè)數(shù)字0、1、2、3可組成的偶數(shù)有一位數(shù)、二位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)這四類，

所以要一類一類地考慮，再由加法原理解決.

第一類：一位偶數(shù)只有0、2,共2個(gè)；

第二類：兩位偶數(shù)，它包含個(gè)位為0、2的兩類.若個(gè)位取0,則十位可有C13種取法；若個(gè)

位取2,則十位有C12種取法.故兩位偶數(shù)共有（C13+C12）種不同的取法；

第三類：三位偶數(shù)，它包含個(gè)位為0、2的兩類.若個(gè)位取0,則十位利百位共有P23種取法;

若個(gè)位取2,則十位和百位只能在0、1、3中取，百位有2種取法，十位也有2種取法，由

乘法原理，個(gè)位為2的三位偶數(shù)有2X2個(gè)，三位偶數(shù)共有（P23+2X2）個(gè)；

第四類：四位偶數(shù).它包含個(gè)位為0、2的兩類.若個(gè)位取0,則共有P33個(gè)；若個(gè)位取2,

則其他3位只能在0、1、3中取.千位有2種取法，百位和十位在剩下的兩個(gè)數(shù)中取，再

排成一列，有P22種取法.由乘法原理，個(gè)位為2的四位偶數(shù)有2XP22個(gè).所以，四位偶數(shù)

共有（P33+2XP22）種不同的取法.

由加法原理知，共可以組成

2+(C13+C12)+(P23+2X2)+(P33+2XP22)

=2+5+10+10

=27個(gè)不同的偶數(shù).

3、從5幅國畫，3幅油畫，2幅水彩畫中選取兩幅不同類型的畫布置教室，問有幾種選法？

解析：分類法。首先考慮從國畫、油畫、水彩畫這三種畫中選取兩幅不同類型的畫有三種情

況，即可分三類，自然考慮到加法原理.當(dāng)從國畫、油畫各選一幅有多少種選法時(shí)，利用的

乘法原理.由此可知這是一道利用兩個(gè)原理的綜合題.關(guān)鍵是正確把握原理.

解：符合要求的選法可分三類：

設(shè)第一類為：國畫、油畫各一幅，可以想像成，第一步先在5張國畫中選1張，第二步再在

3張油畫中選1張.山乘法原理有5X3=15種選法.第二類為國畫、水彩畫各一幅，由乘法原

理有5X2=10種選法.第三類油畫、水彩各一幅，由乘法原理有3X2=6種選法.這三類是

各自獨(dú)立發(fā)生互不相干進(jìn)行的.

因此，依加法原理，選取兩幅不同類型的畫布置教室的選法有15+10+6=31種.

運(yùn)用加法和乘法原理時(shí)要注意：

①抓住兩個(gè)基本原理的區(qū)別，千萬不能混.

不同類的方法(其中每一個(gè)方法都能各自獨(dú)立地把事情從頭到尾做完)數(shù)之間做加法，可求

得完成事情的不同方法總數(shù).

不同步的方法(全程分成幾個(gè)階段(步)，其中每一個(gè)方法都只能完成這件事的一個(gè)階段)

數(shù)之間做乘法，可求得完成整個(gè)事情的不同方法總數(shù).

②在研究完成一件工作的不同方法數(shù)時(shí)，要遵循“不重不漏”的原則.請看一些例：從若干

件產(chǎn)品中抽出幾件產(chǎn)品來檢驗(yàn)，如果把抽出的產(chǎn)品中至多有2件次品的抽法僅僅分為兩類：

第一類抽出的產(chǎn)品中有2件次品，第二類抽出的產(chǎn)品中有1件次品，那么這樣的分類顯然漏

掉了抽出的產(chǎn)品中無次品的情況.又如：把能被2、被3、或被6整除的數(shù)分為三類：第一類

為能被2整除的數(shù)，第二類為能被3整除的數(shù)，第三類為能被6整除的數(shù).這三類數(shù)互有重

復(fù)部分.

③在運(yùn)用乘法原理時(shí)，要注意當(dāng)每個(gè)步驟都做完時(shí)，這件事也必須完成，而且前面一個(gè)步驟

中的每一種方法，對于下個(gè)步驟不同的方法來說是一樣的.

4、一學(xué)生把?個(gè)一元硬幣連續(xù)擲三次，試列出各種可能的排列.

解析：畫圖

由此可知，排列共有如下八種：

正正正、正正反、正反正、正反反、

反正正、反正反、反反正、反反反.

5、參加會議的人兩輛都彼此握手，有人統(tǒng)計(jì)共握手3