2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)考點(diǎn)突破第8章平面解析幾何第10講圓錐曲線-定點(diǎn)定值探究性問(wèn)題考點(diǎn)2定直線問(wèn)題

定直線問(wèn)題(2023·全國(guó)新課標(biāo)Ⅱ卷)已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為(－2eq\r(5)，0)，離心率為eq\r(5).(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，過(guò)點(diǎn)(－4,0)的直線與C的左支交于M，N兩點(diǎn)，M在第二象限，直線MA1與NA2交于點(diǎn)P.證明：點(diǎn)P在定直線上．[解析](1)設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知c＝2eq\r(5)，則由e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5)可得a＝2，b＝eq\r(c2－a2)＝4，雙曲線方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1.(2)由(1)可得A1(－2,0)，A2(2,0)，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，顯然直線MN的斜率不為0，所以設(shè)直線MN的方程為x＝my－4，且－eq\f(1,2)<m<eq\f(1,2)，與eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1聯(lián)立可得(4m2－1)y2－32my＋48＝0，且Δ＝64(4m2＋3)>0，則y1＋y2＝eq\f(32m,4m2－1)，y1y2＝eq\f(48,4m2－1)，直線MA1的方程為y＝eq\f(y1,x1＋2)(x＋2)，直線NA2的方程為y＝eq\f(y2,x2－2)(x－2)，聯(lián)立直線MA1與直線NA2的方程可得：eq\f(x＋2,x－2)＝eq\f(y2x1＋2,y1x2－2)＝eq\f(y2my1－2,y1my2－6)＝eq\f(my1y2－2y1＋y2＋2y1,my1y2－6y1)＝eq\f(m·\f(48,4m2－1)－2·\f(32m,4m2－1)＋2y1,m×\f(48,4m2－1)－6y1)＝eq\f(\f(－16m,4m2－1)＋2y1,\f(48m,4m2－1)－6y1)＝－eq\f(1,3)，由eq\f(x＋2,x－2)＝－eq\f(1,3)可得x＝－1，即xP＝－1，據(jù)此可得點(diǎn)P在定直線x＝－1上運(yùn)動(dòng)．名師點(diǎn)撥：求解定點(diǎn)、定直線問(wèn)題常用的方法1．“特殊探路，一般證明”，即先通過(guò)特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目標(biāo)的一般性證明．2．“一般推理，特殊求解”，即先由題設(shè)條件得出曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到定點(diǎn)坐標(biāo)．3．求證直線過(guò)定點(diǎn)(x0，y0)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程y－y0＝k(x－x0)來(lái)證明．【變式訓(xùn)練】(2024·山西大同調(diào)研)從雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上一點(diǎn)P向x軸作垂線，垂足恰為左焦點(diǎn)F1，點(diǎn)A1，A2分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)b))，且A2B∥OP，|F1A2|＝2＋eq\r(3).(1)求雙曲線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)(2eq\r(3)，0)作直線l分別交雙曲線左右兩支于C，D兩點(diǎn)，直線A1C與直線A2D交于點(diǎn)M，證明：點(diǎn)M在定直線上．[解析](1)有題意可知Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，\f(b2,a)))，A2(a,0)，因?yàn)锳2B∥OP，所以－eq\f(b2,ac)＝－eq\f(b,2a)，即c＝2b，所以a＝eq\r(3)b.因?yàn)閨F1A2|＝2＋eq\r(3)，所以a＋c＝(2＋eq\r(3))b＝2＋eq\r(3)，所以b＝1，c＝2，a＝eq\r(3)所以雙曲線的方程為eq\f(x2,3)－y2＝1.(2)設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)，直線CD：x＝ty＋2eq\r(3)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,3)－y2＝1，,x＝ty＋2\r(3)，))可得，(t2－3)y2＋4eq\r(3)ty＋9＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t2－3≠0，,Δ>0，,\f(9,t2－3)>0，))可得t>eq\r(3)或t<－eq\r(3).所以y1＋y2＝eq\f(－4\r(3)t,t2－3)，y1·y2＝eq\f(9,t2－3).直線A1C：y＝eq\f(y1,x1＋\r(3))(x＋eq\r(3))①直線A2D：y＝eq\f(y2,x2－\r(3))(x－eq\r(3))②y1·y2＝－eq\f(9,4\r(3)t)(y1＋y2)③由①÷②可得eq\f(x＋\r(3),x－\r(3))＝eq\f(y2x1＋\r(3),y1x2－\r(3))＝eq\f(y2ty1＋3\r(3),y1ty2＋\r(3))＝eq\f(ty1y2＋3