2023屆安徽池州市高考仿真模擬數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

請(qǐng)考生注意：

1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知條件〃：〃=-1,條件＜7：直線x-ay+l=0與直線x+/y—i=o平行，則〃是《的（）

A.充要條件B.必要不充分條件C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

2.設(shè)a,4是方程龍2—%—1=0的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，記4=/+夕（〃eN*）.下列兩個(gè)命題（）

①數(shù)列｛a,,｝的任意一項(xiàng)都是正整數(shù)；

②數(shù)列｛。,,｝存在某一項(xiàng)是5的倍數(shù).

A.①正確，②錯(cuò)誤B.①錯(cuò)誤，②正確

C.①②都正確D.①②都錯(cuò)誤

3.在（1一九）5+（1—乃6+（1-乃7+（1一為8的展開(kāi)式中，含不的項(xiàng)的系數(shù)是（）

A.74B.121C.-74D.-121

4.下列函數(shù)中既關(guān)于直線x=l對(duì)稱，又在區(qū)間上為增函數(shù)的是（）

A.y=sinTLX.B.y=\x-l\

C.y=cosTUXD.y=e"+e

5.在我國(guó)傳統(tǒng)文化“五行”中，有“金、木、水、火、土”五個(gè)物質(zhì)類別，在五者之間，有一種“相生”的關(guān)系，具體是:

金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.從五行中任取兩個(gè)，這二者具有相生關(guān)系的概率是（）

6.

7.已知乙B為非零向量，“的=廬萬(wàn),，為“同萬(wàn)=砸,，的（）

A.充分不必要條件B.充分必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

8.2021年某省將實(shí)行“3+1+2”的新高考模式，即語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)三科必選，物理、歷史二選一，化學(xué)、生物、政

治、地理四選二，若甲同學(xué)選科沒(méi)有偏好，且不受其他因素影響，則甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)的概率為

111]_

A.-B.—C.一

8462

9.若P是F的充分不必要條件，則「p是4的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

10.已知函數(shù)〃x）=2cos（3x+e）（o>0,0<°W7r）的圖象如圖所示，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

1,7771\TT

A.函數(shù)/（X）在---,--—上單調(diào)遞減

3萬(wàn)

B.函數(shù)/（x）在冗F上單調(diào)遞增

c

D.函數(shù)/(x)的對(duì)稱軸是％=菖—1|(攵eZ)

11.定義在［-2,2］上的函數(shù)/(x)與其導(dǎo)函數(shù)尸(x)的圖象如圖所示，設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B、C、。四點(diǎn)的橫

坐標(biāo)依次為一!、］、i,則函數(shù)y=的單調(diào)遞減區(qū)間是()

263ex

12.若集合M={1,3},N={L3,5},則滿足MUX=N的集合X的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2

C.3D.4

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

2_2X%>01?

13.已知函數(shù)/3=…’，則/(Ig￡)+/(lg7)+/(lg2)+/(lg5)的值為

2,x<0,52

14.函數(shù)〃x)=Jl-2"的定義域是.

15.如圖，在白ABC中，E為邊AC上一點(diǎn)，且配=3荏，P為BE上一點(diǎn)，且滿足麗=利9+>0,〃>0),

則'+a+3的最小值為.

nm

E

B----------------------------

16.記S=l*+2*+3欠+..+nk,當(dāng)k=l,2,3,.........時(shí)，觀察下列等式：Si=—z?2+—/i,Sz=—n3+—n2+—

22326

432

S3=—/J+—/l+—II,.......S5=A"6+L"5+2"4+B〃2,…可以推測(cè)，A-3=_____.

