中考數學復習第四章圖形的認識4.5特殊的平行四邊形試卷市賽課公開課一等獎省名師獲獎課件

§4.5特殊平行四邊形中考數學

(廣西專用)1/257考點一矩形五年中考A組-年廣西中考題組五年中考1.(南寧,12,3分)如圖,矩形紙片ABCD,AB=4,BC=3,點P在BC邊上,將△CDP沿DP折疊,點C

落在點E處,PE、DE分別交AB于點O、F,且OP=OF,則cos∠ADF值為

()

A.

B.

C.

D.

2/257答案

C由題意得Rt△DCP≌Rt△DEP,所以DC=DE=4,CP=EP,在Rt△OEF和Rt△OBP中,∠EOF=∠BOP,∠B=∠E,OP=OF,所以Rt△OEF≌Rt△OBP(AAS),所以OE=OB,EF=BP,設EF=x,則BP=x,DF=DE-EF=4-x,又因為BF=OF+OB=OP+OE=PE=PC,PC=BC-BP=3-x,所以AF=AB-BF=4-(3-x)=1+x,在Rt△DAF中,AF2+AD2=DF2,即(1+x)2+32=(4-x)2,解得x=

,所以EF=

,DF=4-

=

,在Rt△DAF中,cos∠ADF=

.難點突破

折疊問題關鍵結論是折疊前后不改變圖形形狀和大小,所以題干中隱含了很

多相等關系,突破口在于利用折疊性質將相關聯線段長用未知數表示,利用勾股定理得到

關于所求線段或相關線段方程,難度適中.3/2572.(貴港,16,3分)如圖,將矩形ABCD折疊,折痕為EF,BC對應邊B'C'與CD交于點M,若∠B'

MD=50°,則∠BEF度數為

.

答案70°4/257解析由折疊可知∠B'=∠B=90°,∠BEF=∠B'EF.過B'作B'G∥AB交EF于G,則B'G∥CD∥AB.∴∠DMB'=∠MB'G=50°,∴∠AEB'=∠EB'G=90°-50°=40°.∴∠BEB'=180°-40°=140°.又∠BEF=∠B'EF,∴∠BEF=

∠BEB'=

=70°.

5/2573.(玉林,25,10分)如圖,在?ABCD中,DC>AD,四個角平分線AE,DE,BF,CF交點分別是E,

F,過點E,F分別作DC與AB間垂線MM'與NN',在DC與AB上垂足分別是M,N與M',N',連接EF.(1)求證:四邊形EFNM是矩形;(2)已知:AE=4,DE=3,DC=9,求EF長.

6/257解析(1)證實:如圖,過點E作EG⊥AD于點G,過點F作FH⊥BC于點H.

∵DE平分∠ADC,∴EG=EM,同理EG=EM',∴ME=M'E,則E為MM'中點.同理可證點F為NN'中點.∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴AB∥CD∥EF.又MM'⊥CD,NN'⊥CD,∴ME∥NF,∴四邊形EFNM為平行四邊形,又∠EMN=90°,7/257∴四邊形EFNM為矩形.(2)∵DE,AE分別為∠CDA和∠DAB平分線,∴∠2+∠3=

=90°,∴∠DEA=90°,∴在Rt△ADE中,AD=

=5.在△ADE和△EDM中,

∴△ADE∽△EDM.∴

=

,即

=

,∴DM=

.∴△ADE∽△AEM',∴

=

,即

=

,∴AM'=

,在△AEM'和△CFN中,

∴△AEM'≌△CFN,∴AM'=CN=

,∴MN=DC-DM-NC=9-

-

=4.∴EF=4.8/2574.(百色,22,8分)矩形ABCD中,E、F分別是AD、BC中點,CE、AF分別交BD于G、H兩

點.求證:(1)四邊形AFCE是平行四邊形;(2)EG=FH.

9/257證實(1)∵四邊形ABCD是矩形,∴AD∥BC,AD=BC,∵E、F分別是AD、BC中點,∴AE=

AD,CF=

BC,∴AE=CF,∴四邊形AFCE是平行四邊形.(2)∵四邊形AFCE是平行四邊形,∴CE∥AF,∴∠DGE=∠AHD=∠BHF,∵AD∥BC,∴∠EDG=∠FBH,在△DEG和△BFH中,

10/257∴△DEG≌△BFH(AAS),∴EG=FH.思緒分析

(1)依據一組對邊平行且相等四邊形是平行四邊形證實即可;(2)證實EG所在△DEG與FH所在△BFH全等即可得出EG=FH.11/2575.(南寧,22,8分)如圖,矩形ABCD對角線AC,BD相交于點O,點E,F在BD上,BE=DF.(1)求證:AE=CF;(2)若AB=6,∠COD=60°,求矩形ABCD面積.

12/257解析(1)證實:∵四邊形ABCD是矩形,∴OA=OC,OB=OD,∵BE=DF,∴OE=OF,又∵∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF(SAS),

(3分)∴AE=CF.

(4分)(2)∵四邊形ABCD為矩形,∴∠BCD=90°,AB=CD=6,OD=OC.

(5分)∵∠COD=60°,∴△OCD為等邊三角形,∴OD=OC=CD=6,∴BD=2OD=12.

(6分)在Rt△BCD中,BC2+DC2=BD2,∴BC=

=6

.

(7分)∴S矩形ABCD=BC·CD=6

×6=36

.

(8分)13/257思緒分析

(1)證△AOE≌△COF,可得AE=CF;(2)要求矩形ABCD面積,只要求BC即可,因為

四邊形ABCD是矩形,∠COD=60°,所以△OCD是等邊三角形,從而得出OD=6,故BD=12,再利用

勾股定理即可求出BC,從而求出矩形ABCD面積.14/2576.(玉林,25,10分)如圖,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3,點P是AB邊上一點(不與A,B重合),連接

CP,過點P作PQ⊥CP交AD邊于點Q,連接CQ.(1)當△CDQ≌△CPQ時,求AQ長;(2)取CQ中點M,連接MD,MP,若MD⊥MP,求AQ長.

