初中數(shù)學第六章-實數(shù)(講義及答案)及解析

初中數(shù)學第六章實數(shù)(講義及答案)及解析一、選擇題1．有一個數(shù)陣排列如下：則第行從左至右第個數(shù)為（）A． B． C． D．2．規(guī)定：求若干個相同的有理數(shù)（均不等于0）的除法運算叫做除方，如，等，類比有理數(shù)的乘方，我們把記作，讀作“2的圈3次方”，把記作，讀作“的圈4次方”，一般地，把記作，讀作“的圈次方”，關(guān)于除方，下列說法錯誤的是（）A．任何非零數(shù)的圈2次方都等于1B．對于任何正整數(shù)，C．D．負數(shù)的圈奇次方結(jié)果是負數(shù)，負數(shù)的圈偶次方結(jié)果是正數(shù).3．的算術(shù)平方根是（）A． B． C． D．4．是（）A．負有理數(shù) B．正有理數(shù) C．自然數(shù) D．無理數(shù)5．下列各數(shù)-(-3),0,中,負數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個6．現(xiàn)定義一種新運算：a★b=ab+a-b，如：1★3=1×3+1－3=1，那么(－2)★5的值為（）A．17 B．3 C．13 D．－177．下列說法中，正確的個數(shù)是（）．（）的立方根是；（）的算術(shù)平方根是；（）的立方根為；（）是的平方根．A． B． C． D．8．若有，則和的關(guān)系是（）A． B． C． D．9．在下列實數(shù)中，無理數(shù)是()A． B．π C． D．10．已知（﹣）2的平方根是a，﹣125的立方根是b，則a﹣b的值是（）A．0或10 B．0或﹣10 C．±10 D．0二、填空題11．[x)表示小于x的最大整數(shù)，如[2.3)=2，[4)=5，則下列判斷：①[)=；②[x)x有最大值是0；③[x)x有最小值是1；④x[x)x，其中正確的是__________（填編號）．12．數(shù)軸上表示1、的點分別為A、B，點A是BC的中點，則點C所表示的數(shù)是____．13．用表示一種運算，它的含義是：，如果，那么__________．14．任何實數(shù)a，可用[a]表示不大于a的最大整數(shù)，如[4]=4，，現(xiàn)對72進行如下操作：72→=8→→=1，類似地：（1）對64只需進行________次操作后變?yōu)?；（2）只需進行3次操作后變?yōu)?的所有正整數(shù)中，最大的是________．15．若，則=__________．16．若，則的平方根_________．17．一個數(shù)的立方等于它本身，這個數(shù)是__．18．對于任意有理數(shù)a，b，定義新運算：a?b=a2﹣2b+1，則2?(﹣6)=____．19．若實數(shù)，滿足，則的值______．20．任何實數(shù)，可用[a]表示不超過a的最大整數(shù)如[4]＝4，[]＝2，現(xiàn)對72進行如下操作：，這樣對72只需進行3次操作后變?yōu)?，類似地，對正整數(shù)x只進行3次操作后的結(jié)果是1，則x在最大值是_____．三、解答題21．操作與推理：我們知道，任何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上一個點來表示，根據(jù)下列題意解決問題：（1）已知x=2，請畫出數(shù)軸表示出x的點：（2）在數(shù)軸上，我們把表示數(shù)2的點定為基準點，記作點O，對于兩個不同的點A和B，若點A、B到點O的距離相等，則稱點A與點B互為基準等距變換點．例如圖2，點A表示數(shù)-1，點B表示數(shù)5，它們與基準點O的距離都是3個單位長度，我們稱點A與點B互為基準等距變換點．①記已知點M表示數(shù)m，點N表示數(shù)n，點M與點N互為基準等距變換點．I．若m=3，則n=；II．