《幾何畫板》在中學(xué)計(jì)算機(jī)輔助數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

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《幾何畫板》在中學(xué)計(jì)算機(jī)幫助數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

2、引言：以計(jì)算機(jī)為核心的信息技術(shù)迅猛進(jìn)展對(duì)包括教育在內(nèi)的人類生活的方方面面產(chǎn)生了沖擊性的影響，教育信息技術(shù)的日新月異，使得眾多數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家和廣闊數(shù)學(xué)老師共同關(guān)懷數(shù)學(xué)教學(xué)如何適應(yīng)信息時(shí)代的進(jìn)展。正是基于新形勢(shì)下的教育觀念、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)手段、教學(xué)方式都將發(fā)生前所未有的變更。計(jì)算機(jī)及其網(wǎng)絡(luò)成為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的幫助工具，《新課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“數(shù)學(xué)課程的設(shè)計(jì)與實(shí)施應(yīng)重視運(yùn)用現(xiàn)代技術(shù)，特別要充分考慮計(jì)算器、計(jì)算機(jī)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容和方式的影響，大力開發(fā)并向同學(xué)提供更為豐富的學(xué)習(xí)資源，把現(xiàn)代技術(shù)作為同學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問(wèn)題的有力工具，致力于轉(zhuǎn)變同學(xué)的學(xué)習(xí)方式，使同學(xué)愿意并有更多的精力投入到現(xiàn)實(shí)的、探究性的數(shù)學(xué)活動(dòng)中去?！币虼?，作為教育的內(nèi)容及方式也需要隨著轉(zhuǎn)變，同時(shí)對(duì)老師也提出了更高的要求。信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課堂整合、運(yùn)用信息技術(shù)改進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)已經(jīng)引起廣泛的重視。現(xiàn)代信息技術(shù)強(qiáng)大的認(rèn)知工具作用，無(wú)疑將極大地影響數(shù)學(xué)課程的進(jìn)展。

目前，應(yīng)用于教學(xué)中的教學(xué)軟件主要有MicrosoftWordMicrosoftPowerPointFlash和《幾何畫板》?！稁缀萎嫲濉纷鳛樽畛康臄?shù)學(xué)軟件之一，成為了同學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問(wèn)題的強(qiáng)有力工具，轉(zhuǎn)變了同學(xué)的學(xué)習(xí)方式，使同學(xué)愿意并有更多的精力投入到現(xiàn)實(shí)的、探究性的數(shù)學(xué)活動(dòng)中去。

3、《幾何畫板》的功能簡(jiǎn)介

〔1〕畫圖精確

以尺規(guī)作圖為基準(zhǔn)，可徑直做出點(diǎn)、線、圓、角等基本圖形。

〔2〕能動(dòng)態(tài)實(shí)現(xiàn)圖形的改變〔旋轉(zhuǎn)、平移、縮放等〕

〔3〕強(qiáng)大的測(cè)量和計(jì)算功能，可徑直測(cè)量長(zhǎng)度、角度、弧度、封閉

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圖形的周長(zhǎng)和面積等。除了可進(jìn)行常見的四那么運(yùn)算、指數(shù)和對(duì)數(shù)運(yùn)算及三角運(yùn)算外，還提供強(qiáng)大的函數(shù)運(yùn)算功能和豐富的科學(xué)計(jì)算功能。

(4)強(qiáng)大的函數(shù)功能

它能簡(jiǎn)單且直觀地實(shí)現(xiàn)點(diǎn)的繪制和函數(shù)圖像的繪制，引入?yún)?shù)可實(shí)現(xiàn)點(diǎn)的追蹤，動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)函數(shù)圖像的生成過(guò)程，利用動(dòng)畫按鈕功能可方便掌握函數(shù)圖像的改變過(guò)程。

〔5〕強(qiáng)大的自定義工具

自定義工具就像圖章，可方便地把常用到的幾何圖形關(guān)系利用《幾何畫板》的自定義工具徑直實(shí)現(xiàn)。我們以一個(gè)三角形內(nèi)心為例來(lái)說(shuō)明自定義的作用，作圖方法為：①作出三角形的任意兩邊的中點(diǎn)；②連接兩條中線，交點(diǎn)即為該三角形的重心。這時(shí)我們分別選取該三角形的三個(gè)頂點(diǎn)及重心，點(diǎn)自定義工具→創(chuàng)建新工具→輸入名稱三角形的重心〔也可以自己命名〕即可定義名稱為三角形的重心的自定義工具。下次假如要做三角形的重心時(shí)，只需先選取這個(gè)自定義工具再次選取該三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，重心就可以自動(dòng)生成。