15/257解析(1)∵△CDQ≌△CPQ,∴CP=CD=5,則PB=

=4,故AP=5-4=1.設AQ=x,則PQ=QD=3-x,在Rt△QAP中,QP2=QA2+AP2,即(3-x)2=x2+1,∴x=

,∴AQ=

.(2)由題意知MD,MP分別是Rt△CDQ與Rt△CPQ公共斜邊CQ中線,∴MD=MC=MP=MQ,∴∠5=∠6,∠7=∠8,又∠1+∠3=90°,∴∠5+∠6+∠7+∠8=360°-90°=270°,∴∠6+∠7=135°,∴∠AQP=180°-135°=45°,∴∠APQ=45°.∴∠CPB=180°-90°-45°=45°,16/257∴△QAP與△PBC均是等腰直角三角形,∴PB=BC=3,則AQ=AP=5-3=2.

17/257一題多解

(1)∵△CDQ≌△CPQ,∴CP=CD=5,則PB=

=4,AP=5-4=1.易證△QAP∽△PBC,∴

=

,∴AQ=

.(2)由題意知MD,MP分別是Rt△CDQ與Rt△CPQ公共斜邊CQ中線,∴MD=MC=MP=MQ,∴∠1=2∠2,∠3=2∠4,∠1+∠3=2(∠2+∠4).∴∠2+∠4=

(∠1+∠3)=45°,∴∠PCB=90°-45°=45°.∴PB=BC=3,∠APQ=45°,∴AQ=AP=5-3=2.18/257考點二菱形1.(貴港,11,3分)如圖,在菱形ABCD中,AC=6

,BD=6,E是BC邊中點,P、M分別是AC,AB上動點,連接PE,PM,則PE+PM最小值是

()

A.6

B.3

C.2

D.4.519/257答案

C在菱形ABCD中,設AC,BD交于點O,則OC=

AC=3

,OB=

BD=3,∵AC⊥BD,∴BC=

=3

,S菱形=

AC·BD=

×6

×6=18

.作E關于AC對稱點E',則E'為CD中點.作E'M⊥AB交AC于點P,交AB于點M,此時PM+PE最小,且PM+PE=E'M.∵AB=BC=3

,∴ME'=

=2

.∴PM+PE最小值為2

.故選C.20/2572.(桂林,10,3分)如圖,在菱形ABCD中,AB=6,∠ABD=30°,則菱形ABCD面積是

()

A.18

B.18

C.36

D.36

21/257答案

B過點A作AF⊥BC于F,

∵在菱形ABCD中,AB=6,∠ABD=30°,∴∠ABC=60°,BC=AB=6.∴AF=ABsin60°=6×

=3

.∴菱形ABCD面積S=BC·AF=6×3

=18

.故選B.22/2573.(南寧,16,3分)如圖,菱形ABCD對角線相交于點O,AC=2,BD=2

,將菱形按如圖方式折疊,使點B與點O重合,折痕為EF,則五邊形AEFCD周長為

.

答案7解析∵四邊形ABCD是菱形,∴OA=OC=

AC=1,OD=OB=

BD=

,AC⊥BD,∴AD=

=2,tan∠ADO=

=

,∴∠ADO=30°,∴∠ADC=60°=∠ABC,∴△ABC是等邊三角形.由折疊及菱形性質可得OB與EF相互垂直平分,則OE=EB=BF=FO,∴∠EOB=∠EBO=

∠ADO=30°,∠AOE=90°-30°=60°=∠OAE,∴△AOE和△BEF均為等邊三角形,故EF=EB=EO=

AE=1,由此可知FC=1,∴五邊形AEFCD周長為AE+EF+FC+CD+DA=1+1+1+2+2=7.23/257思緒分析

依據菱形對角線相互垂直平分及勾股定理,求出菱形邊長,再依據折疊性質

求出AE,EF,FC長,進而求出五邊形AEFCD周長.24/2574.(欽州,16,3分)如圖,在菱形ABCD中,AB=4,線段AD垂直平分線交AC于點N,△CND周

長是10,則AC長為

.

答案6解析∵線段AD垂直平分線交AC于點N,∴NA=ND.∵△CND周長是10,∴CD+DN+NC=10,∴CD+NA+NC=10.∴CD+AC=10.又CD=AB=4,∴AC=6.25/2575.(柳州,23,8分)如圖,四邊形ABCD是菱形,對角線AC,BD相交于點O,且AB=2.(1)求菱形ABCD周長;(2)若AC=2,求BD長.

解析(1)菱形ABCD中,AB=AD=BC=CD=2,∴菱形ABCD周長為4AB=4×2=8.(2)在菱形ABCD中,AO=OC=

AC=1,BO=OD=

BD,且AC⊥BD,∴在Rt△AOB中,BO=

=

=

.∴BD=2BO=2

.26/2576.(南寧,23,8分)如圖,在?ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分別為E,F,且BE=DF.(1)求證:?ABCD是菱形;(2)若AB=5,AC=6,求?ABCD面積.

27/257解析(1)證實:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴∠B=∠D.∵AE⊥BC,AF⊥DC,∴∠AEB=∠AFD=90°,又∵BE=DF,∴△AEB≌△AFD(ASA).∴AB=AD,∴?ABCD是菱形.(2)如圖,連接BD交AC于點O,

28/257由(1)知四邊形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,AO=OC=

AC,∵AC=6,∴AO=

×6=3,∵AB=5,∴在Rt△AOB中,BO=

=

=4,∴BD=2BO=8,∴S?ABCD=

AC·BD=

×6×8=24.方法總結

證實菱形方法有很多,考查頻率較高是一組鄰邊相等平行四邊形是菱形.求

菱形面積主要有兩種方法:1.對角線乘積二分之一;2.底乘高,詳細方法需結合詳細條件和題設

靈活利用.29/2577.(賀州,24,8分)如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,O、D分別是邊AC、AB中點,過點C作CE

∥AB交DO延長線于點E,連接AE,CD.(1)求證:四邊形AECD是菱形;(2)若四邊形AECD面積為24,tan∠BAC=

,求BC長.