用含m的代數(shù)式表示n=；②對點M進行如下操作：先把點M表示的數(shù)乘以23，再把所得數(shù)表示的點沿著數(shù)軸向右移動2個單位長度得到點N，若點M與點N互為基準等距變換點，求點M表示的數(shù)；③點P在點Q的左邊，點P與點Q之間的距離為8個單位長度，對Q點做如下操作：Q1為Q的基準等距變換點，將數(shù)軸沿原點對折后Q1的落點為Q2這樣為一次變換：Q3為Q2的基準等距變換點，將數(shù)軸沿原點對折后Q3的落點為Q4這樣為二次變換：Q5為Q4的基準等距變換點．．．．．．，依此順序不斷地重復變換，得到Q5，Q6，Q7．．．．Qn，若P與Qn．兩點間的距離是4，直接寫出n的值．22．觀察下列各式，回答問題，…．按上述規(guī)律填空：（1）＝×，＝×，（2）計算：＝．23．對于結(jié)論：當a+b＝0時，a3+b3＝0也成立．若將a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，由此得出這樣的結(jié)論：“如果兩數(shù)的立方根互為相反數(shù)，那么這兩個數(shù)也互為相反數(shù)”（1）舉一個具體的例子來判斷上述結(jié)論是否成立；（2）若和互為相反數(shù)，且x+5的平方根是它本身，求x+y的立方根．24．閱讀下列材料：問題：如何計算呢？小明帶領(lǐng)的數(shù)學活動小組通過探索完成了這道題的計算．他們的解法如下：解：原式請根據(jù)閱讀材料，完成下列問題：（1）計算：；（2）計算：；（3）利用上述方法，求式子的值．25．給定一個十進制下的自然數(shù)，對于每個數(shù)位上的數(shù)，求出它除以的余數(shù)，再把每一個余數(shù)按照原來的數(shù)位順序排列，得到一個新的數(shù)，定義這個新數(shù)為原數(shù)的“模二數(shù)”，記為.如.對于“模二數(shù)”的加法規(guī)定如下:將兩數(shù)末位對齊，從右往左依次將相應數(shù)位.上的數(shù)分別相加，規(guī)定:與相加得;與相加得與相加得，并向左邊一位進.如的“模二數(shù)”相加的運算過程如下圖所示.根據(jù)以上材料，解決下列問題:(1)的值為______，的值為_(2)如果兩個自然數(shù)的和的“模二數(shù)”與它們的“模二數(shù)”的和相等，則稱這兩個數(shù)“模二相加不變”.如，因為，所以，即與滿足“模二相加不變”.①判斷這三個數(shù)中哪些與“模二相加不變”，并說明理由；②與“模二相加不變”的兩位數(shù)有______個26．閱讀下面的文字,解答問題:大家知道是無理數(shù),而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù),因此的小數(shù)部分我們不可能全部寫出來,而＜2于是可用來表示的小數(shù)部分.請解答下列問題：(1)的整數(shù)部分是_______，小數(shù)部分是_________；(2)如果的小數(shù)部分為的整數(shù)部分為求的值；(3)已知:其中是整數(shù),且求的平方根?！緟⒖即鸢浮?**試卷處理標記，請不要刪除一、選擇題1．B解析：B【解析】試題解析：尋找每行數(shù)之間的關(guān)系，抓住每行之間的公差成等差數(shù)列，便知第20行第一個數(shù)為210，而每行的公差為等差數(shù)列，則第20行第10個數(shù)為426，故選B.2．C解析：C【解析】【分析】根據(jù)定義依次計算判定即可．【詳解】解：A、任何非零數(shù)的圈2次方就是兩個相同數(shù)相除，所以都等于1；

所以選項A正確；B、=；

所以選項B正確；C、=3÷3÷3÷3=，=4÷4÷4÷4=，，則

≠；

