集合與元素高一上學(xué)期數(shù)學(xué)湘教版（2019）必修第一冊

集合集合與元素1.通過實(shí)例，了解集合的含義，理解集合與它的元素之間的歸屬關(guān)系.（數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理）2.針對具體問題，能在自然語言和圖形語言的基礎(chǔ)上，用符號語言刻畫集合.（數(shù)學(xué)抽象）3.在具體情境中，了解空集的含義.（數(shù)學(xué)抽象）1.在初中，我們學(xué)習(xí)數(shù)的分類時(shí)，學(xué)過哪些數(shù)的集合？[答案]

學(xué)過數(shù)的集合有：自然數(shù)的集合，正數(shù)的集合，負(fù)數(shù)的集合，有理數(shù)的集合，無理數(shù)的集合，實(shí)數(shù)的集合等.2.如何用字母表示集合與元素？

3.元素與集合之間有哪些關(guān)系？[答案]

元素與集合之間是屬于與不屬于的關(guān)系.4.空集中有元素嗎？它是無限集嗎？[答案]

空集沒有元素，它不是無限集，是有限集.1.判斷下列結(jié)論是否正確.（正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”）（1）集合中的元素一定是數(shù).(

)×

√

×2.下面能構(gòu)成集合的是(

).BA.中國的小河流

B.大于5且小于11的偶數(shù)C.高一年級的優(yōu)秀學(xué)生

D.某班級跑得快的學(xué)生[解析]

我國的小河流不能構(gòu)成集合，A不符合集合中元素的確定性；

大于5且小于11的偶數(shù)為6，8，10，B可以構(gòu)成集合；高一年級的優(yōu)秀學(xué)生不能構(gòu)成集合，C不符合集合中元素的確定性；某班級跑得快的學(xué)生不能構(gòu)成集合，D不符合集合中元素的確定性.

①④

3

探究1集合與元素的概念

集合論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，創(chuàng)始者是德國數(shù)學(xué)家——康托爾.康托爾在研究函數(shù)論時(shí)產(chǎn)生了探索無窮集和超窮數(shù)的興趣.康托爾肯定了無窮數(shù)的存在，并對無窮問題進(jìn)行了哲學(xué)的討論，最終建立了較完善的集合理論，為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).問題1：

初中我們接觸了哪些集合？[答案]

（1）數(shù)集：自然數(shù)的集合，有理數(shù)的集合,….（2）點(diǎn)集：圓（同一平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合），線段的垂直平分線（到一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的集合）,….問題2：

所有的“美景”能否構(gòu)成集合？[答案]

不能構(gòu)成集合.新知生成1.集合與集合的元素把一些對象放在一起考慮時(shí)，就說這些對象組成了一個(gè)集合，給這些對象的總的名稱，就是這個(gè)集合的名字.這些對象中的每一個(gè)，都叫作這個(gè)集合的一個(gè)元素.

新知運(yùn)用例1

（1）判斷下列元素的全體能否組成集合.①不超過20的非負(fù)數(shù)；

③某校2020年在校的所有高個(gè)子同學(xué)；

&1&

判斷一組對象能否構(gòu)成集合的關(guān)鍵在于看是否有明確的判斷標(biāo)準(zhǔn)，使給定的對象是“確定無疑”的還是“模棱兩可”的.如果是“確定無疑”的，就可以構(gòu)成集合；如果是“模棱兩可”的，就不能構(gòu)成集合.1.（多選題）下列各組對象能組成集合的是(

).ACD

[解析]

選項(xiàng)A，C，D中的元素符合集合中元素的確定性；而選項(xiàng)B中，“難題”沒有明確標(biāo)準(zhǔn)，不符合集合中元素的確定性，不能構(gòu)成集合.

探究2

集合中元素特性的應(yīng)用問題1：

在同一個(gè)集合中，能找出相同的元素嗎？[答案]

不能，因?yàn)榧现械脑鼗ゲ幌嗤?問題2：

由1，2，3構(gòu)成的集合與由3，2，1構(gòu)成的集合是否是同一個(gè)集合？[答案]

是同一個(gè)集合，因?yàn)榧现械脑貨]有順序.新知生成集合的基本屬性（1）同一集合中的元素是互不相同的.（2）集合中的元素是確定的.即給定一個(gè)集合，任何一個(gè)元素屬于或不屬于這個(gè)集合是確定的.（3）集合中的元素沒有順序.新知運(yùn)用

&2&

由集合中元素的特性求解參數(shù)取值（范圍）的步驟

探究3

常用數(shù)集與集合分類問題1：

數(shù)學(xué)里最常用的集合是各種數(shù)的集合，簡稱數(shù)集.在初中，我們用什么表示實(shí)數(shù)集？[答案]

用圓圈和具體的數(shù)，如實(shí)數(shù)集：問題2：

實(shí)數(shù)集中的元素有多少個(gè)？這類集合稱為什么集？[答案]

實(shí)數(shù)集中的元素有無窮多個(gè)，元素?zé)o限個(gè)的集合稱為無限集.問題3：

你能用符號表示常見的數(shù)集嗎？

新知生成

2.集合的分類有限集元素個(gè)數(shù)有限的集合叫有限集無限集元素個(gè)數(shù)無限多的集合叫無限集空集新知運(yùn)用

BA.1

B.2

C.3

D.4

&3&

判斷元素和集合關(guān)系的兩種方法（1）直接法：集合中的元素是直接給出的.（2）推理法：對于某些不便直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可.例4

下列集合中哪些是空集？哪些是無限集？

（2）被3除余1的正整數(shù)構(gòu)成的集合；

方法指導(dǎo)

根據(jù)集合的分類定義判斷.&4&

空集的判斷要緊扣空集的定義：沒有元素的集合.有限集和無限集的分類關(guān)鍵是看元素的個(gè)數(shù)是否可數(shù).1.（多選題）下列表示正確的是(

).BD

2.下列集合哪些是空集？哪些是有限集？哪些是無限集？（1）所有偶數(shù)構(gòu)成的集合；（2）所有絕對值不大于3的偶數(shù)構(gòu)成的集合；

[解析]

（1）是無限集.（2）是有限集.（3）空集.1.下列各組對象可以組成集合的是(

).BA.數(shù)學(xué)必修第一冊課本中所有的難題

B.小于8的所有素?cái)?shù)C.直角坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限的一些點(diǎn)

D.所有小的正數(shù)[解析]

A中“難題”的標(biāo)準(zhǔn)不確定，不能構(gòu)成集合；B