4.《幾何畫板》的計(jì)算機(jī)幫助數(shù)學(xué)教學(xué)功能

4.1善用《幾何畫板》增大教學(xué)信息量拓寬認(rèn)知途徑

工欲善其事，必先利其器

一般認(rèn)為傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的主要缺點(diǎn)是教學(xué)內(nèi)容比較陳舊、教學(xué)方式比較單一、教學(xué)進(jìn)展緩慢、同學(xué)缺少實(shí)現(xiàn)觀測(cè)和動(dòng)手實(shí)踐的參加。因此，這種教學(xué)從內(nèi)容到形式都較難適應(yīng)瞬息萬(wàn)變的信息社會(huì)需要和創(chuàng)新人才培育，而以《幾何畫板》為代表的計(jì)算機(jī)幫助教學(xué)的

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到來(lái)，對(duì)這種狀況將有所轉(zhuǎn)變。老師可以利用它【顯示/隱蔽】或【系列】功能把備課的文本、圖片、圖像、動(dòng)畫、乃至聲音等形式內(nèi)容做成多頁(yè)課件。正式上課時(shí)只需輕松點(diǎn)點(diǎn)鼠標(biāo)，這樣就可以省去板書之累、粉塵之苦，騰出精力來(lái)放在課堂上的宏觀調(diào)控、啟迪思索、組織溝通上?！稁缀萎嫲濉凡粌H能夠讓師生擺脫個(gè)別蠻力意義上的計(jì)算，減削因手工操作帶來(lái)的誤差，減削師生教與學(xué)的負(fù)擔(dān)，多快好省地解決數(shù)學(xué)及教學(xué)問(wèn)題，也可為師生提出了一個(gè)可隨時(shí)印證創(chuàng)意自主探究的認(rèn)知平臺(tái)。

4.2巧用《幾何畫板》，激發(fā)同學(xué)學(xué)習(xí)愛好。

由于用傳統(tǒng)手段教數(shù)學(xué)缺乏同學(xué)的操作活動(dòng)，缺乏了解數(shù)學(xué)背景，缺乏獲得數(shù)學(xué)閱歷，所以數(shù)學(xué)留給同學(xué)的印象是枯燥和抽象的。絕大部分的同學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)敬而遠(yuǎn)之，甚至是懼怕和厭惡。這種心情極大地壓抑了同學(xué)的學(xué)習(xí)潛力。

《幾何畫板》具有強(qiáng)大的動(dòng)態(tài)改變功能，一流的交互功能，能以濃縮的形態(tài)給同學(xué)提供數(shù)學(xué)背景，通過(guò)同學(xué)的參加和親自操作，枯燥抽象的內(nèi)容變成生動(dòng)形象的圖形，原本不明白或不甚明白的概念等變得一目了然。

當(dāng)我們運(yùn)用《幾何畫板》動(dòng)態(tài)地、探究式地表現(xiàn)立方體的表面開展圖，讓我們的同學(xué)在操作的過(guò)程中，反復(fù)觀測(cè)沿不同的棱開展的圖形特點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)空間想象技能的培育，原本靜止枯燥的數(shù)學(xué)課變成了生動(dòng)、活潑、精美感人的舞臺(tái)，同學(xué)心情高漲，專注、渴求和欣喜的神情掛在臉上，作為老師的我感到無(wú)限欣慰，《幾何畫板》一時(shí)成了師生的熱門話題。使同學(xué)深刻體會(huì)到：“自己的眼睛可以看到自己在現(xiàn)實(shí)生活中看不到的一面”、“數(shù)學(xué)原來(lái)也能這樣來(lái)學(xué)”、“想不到數(shù)學(xué)還真有趣”

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愛好是同學(xué)學(xué)習(xí)的最好的老師，是原動(dòng)力。實(shí)踐證明運(yùn)用《幾何畫板》探究學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅不會(huì)成為同學(xué)的負(fù)擔(dān)，相反使抽象變形象，微觀變宏觀，給同學(xué)的學(xué)習(xí)生活帶來(lái)極大的樂(lè)趣，同學(xué)完全可以在輕松開心的氛圍中獲得知識(shí)。