所以選項C錯誤；D、負數(shù)的圈奇數(shù)次方，相當于奇數(shù)個負數(shù)相除，則結(jié)果是負數(shù)，負數(shù)的圈偶數(shù)次方，相當于偶數(shù)個負數(shù)相除，則結(jié)果是正數(shù)．所以選項D正確；故選：C．【點睛】本題是有理數(shù)的混合運算，也是一個新定義的理解與運用；一方面考查了有理數(shù)的乘除法及乘方運算，另一方面也考查了學生的閱讀理解能力；注意：負數(shù)的奇數(shù)次方為負數(shù)，負數(shù)的偶數(shù)次方為正數(shù)，同時對新定義，其實就是多個數(shù)的除法運算，要注意運算順序．3．A解析：A【分析】首先根據(jù)立方根的性質(zhì)和求法，求出的值是多少；然后根據(jù)算術(shù)平方根的求法，求出的算術(shù)平方根是多少即可．【詳解】解：＝，∴的算術(shù)平方根是：．故選：A．【點睛】此題主要考查了立方根的性質(zhì)、算術(shù)平方根的性質(zhì)和應用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要先計算出的值，再來求算術(shù)平方根，這類題比較容易出錯.4．A解析：A【解析】【分析】由于開不盡方才是無理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù)，根據(jù)有理數(shù)和無理數(shù)的定義及分類作答．【詳解】∵是整數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，∴D錯誤；∵小于0，正有理數(shù)大于0，自然數(shù)不小于0，∴B、C錯誤；∴是負有理數(shù)，A正確．故選：A．【點睛】本題考查了有理數(shù)和實數(shù)的定義及分類，其中開不盡方才是無理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù)．5．C解析：C【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義，有理數(shù)的乘方，絕對值的性質(zhì)分別化簡，再根據(jù)正負數(shù)的定義進行判斷即可得解【詳解】解：-(-3)=3；；；；所以是負數(shù)，共3個。故選：以C.【點睛】本題考查了正數(shù)和負數(shù)，主要利用了相反數(shù)的定義，絕對值的性質(zhì)以及有理數(shù)的乘方，是基礎(chǔ)題，熟記概念并準確化簡是解題的關(guān)鍵．6．D解析：D【分析】根據(jù)新運算的定義即可得到答案．【詳解】∵a★b=ab+a﹣b，∴（﹣2）★5=（﹣2）×5﹣2﹣5=﹣17．故選D．【點睛】本題考查了基本的知識遷移能力，運用新定義，求解代數(shù)式即可，要靈活運用所學知識，要認真掌握．7．C解析：C【解析】根據(jù)立方根的意義，可知，故（）對；根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)，可知的算術(shù)平方根是，故（）錯；根據(jù)立方根的意義，可知的立方根是，故（）對；根據(jù)平方根的意義，可知是的平方根．故（）對；故選C.8．D解析：D【分析】根據(jù)立方根的性質(zhì)得出x+y=0即可解答．【詳解】解：∵，∴x+y=0故答案為D．【點睛】本題主要考查了立方根的性質(zhì)，通過立方根的性質(zhì)得到x+y=0是解答本題的關(guān)鍵．9．B解析：B【分析】分別根據(jù)無理數(shù)、有理數(shù)的定義即可判定選擇項．【詳解】解：，，是有理數(shù)，π是無理數(shù)，故選B．【點睛】此題主要考查了無理數(shù)的定義，注意帶根號的要開不盡方才是無理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù)．如π，，0.8080080008…（每兩個8之間依次多1個0）等形式．10．A解析：A【分析】根據(jù)立方根與平方根的定義即可求出答案．