424212

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）這次新冠肺炎疫情，是新中國(guó)成立以來(lái)在我國(guó)發(fā)生的傳播速度最快、感染范圍最廣、防控難度最大的一

次重大突發(fā)公共衛(wèi)生事件.中華民族歷史上經(jīng)歷過(guò)很多磨難，但從來(lái)沒(méi)有被壓垮過(guò)，而是愈挫愈勇，不斷在磨難中成長(zhǎng),

從磨難中奮起.在這次疫情中，全國(guó)人民展現(xiàn)出既有責(zé)任擔(dān)當(dāng)之勇、又有科學(xué)防控之智.某校高三學(xué)生也展開(kāi)了對(duì)這次疫

情的研究，一名同學(xué)在數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)中發(fā)現(xiàn)，從2020年2月1日至2月7日期間，日期》和全國(guó)累計(jì)報(bào)告確診病例數(shù)量》

（單位：萬(wàn)人）之間的關(guān)系如下表：

日期X1234567

全國(guó)累計(jì)報(bào)告確診病例數(shù)量y（萬(wàn)人）1.41.72.02.42.83.13.5

（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，運(yùn)用相關(guān)系數(shù)進(jìn)行分析說(shuō)明，是否可以用線性回歸模型擬合）'與x的關(guān)系？

（2）求出>關(guān)于X的線性回歸方程y=bx+”（系數(shù)精確到0.01）.并預(yù)測(cè)2月10日全國(guó)累計(jì)報(bào)告確診病例數(shù).

=1.88,V7?2.65.

回歸方程與=%+以中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為:

18.(12分)已知函數(shù)/(x)="(or+l),a&R.

⑴求曲線＞=/(x)在點(diǎn)M(0,/(0))處的切線方程;

(2)求函數(shù)“X)的單調(diào)區(qū)間；

(3)判斷函數(shù)/(X)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

19.(12分)如圖，在四棱柱ABCD—AMGA中，底面ABCD為菱形，AB,=CB,.

(1)證明：平面8。。石平面ABC。；

(2)若/D4B=60。，△。與8是等邊三角形，求二面角A-8。-G的余弦值.

20.(12分)語(yǔ)音交互是人工智能的方向之一，現(xiàn)在市場(chǎng)上流行多種可實(shí)現(xiàn)語(yǔ)音交互的智能音箱.主要代表有小米公司

的，，小愛(ài)同學(xué)，，智能音箱和阿里巴巴的，，天貓精靈，，智能音箱，它們可以通過(guò)語(yǔ)音交互滿足人們的部分需求.某經(jīng)銷商為了

了解不同智能音箱與其購(gòu)買者性別之間的關(guān)聯(lián)程度，從某地區(qū)隨機(jī)抽取了100名購(gòu)買“小愛(ài)同學(xué)”和100名購(gòu)買“天貓精

靈”的人，具體數(shù)據(jù)如下：

“小愛(ài)同學(xué)”智能音箱“天貓精靈”智能音箱合計(jì)

男4560105

女554095

合計(jì)100100200

(1)若該地區(qū)共有13000人購(gòu)買了“小愛(ài)同學(xué)”，有12000人購(gòu)買了“天貓精靈”，試估計(jì)該地區(qū)購(gòu)買“小愛(ài)同學(xué)”的女性

比購(gòu)買“天貓精靈”的女性多多少人？

(2)根據(jù)列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為購(gòu)買“小愛(ài)同學(xué)”、“天貓精靈”與性別有關(guān)？

n^ad-bcy

(Q+〃)(c+d)(a+c)(/?+d)

2

P(K>k)0.100.050.0250.010.0050.001

k2.7063.8415.0246.6357.87910.828

21.(12分)已知/(x)=Asin(g+。)(A>0,0<<y<4,闞<工))過(guò)點(diǎn)(0」)，且當(dāng)》=工時(shí)，函數(shù)了。)取得最

226

大值1.

(1)將函數(shù)/(X)的圖象向右平移B個(gè)單位得到函數(shù)g(x),求函數(shù)g(x)的表達(dá)式；

6

■JT

(2)在(1)的條件下，函數(shù)力(x)=J.(x)+g(x)+2cos2jc-l,求在［0,耳］上的值域.

22.(10分)已知橢圓E：W+W=1(?！怠?gt;0)的離心率為斑，且過(guò)點(diǎn)(立,3),點(diǎn)p在第一象限，A為左頂點(diǎn),

a~b224

8為下頂點(diǎn)，R4交y軸于點(diǎn)C,交X軸于點(diǎn)O.

