2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)素養(yǎng)提升第7章立體幾何第1講空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其表面積和體積

最值問題1.(2023·安徽銅陵模擬)如圖是一座山的示意圖，山大致呈圓錐形，山腳呈圓形，半徑為2km，山高為2eq\r(15)km，B是山坡SA上一點，且AB＝2km.現(xiàn)要建設(shè)一條從A到B的環(huán)山觀光公路，這條公路從A出發(fā)后先上坡，后下坡，當(dāng)公路長度最短時，下坡路段長為3.6km.[解析]由題意，半徑為2km，山高為2eq\r(15)km，則母線SA＝eq\r(22＋2\r(15)2)＝8，底面圓周長2πr＝4π，所以展開圖的圓心角α＝eq\f(4π,8)＝eq\f(π,2)，如圖，是圓錐側(cè)面展開圖，結(jié)合題意，AB＝eq\r(82＋62)＝10，由點S向AB引垂線，垂足為點H，此時SH為點S和線段AB上的點連線的最小值，即點H為公路的最高點，HB段即為下坡路段，則SB2＝BH·AB，即36＝10·BH，得BH＝3.6km。下坡路段長度為3.6km.2．(2022·全國乙卷)已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時，其高為(C)A.eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(\r(2),2)[解析]設(shè)該四棱錐底面為四邊形ABCD，四邊形ABCD所在小圓半徑為r，設(shè)四邊形ABCD對角線夾角為α，則SABCD＝eq\f(1,2)·AC·BD·sinα≤eq\f(1,2)·AC·BD≤eq\f(1,2)·2r·2r＝2r2(當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABCD為正方形時等號成立)即當(dāng)四棱錐的頂點O到底面ABCD所在小圓距離一定時，底面ABCD面積最大值為2r2，又r2＋h2＝1，則VO－ABCD＝eq\f(1,3)·2r2·h＝eq\f(\r(2),3)eq\r(r2·r2·2h2)≤eq\f(\r(2),3)eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r2＋r2＋2h2,3)))3)＝eq\f(4\r(3),27)，當(dāng)且僅當(dāng)r2＝2h2即h＝eq\f(\r(3),3)時等號成立，故選C.3．(2024·江蘇部分重點中學(xué)聯(lián)考)設(shè)A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點，△ABC為等邊三角形且其面積為9eq\r(3)，則三棱錐D－ABC體積的最大值為18eq\r(3).[解析]設(shè)△ABC的中心為O′，三棱錐D－ABC外接球的球心為O，則三棱錐體積最大，即點D，O′，O共線，此時OO′⊥平面ABC，如圖，由題意知△ABC的邊長x滿足eq\f(\r(3),4)x2＝9eq\r(3)，故x＝6，所以AO′＝2eq\r(3)，DO＝AO＝4，故OO′＝eq\r(AO2－AO′2)＝eq\r(16－12)＝2，故三棱錐的高DO′＝DO＋OO′＝6，所以V＝eq\f(1,3)×9eq\r(3)×6＝18eq\r(3).名師點撥：立體幾何中最值問題的解法1．觀察圖形特征，確定取得最值的條件，計算最值．2．設(shè)出未知量建立函數(shù)關(guān)系，利用基本不等式或?qū)?shù)計算最值．3．幾何體表面兩點間路程最值問題，“展平”處理．轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)兩點間距離問題．【變式訓(xùn)練】1．在正三棱錐S－ABC中，SA＝SB＝SC＝1，∠ASB＝∠ASC＝∠BSC＝30°，一只螞蟻從點A出發(fā)沿三棱錐的表面爬行一周后又回到A點，則螞蟻爬過的最短路程為eq\r(2).[解析]將正三棱錐S－ABC沿棱SA展開，得到如下圖形，由展開圖可得，沿AA1爬行時，路程最短；因為SA＝1，∠ASB＝∠ASC＝∠BSC＝30°，所以∠ASA1＝90°，因此AA1＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2).2．(2024·江蘇淮安調(diào)研)球M是圓錐SO的內(nèi)切球，若球M的半徑為1，則圓錐SO體積的最小值為(C)A.eq\f(4,3)π B．eq\f(4\r(2),3)πC．eq\f(8,3)π D．4π[解析]設(shè)圓錐的高SO＝h，底面圓的半徑為r，則eq\f(1,r)＝eq\f(h－1,\r(h2＋r2))，∴r2＝eq\f(h,h－2).∴VOS＝eq\f(π,3)r2h＝eq\f(π,3)eq\f(h2,h－2)＝eq\f(π,3)eq\b\