【詳解】解：（﹣）2＝25，∴25的平方根是±5，﹣125的立方根是﹣5，∴a＝±5，b＝﹣5，當a＝5時，原式＝5﹣（﹣5）＝10，當a＝﹣5時，原式＝﹣5﹣（﹣5）＝0，故選：A．【點睛】本題考查平方根與立方根，解題的關(guān)鍵是熟練運用平方根與立方根的定義，本題屬于基礎(chǔ)題型．二、填空題11．③，④【分析】①[x)示小于x的最大整數(shù)，由定義得[x)x≤[x)+1，[)<<-8，[)=-9即可，②由定義得[x)x變形可以直接判斷，③由定義得x≤[x)+1，變式即可判斷，④由定義解析：③，④【分析】①[x)示小于x的最大整數(shù)，由定義得[x)x≤[x)+1，[)<<-8，[)=-9即可，②由定義得[x)x變形可以直接判斷，③由定義得x≤[x)+1，變式即可判斷，④由定義知[x)x≤[x)+1，由x≤[x)+1變形的x-1≤[x)，又[x)x聯(lián)立即可判斷．【詳解】由定義知[x)x≤[x)+1，①[)=-9①不正確，②[x)表示小于x的最大整數(shù)，[x)x，[x)-x0沒有最大值，②不正確③x≤[x)+1，[x)-x≥-1，[x)x有最小值是1，③正確，④由定義知[x)x≤[x)+1，由x≤[x)+1變形的x-1≤[x)，∵[x)x，∴x[x)x，④正確．故答案為：③④．【點睛】本題考查實數(shù)數(shù)的新規(guī)定的運算，閱讀題給的定義，理解其含義，掌握性質(zhì)[x)x≤[x)+1，利用性質(zhì)解決問題是關(guān)鍵．12．【分析】設(shè)點C表示的數(shù)是x，再根據(jù)中點坐標公式即可得出x的值．【詳解】解：設(shè)點C表示的數(shù)是x，∵數(shù)軸上1、的點分別表示A、B，且點A是BC的中點，根據(jù)中點坐標公式可得：，解得：，故答案解析：【分析】設(shè)點C表示的數(shù)是x，再根據(jù)中點坐標公式即可得出x的值．【詳解】解：設(shè)點C表示的數(shù)是x，∵數(shù)軸上1、的點分別表示A、B，且點A是BC的中點，根據(jù)中點坐標公式可得：，解得：，故答案為：．【點睛】本題考查的是實數(shù)與數(shù)軸，熟知數(shù)軸上的點與實數(shù)是一一對應關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．13．【分析】按照新定義的運算法先求出x，然后再進行計算即可.【詳解】解：由解得：x=8故答案為.【點睛】本題考查了新定義運算和一元一次方程，解答的關(guān)鍵是根據(jù)定義解一元一次方程，求得x的解析：【分析】按照新定義的運算法先求出x，然后再進行計算即可.【詳解】解：由解得：x=8故答案為.【點睛】本題考查了新定義運算和一元一次方程，解答的關(guān)鍵是根據(jù)定義解一元一次方程，求得x的值.14．255【分析】（1）根據(jù)題意的操作過程可直接進行求解；（2）根據(jù)題意可得最后取整為1，得出前面的一個數(shù)最大是3，再向前推一步取整的最大整數(shù)為15，依此可得出答案．【詳解】解：（1）解析：255【分析】（1）根據(jù)題意的操作過程可直接進行求解；（2）根據(jù)題意可得最后取整為1，得出前面的一個數(shù)最大是3，再向前推一步取整的最大整數(shù)為15，依此可得出答案．【詳解】解：（1）由題意得：64→=8→→=1，∴對64只需進行3次操作后變?yōu)?，故答案為3；（2）與上面過程類似，有256→=16→→=2→，對256只需進行4次操作即變?yōu)?，類似的有255→=15→→=1，即只需進行3次操作即變?yōu)?，故最大的正整數(shù)為255；故答案為255．【點睛】本題主要考查算術(shù)平方根的應用，熟練掌握算術(shù)平方根是解題的關(guān)鍵．15．【分析】先根據(jù)絕對值、算術(shù)平方根、偶次方的非負性求出a、b、c的值，再代入即可得．【詳解】由題意得：，解得，則，故答案為：．