數(shù)值分析教案

數(shù)值分析教案緒論§1。數(shù)值分析的對(duì)象與特點(diǎn)隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，人們對(duì)計(jì)算方法的需要就顯的越來(lái)越重要，同一個(gè)問(wèn)題選擇的計(jì)算方法不同所得結(jié)果就完全不一樣。當(dāng)然人力，物力，財(cái)力等的消耗也不盡相同?！稊?shù)值分析》課程的主要內(nèi)容就是研究如何較好的處理數(shù)學(xué)模型問(wèn)題。它是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，其內(nèi)容不像純數(shù)學(xué)那樣只研究理論，而是著重研究求解的數(shù)值方法及相關(guān)的理論。這些理論包括方法的收斂性，穩(wěn)定性及誤差分析。數(shù)值分析課程的特點(diǎn)：既有純數(shù)學(xué)高度抽象性與嚴(yán)密科學(xué)性的特點(diǎn)，又有應(yīng)用的廣泛性與實(shí)際實(shí)驗(yàn)的高度技術(shù)性的特點(diǎn)，是一門與使用計(jì)算機(jī)密切結(jié)合的實(shí)用性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)課程?！?。誤差的來(lái)源及誤差分析的重要性我們先來(lái)考察一下用計(jì)算機(jī)解決實(shí)際問(wèn)題的主要過(guò)程：實(shí)際問(wèn)題→數(shù)學(xué)模型→數(shù)值計(jì)算方法→程序設(shè)計(jì)→→上機(jī)求結(jié)果在以上的過(guò)程中可以產(chǎn)生下列誤差：模型誤差：由實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型時(shí)產(chǎn)生的誤差。觀測(cè)誤差：由觀測(cè)產(chǎn)生的誤差。截?cái)嗾`差（方法誤差）：近似解與精確解之間的誤差。EMBEDEquation.3今求，則有由于不可能得到精確值，若取，則此時(shí)的截?cái)嗾`差為另外，由于計(jì)算機(jī)在計(jì)算過(guò)程中并非是精確運(yùn)算，它也是只對(duì)有限位數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，對(duì)于超過(guò)位數(shù)的數(shù)字便自動(dòng)施行四舍五入，這樣在計(jì)算過(guò)程中又產(chǎn)生一定的誤差，這種誤差稱為舍入誤差。本課程主要研究截?cái)嗾`差和舍入誤差。以下舉例說(shuō)明誤差分析的重要性。例求 解：容易求得，而是個(gè)無(wú)理數(shù)，不可能取到精確值，今取，得到一個(gè)遞推公式：EMBEDEquation.3計(jì)算結(jié)果見下表：00.18232155↓00.18232155↑10.08839221610.08839221620.05803891820.05803891930.04313874230.04313873440.0343020840.0343063350.0284895850.0284683560.0242187560.0243249170.02176339↓70.02123260↑80.01618305↓80.01883699↑90.0301958890.0169261710-0.05097941100.01536914110.017324710110.01407133812-0.003290219120.01297664113-0.093374172130.01203986714-0.39544229140.0112229233152.0438787↓150.010520499↑16-10.156890160098975041750.843276170.00933600718-254.16082180.008875522191270.8567190.008253968220-6354.2338↓200.0087301587↑注：上表前兩列是由公式計(jì)算所得值，后兩列是由以下的公式計(jì)算所得值。我們分析一下的特性：ⅰⅱ；ⅲ；ⅳ由此可知公式計(jì)算的值是不可應(yīng)用的。那么怎樣計(jì)算才能使結(jié)果可靠呢？由公式的遞推公式及可知，，所以，取，顯然誤差是比較大的。建立以下遞推公式：由式重新計(jì)算到的值（上表的后兩列）?？梢姳M管的初值取的比較粗糙，但計(jì)算到及時(shí)還是比較精確的。以下我們來(lái)分析EMBEDEquation.3兩式的區(qū)別。由于計(jì)算機(jī)只能對(duì)有限位數(shù)進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)取用式計(jì)算時(shí)，因?yàn)閹в械恼`差會(huì)一直傳下去。