30/257解析(1)證實:∵O是AC中點,∴OA=OC,∵CE∥AB,∴∠DAO=∠ECO,在△AOD和△COE中,

∴△AOD≌△COE,∴AD=CE,又∵CE∥AB,∴四邊形AECD是平行四邊形,∵CD是Rt△ABC斜邊AB上中線,∴CD=AD,∴四邊形AECD是菱形.31/257(2)由(1)知,四邊形AECD是菱形,∴AC⊥ED.在Rt△AOD中,tan∠DAO=

=tan∠BAC=

.設OD=3x(x>0),OA=4x,則ED=2OD=6x,AC=2OA=8x,依題意得

×6x×8x=24,解得x=1(負值舍去).∴OD=3,∵O,D分別是AC,AB中點,∴OD是△ABC中位線,∴BC=2OD=6.32/2578.(賀州,23,9分)如圖,AC是矩形ABCD對角線,過AC中點O作EF⊥AC,交BC于點E,交

AD于點F,連接AE,CF.

(1)求證:四邊形AECF是菱形;(2)若AB=

,∠DCF=30°,求四邊形AECF面積.(結果保留根號)33/257解析(1)證實:∵O是AC中點,且EF⊥AC,∴AF=CF,AE=CE,OA=OC.∵四邊形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠AFO=∠CEO.在△AOF和△COE中,∵

∴△AOF≌△COE(AAS).∴AF=CE.∴AF=CF=CE=AE.∴四邊形AECF是菱形.(2)∵四邊形ABCD是矩形,∴CD=AB=

.在Rt△CDF中,CF=

=

=2.∵四邊形AECF是菱形,∴CE=CF=2.∴四邊形AECF面積為EC·AB=2

.34/257思緒分析

(1)由O是AC中點,且EF⊥AC,得AF=CF,AE=CE,OA=OC,由矩形對邊平行得∠

AFE=∠CEF,可證△AOF≌△COE,得AF=CE,再利用四邊相等四邊形是菱形得結論.(2)用底乘高求菱形面積.主要考點

矩形性質,菱形判定,銳角三角函數.35/257考點三正方形1.(桂林,11,3分)如圖,在正方形ABCD中,AB=3,點M在CD邊上,且DM=1,△AEM與△ADM關

于AM所在直線對稱,將△ADM按順時針方向繞點A旋轉90°得到△ABF,連接EF,則線段EF長

為

()

A.3

B.2

C.

D.

36/257答案

C連接BM,如圖所表示.

由對稱和旋轉可知,△ADM≌△AEM≌△ABF,∴AD=AE=AB,AF=AM,∠FAB=∠MAD=∠MAE,∴∠FAB+∠BAE=∠MAE+∠BAE,∴∠FAE=∠MAB,在△FAE和△MAB中,

∴△FAE≌△MAB(SAS).37/257∴EF=BM,又在正方形ABCD中,AB=DC=BC=3,而DM=1,∴MC=2,∴在Rt△BCM中,依據勾股定理得BM=

=

=

,∴EF=

,故選C.38/2572.(貴港,12,3分)如圖,在正方形ABCD中,O是對角線AC與BD交點,M是BC邊上動點(點

M不與B,C重合),CN⊥DM,CN與AB交于點N,連接OM,ON,MN.以下五個結論:①△CNB≌△

DMC;②△CON≌△DOM;③△OMN∽△OAD;④AN2+CM2=MN2;⑤若AB=2,則S△OMN最小值是

,其中正確結論個數是

()

A.2

B.3

C.4

D.539/257答案

D∵正方形ABCD中,CD=BC,∠BCD=90°,∴∠BCN+∠DCN=90°,又∵CN⊥DM,∴∠CDM+∠DCN=90°,∴∠BCN=∠CDM,又∵∠CBN=∠DCM=90°,∴△CNB≌△DMC(ASA),故①正確;依據△CNB≌△DMC,可得CM=BN,又∵∠OCM=∠OBN=45°,OC=OB,∴△OCM≌△OBN(SAS),∴OM=ON,∠COM=∠BON,∴∠DOC+∠COM=∠COB+∠BON,即∠DOM=∠CON,又∵DO=CO,∴△CON≌△DOM(SAS),故②正確;40/257∵∠BON+∠BOM=∠COM+∠BOM=90°,∴∠MON=90°,即△MON是等腰直角三角形,又∵△AOD是等腰直角三角形,∴△OMN∽△OAD,故③正確;∵AB=BC,CM=BN,∴BM=AN,又∵Rt△BMN中,BM2+BN2=MN2,∴AN2+CM2=MN2,故④正確;∵△OCM≌△OBN,∴四邊形BMON面積=△BOC面積=1,即四邊形BMON面積是定值1,∴當△MNB面積最大時,△MNO面積最小,設BN=x=CM,則BM=2-x,∴△MNB面積=

x(2-x)=-

x2+x,41/257∴當x=1時,△MNB面積有最大值

,此時,S△OMN最小值是1-

=

,故⑤正確.總而言之,正確結論個數是5,故選D.42/2573.(貴港,8,3分)以下命題中錯誤是

()A.兩組對角分別相等四邊形是平行四邊形B.矩形對角線相等C.對角線相互垂直四邊形是菱形D.對角線相互垂直平分且相等四邊形是正方形答案

C

A、B、D所述命題正確,C所述命題錯誤,故選C.43/2574.(賀州,18,3分)如圖,正方形ABCD邊長為12,點E在邊AB上,BE=8,過點E作EF∥BC,分別

交BD、CD于G、F兩點,若點P、Q分別為DG、CE中點,則PQ長為

.

答案2

44/257解析如圖所表示,過P作PM⊥CD于M,

過Q作QN⊥CD于N,過P作PH⊥QN于H.在正方形ABCD中,AB=CD=12,AD∥CB,∠ADC=∠BCD=90°,又EF∥BC,∴AD∥EF∥BC,∴EF⊥CD,∴PM∥EF∥QN.∴M、N分別為DF、FC中點,45/257∴MN=

CD=6,DM=

DF=2,NC=

FC=4,QN=

EF=6.又BD為正方形ABCD對角線,∴∠BDC=45°,∴PM=DM=2=HN.∴QH=6-2=4,∴PQ=?=

=2

.46/2575.(北海,16,3分)如圖,已知正方形ABCD邊長為4,對角線AC與BD相交于點O,點E在DC邊

延長線上,若∠CAE=15°,則AE=

.

