2022年全國高考乙卷數(shù)學（理）試題變式題17-20題-（解析版）

2022年全國高考乙卷數(shù)學(理)試題變式題17-20

題

原題17

1.記ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sinCsin(A—B)=sin<sin(C-A).

⑴證明:2/=層+/；

25

(2)若“=5,cosA=不，求：A8C的周長.

變式題1基礎

2.在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，8，。，且

cos2A+sinAsinB=cos2C+sin2B.

(I)求角C；

(11)若。=①，且A48c的面積是56,求AABC的周長.

變式題2基礎

3.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,且

(sinA-sinC)~=sin2B-sinAsinC.

(1)求sinB；

(2)若a=2c,且4ABC的面積為26，求^ABC的周長.

變式題3基礎

4.已知A5C中，a,b,c分別為角A,B,C的對邊，a(sinA-sinB)+/>sinB=csinC.

(1)求角C的大小；

(2)若°=9，且,ABC的面積為3相，求的周長.

變式題4鞏固

5.在,ABC中內(nèi)角A,B,C的對邊分別為“，b,c,且(2。-。八(》8=尻€?。.

(1)求角8的大小；

(2)若〃=8,用/C的面積為3百，求..4?C的周長.

變式題5鞏固

6.在-ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a+b=2c(cosA+cos8).

(1)求角C的大小；

⑵若b=3a+l,b2=c2+10,求；ABC的周長.

變式題6鞏固

7.在.ABC中，sinB=asinA-(Z?+c)sinC

(1)求角4的大小

⑵若BC邊上的中線AD=26,且S.C=26,求=AfiC的周長

變式題7鞏固

8.ABC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c且/?cos4+也從抽A=c+a.

(1)求B；

⑵若b=2,MC的面積為求a,c.

變式題8提升

9.已知ABC的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為小b,c,且滿足

sin2A+sin2C-sin23=2sinA?sinC?cos2B?

⑴求以

(2)若2sinA+sinCh=2^3,求.ABC的周長.

2

變式題9提升

10.在工ABC中，內(nèi)角A6,C的對邊分別為a也c,且

asinA=c(sinC-2sinB)+/?(sinC+sinB).

(1)求角A；

(2)若ABC為銳角三角形，求&("-c)的取值范圍.

2a

變式題10提升

11.在.ABC中，內(nèi)角A,8,C的對邊分別為a,b,c,且cos2C=sin2A+cos2B+sinAsinC.

(1)求角8的大??；

(2)若匕=26，角2的角平分線交AC于。，且80=1,求43c的周長.

原題18

12.如圖，四面體ABC。中，AD±CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,E為AC的中點.

試卷第2頁，共15頁

(1)證明：平面BE。平面AC。；

(2)設48=8。=2,/4)=60。，點尸在8￡＞上，當△AFC的面積最小時，求CF與平面

所成的角的正弦值.

變式題1基礎

13.如圖，四棱錐P-A3CD中，PAA,nABCD,

ABYAD,AB//CD,PD=AB=2AD=2CD=2,E為以上一點，且3PE=2%.

(1)證明：平面EBC_L平面以C；

(2)求直線P8與平面8EC所成角的正弦值.

變式題2基礎

14.如圖，四邊形4BC￡)中，滿足AB〃C￡),ZABC=90°,AB=\,BC=6，CD=2,

將.B4C沿AC翻折至△P4C,使得PD=2.

R

CD

(1)求證：平面PAC_L平面AC￡＞；

(II)求直線C￡＞與平面PAD所成角的正弦值.

變式題3基礎

15.如圖，正三棱柱48C-AAC的高和底面邊長均為2,點P,。分別為AA，8c的

(1)證明：平面AQC，平面BCG片;

(2)求直線BP與平面AQG所成角的正弦值.

變式題4鞏固

16.如圖，A8是圓。的直徑，PAL圓0所在的平面，C為圓周上一點，。為線段PC

的中點，ZCBA=30°,AB=2PA.

(1)證明：平面A8￡)_L平面PBC.

(2)若G為A￡＞的中點，求直線CG與平面PBG所成角的正弦值.

變式題5鞏固

17.如圖，四棱錐P-A8CD的底面是正方形，P￡＞J_底面ABCO,點E在棱尸8上.