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若CD//AB,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.C

【解析】

先根據(jù)直線x-ay+\=0與直線》+/y_1=0平行確定a的值，進(jìn)而即可確定結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)橹本€了一故+1=0與直線》+42)；-1=0平行，

所以/+。=0，解得a=()或。=一1；即/。=0或。=一1；

所以由。能推出4；4不能推出P；

即〃是4的充分不必要條件.

故選c

【點(diǎn)睛】

本題主要考查充分條件和必要條件的判定，熟記概念即可，屬于基礎(chǔ)題型.

2.A

【解析】

利用韋達(dá)定理可得a+尸=1,3=-1,結(jié)合4=，+6"可推出。,用=an+,再計(jì)算出6=1,4=3，從而推出①

正確;再利用遞推公式依次計(jì)算數(shù)列中的各項(xiàng),以此判斷②的正誤.

【詳解】

因?yàn)閍,￡是方程x2-x-l=O的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，

所以a+4=l,a6=-1,

因?yàn)閍.=a"+月",

所以“向=￡向+夕'M

=,"+4")a+(a"+4")尸—/3"a-"

=(a"+4”)(a+尸)一加(。1+夕1)

=(a"+/r)+(a"T+〃i)=a.+a,T，

即當(dāng)〃23時(shí)，數(shù)列｛4｝中的任一項(xiàng)都等于其前兩項(xiàng)之和，

112

又4=a+/3^\,a1=a+0=(?+^)-2a(3=3,

所以％=〃2+4=44=〃3+。2=7,%=〃4+〃3=11，

以此類推，即可知數(shù)列｛。,｝的任意一項(xiàng)都是正整數(shù)，故①正確；

若數(shù)列｛4｝存在某一項(xiàng)是5的倍數(shù)，則此項(xiàng)個(gè)位數(shù)字應(yīng)當(dāng)為0或5,

由4=1,4=3,依次計(jì)算可知，

數(shù)列｛《,｝中各項(xiàng)的個(gè)位數(shù)字以1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,92為周期,

故數(shù)列｛an｝中不存在個(gè)位數(shù)字為()或5的項(xiàng)，故②錯(cuò)誤；

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查數(shù)列遞推公式的推導(dǎo)，考查數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，考查學(xué)生的綜合分析以及計(jì)算能力.

3.D

【解析】

根據(jù)(17)5+(17)6+(17)7+(17)8,利用通項(xiàng)公式得到含/的項(xiàng)為：(窗++或)(一進(jìn)而得到

其系數(shù)，

【詳解】

因?yàn)樵?1—x)5+(l-x)6+(l-x)7+(l-x)8,

所以含1的項(xiàng)為:(雋+管+穹+或)(_r3,

所以含V的項(xiàng)的系數(shù)是的系數(shù)是-0+或+《+雋)，

=-(10+20+35+56)=-121,

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二項(xiàng)展開(kāi)式及通項(xiàng)公式和項(xiàng)的系數(shù)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題，

4.C

【解析】

根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)性的特點(diǎn)，利用排除法，即可得出答案.

【詳解】

A中，當(dāng)x=l時(shí)，y=sin7Lx=0wl,所以y=sinm不關(guān)于直線x=l對(duì)稱，則A錯(cuò)誤；

B中，y=x—l=<［:所以在區(qū)間［—1,0］上為減函數(shù)，則8錯(cuò)誤；

'1l-x+l,(x<1)

D中，y=〃x)=e*+eT,而〃0)=2,〃2)=e2+6一2,則〃0)?！?),所以y=e*+e-*不關(guān)于直線x=l對(duì)

稱，則。錯(cuò)誤；

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)基本性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的解析式判斷函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

5.B

【解析】

利用列舉法，結(jié)合古典概型概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求概率.

【詳解】

從五行中任取兩個(gè)，所有可能的方法為：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，共1()種,

其中由相生關(guān)系的有金水、木水、木火、火土、金土，共5種，所以所求的概率為之=1=0.5.

102

故選：B

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查古典概型的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

6.B

【解析】

由分子、分母的奇偶性，易于確定函數(shù)為奇函數(shù)，由/(4)的近似值即可得出結(jié)果.