具體傳播過(guò)程為，設(shè)為理論值；為實(shí)際計(jì)算值，則有==（2-1）盡管誤差很小，但是卻是很大的。而用式時(shí)，有=（2-2）盡管誤差很大，但是卻是很小的。由以上兩式知，一個(gè)是誤差在積累，一個(gè)誤差在縮小。我們稱舍入誤差積累的遞推公式（比如）為不穩(wěn)定的，而稱舍入誤差縮小（至少不增）的遞推公式（比如）為穩(wěn)定的計(jì)算公式?！?。誤差的基本概念3-1誤差與誤差限定義1設(shè)為精確值，為的一個(gè)近似值，稱為近似值的絕對(duì)誤差。（簡(jiǎn)稱誤差）。由于精確值是不知道的，所以誤差是不可計(jì)算的。通常只能估計(jì)，常用來(lái)估計(jì)，我們稱為誤差限。3-2相對(duì)誤差與相對(duì)誤差限定義2稱為的相對(duì)誤差。（與同上）由于是不知道的，所以通常取EMBEDEquation.3作為的相對(duì)誤差。這時(shí)產(chǎn)生的誤差可忽略不計(jì)。同樣，我們把其絕對(duì)值的上界稱為相對(duì)誤差限。記作。3-3有效數(shù)字我們知道，當(dāng)精確值有很多位數(shù)時(shí)，常按四舍五入的原則取其前幾位數(shù)字作為其近似值。例：若取,或取，則它們分別具有誤差為及。誤差限分別為及。由此我們給出以下定義，定義3。若近似值的誤差限是某一位的半個(gè)單位，該位到的左邊第一位非零數(shù)字共有位，則稱有位有效數(shù)字。由此知，以上的3.14和3.1416作為的近似值分別具有3位和5位有效數(shù)字。有位有效數(shù)字的近似數(shù)可以寫成標(biāo)準(zhǔn)形式：（3-1）其中，是0—9中的數(shù)（），。且例如，用作為的近似值，可以寫成=.且EMBEDEquation.3,∴作為的近似值,它有6位有效數(shù)字。例：以下數(shù)字都是經(jīng)過(guò)四舍五入得到的數(shù)字，問(wèn)它們各有幾位有效數(shù)字？，，有效數(shù)字與相對(duì)誤差限的關(guān)系有以下定理，定理1。由（3-1）表示的近似數(shù)，若有位有效數(shù)字，則其相對(duì)誤差限為（3-2）反之，若的相對(duì)誤差限（3-3）則至少有位有效數(shù)字。定理說(shuō)明，有效位數(shù)越多，相對(duì)誤差限越小。例：為使的近似數(shù)的相對(duì)誤差限小于0.1﹪，問(wèn)查開方表時(shí)，要取幾位有效數(shù)字？解：設(shè)查開方表時(shí)取位有效數(shù)字，那么由（3-2）式并注意到，所以取，因此要使的近似數(shù)的相對(duì)誤差限小于0.1﹪，只需取滿足EMBEDEquation.3﹪解得n=3。即取。3-4數(shù)值運(yùn)算的誤差估計(jì)數(shù)值運(yùn)算的誤差估計(jì)一般是很復(fù)雜的。通常我們利用Taylor展開的方法來(lái)估計(jì)誤差，假設(shè)要計(jì)算的值，已知是的近似值。此時(shí)A的近似值為，那么作為A的近似值時(shí)的誤差限EMBEDEquation.3（3-4）而的相對(duì)誤差限為EMBEDEquation.3（3-5）例：要計(jì)算，取。求解：EMBEDEquation.3§4數(shù)值運(yùn)算中誤差分析的若干原則一個(gè)工程技術(shù)問(wèn)題的解決往往要經(jīng)過(guò)若干次運(yùn)算，若每一步都要分析誤差的話那當(dāng)然是最好的，但這是不可能的。為鑒別計(jì)算結(jié)果的可靠性，我們提出若干原則。要使用穩(wěn)定的計(jì)算公式。要避免兩相近數(shù)相減。出現(xiàn)這種情況時(shí)，最好對(duì)公式進(jìn)行處理，（1）時(shí)，變換（2）時(shí)，變換（3）充分大時(shí)，變換防止大數(shù)“吃掉”小數(shù)在計(jì)算機(jī)運(yùn)算過(guò)程中，若兩個(gè)數(shù)的數(shù)量級(jí)相差很大，那么數(shù)量級(jí)小的數(shù)往往被忽略。這就是所說(shuō)的大數(shù)“吃掉”小數(shù)。如：要計(jì)算53480+，，。就需要先計(jì)算之和，然后再加上53480。注意簡(jiǎn)化計(jì)算步驟，減少運(yùn)算次數(shù)。絕對(duì)值較小的數(shù)不宜做分母。第二章 方程求根在許多實(shí)際問(wèn)題中，常常會(huì)遇到方程f(x)=0求解的問(wèn)題。當(dāng)f(x)為一次多項(xiàng)式時(shí)，f(x)=0稱為線性方程，否則稱為非線性方程。對(duì)于非線性方程，由于f(x)的多樣性，求其根尚無(wú)一般的解析方法可以使用，因此研究非線性方程的數(shù)值解法是十分必要的。本章主要介紹求非線性方程根的一些常用方法。它們是增值尋根法、二分法、迭代法、牛頓法及割線法。這些方法均是知道根的初始近似值后，進(jìn)一步把根精確化，直到達(dá)到所要求的精度為止。也即求非線性方程根的數(shù)值方法。第一節(jié)