4.3多用《幾何畫板》的動(dòng)態(tài)效果，培育同學(xué)自主合作精神。例如同學(xué)學(xué)習(xí)“角平分線”的概念和性質(zhì)時(shí)，可以讓同學(xué)跟著老師操作《幾何畫板》，構(gòu)造出∠ABC的平分線BE。然后讓同學(xué)度量出∠ABC和∠CBD的值。同學(xué)拖動(dòng)點(diǎn)A轉(zhuǎn)變角的大小，觀測(cè)度量值的改變，領(lǐng)悟角平分線的概念。接著做出角的兩邊的垂線FE和FG，度量出點(diǎn)F到垂足的距離。同學(xué)用鼠標(biāo)在角平分線上任意拖動(dòng)點(diǎn)F，觀測(cè)度量值，不難發(fā)覺角平分線的性質(zhì)。

ABC=31.57

CBD=31.57

EF=3.66厘米

FG=3.66厘米

B

同學(xué)動(dòng)手在操作中學(xué)數(shù)學(xué)，同學(xué)動(dòng)手“做數(shù)學(xué)”，這是一種新的學(xué)習(xí)方式，課堂上不再是老師滔滔不絕地講，老師組織學(xué)習(xí)內(nèi)容，指導(dǎo)同學(xué)討論問(wèn)題，指導(dǎo)同學(xué)學(xué)習(xí)，成為同學(xué)學(xué)習(xí)的援助者，同學(xué)成為學(xué)習(xí)的主人。對(duì)自己的任何發(fā)覺，都可以得到實(shí)時(shí)地驗(yàn)證。這時(shí)教DC

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師的角色不再是同學(xué)的保姆，同學(xué)不再是被灌輸知識(shí)的容器，也不再是目睹老師口干舌燥的“觀眾”，而是積極參加探究的“主角”，經(jīng)過(guò)自己親身的實(shí)踐活動(dòng)，感受、理解知識(shí)產(chǎn)生和進(jìn)展的過(guò)程，形成自己的閱歷，發(fā)揮了同學(xué)的能動(dòng)性和制造技能，達(dá)到讓同學(xué)“做”數(shù)學(xué)的目的。

4.4利用《幾何畫板》的功能，揭示“數(shù)形結(jié)合”的改變規(guī)律。數(shù)形結(jié)合思想是一個(gè)特別重要的數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微?！薄稁缀萎嫲濉窞椤皵?shù)形結(jié)合”制造了一條便捷的通道，它不僅對(duì)幾何模型的繪制提供信息，同時(shí)，可以解決同學(xué)難以繪制的圖形，而且提供了圖形“變換”的動(dòng)感，豐富多彩的“動(dòng)畫”模型，給同學(xué)一種耳目一新的視覺感受，使同學(xué)從畫面中去尋求到問(wèn)題解決的方法和依據(jù)，并從畫面中去認(rèn)清問(wèn)題的本質(zhì)。在引入《幾何畫板》之后，可以測(cè)量各種數(shù)值以及進(jìn)行各種函數(shù)運(yùn)算，在圖形的改變過(guò)程中，數(shù)量改變特征也可以直觀地呈現(xiàn)在同學(xué)眼前，“以形助數(shù)”，“用數(shù)解形”，這在傳統(tǒng)教學(xué)中無(wú)法辦到。

如在“二次函數(shù)y＝a*2＋b*＋c的圖像”一節(jié)中，如何向同學(xué)說(shuō)明y＝a*2、y＝a*2＋k、y＝a(*－h(huán))2、y＝a(*－h(huán))2＋k等函數(shù)圖像的相互關(guān)系一貫是傳統(tǒng)教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，同學(xué)難以理解，老師也難以用文字語(yǔ)言說(shuō)明。通過(guò)《幾何畫板》只需用鼠標(biāo)上下移動(dòng)點(diǎn)a、h、k，y＝a*2、y＝a*2＋k、y＝a〔*－h(huán)〕2、y＝a〔*－h(huán)〕2＋k等函數(shù)圖像便可一目了然，難題也就迎刃而解，同學(xué)也在a、h、k的改變過(guò)程中加深對(duì)二次函數(shù)的理解。利用《幾何畫板》反復(fù)動(dòng)態(tài)演示y＝a*2、y＝a*2＋k、y＝a〔*－h(huán)〕2、y＝a〔*－h(huán)〕2＋k等函數(shù)圖像的相互變換，同學(xué)便可比較順當(dāng)?shù)卣瓶囟魏瘮?shù)的圖像上下左右平移的知識(shí)難點(diǎn)。

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4、5用《幾何畫板》改進(jìn)概念教學(xué)、培育同學(xué)創(chuàng)新意識(shí)