【詳解】

設(shè)y=/(x)=二則/(—X)/2(-幻3——_“二二—/(X),所以/Q)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱,

-2'+2-"2一"+2"2v+2-x

3

?x49X63

排除選項(xiàng)C.又/(4)=彳三>0,排除選項(xiàng)D；/(6)=盧\=7,排除選項(xiàng)A,故選B.

，I2ZI2

【點(diǎn)睛】

本題通過(guò)判斷函數(shù)的奇偶性，縮小考察范圍，通過(guò)計(jì)算特殊函數(shù)值，最后做出選擇.本題較易，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基

本計(jì)算能力的考查.

7.B

【解析】

由數(shù)量積的定義可得a2=同2>0,為實(shí)數(shù)，則由九=ba可得同2b第2a，根據(jù)共線的性質(zhì)，可判斷@=石；再根據(jù)

卜忖=判斷M=和由等價(jià)法即可判斷兩命題的關(guān)系.

【詳解】

若日=ba成立，則同2b=J,否則向量值與,的方向相同，且同2忖=用同，從而什=W,所以〃=B；

若即咽友則向量方與坂的方向相同，且q=札從而口=M,所以@=反

所以“a2b=b2a”為"WM=WB”的充分必要條件.

故選:B

【點(diǎn)睛】

本題考查充分條件和必要條件的判定,考查相等向量的判定，考查向量的模、數(shù)量積的應(yīng)用.

8.B

【解析】

甲同學(xué)所有的選擇方案共有12種，甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)后，只需在生物、政治、地理三科中再選擇一

31

科即可，共有c；=3種選擇方案，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式，可得甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)的概率P=±=一,

124

故選B.

9.B

【解析】

試題分析：通過(guò)逆否命題的同真同假，結(jié)合充要條件的判斷方法判定即可.

由P是F的充分不必要條件知“若P則F”為真，“若F則P”為假，根據(jù)互為逆否命題的等價(jià)性知，“若q貝！

為真，“若力則q”為假，故選B.

考點(diǎn)：邏輯命題

10.B

【解析】

根據(jù)圖象求得函數(shù)y=/(%)的解析式，結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱性逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】

由圖象可得，函數(shù)的周期7=2x(葛一萬(wàn)，所以0=弟=2.

\JT|/、TTJT,7JT

將點(diǎn)|不，0代入/(x)=2cos(2x+°)中，得2x—+夕=22乃——(AeZ),解得°=2Z4----(ZeZ),由

\37326

0<(p<7r9可得0所以/(x)=2cos(2x+V；

令2ki<2x+—<2k/r+兀(kGZ),得攵兀一著<攵兀+2(攵￡Z),

Syrrr

故函數(shù)y=/(x)在k7r-—,k7r+—伏eZ)上單調(diào)遞減,

當(dāng)后=一1時(shí)，函數(shù)y=/(x)在一五〃，一五%上單調(diào)遞減，故A正確;

令2k兀一冗&2x+^-<2k兀(keZ),^k7U-^^-<x<左乃一言(左eZ),

J17T'4

故函數(shù)y=/(x)在k兀_-E,k萬(wàn)一不■上單調(diào)遞增.

137r197r

當(dāng)攵=2時(shí)，函數(shù)y=/(x)在—上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤;

令2%+匿=左1+并eZ),得x=g—*wZ),故函數(shù)y=/(x)的對(duì)稱中心是保一彳,。］僅eZ),故C

正確；

令2%+葛=女》(ZeZ),得》=費(fèi)一言(ZeZ),故函數(shù)y=/(x)的對(duì)稱軸是x=當(dāng)一工(2eZ),故D正確.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查由圖象求余弦型函數(shù)的解析式，同時(shí)也考查了余弦型函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱性的判斷，考查推理能力與計(jì)算能

力，屬于中等題.

【解析】

先辨別出圖象中實(shí)線部分為函數(shù)y=/(x)的圖象，虛線部分為其導(dǎo)函數(shù)的圖象，求出函數(shù)丫=/區(qū)的導(dǎo)數(shù)為

ex

y,j(x)-”x),由y，<。，得出r(x)<〃x),只需在圖中找出滿足不等式r(x)</(x)對(duì)應(yīng)的1的取值范圍

ex

即可.