答案8解析∵四邊形ABCD是正方形,∴∠BAC=45°,AB∥DC,∠ADC=90°,∴∠E=∠BAE=∠BAC-∠CAE=45°-15°=30°.∵在Rt△ADE中,∠ADE=90°,∠E=30°,∴AE=2AD=8.評析利用正方形性質求出∠E=30°是解題關鍵.47/2576.(南寧,16,3分)如圖,在正方形ABCD外側,作等邊△ADE,則∠BED度數為

°.

答案45解析∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAD=90°.∵三角形ADE為等邊三角形,∴AD=AE,∠DAE=∠AED=60°.∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°.∵AB=AE,∴∠AEB=∠ABE=(180°-∠BAE)÷2=15°.∴∠BED=∠DEA-∠AEB=60°-15°=45°.48/2577.(河池,22,8分)(1)如圖1,在正方形ABCD中,點E,F分別在BC,CD上,AE⊥BF于點M,求證:AE=BF;(2)如圖2,將(1)中正方形ABCD改為矩形ABCD,AB=2,BC=3,AE⊥BF于點M,探究AE與BF數

量關系,并證實你結論.

49/257解析(1)證實:∵四邊形ABCD是正方形,∴∠ABC=∠C,AB=BC.∵AE⊥BF,∴∠AMB=90°,∴∠BAM+∠ABM=90°,∵∠ABM+∠CBF=90°,∴∠BAM=∠CBF.在△ABE和△BCF中,

∴△ABE≌△BCF(ASA),∴AE=BF.(2)AB=

BC.證實:∵四邊形ABCD是矩形,∴∠ABC=∠C,∵AE⊥BF,50/257∴∠AMB=90°,∴∠BAM+∠ABM=90°,∵∠ABM+∠CBF=90°,∴∠BAM=∠CBF,∴△ABE∽△BCF,∴

=

=

,∴AB=

BC.51/257B組—年全國中考題組考點一矩形1.(甘肅蘭州,8,4分)如圖,矩形ABCD對角線AC與BD相交于點O,∠ADB=30°,AB=4,則OC

=

()

A.5

B.4

C.3.5

D.3答案

B因為四邊形ABCD為矩形,所以AC=BD,OC=

AC.已知∠ADB=30°,故在直角三角形ABD中,BD=2AB=8,所以AC=8,所以OC=

AC=4,故選B.52/2572.(四川成都,14,4分)如圖,在矩形ABCD中,按以下步驟作圖:①分別以點A和C為圓心,以大

于

AC長為半徑作弧,兩弧相交于點M和N;②作直線MN交CD于點E.若DE=2,CE=3,則矩形對角線AC長為

.

53/257答案

解析如圖,連接AE,由作圖方法得MN垂直平分AC,∴EA=EC=3.∴在Rt△ADE中,AD=

=

=

.∴在Rt△ADC中,AC=

=

=

.

思緒分析

連接AE,依據題中作圖方法,可得MN垂直平分AC,則EA=EC=3,用勾股定理先計

算出AD,再計算出AC,得解.解題關鍵

本題考查了矩形性質,基本作圖(作已知線段垂直平分線),勾股定理,識別基本

作圖并熟練應用勾股定理計算是解題關鍵.54/2573.(黑龍江哈爾濱,20,3分)如圖,在矩形ABCD中,M為BC邊上一點,連接AM,過點D作DE⊥

AM,垂足為E,若DE=DC=1,AE=2EM,則BM長為

.

答案

解析∵∠BAM+∠EAD=90°,∠EAD+∠EDA=90°,∴∠BAM=∠EDA.又∵∠B=∠AED=90°,∴△ADE∽△MAB.∴

=

,即

=

.∴AE=BM.由AE=2EM可設AE=2x,EM=x(x>0),則BM=2x,在Rt△ABM中,由勾股定理可知(2x+x)2=12+(2x)2,解得x=

(舍負),∴BM=2x=

.55/2574.(安徽,14,5分)如圖,在矩形紙片ABCD中,AB=6,BC=10.點E在CD上,將△BCE沿BE折疊,點

C恰落在邊AD上點F處;點G在AF上,將△ABG沿BG折疊,點A恰落在線段BF上點H處.有下

列結論:①∠EBG=45°;②△DEF∽△ABG;③S△ABG=

S△FGH;④AG+DF=FG.其中正確是

.(把全部正確結論序號都選上)

答案①③④56/257解析∵∠ABG=∠HBG,∠FBE=∠CBE,∠ABC=90°,∴∠EBG=45°,①正確;∵AB=6,BF=BC=10,∴AF=8,∴FD=AD-AF=10-8=2,設DE=x,則EF=CE=6-x,在Rt△DEF中,∵DF2+DE2=EF2,∴22+x2=(6-x)2,∴x=

,即DE=

,∴EF=

,∵BH=AB=6,∴HF=BF-BH=10-6=4,又易知Rt△DEF∽Rt△HFG,∴

=

,即

=

,57/257∴GF=5,∴AG=3,若△DEF∽△ABG,則

=

,但

≠

,故②不正確;∵BH=6,HF=4,∴S△BGH=

S△FGH,∵△ABG≌△HBG,∴S△ABG=

S△FGH,③正確;∵△FHG∽△EDF,∴

=

,∴

=

,∴FG=5,∴AG+DF=5,∴AG+DF=FG,④正確.58/2575.(天津,24,10分)在平面直角坐標系中,四邊形AOBC是矩形,點O(0,0),點A(5,0),點B(0,3),以

點A為中心,順時針旋轉矩形AOBC,得到矩形ADEF,點O,B,C對應點分別為D,E,F.(1)如圖a,當點D落在BC邊上時,求點D坐標;(2)如圖b,當點D落在線段BE上時,AD與BC交于點H.①求證△ADB≌△AOB;②求點H坐標;(3)記K為矩形AOBC對角線交點,S為△KDE面積,求S取值范圍(直接寫出結果即可).