【點睛】本題考查了絕對值、算術(shù)平方根、偶次方的非負性的應用解析：【分析】先根據(jù)絕對值、算術(shù)平方根、偶次方的非負性求出a、b、c的值，再代入即可得．【詳解】由題意得：，解得，則，故答案為：．【點睛】本題考查了絕對值、算術(shù)平方根、偶次方的非負性的應用等知識點，熟練掌握絕對值、算術(shù)平方根、偶次方的非負性是解題關(guān)鍵．16．【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)及乘方的性質(zhì)解答，得到y(tǒng)=3，x=2，再進行計算即可.【詳解】解：，且，∴y-3=0，x-2=0，．．的平方根是．故答案為：.【點睛】此題考查算術(shù)平解析：【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)及乘方的性質(zhì)解答，得到y(tǒng)=3，x=2，再進行計算即可.【詳解】解：，且，∴y-3=0，x-2=0，．．的平方根是．故答案為：.【點睛】此題考查算術(shù)平方根的性質(zhì)及乘方的性質(zhì)，求一個數(shù)的平方根，根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)及乘方的性質(zhì)求出x與y的值是解題的關(guān)鍵.17．0或±1．【分析】根據(jù)立方的定義計算即可．【詳解】解：∵（﹣1）3＝﹣1，13＝1，03＝0，∴一個數(shù)的立方等于它本身，這個數(shù)是0或±1．故答案為：0或±1．【點睛】本題考查了乘方的解析：0或±1．【分析】根據(jù)立方的定義計算即可．【詳解】解：∵（﹣1）3＝﹣1，13＝1，03＝0，∴一個數(shù)的立方等于它本身，這個數(shù)是0或±1．故答案為：0或±1．【點睛】本題考查了乘方的定義，熟練掌握立方的定義是解題關(guān)鍵，注意本題要分類討論，不要漏數(shù)．18．【分析】根據(jù)公式代入計算即可得到答案.【詳解】∵a?b=a2﹣2b+1，∴2?(﹣6)=22﹣2×(﹣6)+1=4+12+1=17.故答案為：17.【點睛】此題考查新定義計算公式，正解析：【分析】根據(jù)公式代入計算即可得到答案.【詳解】∵a?b=a2﹣2b+1，∴2?(﹣6)=22﹣2×(﹣6)+1=4+12+1=17.故答案為：17.【點睛】此題考查新定義計算公式，正確理解公式并正確計算是解題的關(guān)鍵.19．【分析】利用非負數(shù)的性質(zhì)求出x，y的值，代入原式計算即可得到結(jié)果【詳解】解：∵∴∴∴故答案為：-1【點睛】本題考查了平方和二次根式的非負性，解題的關(guān)鍵是掌握計算的方法，準確地進解析：【分析】利用非負數(shù)的性質(zhì)求出x，y的值，代入原式計算即可得到結(jié)果【詳解】解：∵∴∴∴故答案為：-1【點睛】本題考查了平方和二次根式的非負性，解題的關(guān)鍵是掌握計算的方法，準確地進行化簡求值.20．255【分析】根據(jù)規(guī)律可知，最后的取整是1，則操作前的一個數(shù)字最大是3，再向前一步推，操作前的最大數(shù)為15，再向前一步推，操作前的最大數(shù)為255；據(jù)此得出答案即可．【詳解】解：∵，，，∴只解析：255【分析】根據(jù)規(guī)律可知，最后的取整是1，則操作前的一個數(shù)字最大是3，再向前一步推，操作前的最大數(shù)為15，再向前一步推，操作前的最大數(shù)為255；據(jù)此得出答案即可．【詳解】解：∵，，，∴只進行3次操作后變?yōu)?的所有正整數(shù)中，最大的是255，故答案為：255．【點睛】本題考查了估算無理數(shù)大小的應用，主要考查學生的閱讀能力和逆推思維能力．三、解答題21．（1）見解析；（2）①I，1；II4-m②；③2或6．