試卷第4頁，共15頁

⑴求證：平面AECJ?平面尸。8;

(2)當PO=0,48=1,E為H3的中點時，求直線AE與平面PBC所成角的正弦值.

變式題6鞏固

18.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面A8C。是矩形，AD_L平面COP,PD=CD,

DE=PE,且NPCD=30°.

(1)求證：平面ADEJ■平面48CO；

(2)若CZ)=3,AD=2,求直線PB與平面AOP所成角的正弦值.

變式題7提升

19.如圖所示，四棱柱A8CO-A4GA中，底面ABC。是以A&CD為底邊的等腰梯形,

且48=2AD=4,ZDAB=60",AO1DtD.

(I)求證：平面，平面ABC。；

(II)若。。=。乃=2,求直線AB與平面BCG與所成角的正弦值.

變式題8提升

20.如圖，在四棱錐P-A8CZ)中，底面ABC。是圓內(nèi)接四邊形.A￡>=CD=3P=1,

AB=BC=BP=6,DPIAC.

(1)求證：平面ACP_L平面A8C￡＞；

(2)若點E在8cp內(nèi)運動，且AE〃平面COP,求直線AE與平面BCP所成角的正弦

值的最大值.

變式題9提升

21.如圖，P為圓錐的頂點，。是圓錐底面的圓心，AC為底面直徑，△A3。為底面圓

。的內(nèi)接正三角形，且邊長為E在母線PC上，￡LAE=?CE=1,ECLBD.

(1)求證：平面8￡D_L平面

(2)設線段PO上動點為M,求直線。0與平面ME所成角的正弦值的最大值.

原題19

22.某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山.為估計一林區(qū)某種樹木的

總材積量，隨機選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積(單位：m?)和材

積量(單位：nP),得到如下數(shù)據(jù)：

總

樣本號i12345678910

和

根部橫截面

0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

積玉

材積量％0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

試卷第6頁，共15頁

101010

并計算得Zx：=0.038,Z），：=1.6158,Zw=0.2474.

i=li=li=l

（1）估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；

（2）求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關系數(shù)（精確到0.01）；

（3）現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積

總和為186m，已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比.利用以上數(shù)據(jù)給出該

林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值.

支（%一元）（乂-9）____

附：相關系數(shù)，=IJ“，/標。1.377.

柩（X「君2名⑶「勢2

Vi=li=l

變式題1基礎

23.為促進新能源汽車的推廣，某市逐漸加大充電基礎設施的建設，該市統(tǒng)計了近五年

新能源汽車充電站的數(shù)量（單位：個），得到如下表格：

年份編號X12345

年份20162017201820192020

新能源汽車充電站數(shù)量力個37104147196226

（1）已知可用線性回歸模型擬合）’與x的關系，請用相關系數(shù)加以說明；

（2）求y關于X的線性回歸方程，并預測2024年該市新能源汽車充電站的數(shù)量.

555

參考數(shù)據(jù)：2>=710，1>/=260（）,2（%-刃-=149.89,V10?3.16.

1=11=11=1

￡住-磯必一可

參考公式：相關系數(shù)r=六----------------

砂-通-可

,A刃％-磯%-?。?/p>

回歸方程a="+&中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為；b=上-------；—,

/=1

a=y-bx.

變式題2基礎

24.2022年2月4日北京冬奧運會正式開幕，“冰墩墩”作為冬奧會的吉祥物之一，受到

各國運動員的“追捧”，成為新晉“網(wǎng)紅”，尤其在我國，廣大網(wǎng)友紛紛倡導“一戶一墩”，

為了了解人們對“冰墩墩'’需求量，某電商平臺采用預售的方式，預售時間段為2022年2

月5日至2022年2月20日，該電商平臺統(tǒng)計了2月5日至2月9日的相關數(shù)據(jù)，這5

天的第X天到該電商平臺參與預售的人數(shù)y（單位：萬人）的數(shù)據(jù)如下表:

日期2月5日2月6日2月7日2月8日2月9日

第X天12345

人數(shù)y（單位：萬人）4556646872

（I）依據(jù)表中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，請判斷該電商平臺的第X天與到該電商平臺參與預售的人數(shù)y

（單位：萬人）是否具有較高的線性相關程度？（參考：若0.30<卜|<0.75,則線性相

關程度一般，若卜|20.75,則線性相關程度較高，計算,時精確度為0.（）1）

（2）求參與預售人數(shù)V與預售的第x天的線性回歸方程；用樣本估計總體，請預測2022

年2月20日該電商平臺的預售人數(shù)（單位：萬人）.