圖a圖b59/257解析(1)∵點A(5,0),點B(0,3),∴OA=5,OB=3.∵四邊形AOBC是矩形,∴AC=OB=3,BC=OA=5,∠OBC=∠C=90°.∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋轉得到,∴AD=AO=5.在Rt△ADC中,有AD2=AC2+DC2,∴DC=

=

=4.∴BD=BC-DC=1.∴點D坐標為(1,3).(2)①證實:由四邊形ADEF是矩形,得∠ADE=90°.又點D在線段BE上,得∠ADB=90°.由(1)知,AD=AO,又AB=AB,∠AOB=90°,∴Rt△ADB≌Rt△AOB.60/257②由Rt△ADB≌Rt△AOB,得∠BAD=∠BAO.又在矩形AOBC中,OA∥BC,∴∠CBA=∠OAB.∴∠BAD=∠CBA.∴BH=AH.設BH=t(0<t<5),則AH=t,HC=BC-BH=5-t.在Rt△ACH中,有AH2=AC2+HC2,∴t2=32+(5-t)2,解得t=

.∴BH=

.∴點H坐標為

.(3)

≤S≤

.61/257思緒分析

(1)依據點坐標及旋轉性質得AD=AO=5,在直角△ACD中利用勾股定理可求

CD長,從而可確定D點坐標.(2)①依據直角三角形全等判定方法進行判定;②由①知∠

BAD=∠BAO,再依據矩形性質得∠CBA=∠OAB,從而∠BAD=∠CBA,故BH=AH,在Rt△ACH

中,利用勾股定理可求得AH長,得出H點坐標.(3)在矩形旋轉過程中,依據點K與直線DE

距離范圍即可確定S取值范圍.62/257提醒

如圖1,當矩形頂點D在線段AB上時,點K到直線DE距離最小,最小值為線段DK長,DK=AD-

AB=5-

,S=

DK·DE=

.

圖1如圖2,當矩形頂點D在BA延長線上時,點K到直線DE距離最大,最大值為線段DK長,63/257DK=AD+

AB=5+

,S=

DK·DE=

.所以

≤S≤

.

圖264/2576.(云南昆明,23,12分)如圖1,在矩形ABCD中,P為CD邊上一點(DP<CP),∠APB=90°,將△

ADP沿AP翻折得到△AD'P,PD'延長線交邊AB于點M,過點B作BN∥MP交DC于點N.(1)求證:AD2=DP·PC;(2)請判斷四邊形PMBN形狀,并說明理由;(3)如圖2,連接AC,分別交PM,PB于點E,F.若

=

,求

值.

65/257解析(1)證實:在矩形ABCD中,AD=BC,∠C=∠D=90°,∴∠DAP+∠APD=90°,∵∠APB=90°,∴∠CPB+∠APD=90°,∴∠DAP=∠CPB,

(1分)∴△ADP∽△PCB,∴

=

,

(2分)∴AD·CB=DP·PC.∵AD=BC,∴AD2=DP·PC.

(3分)(2)四邊形PMBN為菱形,理由以下:

(4分)在矩形ABCD中,CD∥AB,∵BN∥PM,∴四邊形PMBN為平行四邊形,66/257∵△ADP沿AP翻折得到△AD'P,∴∠APD=∠APM,∵CD∥AB,∴∠APD=∠PAM,∴∠APM=∠PAM,

(6分)∵∠APB=90°,∴∠PAM+∠PBA=90°,∠APM+∠BPM=90°,又∵∠APM=∠PAM,∴∠PBA=∠BPM,∴PM=MB.又∵四邊形PMBN為平行四邊形,∴四邊形PMBN為菱形.

(7分)(3)解法一:∵∠APM=∠PAM,∴PM=AM,67/257∵PM=MB,∴AM=MB,∵四邊形ABCD為矩形,∴CD∥AB且CD=AB,設DP=a,則AD=2DP=2a,由AD2=DP·PC得PC=4a,∴DC=AB=5a,

(8分)∴MA=MB=

,∵CD∥AB,∴∠ABF=∠CPF,∠BAF=∠PCF,∴△BFA∽△PFC,∴

=

=

=

,

(9分)∴

=

,同理可得△MEA∽△PEC,68/257∴

=

=

=

,∴

=

,

(10分)∴

=

-

=

-

=

,

(11分)∵

∶

=

,∴

=

∶

=

.

(12分)解法二:過點F作FG∥PM,交MB于點G.

∵∠APM=∠PAM,69/257∴PM=AM,∵PM=MB,∴AM=MB,∵四邊形ABCD為矩形,∴CD∥AB且CD=AB,設DP=a,則AD=2DP=2a,由AD2=DP·PC得PC=4a,∴DC=AB=5a,

(8分)∴MA=MB=

.∵CD∥AB,∴∠CPF=∠ABF,∠PCF=∠BAF,∴△PFC∽△BFA,∴

=

=

=

,

(9分)∵FG∥PM,70/257∴

=

=

,

(10分)∴

=

,∵AM=MB,∴

=

,∵FG∥PM,∴

=

=

.

(12分)71/257思緒分析

(1)依據矩形性質以及所給條件,證實△ADP∽△PCB,從而得AD2=DP·PC;(2)由

翻折得∠APD=∠APM,由等角余角相等得∠PBA=∠BPM,從而得PM=MB,進而易得四邊形

PMBN為菱形;(3)解法一:設DP=a,則可求得AD=2a,PC=4a,AB=5a,由CD∥AB,可得△BFA∽△

PFC,△MEA∽△PEC,所以

=

,

=

,進而可得

值.解法二:過點F作FG∥PM,交MB于點G,設DP=a,可求得AD=2a,PC=4a,AB=5a,MA=MB=

,依據CD∥AB,FG∥PM,AM=MB這些條件可求得

值.解題關鍵

本題主要考查了矩形性質,軸對稱,菱形判定,相同三角形判定與性質等知

識,題目綜合性強、計算量大,屬難題.解題關鍵在于從復雜條件中確定處理問題所需條

件,進而推理、論證、計算,使題目得以解答.72/257考點二菱形1.(陜西,8,3分)如圖,在菱形ABCD中,點E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD和DA中點,

連接EF、FG、GH和HE.若EH=2EF,則以下結論正確是

()

A.AB=

EF

B.AB=

EFC.AB=2EF

D.AB=

EF73/257答案

D如圖,連接AC、BD交于O,

∵四邊形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD,∵點E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD和DA中點,∴EF=

AC,EH=

BD,∵EH=2EF,∴BD=2AC,∴OB=2OA,∴AB=

=

OA,易知OA=EF,∴AB=

EF,故選D.思緒分析

首先依據菱形性質得到AC⊥BD,OA=OC,OB=OD,然后依據三角形中位線定理

得出EF=

AC,EH=

BD,進而得到OB=2OA,最終依據勾股定理求得AB=

OA,即得AB=

EF.74/2572.(河南,10,3分)如圖1,點F從菱形ABCD頂點A出發(fā),沿A→D→B以1cm/s速度勻速運

動到點B.圖2是點F運動時,△FBC面積y(cm2)隨時間x(s)改變關系圖象,則a值為

()

圖1

圖2A.