增值尋根法與二分法2.1.1增值尋根法設(shè)非線性方程f(x)=0的根為，增值尋根法的基本思想是，從初始值開始，按規(guī)定的一個(gè)初始步長(zhǎng)h來(lái)增值。令=+h(n=0,1,2，…)，同時(shí)計(jì)算f()。在增值的計(jì)算過(guò)程中可能遇到三種情形：(1)f()=0，此時(shí)即為方程的根。(2)f()和f()同符號(hào)。這說(shuō)明區(qū)間［,］內(nèi)無(wú)根。(3)f()和f()異號(hào)，即有f()·f()＜0此時(shí)當(dāng)f(x)在區(qū)間［,］上連續(xù)時(shí)，方程f(x)=0在［,］一定有根。也即我們用增值尋根法找到了方程根的存在區(qū)間，或均可以視為根的近似值。下一步就是設(shè)法在該區(qū)間內(nèi)尋找根更精確的近似值，為此再用增值尋根法把作為新的初始近似值，同時(shí)把步長(zhǎng)縮小，例如選新步長(zhǎng)，這樣會(huì)得到區(qū)間長(zhǎng)度更小的有根區(qū)間，從而也得到使f(x)更接近于零的，作為更精確的近似值，若精度不夠，可重復(fù)使用增值尋根法，直到有根區(qū)間的長(zhǎng)度｜-｜＜(為所要求的精度)為止。此時(shí)f()或f()就可近似認(rèn)為是零?；蚓褪菨M足精度的方程的近似根（如圖2-1）.2—1例1用增值尋根法求方程f(x)=-10=0的有根區(qū)間。解取=-4，h=1，則計(jì)算結(jié)果如下表2-1： 表2-1x-4-3-2-1012f(x)-10-1-2-7-10-514所以f(x)=0的有根區(qū)間為(1，2).再取=1，h=0.1，計(jì)算結(jié)果如表2-2： 表2-2x11.11.21.21.4f(x)-5-3.829-2.512-1.0430.584