55_

參考數(shù)據(jù)：Z（M-A）=460，Z（匕-T）（%-方=66，A=6.78,附：相關系數(shù)

1=1<=1

可（%-刃￡&-可（必-9）

r=曰“,b=上，----,a=y-bx

、愎D藝（y廣于力（%到

變式題3基礎

25.應對嚴重威脅人類生存與發(fā)展的氣候變化，其關鍵在于“控碳”，其必由之路是先實

現(xiàn)“碳達峰”，而后實現(xiàn)“碳中和”，2020年第七十五屆聯(lián)合國大會上，我國向世界鄭重承

諾：爭在2030年前實現(xiàn)“碳達峰”，努力爭取在2060年前實現(xiàn)“碳中和”，近年來，國家

積極發(fā)展新能源汽車，某品牌的新能源汽車某區(qū)域銷售在2021年11月至2022年3月

這5個月的銷售量》（單位：百輛）的數(shù)據(jù)如下表：

2021年112021年122022年12022年22022年3

月份

月月月月月

月份代碼：X12345

銷售量y（單位：百

4556646872

輛）

（1）依據(jù)表中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，請判斷月份代碼x與該品牌的新能源汽車區(qū)域銷售量丫（單位;

百輛）是否具有較高的線性相關程度？（參考：若0.30<卜|<0.75,則線性相關程度一般，

試卷第8頁，共15頁

若卜白0.75,則線性相關程度較高，計算，?時精確度為0.01.

(2)求銷售量y與月份代碼X之間的線性回歸方程，并預測2022年4月份該區(qū)域的銷售

量(單位：百輛)

參考數(shù)據(jù)：》()：->)=460,￡(七-))=66,5/46?6.78,參考公式：相關系

1=1日'

X(x,-x)(y;->j

數(shù)一=IJ、2，2,

Vi=li=l

Yx^-nxyX[x;-x)(y(-y)

線性回歸方程與=舐+》中，人=與------ZT=口----——，令=亍一版，其中1

;=1/=!

亍為樣本平均值.

變式題4鞏固

26.某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，人工栽培和野生植物數(shù)量不斷增加.

為調(diào)查該地區(qū)某種植物的數(shù)量，將其分成面積相近的150個地塊，從這些地塊中用簡單

隨機抽樣的方法抽取15個作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(七,必)(i=l,2,…，15),

其中占和乂?分別表示第，,個樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種植物的數(shù)量，并

計算得￡>=45,￡>,=10500,￡(占一寸=60,￡(y-?=8000,

/=1i=li=ii=l

可(%-刃=600.

?=1

(1)求該地區(qū)這種植物數(shù)量的估計值(這種植物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種植物數(shù)量的平

均數(shù)乘以地塊數(shù))；

(2)求樣本(應/.)(i=l,2,15)的相關系數(shù)(精確到0.01)；

(3)根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該

地區(qū)這種植物數(shù)量更準確的估計，請給出一種你認為更合理的抽樣方法，并說明理由.

￡(—)(一)

附：相關系數(shù)'=I,,,6=1.732.

[(—)》(一)2

Vf=li=l

變式題5鞏固

27.當今社會面臨職業(yè)選擇時，越來越多的青年人選擇通過創(chuàng)業(yè)、創(chuàng)新的方式實現(xiàn)人生

價值.小明是一名剛畢業(yè)的大學生，通過直播帶貨的方式售賣自己家鄉(xiāng)的特產(chǎn)，下面是

他近5個月的家鄉(xiāng)特產(chǎn)收入y(單位：萬元)情況，如表所示.

月份56789

時間代號f12345

家鄉(xiāng)特產(chǎn)收入y32.42.221.8

（1）根據(jù)5月至9月的數(shù)據(jù)，求y與，之間的線性相關系數(shù)（精確到0.001）,并判斷相關

性；

（2）求出），關于，的回歸直線方程（結果中B保留兩位小數(shù)），并預測10月收入能否突破

1.5萬元，請說明理由.

