最小二乘法及其應(yīng)用

最小二乘法及其應(yīng)用1．引言最小二乘法在19世紀(jì)初創(chuàng)造后,很快得到歐洲一些國家的天文學(xué)家和測地學(xué)家的廣泛關(guān)注。據(jù)不完全統(tǒng)計,自1805年至1864年的60年間,有關(guān)最小二乘法的研究論文達(dá)256篇,一些百科全書包括1837年出版的大不列顛百科全書第7版,亦收入有關(guān)方法的介紹。同時,誤差的分布是“正態(tài)”的,也立刻得到天文學(xué)家的關(guān)注及大量經(jīng)驗的支持。如貝塞爾(F.W.Bessel,1784—1846)對幾百顆星球作了三組觀測,并比擬了按照正態(tài)規(guī)律在給定范圍內(nèi)的理論誤差值和實際值,比照說明它們非常接近一致。拉普拉斯在1810年也給出了正態(tài)規(guī)律的一個新的理論推導(dǎo)并寫入其《分析概論》中。正態(tài)分布作為一種統(tǒng)計模型,在19世紀(jì)極為流行,一些學(xué)者甚至把19世紀(jì)的數(shù)理統(tǒng)計學(xué)稱為正態(tài)分布的統(tǒng)治時代。在其影響下,最小二乘法也脫出測量數(shù)據(jù)意義之外而開展成為一個包羅極大,應(yīng)用及其廣泛的統(tǒng)計模型。到20世紀(jì)正態(tài)小樣本理論充分開展后,高斯研究成果的影響更加顯著。最小二乘法不僅是19世紀(jì)最重要的統(tǒng)計方法,而且還可以稱為數(shù)理統(tǒng)計學(xué)之靈魂。相關(guān)回歸分析、方差分析和線性模型理論等數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的幾大分支都以最小二乘法為理論根底。正如美國統(tǒng)計學(xué)家斯蒂格勒(S.M.Stigler)所說,“最小二乘法之于數(shù)理統(tǒng)計學(xué)猶如微積分之于數(shù)學(xué)”。最小二乘法是參數(shù)回歸的最根本得方法所以研究最小二乘法原理及其應(yīng)用對于統(tǒng)計的學(xué)習(xí)有很重要的意義。2.最小二乘法所謂最小二乘法就是：選擇參數(shù),使得全部觀測的殘差平方和最小.用數(shù)學(xué)公式表示為：為了說明這個方法，先解釋一下最小二乘原理，以一元線性回歸方程為例.〔一元線性回歸方程〕由于總體回歸方程不能進(jìn)行參數(shù)估計，我們只能對樣本回歸函數(shù)來估計即：從上面的公式可以看出：殘差是的真實值與估計值之差，估計總體回歸函數(shù)最優(yōu)方法是，選擇的估計量，使得殘差盡可能的小.總之，最小二乘原理就是選擇樣本回歸函數(shù)使得所有Y的估計值與真實值差的平方和為最小，這種確定的方法叫做最小二乘法。最小二乘法是回歸分析中的最根本的方法。回歸方程一般分為2類，線性回歸方程和非線性回歸方程。2.1線性回歸最小二乘法最小二乘法是由實驗或調(diào)查的數(shù)據(jù)，建立線性型公式的一種常用方法.在建立線性型公式中，雖然有很多種不同的方法來求樣本回歸函數(shù)〔即真實總體回歸函數(shù)的估計值〕，但是在回歸分析中最廣泛應(yīng)用的方法是最小二乘法.如果變量有精確的線性關(guān)系比方說,那么即觀測值與回歸值是相等的.事實上現(xiàn)實世界中的諸多變量的關(guān)系未必都是如此，由于受諸多隨機(jī)因數(shù)的干擾使得物與物之間沒有那種很明確的對應(yīng)關(guān)系.比方說人的身高和體重就是一個對應(yīng)，我們都知道長的高的人不一定就重，同理長的矮的人也不一定就輕.但身高和體重確實存在著一定的關(guān)系,而這種關(guān)系并非是所能確定的.那么我們要尋求身高和體重之間的關(guān)系就需要通過數(shù)學(xué)的方法.首先調(diào)查統(tǒng)計得出數(shù)據(jù);其次把數(shù)據(jù)描繪出來；然后擬合一條跟已有的圖象最接近的曲線,這樣就可以相對地將身高和體重之間的關(guān)系表示出來.在處理類似的事情中常常用到最小二乘法.2.2非線性回歸最小二乘法非線性回歸的種類很多，常用的有拋物線方程〔〕、指數(shù)方程〔〕等。設(shè)列表函數(shù)，并且我們想用一個通常的次多項式〔1〕去近似它。問題是應(yīng)該如何選擇使能較好地近似列表函數(shù)。