過(guò)去由于硬件條件的限制，很多數(shù)學(xué)知識(shí)被抽象了，于是“抽象”

成了數(shù)學(xué)的代名詞，或許由于如此，造成了大批數(shù)學(xué)困難生。而現(xiàn)代教學(xué)媒體采納了先進(jìn)的技術(shù)，向同學(xué)提供了當(dāng)時(shí)無(wú)法看到的事物、現(xiàn)象和過(guò)程，所以有人說(shuō)光學(xué)媒體是人眼的延伸，聲像結(jié)合的媒體，相當(dāng)于人眼和耳的延伸，電子計(jì)算機(jī)是人腦的延伸，用《幾何畫板》制作課件，可以把傳統(tǒng)教學(xué)下很多抽象的數(shù)學(xué)概念。數(shù)學(xué)問(wèn)題及其產(chǎn)生

的過(guò)程變成詳細(xì)的畫面呈現(xiàn)出來(lái)，使課堂教學(xué)不受時(shí)間、空間、宏觀、微觀的限制。所以開闊視野、方便觀測(cè)、啟迪思維、加強(qiáng)理解、強(qiáng)化記憶功能。

我想這也是“再發(fā)覺，再制造”的詳細(xì)表現(xiàn)，更是培育同學(xué)創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新技能的有效途徑。培育同學(xué)的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新實(shí)踐技能，是當(dāng)今教育改革的大趨勢(shì)，現(xiàn)行數(shù)學(xué)教育大綱把“逐步形成數(shù)學(xué)創(chuàng)新

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意識(shí)”作為數(shù)學(xué)教學(xué)的目的之一?！稁缀萎嫲濉窞橥瑢W(xué)提供了討論問(wèn)題的強(qiáng)有力的工具，給同學(xué)提供了創(chuàng)新的機(jī)會(huì)。

4、6勤用《幾何畫板》自主探究，培育同學(xué)的綜合技能?！皠?dòng)態(tài)”是《幾何畫板》的最大特點(diǎn)，也是其魅力之所在。這在數(shù)學(xué)上的意義非同尋常，它滿意了數(shù)學(xué)教學(xué)之需，彌補(bǔ)了傳統(tǒng)教學(xué)手段之不足。黑板上的圖形是永久靜止不動(dòng)的，它掩蓋了幾何實(shí)質(zhì)。在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中，用圓規(guī)、三角板繪制的幾何圖形是靜態(tài)的，要認(rèn)識(shí)它的關(guān)系需要老師的語(yǔ)言描述和同學(xué)的理解和想象技能?！稁缀萎嫲濉樊嫵龅膱D形與在黑板上畫出的圖形不同，它具有動(dòng)態(tài)特征。老師可以在“動(dòng)”中教，同學(xué)可以在“動(dòng)”中學(xué)。有些教學(xué)內(nèi)容在傳統(tǒng)教學(xué)中顯得枯燥和乏味，引入《幾何畫板》后，很多內(nèi)容變靜為動(dòng)，同學(xué)在“動(dòng)”中求知，從而激發(fā)了同學(xué)的學(xué)習(xí)愛好與學(xué)習(xí)積極性。利用《幾何畫板》的動(dòng)態(tài)性和形象性，可以給同學(xué)制造一個(gè)實(shí)際“操作”幾何圖形的環(huán)境。同學(xué)可以任意拖動(dòng)圖形、觀測(cè)圖形、猜想并驗(yàn)證，在觀測(cè)、探究、發(fā)覺的過(guò)程中增加對(duì)各種圖形的感性認(rèn)識(shí)，形成豐厚的幾何閱歷背景，從而更有助于同學(xué)理解和證明。

5、《幾何畫板》在數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)例應(yīng)用

5.1代數(shù)、三角函數(shù)方面

只要給出函數(shù)表達(dá)式，就可以做出任意一個(gè)給定區(qū)間上的初等函數(shù)圖像，如函數(shù)y=ASin*的圖像當(dāng)拖動(dòng)點(diǎn)C、J、F運(yùn)動(dòng)時(shí)，屏幕上不僅y的值變動(dòng),圖像的振幅、周期也跟著動(dòng)。