【詳解】

若虛線部分為函數(shù)y=/(x)的圖象，則該函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)，但其導(dǎo)函數(shù)圖象(實(shí)線)與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，不合乎

題意；

若實(shí)線部分為函數(shù)y=/(x)的圖象，則該函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則其導(dǎo)函數(shù)圖象(虛線)與x軸恰好也只有兩個(gè)交點(diǎn)，

合乎題意.

對(duì)函數(shù)y=-」■求導(dǎo)得y=一一一——,由由<0得/'(X)</(%),

由圖象可知，滿足不等式/'(x)</(x)的X的取值范圍是

因此，函數(shù)y的單調(diào)遞減區(qū)間為1-

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用圖象求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，同時(shí)也考查了利用圖象辨別函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的圖象，考查推理能力，屬于中等

題.

12.D

【解析】

X可以是{5},{1,5},{3,5},{1,3,5}共4個(gè)，選D.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.4

【解析】

根據(jù)Ig(，lgg/g2,lg5的正負(fù)值，代入對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式求解即可?

【詳解】

解：/dg|)+/dg+/(1g2)+/(1g5)

S8lg5lg2lg2lg5

=2~15+2-'5+2—21g2+2-2電$=2+2+2-2+2-2=4'

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】

本題考查分段函數(shù)函數(shù)值的求解，是基礎(chǔ)題.

14.(-oo,0]

【解析】

由1-2'20,得2,41，所以xWO,所以原函數(shù)定義域?yàn)?F,。]，故答案為(—,()].

15.15

【解析】

試題分析：根據(jù)題意有AP=MAB++，因?yàn)?,P,E三點(diǎn)共線，所以有機(jī)+3,=1,從而有

1Q13mOn14

l+^=(m+3n)(-+-)=3+3+-+—>6+279=12,所以士十三+3的最小值是12+3=15.

ntnnmnmnm

考點(diǎn)：向量的運(yùn)算，基本不等式.

【方法點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)應(yīng)用基本不等式求最值的問(wèn)題，屬于中檔題目，在解題的過(guò)程中，關(guān)鍵步驟在于對(duì)題

中條件的轉(zhuǎn)化AP=加麗+〃前〃*月+3〃通，根據(jù)B,P,E三點(diǎn)共線，結(jié)合向量的性質(zhì)可知加+3“=1,從而等

價(jià)于已知兩個(gè)正數(shù)的整式形式和為定值，求分式形式和的最值的問(wèn)題，兩式乘積，最后應(yīng)用基本不等式求得結(jié)果，最

后再加3,得出最后的答案.

I

16.-

4

【解析】

觀察知各等式右邊各項(xiàng)的系數(shù)和為1,最高次項(xiàng)的系數(shù)為該項(xiàng)次數(shù)的倒數(shù)，據(jù)此計(jì)算得到答案.

【詳解】

根據(jù)所給的已知等式得到：各等式右邊各項(xiàng)的系數(shù)和為1,

最高次項(xiàng)的系數(shù)為該項(xiàng)次數(shù)的倒數(shù)，

,115c5m1丁,、,111

??A=-9AH1---1-5=1,解得5=---9所以A-5=—I---=一?

6212126124

故答案為：

4

【點(diǎn)睛】

本題考查了歸納推理，意在考查學(xué)生的推理能力.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(1)可以用線性回歸模型擬合y與X的關(guān)系；(2)y=0.35x+l,預(yù)測(cè)2月10日全國(guó)累計(jì)報(bào)告確診病例數(shù)約有

4.5萬(wàn)人.

【解析】

xx

E(，-)(x-y)9.908

(1)根據(jù)已知數(shù)據(jù)，利用公式求得廠=-)=74=0.99,再根據(jù)M的值越大說(shuō)明它

>5.3x1.88

們的線性相關(guān)性越高來(lái)判斷.

(2)由(1)的相關(guān)數(shù)據(jù)，求得B=a^-bx>寫(xiě)出回歸方程，然后將尤=10代入回歸方程求解.

