復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)重點(diǎn)省公開課金獎(jiǎng)全國賽課一等獎(jiǎng)微課獲獎(jiǎng)?wù)n件

11/44一、重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：難點(diǎn)：1.復(fù)數(shù)運(yùn)算和各種表示法2.復(fù)變函數(shù)以及映射概念1.復(fù)數(shù)方程表示曲線以及不等式表示區(qū)域2.映射概念22/44二、內(nèi)容提要復(fù)數(shù)復(fù)變函數(shù)極限連續(xù)性代數(shù)運(yùn)算乘冪與方根復(fù)數(shù)表示法幾何表示法

向量表示法三角及指數(shù)表示法復(fù)球面復(fù)平面擴(kuò)充曲線與區(qū)域判別定理極限計(jì)算33/44

1.復(fù)數(shù)概念44/441)兩復(fù)數(shù)和2)兩復(fù)數(shù)積3)兩復(fù)數(shù)商2.復(fù)數(shù)代數(shù)運(yùn)算55/444)共軛復(fù)數(shù)實(shí)部相同而虛部絕對(duì)值相等符號(hào)相反兩個(gè)復(fù)數(shù)稱為共軛復(fù)數(shù).共軛復(fù)數(shù)性質(zhì)66/443.復(fù)數(shù)其它表示法（1）幾何表示法77/44（2）向量表示法復(fù)數(shù)模(或絕對(duì)值)88/44模性質(zhì)三角不等式復(fù)數(shù)輻角99/44輻角主值1010/44（3）三角表示法利用歐拉公式復(fù)數(shù)能夠表示成稱為復(fù)數(shù)z指數(shù)表示式.（4）指數(shù)表示法利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)關(guān)系復(fù)數(shù)能夠表示成1111/444.復(fù)數(shù)乘冪與方根1)乘積與商兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積模等于它們模乘積;兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積輻角等于它們輻角和.則有1212/44

幾何意義復(fù)數(shù)相乘就是把模相乘,輻角相加.從幾何上看,兩復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)向量分別為1313/44兩個(gè)復(fù)數(shù)商模等于它們模商;兩個(gè)復(fù)數(shù)商輻角等于被除數(shù)與除數(shù)輻角之差.則有1414/442)冪與根(a)n次冪:1515/44

(b)棣莫佛公式1616/445.復(fù)球面與擴(kuò)充復(fù)平面南極、北極定義(1)復(fù)球面1717/44球面上點(diǎn),除去北極N外,與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)之間存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.我們能夠用球面上點(diǎn)來表示復(fù)數(shù).我們要求:復(fù)數(shù)中有一個(gè)唯一“無窮大”與復(fù)平面上無窮遠(yuǎn)點(diǎn)相對(duì)應(yīng),記作.因而球面上北極N就是復(fù)數(shù)無窮大幾何表示.球面上每一個(gè)點(diǎn)都有唯一復(fù)數(shù)與之對(duì)應(yīng),這么球面稱為復(fù)球面.復(fù)球面定義1818/44包含無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)復(fù)平面稱為擴(kuò)充復(fù)平面.不包含無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)復(fù)平面稱為有限復(fù)平面,或簡(jiǎn)稱復(fù)平面.對(duì)于復(fù)數(shù)

來說,實(shí)部,虛部,輻角等概念均無意義,它模要求為正無窮大.(2)擴(kuò)充復(fù)平面定義1919/446.曲線與區(qū)域（1）鄰域（2）內(nèi)點(diǎn)2020/44假如G內(nèi)每一點(diǎn)都是它內(nèi)點(diǎn),那末G稱為開集.(4)區(qū)域假如平面點(diǎn)集D滿足以下兩個(gè)條件,則稱它為一個(gè)區(qū)域.(a)D是一個(gè)開集；(b)D是連通,即D中任何兩點(diǎn)都能夠用完全屬于D一條折線連結(jié)起來.(3)開集2121/44(5)邊界點(diǎn)、邊界

設(shè)D是復(fù)平面內(nèi)一個(gè)區(qū)域,假如點(diǎn)P不屬于D,但在P任意小鄰域內(nèi)總有D中點(diǎn),這么P點(diǎn)我們稱為D邊界點(diǎn).(7)有界區(qū)域和無界區(qū)域D全部邊界點(diǎn)組成D邊界.(6)區(qū)域D與它邊界一起組成閉區(qū)域.

閉區(qū)域

2222/44

沒有重點(diǎn)曲線C稱為簡(jiǎn)單曲線(或若爾當(dāng)曲線).(8)簡(jiǎn)單曲線2323/44(9)光滑曲線由幾段依次相接光滑曲線所組成曲線稱為按段光滑曲線.任意一條簡(jiǎn)單閉曲線C將復(fù)平面唯一地分成三個(gè)互不相交點(diǎn)集.簡(jiǎn)單閉曲線性質(zhì)2424/44(10)單連通域與多連通域復(fù)平面上一個(gè)區(qū)域B,假如在其中任作一條簡(jiǎn)單閉曲線,而曲線內(nèi)部總屬于B,就稱為單連通域.一個(gè)區(qū)域假如不是單連通域,就稱為多連通域.

從幾何上看，單連通域就是無洞、無割痕域.2525/447.復(fù)變函數(shù)概念(1)復(fù)變函數(shù)定義2626/44(2)映射定義2727/44函數(shù)極限定義注意:

8.復(fù)變函數(shù)極限2828/44極限計(jì)算定理2929/44與實(shí)變函數(shù)極限運(yùn)算法則類似.極限運(yùn)算法則3030/44（1）連續(xù)定義

9.復(fù)變函數(shù)連續(xù)性3131/44連續(xù)充要條件連續(xù)性質(zhì)3232/44有理整函數(shù)(多項(xiàng)式)有理分式函數(shù)特殊:在復(fù)平面內(nèi)使分母不為零點(diǎn)也是連續(xù).3333/44三、經(jīng)典例題3434/443535/44

其幾何意義是三角形任意一邊長大于其它兩邊邊長之差絕對(duì)值.3636/443737/44解3838/44解3939/44解4040/44例6滿足以下條件點(diǎn)組成何種圖形?是不是區(qū)域?若是區(qū)域請(qǐng)指出是單連通區(qū)域還是多連通區(qū)域.解

是實(shí)數(shù)軸,不是區(qū)域.

是以為界帶形單連通區(qū)域.解4141/44

是以為焦點(diǎn),以3為半長軸橢圓閉區(qū)域,它不是區(qū)域.

不是區(qū)域，因?yàn)閳D中解解在圓環(huán)內(nèi)點(diǎn)不是內(nèi)點(diǎn).4242/44例7函數(shù)將