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5.2平面幾何、平面解析幾何

《幾何畫板》提供了畫點(diǎn)、線、線段、射線、直線和圓的工具，

即提供了計(jì)算機(jī)的尺規(guī)作圖，因此能畫出任意一種歐幾里德幾何圖形，而且能夠精確的表現(xiàn)幾何對(duì)象?！稁缀萎嫲濉愤€提供了測(cè)量和計(jì)算功能，能夠?qū)λ龀龅膶?duì)象進(jìn)行度量，如線段的長(zhǎng)度、弧長(zhǎng)、角度、面積等還能對(duì)測(cè)量值進(jìn)行計(jì)算。包括四那么運(yùn)算、函數(shù)運(yùn)算，并把結(jié)果動(dòng)態(tài)的顯示在屏幕上，當(dāng)用鼠標(biāo)拖動(dòng)任意一個(gè)對(duì)象時(shí)顯示出這些幾何對(duì)象大小的量也隨之轉(zhuǎn)變。假如存在著不變的關(guān)系或幾何定理，幾何畫板能使這些幾何關(guān)系保持不變，這正是幾何畫板的精髓所在。在變動(dòng)的狀態(tài)下，線段的中點(diǎn)永久是中點(diǎn)，平行的直線永久平行；無(wú)論你拖動(dòng)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)怎么移動(dòng)，雖然這個(gè)三角形的大小在動(dòng)態(tài)的轉(zhuǎn)變著，但是顯示三角形內(nèi)角和的數(shù)值總保持不變；當(dāng)任意轉(zhuǎn)變園內(nèi)的相交弦AB、CD的交點(diǎn)P的位置時(shí)，顯示APPB,CPPD的數(shù)值總保持相等，精確

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AP=3.49厘米

PB=2.70厘米

CP=1.80厘米

PD=5.23厘米

APPB=9.43厘米2

CPPD=9.43厘米2

A

《幾何畫板》還能對(duì)動(dòng)態(tài)的對(duì)象進(jìn)行“跟蹤”，并能顯示該對(duì)象的“軌跡”，如點(diǎn)的軌跡，線的軌跡，形成曲線包絡(luò)，這顯著又為平面解析幾何的軌跡教學(xué)提供了特別好的工具。利用這一功能，可以使同學(xué)預(yù)先猜想軌跡的外形，然后利用《幾何畫板》進(jìn)行驗(yàn)證，使同學(xué)看到軌跡的形成過(guò)程，為同學(xué)觀測(cè)現(xiàn)象、發(fā)覺結(jié)論、探討問(wèn)題創(chuàng)設(shè)了較好的“情境”，為新的教學(xué)模式的建構(gòu)提供了可能?！稁缀萎嫲濉凡粌H有直角坐標(biāo)系功能，能畫出解析幾何中的全部的二次曲線，而且還有極坐標(biāo)功能，可以做出由極坐標(biāo)確定的全部曲線，從而使極坐標(biāo)下列圖形、方程的討論成為可能。此外，《幾何畫板》還提供了旋轉(zhuǎn)、平移、縮放、反射等圖形變換功能，可以按指定的值對(duì)圖形進(jìn)行平移、縮放、反射等變換，便于討論運(yùn)動(dòng)和變換這樣的非歐幾里德問(wèn)題。

5.3立體幾何

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通過(guò)《幾何畫板》的作圖功能，我們能做出需要的各種立體幾何圖形。由于做出的圖形是動(dòng)態(tài)的，我們可以拖動(dòng)某些點(diǎn)轉(zhuǎn)變它的位置使圖形有最正確的視角，最好的直觀性，不僅如此我們還可以依據(jù)空間幾何體的不同定義制作旋轉(zhuǎn)體的形成過(guò)程。

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由此可見，《幾何畫板》有強(qiáng)大的教學(xué)功能，能很好的和數(shù)學(xué)教學(xué)相結(jié)合?！稁缀萎嫲濉芳饶軇?chuàng)設(shè)情境，又能讓同學(xué)主動(dòng)參加，所以能有效的激發(fā)同學(xué)的學(xué)習(xí)愛好，使抽象、枯燥的數(shù)學(xué)概念變得直觀、形象使同學(xué)從可怕

厭惡數(shù)學(xué)變成對(duì)數(shù)學(xué)喜歡并愿意學(xué)數(shù)學(xué)，讓同學(xué)通過(guò)做“數(shù)學(xué)試驗(yàn)”去主動(dòng)發(fā)覺、主動(dòng)探究，不僅使同學(xué)的規(guī)律思維技能、空間想象技能和數(shù)學(xué)運(yùn)算技能得到較好的訓(xùn)練，而且還有效的培育了同學(xué)的發(fā)散思維和直覺思維。

6．應(yīng)用《幾何畫板》的案例及分析反思

6.1案例設(shè)計(jì)——雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

教學(xué)課題：雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

教學(xué)對(duì)象：高二同學(xué)