按最小二乘法，應(yīng)該選擇使得〔2〕取最小。注意到S是非負(fù)的，且是的2次多項式，它必有最小值。求S對的偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于零，得到進(jìn)一步，可以將它們寫成引進(jìn)記號那么上述方程組為(3)它的系數(shù)行列式是由的定義及行列式性質(zhì)，可以斷言(4)此處符號W表Vandermonde行列式，而是對所有可能的求和〔每個可以取值并且當(dāng)時。由〔4〕式及Vandermonde行列式的性質(zhì)可知，當(dāng)互異時，從而，方程組(3)有唯一解,且它們使(2)取極小值如此，我們應(yīng)用最小二乘法找到了的近似多項式.在利用最小二乘法組成和式(2)時，所有點(diǎn)都起到了同樣的作用，但是有時依據(jù)某種理由認(rèn)為中的某些項的作用大些，而另外一些作用小些〔例如，一些是由精度較高的儀器或操作上比擬熟練的人員獲得的，自然應(yīng)該予以較大的信任〕，這在數(shù)學(xué)上表現(xiàn)為用和〔5〕替代和(2)取最小值.，且,通常稱之為權(quán)；而(5)為加權(quán)和.用多項式去近似一個給定的列表函數(shù)〔即給出的一組觀測值時。需要確定的參數(shù)是;而可以看成是的線性函數(shù).但是有時在利用觀測或?qū)嶒灁?shù)據(jù)去確定一個經(jīng)驗公式時，往往要確定的函數(shù)和待定參數(shù)之間不具有線性形式的關(guān)系.這樣問題就變得有些復(fù)雜.然而，常?？梢酝ㄟ^變量替換使其線性化.最小二乘法原理是用來求解線性方程組的,非線性方程經(jīng)線性化前方可應(yīng)用該原理.通常在測量中遇到的問題不一定都是線性問題,必須先把非線性問題線性化,然后求解.例如：〔i〕有時，我們希望用如下類型的函數(shù)：(6)去近似一個由一組觀測數(shù)據(jù)〔列表〕所描繪的函數(shù)，其中p和q是待定的兩個參數(shù).顯然s已非p和q的線性函數(shù).怎樣線性化呢？為此，我們在(6)式兩端取對數(shù)，得到記那么(6)式變成.這是一個一次多項式，它的系數(shù)和可以用最小二乘法求得.(ii)我們經(jīng)常希望用函數(shù)(7)去近似一個以給定的列表函數(shù)，其中A、C是待定的參數(shù).這時，我們可以(7)的兩端取對數(shù)：記，那么(1.7)式變成這樣仍可用最小二乘法定出〔從而也就定出了A,C〕，得到近似函數(shù).下面列出幾種常用的線性處理方法，利用最小二乘法的原理對直線型、拋物線型和指數(shù)曲線型的方程的參數(shù)估計方法，介紹如下：〔1〕直線型直線方程的一般形式為令為最小值，分別為a和b求偏導(dǎo)數(shù)，并令導(dǎo)數(shù)等于0，得到聯(lián)立方程組。解方程組，即可得到參數(shù)的計算公式?！?〕拋物線型拋物線方程的一般形式為令為最小值，分別為a、b、c求偏導(dǎo)數(shù),并令導(dǎo)數(shù)等于0,得到聯(lián)立方程組解方程組,即可得到參數(shù)的計算公式。〔3)指數(shù)曲線型指數(shù)曲線的一般形式為取對數(shù)，將指數(shù)曲線轉(zhuǎn)化成對數(shù)直線形式用最小二乘法估計參數(shù)a,b,可有如下方程組解此方程組，可得參數(shù)的對數(shù)值，查其反對數(shù)，即可得參數(shù)值。3．最小二乘法原理的應(yīng)用3.1最小二乘法原理在線性回歸中應(yīng)用例1.2009年3月到2010年4月居民收入與物價信心的滿意指數(shù)如下列圖，求出當(dāng)期物價滿意指數(shù)x與時間t的曲線擬合。T123456X29.5028.2025.9021.7021.9013.80解：t=[123456];x=[29.5028.20 25.9021.7021.9013.80];plot(t,x,'o');polyfit(t,x,1)ans=-2.902933.6600那么所得到的近似方程為y=-2.9029+33.6600x.3.2最小二乘法原理在非線性回歸中的應(yīng)用例2設(shè)函數(shù)f(x)的表列值為X0.20.50.70.851Y1.2211.6492.0142.3402.718試按最小二乘法構(gòu)造f(x)的二次近似多項式.