附：相關系數(shù)公式：，‘=/匚==—I/1（若吊＞075,

則線性相關程度很強，可用線性回歸模型擬合）②一組數(shù)據(jù)（A,匕），（巧,幾），…，（%,％）,

〃__

^x^-nxy

其回歸直線方程與dx+g的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為〃=上^------）

%?-nx一2

E1=1

a=y-爪.③參考數(shù)據(jù)：＞/848?2.91.

變式題6鞏固

28.第24屆冬奧會于2022年2月4日在北京市和張家口市聯(lián)合舉行，此項賽事大大激

發(fā)了國人冰雪運動的熱情.某滑雪場在冬奧會期間開業(yè)，下表統(tǒng)計了該滑雪場開業(yè)第x

天的滑雪人數(shù)y（單位：百人）的數(shù)據(jù).

天數(shù)代碼X1234567

滑雪人數(shù)y（百人）11131615202123

（1）根據(jù)第1至7天的數(shù)據(jù)分析，可用線性回歸模型擬合y與x的關系，請用相關系數(shù)加

以說明（保留兩位有效數(shù)字）；

（2）經(jīng)過測算，若一天中滑雪人數(shù)超過3000人時，當天滑雪場可實現(xiàn)盈利，請建立y關

于x的回歸方程，并預測該滑雪場開業(yè)的第幾天開始盈利.

附注：參考公式：=532￡（為一號2￡（%_習:57.5.

i=lV（=1'i=l'

試卷第10頁，共15頁

參考公式：①對于一組數(shù)據(jù)（%,匕），（電，彩），…，其相關系數(shù)

2（%-“）（%-?）

~聞，叫*，?丁

②對于一組數(shù)據(jù)（%,匕），（的，％），…，（〃“，咽，其回歸直線v=a+加的斜率和截距的

最小二乘估計分別為：人=『——

72>S=v—%u-

/=1

變式題7提升

29.如今我們的互聯(lián)網(wǎng)生活日益豐富，除了可以很方便地網(wǎng)購，網(wǎng)絡外賣也開始成為不

少人日常生活中不可或缺的一部分.某市一調(diào)查機構針對該市市場占有率最高的甲、乙

兩家網(wǎng)絡外賣企業(yè)（以下簡稱外賣甲、外賣乙）的經(jīng)營情況進行了調(diào)查，調(diào)查結果如下

表:

日期12345

外賣甲日接單量X/百單529811

外賣乙日接單量y/百單2.22.310515

（1）據(jù)統(tǒng)計表明y與x之間具有線性相關關系.

（i）請用樣本相關系數(shù)「加以說明；（若舊＞。-75,則可認為y與x有較強的線性相關關

系）

（ii）經(jīng)計算求得y與x之間的經(jīng)驗回歸方程為y=L382x-2.774,假定每單外賣企業(yè)平

均能獲純利潤3元，試預測當外賣乙日接單量不低于2500單時，外賣甲所獲取的日純

利潤的最小值.（結果精確到0.01）

（2）試根據(jù)表格中這五天的日接單量情況，從平均值和方差角度說明這兩家外賣企業(yè)的經(jīng)

營狀況.

參考數(shù)據(jù)：￡(%-x)(y,-y)=69.1,￡（占7）2\歸（%一討:

78.

/=1

變式題8提升

30.某企業(yè)計劃新購買100臺設備，并將購買的設備分配給100名年齡不同（視為技術

水平不同）的技工加工一批模具，因技術水平不同而加工出的產(chǎn)品數(shù)量不同，故產(chǎn)生的

經(jīng)濟效益也不同.若用變量X表示不同技工的年齡，變量y為相應的效益值（元），根據(jù)

以往統(tǒng)計經(jīng)驗，他們的工作效益滿足最小二乘法，且y關于x的線性回歸方程為

y=1.2x4-40.6.

(1)試預測一名年齡為52歲的技工使用該設備所產(chǎn)生的經(jīng)濟效益；

(2)試根據(jù)『的值判斷使用該批設備的技工人員所產(chǎn)生的的效益與技工年齡的相關性強

弱(0.75引仁1,則認為>與x線性相關性很強；|r|<0.75,則認為丫與x線性相關性不

強)；

(3)若這批設備有AB兩道獨立運行的生產(chǎn)工序，且兩道工序出現(xiàn)故障的概率依次是

0.02,0.03.若兩道工序都沒有出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本不增加；若A工序出現(xiàn)故障，則

生產(chǎn)成本增加2萬元；若8工序出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加3萬元；若AB兩道工序都

出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加5萬元.求這批設備增加的生產(chǎn)成本的期望.