教學(xué)目的：1.使同學(xué)掌控雙曲線的定義，熟記雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，

并會(huì)初步運(yùn)用。

2.通過(guò)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，提高同學(xué)求動(dòng)點(diǎn)軌跡

的技能。

3.使同學(xué)初步會(huì)按特定條件求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

4.使同學(xué)理解雙曲線與橢圓的聯(lián)系與區(qū)分。

5.培育同學(xué)發(fā)散思維技能。

教學(xué)重點(diǎn)：雙曲線的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)約應(yīng)用。

教學(xué)難點(diǎn)：雙曲線方程的推導(dǎo)及待定系數(shù)法解二元二次方程組。授課類型：新授課

《幾何畫板》在中學(xué)計(jì)算機(jī)幫助數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

課時(shí)安排：1課時(shí)

教具：黑板，電腦，粉筆，尺子

教學(xué)過(guò)程：

一．復(fù)習(xí)引入

1.橢圓的定義:平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1F2的距離之和等于常數(shù)(大于F1F2的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓,這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距.

2.橢圓的軌跡的《幾何畫板》演示

3.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

《幾何畫板》在中學(xué)計(jì)算機(jī)幫助數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

*2y2焦點(diǎn)在*軸上221ab

y2*2焦點(diǎn)在y軸上221ab

其中a2b2c2〔ab0〕

二.講解新課

1.我們已經(jīng)知道,與兩定點(diǎn)的距離的和為常數(shù)的軌跡是橢圓,那么與兩定點(diǎn)的距離的差為非零常數(shù)的點(diǎn)軌跡是怎樣的曲線

呢?(請(qǐng)同學(xué)猜想一下)

2.用《幾何畫板》動(dòng)態(tài)的做出與兩定點(diǎn)的距離的差為非零常數(shù)的軌跡。

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此軌跡是一條曲線，而且這條曲線是滿意下面條件的點(diǎn)的集合即:P={M||MF1|-|MF2|=2a}

假如使點(diǎn)M到點(diǎn)F2的距離減去到點(diǎn)F1的距離所得的距離所得的差

等于2a，就得到另一條曲線〔左邊的曲線〕，這條曲線滿意下面條件的點(diǎn)的集合，

即：P={M||MF2|-|MF1|=2a}

這兩條曲線和起來(lái)叫做雙曲線，每一條叫做雙曲線的一支。

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3.雙曲線的定義：把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1F2的距離的差的絕對(duì)值等于

常數(shù)〔小于|F1F2|〕的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線。

即：P={M|||MF1|-|MF2||=2a}

其中：F1F2叫做焦點(diǎn)|F1F2|叫做焦距

4.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

依據(jù)雙曲線的定義推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，推導(dǎo)過(guò)程就是求雙曲線的過(guò)程，可依據(jù)求動(dòng)點(diǎn)軌跡的方程步驟求雙曲線的方程。

步驟：〔1〕建立坐標(biāo)系并設(shè)點(diǎn)

〔2〕列式

〔3〕變換

(4)化簡(jiǎn)

〔5〕證明

〔1〕建立直角坐標(biāo)系*oy使*軸經(jīng)過(guò)F1F2，并且點(diǎn)o與線段F1F2的中點(diǎn)重合。設(shè)M(*,y)是雙曲線的任意一點(diǎn)，雙曲線的焦距為2c(c0),那么焦點(diǎn)F1F2的坐標(biāo)分別是〔c,0〕,(-c,0),又設(shè)M與F1F2的距離的差的

絕對(duì)值等于常數(shù)2a.

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〔2〕由定義可知，雙曲線就是集合

P={M|||MF1|-|MF2||=2a}由于|MF1|=(*c)2y2

|MF2

2|=(*c)2y

所以得(*c)2y2-(*c)2y2=2a

化簡(jiǎn)是得(c2a2)*2a2y2a2(c2a2)⑴

由雙曲線的定義：2c2ac2a20

令：b2c2a2〔b0〕代入⑴得

b2*2a2y2a2b2

2

*2y

a2b21〔a0,b0〕

此即為雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，它表示焦點(diǎn)F1F2在*軸上的雙曲線，其

c2a2b2，假設(shè)坐標(biāo)系選取不同可得到雙曲線的不同方程。中

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5.同學(xué)自己證明焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

6.課堂練習(xí)

7.例題講解〔略〕

6.2案例分析與設(shè)計(jì)反思

從教材內(nèi)容處理來(lái)看，雙曲線被安