B.2

C.

D.2

75/257答案

C如圖,作DE⊥BC于點E,在菱形ABCD中,當F在AD上時,y=

BC·DE,即a=

·a·DE,∴DE=2.

由題意知DB=

,在Rt△DEB中,BE=

=1,∴EC=a-1.在Rt△DEC中,DE2+EC2=DC2,∴22+(a-1)2=a2.解得a=

.故選C.76/257思緒分析

當點F在AD上運動時,y不變,值為a,可求得菱形BC邊上高為2,由點F在BD上運

動時間為

,得出BD長,作出菱形BC邊上高,由勾股定理可求a值.解后反思

本題為菱形中動點和函數圖象問題,關鍵要依據菱形各邊都相等以及y意義

求出菱形BC邊上高和BD長,再結構直角三角形,用勾股定理求解.77/2573.(寧夏,5,3分)菱形ABCD對角線AC,BD相交于點O,E,F分別是AD,CD邊上中點,連接

EF.若EF=

,BD=2,則菱形ABCD面積為

()

A.2

B.4

C.6

D.8

答案

A因為E,F分別是AD,CD邊上中點,所以EF∥AC,且EF=

AC,所以AC=2EF=2

.所以S菱形ABCD=

AC·BD=

×2

×2=2

.故選A.78/2574.(北京,21,5分)如圖,在四邊形ABCD中,AB∥DC,AB=AD,對角線AC,BD交于點O,AC平分

∠BAD,過點C作CE⊥AB交AB延長線于點E,連接OE.(1)求證:四邊形ABCD是菱形;(2)若AB=

,BD=2,求OE長.

79/257解析(1)證實:∵AB∥CD,∴∠OAB=∠DCA.∵AC平分∠BAD,∴∠OAB=∠DAC,∴∠DCA=∠DAC,∴CD=AD.又∵AB=AD,∴AB=CD,∴四邊形ABCD為平行四邊形.又∵CD=AD=AB,∴四邊形ABCD為菱形.(2)∵四邊形ABCD為菱形,∴OA=OC,BD⊥AC.∵CE⊥AE,∴OE=AO=OC.∵BD=2,∴OB=

BD=1.在Rt△AOB中,AB=

,OB=1,∴OA=

=2,∴OE=2.80/2575.(遼寧沈陽,18,8分)如圖,在菱形ABCD中,對角線AC與BD交于點O,過點C作BD平行線,

過點D作AC平行線,兩直線相交于點E.(1)求證:四邊形OCED是矩形;(2)若CE=1,DE=2,則菱形ABCD面積是

.

81/257解析(1)證實:∵四邊形ABCD為菱形,∴AC⊥BD,∴∠COD=90°,∵CE∥OD,DE∥OC,∴四邊形OCED是平行四邊形,∵∠COD=90°,∴平行四邊形OCED是矩形.(2)4.思緒分析

(1)依據菱形對角線相互垂直可得∠COD=90°,依據平行四邊形及矩形定義可證.(2)依據平行四邊形對邊相等,可得OC=2,OD=1;依據菱形對角線相互垂直平分,可得BO=1,AO=

2,可求四個直角三角形面積均為1,菱形ABCD面積為4.82/2576.(新疆烏魯木齊,18,10分)如圖,在四邊形ABCD中,∠BAC=90°,E是BC中點,AD∥BC,AE

∥DC,EF⊥CD于點F.(1)求證:四邊形AECD是菱形;(2)若AB=6,BC=10,求EF長.

83/257解析(1)證實:∵AD∥BC,AE∥DC,∴四邊形AECD是平行四邊形.∵∠BAC=90°,E是BC中點,∴AE=CE=

BC,∴四邊形AECD是菱形.

(5分)(2)過點A作AH⊥BC于點H,

∵∠BAC=90°,AB=6,BC=10,∴AC=8,∵S△ABC=

BC·AH=

AB·AC,∴AH=

.∵點E是BC中點,BC=10,四邊形AECD是菱形,∴CD=CE=5.∵S?AECD=CE·AH=CD·EF,∴EF=AH=

.

(10分)84/257思緒分析

(1)先證四邊形AECD是平行四邊形,再由直角三角形斜邊上中線等于斜邊一

半即可證四邊形AECD是菱形;(2)過點A作AH⊥BC于點H,由三角形面積公式求出AH,再由

平行四邊形面積公式求出EF.85/2577.(江西,22,9分)在菱形ABCD中,∠ABC=60°,點P是射線BD上一動點,以AP為邊向右側作

等邊△APE,點E位置伴隨點P位置改變而改變.(1)如圖1,當點E在菱形ABCD內部或邊上時,連接CE,BP與CE數量關系是

,CE與AD

位置關系是

;(2)當點E在菱形ABCD外部時,(1)中結論是否還成立?若成立,請給予證實;若不成立,請說明

理由(選擇圖2,圖3中一個情況給予證實或說理);

(3)如圖4,當點P在線段BD延長線上時,連接BE,若AB=2

,BE=2

,求四邊形ADPE面積.圖486/257解析(1)相等(或BP=CE);垂直(或CE⊥AD).(2)成立.證實:如圖,連接AC,交BD于點O.