參考數(shù)據(jù)：￡(X,-X)2=121.2包-到=225.

1=1t=l

參考公式：回歸直線9=4+Ax的斜率和截距的最小二乘估計分別為

可（%-刃

八—>?*—>?________

ba=y-bx-Ii=l=~~]〃

Yxj-rix2￡（士-丁『f/tL暖

變式題9提升

31.人工智能教育是將人工智能與傳統(tǒng)教育相結合，借助人工智能和大數(shù)據(jù)技術打造的

智能化教育生態(tài).為了解我國人工智能教育發(fā)展狀況，通過中國互聯(lián)網(wǎng)數(shù)據(jù)平臺得到我

國2015年—2020年人工智能教育市場規(guī)模統(tǒng)計圖.如圖所示，若用x表示年份代碼(2015

年用1表示，2016年用2表示，依次類推)，用y表示市場規(guī)模(單位：億元)，試回答:

(1)根據(jù)條形統(tǒng)計圖中數(shù)據(jù)，計算變量y與x的相關系數(shù)r,并用，?判斷兩個變量y與x

相關關系的強弱(精確到小數(shù)點后2位)；

(2)若y與x的相關關系擬用線性回歸模型表示，試求)，關于x的線性回歸方程，并據(jù)此

預測2022年中國人工智能教育市場規(guī)模(精確到1億元).

試卷第12頁，共15頁

Ea，?一于)(％一刃E-國

附：線性回歸方程》=gx+a,其中B-----------T---------；

Y.xr-nx2

i=\i=\

—“—〃

Z(x；一元)(y-y)^x^.-rixy

相關系數(shù)'=/?i-?=I?i?;

2

唇皿2-寸唇-前唇"

參考數(shù)據(jù)：E%=5724,之x,y=267349(%-y)2=200標.

1=1z=l\i=l

原題20

32.已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸、y軸，且過4(0,-2),4|,-1)兩點.

⑴求E的方程；

(2)設過點尸(1,-2)的直線交E于M,N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段A3交于

點T,點H滿足MT=7W.證明：直線HN過定點.

變式題1基礎

33.已知橢圓C的中心在原點，對稱軸為坐標軸，橢圓C與直線2x+y=4相切于點

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)若直線/：y=H+f與橢圓相交于A、8兩點(A,8不是長軸端點)，且以A3為直

徑的圓過橢圓C在丫軸正半軸上的頂點，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標.

變式題2基礎

34.橢圓C的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，過C的長軸，短軸端點的一條直線方

程是x+V2y-2=0.

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點尸(0,2)作直線交橢圓C于A,B兩點，若點B關于)'軸的對稱點為8',證明

直線A"過定點.

變式題3基礎

2

35.已知橢圓氏1+l(a〉〃>0)過點其右頂點為A,下頂點為且

aF

|AB|=V5,若作與y軸不重合且不平行的直線/交橢圓E于只Q兩點，直線8P,8。分別

與x軸交于M,N兩點.

(I)求橢圓E的方程:

(2)當點的橫坐標的乘積是:4時，試探究直線/是否過定點？若過定點，請求出

定點；若不過定點，請說明理由.

變式題4鞏固

22

36.已知尸是橢圓C:=+[=im＞8＞0)的左焦點，焦距為4,且C過點P(G,1).

crb'

(1)求C的方程；

(2)過點F作兩條互相垂直的直線12,若//與C交于A,B兩點,12與C交于D,E

兩點，記A3的中點為M,的中點為M試判斷直線是否過定點，若過點，請求

出定點坐標；若不過定點，請說明理由.

變式題5鞏固

22

37.已知橢圓C:￡+}=l(a＞。＞0)經(jīng)過點M(2,0)和點N卜拒,l).

(1)求橢圓C的標準方程和離心率；

⑵若A、5為橢圓C上異于點M的兩點，且點M在以A3為直徑的圓上，求證：直線A8

恒過定點.

變式題5鞏固

38.已知橢圓cJ+2=l(a＞10)經(jīng)過點(段)，其右頂點為A(2,0).

(1)求橢圓C的方程；

(2)若點尸、。在橢圓C上，且滿足直線AP與AQ的斜率之積為京，證明直線PQ經(jīng)過

定點.