【詳解】

——Ir)M

(1)由已知數(shù)據(jù)得，x=4.丁=一產(chǎn)=2.414,

所以Z(七一x)(y_y)=Z為,一nxy=77.5—7x4x2.414=9.908,

0.99

因?yàn)閥與x的相關(guān)近似為o.99,說(shuō)明它們的線性相關(guān)性相當(dāng)高，從而可以用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系.

9.908

(2)由(i)得,b=^---------------------=0.354,

2內(nèi)28

i=i

a=-菽=2.414-0.354x4=0.998，

所以，V關(guān)于x的回歸方程為：y=0.35x+l,

2月10日，即x=10代入回歸方程得：>=0.35x10+1=4.5.

所以預(yù)測(cè)2月10日全國(guó)累計(jì)報(bào)告確診病例數(shù)約有4.5萬(wàn)人.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查線性回歸分析和回歸方程的求解及應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

18.(1)(a+l)x-y+l=0(2)答案見(jiàn)解析⑶答案見(jiàn)解析

【解析】

(1)設(shè)曲線y=/(x)在點(diǎn)M(0,7(0))處的切線的斜率為左，可求得左=/'(0)=。+1,/(0)=1,利用直線的點(diǎn)斜式

方程即可求得答案；

(2)由(I)知，f'(x)=e\ax+a+\),分。=0時(shí)，a>0,a<0三類討論，即可求得各種情況下的的單調(diào)區(qū)

間為；

(3)分a=0與aH0兩類討論，即可判斷函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【詳解】

(1)Qf(x)=e*(a?+1),

f'(x)=ex(ax+1)+aex=e'(ax+a+1),

設(shè)曲線y=/(x)在點(diǎn)/(0,f(0))處的切線的斜率為3

則％=尸(0)=e'(ox+1)+ae'=e(>3+1)=a+1,

又/(0)=l，

，曲線y=/(x)在點(diǎn)/(0，7(0))處的切線方程為：y-l=3+l)x,即(a+l)x-y+l=0；

(2)由(1)知，r(x)=ev(ox+a+l),

故當(dāng)a=0時(shí)，r(x)=e，>0,所以/(x)在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時(shí)，xe(—00,--------),,/\x)<0；xG(---------,+°°),/'(尤)>0；

aa

???/(X)的遞減區(qū)間為(YO,-但)，遞增區(qū)間為里，+8);

aa

當(dāng)a<。時(shí)，同理可得.f(X)的遞增區(qū)間為(7,-"3,遞減區(qū)間為(-@里，+8);

aa

綜上所述，。=0時(shí)，/(X)單調(diào)遞增為(-8,+8),無(wú)遞減區(qū)間；

當(dāng)4>0時(shí)，/*)的遞減區(qū)間為(TOL但)，遞增區(qū)間為(-@里，+8);

aa

當(dāng)a<0時(shí)，f(x)的遞增區(qū)間為(f,-絲1),遞減區(qū)間為(-3，+8)；

aa

(3)當(dāng)。=0時(shí)，/(x)="〉0恒成立，所以/(幻無(wú)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，由/■(x)=e*(ax+l)=O,得：x=---,只有一個(gè)零點(diǎn).

a

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論思想與推理、運(yùn)算能力，

屬于中檔題.

19.(1)證明見(jiàn)解析(2)0

【解析】

(1)根據(jù)面面垂直的判定定理可知，只需證明平面8。。片即可.

由A8CO為菱形可得AC_L3O,連接和AC與的交點(diǎn)。，

由等腰三角形性質(zhì)可得與。工AC,即能證得AC,平面；

(2)由題意知，片0，平面.以>,可建立空間直角坐標(biāo)系。孫z,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。4所在直線為x軸，OB所

在直線為》軸，OB1所在直線為z軸，再分別求出平面GB。的法向量，平面4B。的法向量，即可根據(jù)向量法求出

二面角4一BO—G的余弦值.

【詳解】

(1)如圖，設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)。，連接40,

又A5CO為菱形，故AC上BD,。為AC的中點(diǎn).

又Ag=Cg,故BQLAC.