當點P在線段OD上時,∵四邊形ABCD為菱形,∠ABC=60°,∴AB=BC,∠ABD=30°,△ABC為等邊三角形,∴∠BAC=60°,AB=AC.∵△APE為等邊三角形,∴AP=AE,∠PAE=60°.∴∠BAC+∠PAC=∠PAE+∠PAC.87/257即∠BAP=∠CAE.在△APB與△AEC中,

∴△ABP≌△ACE,∴BP=CE,∠ACE=∠ABP=30°.∵△ACD為等邊三角形,∴∠ACE=∠DCE=30°,∴CE⊥AD.當點P在BD延長線上時,證實方法同第一個情況.(3)如圖,連接AC,CE,設AD與CE交于點M,

88/257由(2)可得△BAP≌△CAE,BP=CE,CE⊥AD,∠ACE=∠ABP=30°.∵△ABC為等邊三角形,∴∠ACB=60°,∴∠BCE=90°.∵BC=AB=2

,BE=2

,∴CE=

=

=8.∴BP=8.∵△ADC為等邊三角形,且邊長為2

,∴AM=

,CM=3.∴EM=8-3=5.∴AE=

=

=

=2

.∴S等邊△AEP=

×(2

)2=7

.設AC與BD交于點O,∵菱形ABCD邊長為2

,∴BD=6,AO=

,∴DP=8-6=2.∴S△ADP=

×2×

=

.∴S四邊形ADPE=7

+

=8

.89/257思緒分析

(1)依據菱形ABCD中,∠ABC=60°,可得△ABC和△ACD為等邊三角形,∠ABP=30°,

因為△APE為等邊三角形,可利用SAS證得△BAP≌△CAE,進而得出PB=EC,∠ABP=∠ACE=3

0°,深入得出∠DCE=∠ACE=30°,依據等邊三角形性質可得CE⊥AD;(2)結論依然成立,證

明方法同上;(3)首先依據AB=BC=2

,BE=2

,求出CE=BP=8,進而求出EM,AE長,最終分別求出△DAP和△PAE面積,即可得解.方法指導

幾何中類比探究關鍵在于找到處理每一問通法,類比探究第一問往往是特

殊圖形,處理方法可能不止一個,但總有一個方法是能夠照搬到后面幾問,其中所包括三角

形全等或相同,要尋找等量關系或添加輔助線均類似.同時,要注意挖掘題干中不變幾何

特征,依據特征尋方法.90/2578.(北京,22,5分)如圖,在四邊形ABCD中,BD為一條對角線,AD∥BC,AD=2BC,∠ABD=90°,E

為AD中點,連接BE.(1)求證:四邊形BCDE為菱形;(2)連接AC,若AC平分∠BAD,BC=1,求AC長.

91/257解析(1)證實:∵E為AD中點,∴AD=2ED.∵AD=2BC,∴ED=BC.∵AD∥BC,∴四邊形BCDE為平行四邊形.又∵在△ABD中,E為AD中點,∠ABD=90°,∴BE=ED,∴?BCDE為菱形.(2)設AC與BE交于點H,如圖.

∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB.∵AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC,92/257∴∠BAC=∠ACB,∴BA=BC,由(1)可知,BE=AE=BC,∴AB=BE=AE,∴△ABE為等邊三角形,∴∠BAC=30°,AC⊥BE,∴AH=CH.在Rt△ABH中,AH=AB·cos∠BAH=

,∴AC=2AH=

.93/257考點三正方形1.(河北,12,2分)用一根長為a(單位:cm)鐵絲,首尾相接圍成一個正方形.要將它按下列圖

方式向外等距擴1(單位:cm),得到新正方形,則這根鐵絲需增加

()

A.4cmB.8cmC.(a+4)cmD.(a+8)cm答案

B將正方形按如題圖所表示方式向外等距擴1cm得到新正方形,新正方形邊長

增加2cm,周長增加8cm,則這根鐵絲需增加8cm,故選B.94/2572.(天津,11,3分)如圖,在正方形ABCD中,E,F分別為AD,BC中點,P為對角線BD上一個

動點,則以下線段長等于AP+EP最小值是

()

A.AB

B.DE

C.BD

D.AF95/257答案

D在正方形ABCD中,連接CE、PC.

∵點A與點C關于直線BD對稱,∴AP=CP,∴AP+EP最小值為EC.∵E,F分別為AD,BC中點,∴DE=BF=

AD.∵AB=CD,∠ABF=∠ADC=90°,∴△ABF≌△CDE.∴AF=CE.故選D.96/257思緒分析

點A關于直線BD對稱點為點C,連接CE,AP+EP最小值就是線段CE長度;通

過證實△CDE≌△ABF,得CE=AF,即可得到PA+PE最小值等于線段AF長.解后反思

本題考查軸對稱,正方形性質,主要依據“兩點之間線段最短”.只要作出點A(或

點E)關于直線BD對稱點C(或G),再連接EC(或AG),所得線段長為兩條線段和最小值.97/2573.(湖北武漢,14,3分)以正方形ABCD邊AD作等邊△ADE,則∠BEC度數是

.答案30°或150°解析①當點E在正方形ABCD外時,如圖,

∵四邊形ABCD為正方形,△ADE為等邊三角形,∴AB=AD=AE,∠BAD=90°,∠AED=∠DAE=60°,∴∠BAE=150°,∴∠AEB=∠ABE=15°,同理可得∠DCE=∠DEC=15°,則∠BEC=∠AED-∠AEB-∠DEC=30°.98/257②當點E在正方形ABCD內時,如圖,∵四邊形ABCD為正方形,△ADE為等邊三角形,∴AB=AD=AE,∠BAD=90°,∠AED=∠DAE=60°,∴∠BAE=30°,∴∠AEB=∠ABE=75°,同理可得∠DCE=∠DEC=75°,則∠BEC=360°-∠AED-∠AEB-∠DEC=150°.綜上,∠BEC=30°或150°.解題關鍵