變式題7提升

22

39.已知橢圓了：[+2=1(〃＞人＞0)經(jīng)過以下四個不同點中的某三個點：

ah~

B(-；,與,C(-l,l),。(|,筌).

(1)求橢圓T的方程；

(2)將橢圓T上所有點的縱坐標縮短為原來的也倍，橫坐標不變，得到橢圓￡己知

2

M,N兩點的坐標分別為(0,1),(0,T),點F是直線)=2上的一個動點，且直線FM,

FN分別交橢圓E于G,H(G,”分別異于M,N點)兩點，試判斷直線G"是否恒過

定點？若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由.

變式題8提升

22

40.已知橢圓C：[+2=1的左、右頂點分別為A,B,。為坐標原點，

a'b-

試卷第14頁，共15頁

直線/：x=l與C的兩個交點和。，8構成一個面積為癡的菱形.

⑴求C的方程；

(2)圓E過。，B,交/于點N,直線A",AN分別交C于另一點P,Q.

①求心>4。的值；

②證明：直線PQ過定點.

變式題8提升

41.已知橢圓C：%，=1(。>6>0)過點+用，且點A到橢圓C的右頂點的距

離為叵

2

⑴求橢圓C的方程；

(2)已知。為坐標原點，直線/：y=丘+〃雜>0,m<0)與C交于M,N兩點，記線段

A/N的中點為P,連接0P并延長交C于點。，直線x=6交射線0P于點R,且

\OP\-\O^=\O^,求證；直線/過定點.

變式題10提升

42.已知橢圓接+，=1(">"0)過點唱j,橢圓的左、右頂點分別為4,4,點尸

坐標為(4,0),|PA|，|A闋，但闋成等差數(shù)列.

(1)求橢圓的標準方程；

(2)若對斜率存在的任意直線/與橢圓恒有M,N兩個交點，且PMPN=12.證明：直

線/過定點.

參考答案:

1.(1)見解析

⑵14

【分析】(1)利用兩角差的正弦公式化簡，再根據(jù)正弦定理和余弦定理化角為邊，從而即可

得證；

(2)根據(jù)(1)的結論結合余弦定理求出方c,從而可求得6+c,即可得解.

(1)

證明：因為sinCsin(A—8)=sin8sin(C-A),

所以sinCsinAcos8-sinCsinBcosA=sinBsinCcosA-sinBsinAcosC,

eriuQ~+C"—b~-2bc^^-a2+b2-c2

所以ac---------------

lac2bc-2ab-

即讓4-伊+才-叫=-公產(chǎn)

所以2a2=b2+c2;

(2)

25

解：因為。=5,cosA=三，

由(1)得從+C2=50,

由余弦定理可得。2=h2+C2-2Z?CCOSA,

則50-#c=25,

所以兒=?31,

2

故e+4=/+/+次=50+31=81,

所以b+c=9,

所以ABC的周長為?+Z?+c=14.

2.(I)C=y；(II)9+721.

【解析】(I)根據(jù)同角的三角函數(shù)關系式，結合正弦定理、余弦定理進行求解即可;

(II)根據(jù)三角形面積公式，結合完全平方和公式和(1)中結論進行求解即可.

【詳解】(I)由cos2A+sinAsin3=cos?C+sin?8,^1—sin2A+sinAsinB

答案第1頁，共46頁

=l-sin2C+sin2B，

即sin2C+sinAsinB=sin2A4-sin2B.

由正弦定理可得/+從“2=必，

由余弦定理可得cosC=aH=

2ab2

CG(0,^7),/.C=—;

(2)SMBC=-ahsinC=^-ab=5>/3?a。=20,

24

因為€>2=/+從一昉，c=V2I?所以a?+)2=41,

(。+〃)2=/+勿〃+〃2=41+40=81,a+h=9

所以A43c的周長為9+血.

【點睛】本題考查了同角的三角函數(shù)關系式的應用，考查了正弦定理、余弦定理的應用，考

查了數(shù)學運算能力.

3.(1)sinB=—;(2)6+2"

2

【分析】(1)利用正弦定理的邊角關系，結合已知條件可得〃="+c2-ac,再由余弦定理、

同角三角函數(shù)關系即可求sinB.

(2)根據(jù)已知，由三角形面積公式求“c,進而求外c,再由余弦定理求6,即可得△ABC

的周長.