解：下面用Matlab程序來求參數(shù)和.程序如下：x=[0.2 0.5 0.7 0.85 1];y=[1.221 1.649 2.014 2.340 2.718];plot(x,y,'o');polyfit(x,y,2)ans=0.92480.75531.0346即所求=0.9248，=0.7553，=1.0346.所求的近似多項式為.例3、在某冶煉過程中，根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)的含碳量與時間關(guān)系，試求含碳量y與時間t的擬合曲線。t0510152025303540455055y01.272.162.863.443.874.154.374.514.584.024.64解：實驗程序如下：t=[0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55];y=[0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.02 4.64];plot(t,y,'o');p=polyfit(t,y,2)p=-0.00240.20370.2305綜上，y與t的擬合曲線是。例2設(shè)如下一組實驗數(shù)據(jù)：t=2.22.73.54.1S=65605350試求一個型的函數(shù)去近似它.解:計算以緊湊的形式表示如下：xy10.34240.11721.81290.620710.43140.18611.77820.767110.54410.29601.72430.938210.61280.37551.69901.041141.93070.97487.01443.3671由此得方程組解之得從而。4.小結(jié)應(yīng)用最小二乘法的幾個問題：最小二乘法雖然在數(shù)據(jù)處理方面具有顯著的效果,但如果使用不當(dāng)會導(dǎo)致很大的誤差,甚至錯誤的結(jié)果。因此,在應(yīng)用時必須注意以下幾個問題:(1)慎重選擇擬合關(guān)系式。在實際問題中,適中選擇擬合關(guān)系式是一項十分謹(jǐn)慎的工作,它將直接影響計算的工作量和結(jié)論。(2)自變量的選擇。在實際工作中,對一組實驗數(shù)據(jù)按不同的擬合形式,結(jié)果會不一樣。特別注意當(dāng)兩個變量都有一定誤差時,應(yīng)當(dāng)使用雙變量最小二乘法進(jìn)行處理,否那么可以使用單變量最小二乘法。(3)加權(quán)最小二乘法。此法是應(yīng)用于實驗測量值非等精度的情況下的擬合方法。它不同程度的消除誤差因素,結(jié)果更準(zhǔn)確可靠。設(shè)擬合函數(shù)為,當(dāng)x值取時y的實測值為,取。加權(quán)偏差平方和,式中為第i個實驗點(diǎn)的權(quán)重因子。選取適宜的權(quán)重因子可獲得高精度的擬合參數(shù)?！?〕最小二乘原理在很多領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用，利用MATLAB求解非常方便，但一定要組要問題的類型，尤其是數(shù)據(jù)大且復(fù)雜時，來更好的突出Matlab計算出線性參數(shù)的最正確估計值，提高了效率和精度?！?〕非線性參數(shù)的最小二乘法處理程序可歸結(jié)為：首先根據(jù)具體問題將非線性問題線性化，列出誤差方程；再按最小二乘法原理，利用求極值的方法將誤差方程轉(zhuǎn)化為正規(guī)方程；然后求解正規(guī)方程，得到待求的估計量；最后給出精度估計。上面例題利用程序求解組合測量問題，用Matlab進(jìn)行曲線的擬合。致謝：長江之濱，青山湖畔，是我美麗的校園。轉(zhuǎn)眼間，我已經(jīng)在美麗的湖師度過了四個年頭。四年，這是我人生中非常重要的四年，我有幸能夠接觸到這些不僅傳授我知識、學(xué)問，而且從更高層次指導(dǎo)我的人生與價值追求的良師。他們使我堅決了人生的方向，獲得了追求的動力，留下了大學(xué)生活的美好回憶。在此，我真誠地向我尊敬的老師們和母校表達(dá)我深深的謝意！這篇論文是在我的導(dǎo)師胡宏昌教授的屢次指導(dǎo)下完成的。從論文的選題到結(jié)構(gòu)安排，從內(nèi)容到文字潤飾，都凝聚了他大量的心血。在這篇論文的寫作過程中，胡老師不辭辛勞，不惜在百忙的工作