熟記正方形性質、等邊三角形性質并準確作圖是解題關鍵.易錯警示

此題沒有給出圖形,需按點E位置分類討論,學生往往只畫出點E在正方形外而導

致漏解.99/2574.(江西,12,3分)在正方形ABCD中,AB=6,連接AC,BD,P是正方形邊上或對角線上一點,若

PD=2AP,則AP長為

.答案2,

-

或2

100/257解析∵四邊形ABCD是正方形,AB=6,∴AC⊥BD,AC=BD=6

,OA=OD=3

.有三種情況:①點P在AD上時,

∵AD=6,PD=2AP,∴AP=

AD=2;②點P在AC上時,不妨設AP=x(x>0),則DP=2x,

在Rt△DPO中,由勾股定理得DP2=DO2+OP2,101/257即(2x)2=(3

)2+(3

-x)2,解得x=

-

(負值舍去),即AP=

-

;③點P在AB上時,∵∠PAD=90°,PD=2AP,∴∠ADP=30°,

∴AP=ADtan30°=6×

=2

.總而言之,AP長為2,

-

或2

.思緒分析

依據正方形性質得出AC⊥BD,AC=BD,OB=OA=OC=OD,畫出符合題意三種情

況,依據正方形性質、勾股定理及銳角三角函數求解即可.解題關鍵

熟記正方形性質,分析符合題意情況,并準確畫出圖形是解題關鍵.易錯警示

此題沒有給出圖形,需將點P位置分類討論,做題時,往往會因只畫出點P在正方

形邊上而致錯.102/2575.(山東青島,13,3分)如圖,在正方形ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,E為BC上一點,CE

=5,F為DE中點.若△CEF周長為18,則OF長為

.

答案

解析∵四邊形ABCD是正方形,∴BO=DO,BC=CD,∠BCD=90°.在Rt△DCE中,∵F為DE中

點,∴CF=

DE=EF=DF.∵△CEF周長為18,∴CE+CF+EF=18,又∵CE=5,∴CF+EF=18-5=13,∴DE=DF+EF=13,∴DC=

=12,∴BC=12,∴BE=12-5=7.在△BDE中,∵BO=DO,F為DE中點,∴OF為△BDE中位線,∴OF=

BE=

.103/2576.(北京,27,7分)如圖,在正方形ABCD中,E是邊AB上一動點(不與點A,B重合),連接DE,點

A關于直線DE對稱點為F,連接EF并延長交BC于點G,連接DG,過點E作EH⊥DE交DG延長

線于點H,連接BH.(1)求證:GF=GC;(2)用等式表示線段BH與AE數量關系,并證實.

104/257解析(1)證實:如圖,連接DF.

∵四邊形ABCD為正方形,∴DA=DC=AB,∠A=∠C=∠ADC=90°.又∵點A關于直線DE對稱點為F,∴△ADE≌△FDE,∴DA=DF=DC,∠DFE=∠A=90°,∴∠DFG=90°.在Rt△DFG和Rt△DCG中,105/257

∴Rt△DFG≌Rt△DCG(HL),∴GF=GC.(2)線段BH與AE數量關系:BH=

AE.證實:在線段AD上截取AM,使AM=AE,連接ME.

∵AD=AB,∴DM=BE.由(1)得∠1=∠2,∠3=∠4,106/257∵∠ADC=90°,∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°,∴2∠2+2∠3=90°,∴∠2+∠3=45°,∴∠EDH=45°.∵EH⊥DE,∴DE=EH,∵∠DEH=90°,∠A=90°,∴∠1+∠AED=90°,∠5+∠AED=90°,∴∠1=∠5.在△DME和△EBH中,

∴△DME≌△EBH(SAS),∴ME=BH.∵∠A=90°,AM=AE,107/257∴ME=

AE,∴BH=

AE.思緒分析

本題第(1)問需要經過正方形性質和軸對稱性質處理;本題第(2)問需要經過構

造全等三角形,利用等腰直角三角形性質處理.解題關鍵

處理本題第(2)問關鍵是要經過截取得到等腰直角三角形,并借助SAS證實三角

形全等,從而將BH和AE轉化到△AME中證實數量關系.108/2577.(陜西,19,7分)如圖,在正方形ABCD中,E、F分別為邊AD和CD上點,且AE=CF,連接

AF、CE交于點G.求證:AG=CG.

證實∵四邊形ABCD是正方形,∴∠ADF=∠CDE=90°,AD=CD.∵AE=CF,∴DE=DF.

(2分)∴△ADF≌△CDE.∴∠DAF=∠DCE.

(4分)又∵∠AGE=∠CGF,AE=CF,∴△AGE≌△CGF,∴AG=CG.

(7分)109/257C組教師專用題組考點一矩形1.(四川南充,8,3分)如圖,對折矩形紙片ABCD,使AB與DC重合得到折痕EF,將紙片展平;再

一次折疊,使點D落到EF上點G處,并使折痕經過點A,展平紙片后∠DAG大小為

()

A.30°

B.45°

C.60°

D.75°110/257答案

C如圖,依據第二次折疊可知,∠1=∠2,∠MGA=90°,由第一次折疊可知,MN=AN,即NG

是Rt△AMG中線,故AN=GN,所以∠2=∠3.又EF∥AB,所以∠3=∠4,故∠1=∠2=∠4,又因為

∠1+∠2+∠4=90°,所以∠1=∠2=∠4=30°,所以∠1+∠2=∠DAG=60°,故選C.

111/2572.(內蒙古呼和浩特,9,3分)已知矩形ABCD周長為20cm,兩條對角線AC,BD相交于點O,

過點O作AC垂線EF,分別交兩邊AD,BC于E,F(不與頂點重合),則以下關于△CDE與△ABF判

斷完全正確一項為

()A.△CDE與△ABF周長都等于10cm,但面積不一定相等B.△CDE與△ABF全等,且周長都為10cmC.△CDE與△ABF全等,且周長都為5cmD.△CDE與△ABF全等,但它們周長和面積都不能確定112/257答案

B∵AO=CO,EF⊥AC,即EF垂直平分AC,∴EA=EC,

∴△CDE周長=CD+DE+CE=CD+AD=10cm,同理可求出△ABF周長為10cm.在△AOE和△COF中,∵

∴△AOE≌△COF,∴AE=CF.∵AD=BC,∴DE=BF.113/257在△CDE和△ABF中,

∴△CDE≌△ABF,故選B.評析

本題考查了矩形性質,線段垂直平分線性質,全等三角形判定,屬輕易題.114/2573.(安徽,9,4分)如圖