又BDu平面BDRB-BQu平面BDD溢,且8。04。=。，

故AC,平面5。。冉，又ACu平面A3CD,

所以平面60。百，平面ABC。.

(2)由AOB也是等邊三角形，可得與。，8。，故60，平面A3CO,

所以BQ,AC,兩兩垂直.如圖以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。4所在直線為x軸，08所在直線為了軸，0月所在直線為z

軸，建立空間直角坐標(biāo)系。孫z.

D.C.

工

不妨設(shè)AB=2,則AO=g,L

則A（GO,O）,8（o,1,0）,4（o,o,6）,o（o,TO）,A（G,-I,G）,G（-

設(shè)1=（3，X，zJ為平面G5。的法向量，

n-BD=0,[2>]=0,

則寸；即《廠廠可取3=（1,0,1），

n?OC[=0,[-V3X]-y,+V3z,=C

設(shè)?=（X2，%，Z2）為平面AB。的法向量,

m-BD=Q,12%=0,

則《_一即〈廠r可取而=（—1,0,1）,

m-O\=0,[J3%2-％+J3z2=0,

---n-m八

所以cos<〃,〃?>=尸產(chǎn)|=0.

Hrl

所以二面角A,-BD-Q的余弦值為0.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理的應(yīng)用，以及利用向量法求二面角，意在考查學(xué)生的直觀想

象能力，邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

20.(1)多2350人；(2)有95%的把握認(rèn)為購(gòu)買“小愛(ài)同學(xué)”、“天貓精靈”與性別有關(guān).

【解析】

(1)根據(jù)題意，知100人中購(gòu)買“小愛(ài)同學(xué)”的女性有55人，購(gòu)買“天貓精靈”的女性有4()人，即可估計(jì)該地區(qū)購(gòu)買“小

愛(ài)同學(xué)”的女性人數(shù)和購(gòu)買“天貓精靈''的女性的人數(shù)，即可求得答案；

(2)根據(jù)列聯(lián)表和給出的公式，求出K?，與臨界值比較，即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：(1)由題可知，100人中購(gòu)買“小愛(ài)同學(xué)”的女性有55人，購(gòu)買“天貓精靈”的女性有40人，

由于地區(qū)共有13000人購(gòu)買了“小愛(ài)同學(xué)”，有12000人購(gòu)買了“天貓精靈”，

估計(jì)購(gòu)買“小愛(ài)同學(xué)”的女性有效2x55=7150人.

100

估計(jì)購(gòu)買“天貓精靈”的女性有x40=4800人.

則7150-4800=2350,

...估計(jì)該地區(qū)購(gòu)買“小愛(ài)同學(xué)”的女性比購(gòu)買“天貓精靈”的女性多2350人.

2

⑵由題可知，^=200X(45X40-60X55)=45II>384I>

105x95x100x100

...有95%的把握認(rèn)為購(gòu)買“小愛(ài)同學(xué)”、“天貓精靈”與性別有關(guān).

【點(diǎn)睛】

本題考查隨機(jī)抽樣估計(jì)總體以及獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.

兀

21.(l)g(x)=sin(2x--)；⑵[T,2].

【解析】

試題分析:

⑴由題意可得函數(shù)f(x)的解析式為了(》)=呵2》+看卜貝ljg(x)=/卜一己卜呵2x4

⑵整理函數(shù)h(x)的解析式可得：〃(x)=2si“2x+3結(jié)合函數(shù)的定義域可得函數(shù)的值域?yàn)閇-1,2].

試題解析：

⑴由函數(shù)取得最大值1,可得A=l,函數(shù)過(guò)(。，與得5山0=:，闞<￡,。=2

\2/226

/

71冗JI

=1=>-：co-^—=--^2k7r,keZ,0<69<4,:?co=2

<6662

〃x)=sin2x+—，g(x)=/si〃[2九一

I6

⑵〃(x)=yf^sinlx+coslx=2sinI2x4-^-1,

c"]乃c"，7乃1.(c7ryI

X€0,—,—W2xH—<—,—Wsin2xH—|W1,

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-l<25/?2x+-<2,值域?yàn)閇—1,2].

I。，

22.(1)—+y2