【詳解】(1),**(sinA-sinC)2=sin2B-sinAsinC,

...(a-c)j=b2-ac,EPb2=a2+c2-ac.

2912

?.a-+c--b~

.cosBo=--------------,

lac

*??cosB=——=-,故sinB=.

lac22

(2)ABC的面積為，acsinB=26,

2

??cic=8,又a—9

??C=2,6z—4.

,**b2=a2+c2-2accosB，

...從=16+4—2x2x4xg=12,即6=2百.

故^ABC的周長為a+/>+c=2+4+2百=6+26.

答案第2頁，共46頁

4.(1)—；(2)7+y/\3.

【分析】(1)首先根據(jù)正弦定理角化邊公式得到“3-6)+〃=/,再利用余弦定理求解即可.

(2)首先根據(jù)三角形面積得到而=12,利用余弦定理得到a+3=7,即可得到三角形.ABC

的周長.

【詳解】(1)因為a(sinA-sin8)+6sin8=csinC

由正弦定理可得。(。-。)+從=02,SPa2+b2-c2=ah.

由余弦定理知cosC='+"2—°2=L

2ah2

TT

又因cw(o,m,所以c=3；

(2)sinC=sin—=-^-,ABC的面積S=LaZ?sinC=^ab=36,

3224

即ab=\2，

3+6)2-2ab-c1

所以cosC=--------------

lab2ab

_(a+/?)2-24-13_1

=---------------------——，

242

所以3+份2=49,即〃+0=7.

所以“C的周長為7+g.

71

5.(1)B=y；(2)18.

【分析】(1)利用正弦定理把給定等式邊化角，再用三角恒等變換求出cos3即可得解;

(2)利用三角形面積定理求出雙，再借助余弦定理列式即可得解.

【詳解】(1)ABC中，(2a-c)cosB=〃cosC,由正弦定理得：

(2sinA-sinC)cosB=sin4cosC,

即2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sinA,而sinA＞0,

|TT

則COS8=5，又。＜B＜兀,所以B=］；

TT

(2)由(1)知8=可，

因；ABC的面積為3百，即以詆=：acsin8=^ac=3G,得ac,=12,

由余弦定理從="+02-2accosB,W64=a2+c2-ac=(?+c)2-3ac-,解得a+c=10,

所以ABC的周長為18.

答案第3頁，共46頁

6.（Dy

⑵9+回

【分析】(1)根據(jù)題意，可以選擇余弦定理進行角化邊，進行化簡求解；也可以選擇正弦定

理進行邊化角，然后，利用三角恒等變換進行化簡求解.

(2)根據(jù)題意，列出余弦定理，與題中所給式子組成方程，分別求出。力,。，即可求解.

(1)

方法一：因為a+6=2c(cosA+cosB),

rrziofb2+c2-a2a2+c2-b2>

所以i=2°F—+

2ac,

h2+c2-a2a2+c2-b2

所以〃+/?=+

b------a

所以crb+ab1=ab2+ac2-a34-a2b+c2b-b3,

所以(4+人)卜2一/一從+44=0,所以

所以8SC/+人1ab_1

2ab2ab~2

又c?o,兀)，所以c=*

方法二：由正弦定理得sinA+sinB=2sinC（cosA+cosB）,

又A+B+CF,所以sinA=sin（8+C）,sinB=sin（A+C）,

所以sin（8+C）+sin（A+C）=2sinCcosA+2sinCcos8,

所以sinBcosC+cosBsinC+sinAcosC+cosAsinC=2sinCcosA+2sinCcosB,

所以sin8cosC-sinCcos8=sin。cosA-sinAcosC,

所以sin（B_C）=sin（C-A）.

又OVAVTT,0<C<TI,所以一兀vB-Cv兀，-7C<C-A<71,

所以8-C=C—A或3—。+。-4=兀或5—C+C—A=-7T

所以A+3=2C或3-A=7T（舍去）或3-4=一兀（舍去），

TT

所以兀-C=2C,所以C=§.

（2）

答案第4頁，共46頁

由（1）知c?=0?+從-油，又加=^+10,b=3a+l,

所以2a2+a-10=0,解得a=2或a=-g（舍去），

所以6=7，0=揚一1（）=，72-10=屈，

所以ABC的周長為9+屈.

7.⑴人二等；

⑵8+6&.