【分析】（1）在數(shù)軸上描點；（2）由基準點的定義可知，；（3）（3）設(shè)P點表示的數(shù)是m，則Q點表示的數(shù)是m+8，由題可知Q1與Q是基準點，Q2與Q1關(guān)于原點對稱，Q3與Q2是基準點，Q4與Q3關(guān)于原點對稱，…由此規(guī)律可得到當n為偶數(shù)，Qn表示的數(shù)是m+8-2n，P與Qn兩點間的距離是4，則有|m-m-8+2n|=4即可求n；【詳解】解：（1）如圖所示，（2）①Ⅰ．∵2是基準點，m=3，3到2的距離是1，所以到2的距離是1的另外一個點是1，∴n=1；故答案為1；Ⅱ．有定義可知：m+n=4，∴n=4-m；故答案為：4-m②設(shè)點M表示的數(shù)是m，先乘以23，得到23m，再沿著數(shù)軸向右移動2個單位長度得到點N為23m+2，∵點M與點N互為基準等距變換點，∴23m+2+m=4，∴m=；③設(shè)P點表示的數(shù)是m，則Q點表示的數(shù)是m+8，如圖，由題可知Q1表示的數(shù)是4-(m+8)，Q2表示的數(shù)是-4+(m+8)，Q3表示的數(shù)是8-(m+8)，Q4表示的數(shù)是-8+(m+8)，Q5表示的數(shù)是12-(m+8)，Q6表示的數(shù)是-12+(m+8)…∴當n為偶數(shù)，Qn表示的數(shù)是-2n+（m+8），∵若P與Qn兩點間的距離是4，∴|m-[-2n+(m+8)]|=4，∴n=2或n=6．【點睛】本題考查新定義，數(shù)軸上數(shù)的特點；能夠理解基準點的定義是解決問題的基礎(chǔ)，從定義中探究出基準點的兩個點是關(guān)于2對稱的；（3）中找到Q的變換規(guī)律是解題的關(guān)鍵．22．（1），；（2）.【分析】(1)觀察已知等式可知等式右邊為兩個分數(shù)的積,其分母相等且與等式左邊分母的底數(shù)相等，分子一個比分母小1,一個比分母大1,由此填空(2)根據(jù)(1)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律將每個括號部分分解為兩個分數(shù)的積再尋找約分規(guī)律.【詳解】解：（1）＝，＝．（2）＝××…××＝×．＝．．【點睛】本題考查的是有理數(shù)的運算能力,關(guān)鍵是根據(jù)已知等式由特殊到一般得出分數(shù)的拆分規(guī)律和約分規(guī)律.23．（1）成立，例子見解析；（2）﹣2【分析】（1）任意舉兩個被開方數(shù)是互為相反數(shù)的立方根，如和，和；（2）根據(jù)互為相反數(shù)的和為0，列等式可得y的值，根據(jù)平方根的定義得：x+5＝0，計算x+y并計算它的立方根即可．【詳解】解：（1）如+＝0，則2+（﹣2）＝0，即2與﹣2互為相反數(shù)；所以“如果兩數(shù)的立方根互為相反數(shù)，那么這兩個數(shù)也互為相反數(shù)”成立；（2）∵和互為相反數(shù)，∴+＝0，∴8﹣y+2y﹣5＝0，解得：y＝﹣3，∵x+5的平方根是它本身，∵x+5＝0，∴x＝﹣5，∴x+y＝﹣3﹣5＝﹣8，∴x+y的立方根是﹣2．【點評】本題考查立方根和平方根的知識，難度一般，注意互為相反數(shù)的和為0，知道這一知識是本題的關(guān)鍵．24．（1）原式＝（2）原式＝（3）原式＝【分析】（1）類比題目中的拆項方法，類比得出答案即可；（2）先把原式拆分成題（1）原式的樣子，再根據(jù)（1）的拆項方法，類比得出答案即可；（3）分母是相差4的兩個自然數(shù)的乘積，類比拆成以兩個自然數(shù)為分母，分子為1的兩個自然數(shù)差的即可．【詳解】解：（1）原式＝（1－）＋（－）＋（－）＋……＋（－）＝1－＝；（2）原式＝＝（1－）＋（－）＋（－）＋……＋（－）＝1－＝（3）原式＝×（）＝×（1－＋－＋－＋－）＝×（1－）＝×＝【點睛】本題考查算式的規(guī)律，注意分子、分母的特點，解題的關(guān)鍵是根據(jù)規(guī)律靈活拆項，并進一步用規(guī)律解決問題．25．（1）1011，1101；（2）①12，65，97，