【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理可求角A的大??；

（2）由面積公式可得bc=8,再在△A8Z）和AOC中，由余弦定理可得〃+cz,最后用完

全平方公式可求力+c的值，即可求得三角形的周長.

（1）

由已知bsinB=asinA-（b+c）sinC,

由正弦定理得：b2=a2-bc-c2,

由余弦定理得：COS」+f_02=_

2bc

在：ABC中，因為Aw（0,乃），

由(1)知從=。2一A一/,gpb2+c2=a2-S@,

在△A8Q中，由余弦定理得：。2=(52+(2力)2-2.2石￡.??44。8,

在，AOC中，由余弦定理得：b2=(^)2+(2A/3)2-2-2y/3--cosZADC,

因為cosNAO8=-cosNA￡>C,所以人?+,2=幺+24③，

2

由①(§)③，得a=8,Z?2+/=56,be=8,

答案第5頁，共46頁

所以b+c==亞=月=6五,

所以一A3C的周長a+b+c=8+6>/L

71

8.(1)3=7

(2)a=c=2

【分析】(1)先由正弦定理及和角公式得出sinB=cos8+l,再由倍角公式得tan0=迫，

23

即可求出3；

(2)先由面積公式求得呢=4,再由余弦定理求得〃+c=4,即可求得mc.

(1)

由bcosA+V^AsinA=c+a及正弦定理，WsinBcosA+73sinBsinA=sinC+sinA，又

C=〃-(4+B),

則sinC=sin(A+3)=sinAcosB+cosAsinB,可得

sinBcosA+6sinBsinA=sinAcos8+cosAsin8+sinA，

BP5/3sinBsinA=sinAcosB+sinA，又sinAwO,所以有百sin3=cos8+l,即

2A/3sin—cos—=2cos2—,

222

因為所以COSQHO,于是有6sin?=cos￡g|Jtan-=^,所以與=2,即

2{2j2222326

B=~.

3

(2)

由■ABC的面積為6，得gacsingug,UP?c=4,由余弦定理，得b?=a2+c2-2(zccosy,

即(a+c)2-2ac(l+cosg)=Z?2,將℃=4,Z?=2代入上式，得(a+c『-2x4x(l+g)=4,

可得a+c=4,解得a=c=2.

9.⑴B=-^-；(2)2y/3+A/6+y/2.

【分析】(1)由正弦定理和余弦定理通過邊角互化可得28scos8-l=0,解方程求8；

(2)由(1)及條件sinA+sinC=@，求4,C,再由正弦定理求a,c,由此可得ABC的周長.

2

【詳解】解:

答案第6頁，共46頁

⑴由題設及正弦定理得儲+c?一加=2〃CCOS28,

再由余弦定理得cos28=cos3,即2cos2B-cosB-1=0,

解得8S8=-,或以)53=1(舍去).

2

因為8e(0,%).所以B=

(2)由(1)A+C=?,2sinA+sinC=2sin(—-C)+sinC=y/3cosC=

33

,「&

,,cosC=—，

2

：.C=A=—.

412

?；b=2>/3,B=-y-,

?__上一

??———4—,

sinAsinCsinB

??c=4sinC=25/2,ci—4sinA=4sin(-----)=>/6—>/2,

46

...ABC的周長等于26+指+0.

71

10.(1)A=5；

【分析】(1)角換邊，在利用余弦定理求解；

(2)邊換角，將待求表達式表示成關于8的三角函數(shù)，利用銳角三角形條件求出B的范圍，

最后再求表達式的范圍即可.

(1)

因為“sinA=c(sinC-2sin3)+b(sinC+sin3),所以由正弦定理得/=c(c-2/?)+b(c+/?),

整理得％2+02一/=歷，由余弦定理得cosA==!.因為0<A<;r,所以A=1.

2bc23

(2)

小丁所小殂K(O-c)6sinB-sinC.?._.?./21.(TT}

11]11-jX7J2>f'j------------------------------------—sinB—sin(J=sinB—sin-------H=sinB-----.

2a2sin>413J{3)

答案第7頁，共46頁

2

因為ABC為銳角三角形，所以

八24「%

0<------B<一,

32

解得會八多所以4<8弋<?

所以

故的取值范圍為

2a

11.(1)120°

(2)4+26

【分析】(1)根據(jù)cos2C=sin2A+cos28+s