所以f(x)=0更進(jìn)一步的有根區(qū)間為(1.3，1.4)2.1.2二分法設(shè)f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，且f(a)·f(b)＜0，則由連續(xù)函數(shù)性質(zhì)知，方程f(x)=0在(a,b)內(nèi)至少有一實(shí)根，為以下討論方便，設(shè)(a,b)內(nèi)僅有唯一實(shí)根。二分法的基本思想：就是逐步對(duì)分區(qū)間［a,b］，通過(guò)判斷兩端點(diǎn)函數(shù)值乘積的符號(hào)，進(jìn)一步縮小有根區(qū)間，將有根區(qū)間的長(zhǎng)度縮小到充分小，從而求出滿足精度的根的近似值，如圖。2-2具體做法如下：用區(qū)間［a,b］的中點(diǎn)平分區(qū)間，并計(jì)算f()，同時(shí)記(,)=(a,b)，如果恰好有f()=0，則我們已經(jīng)找到方程的根=。如若不然，f()≠0，如果f()·f()＜0，則記(,)=(,),如果f()·f()＜0，則記(,)=(,)，在后兩種情形區(qū)間(,)為新的有根區(qū)間。它包含在舊的有根區(qū)間(,)內(nèi)，其區(qū)間長(zhǎng)度是原區(qū)間的一半。對(duì)區(qū)間(，)施行同樣的辦法。即平分區(qū)間，求中點(diǎn)判斷函數(shù)值乘積的符號(hào)，得到新的有根區(qū)間(,)，它包含在區(qū)間(,)內(nèi)，其區(qū)間長(zhǎng)度是(,)的，(,)的。如此重復(fù)n次，如果還沒(méi)有找到方程的精確根，此時(shí)我們得到方程的有根區(qū)間序列：(,)，(,)，…,()，…它滿足(,)(,)…()…f()f()<0-=,n=1,2,…n-1當(dāng)n充分大時(shí)，()的長(zhǎng)度縮小到充分小，此時(shí)它的中點(diǎn)與夾在與之間，它們的距離也充分小，且序列｛｝滿足：上式表明=(2)即序列｛｝以等比數(shù)列的收斂速度收斂于。同時(shí)也表明序列｛｝是的一個(gè)近似值序列。因此對(duì)任意給定的精度<0，總存在n，使此時(shí),我們可以取作為的近似值，即可滿足精度。例2：用二分法求方程f(x)==0在［1，2］內(nèi)的一個(gè)實(shí)根，且要求滿足精度解：用二分法計(jì)算結(jié)果如表2-3：nf()11.02.01.52.37521.01.51.25-1.7968731.251.51.3750.1621141.251.3751.3125-0.8483951.31251.3751.34375-0.3509861.343751.3751.359375-0.0964171.3593751.3751.36718750.0323681.3593751.36718751.36328125-0.0321591.363281251.36718751.3652343750.000072101.363281251.3652343751.364257813-0.01605111.3642578131.3652343751.364746094-0.00799

迭代11次，近似根=1.364746094即為所求，其誤差這種方法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單，對(duì)f(x)只要求連續(xù)。它的收斂速度與比值為的等比級(jí)數(shù)相同，它的局限性是只能用于求實(shí)根，不能用于求復(fù)根及偶數(shù)重根。迭代法的基本思想由函數(shù)方程f(x)=0，構(gòu)造一個(gè)等價(jià)方程：x=(1)從某個(gè)近似根出發(fā)，令，n=0,1,2，…(2)可得到序列｛｝，若｛｝收斂，即lim=只要連續(xù)，有也即從而可知是方程(1)的根，也就是f(x)=0的根。此時(shí)｛｝就是方程(1)的一個(gè)近似解序列，n越大，的近似程度就越好。若｛｝發(fā)散，則迭代法失敗。例1用迭代法求方程f(x)=-10=0在［1,2］內(nèi)的一個(gè)近似根，取初始近似值.表2-4n(1)(2)(3)(4)01.51.51.51.51-0.8750.81651.286953771.3483997326.7322.99691.402540801.367376373-469.7(-8.651.345458381.3649570141.03

1.375170251.365264755

1.360094191.365225596

1.367846971.3652230587

1.363887001.365229948

1.365916731.365230029

1.364878221.3652300110

1.36541006

15

1.36522368

20

1.36523024

23

1.36522998

25

1.36523001

解原方程的等價(jià)方程可以有以下不同形式：(1)(2)(3)(4)對(duì)應(yīng)的迭代公式有：(1)(2)(3)(4)取，列表計(jì)算如表2-2。與上節(jié)二分法比較，(3)、(4)都得到較好的結(jié)果，而用二分法達(dá)到同樣的精度，需要迭代27次，同時(shí)也看出迭代函數(shù)構(gòu)造不同，收斂速度也不盡相同，迭代函數(shù)構(gòu)造不當(dāng)(如(1)，(2))，序列｛｝就不收斂。二、迭代法的幾何意義以上可以看到迭代法可能收斂，也可能不收斂。一般來(lái)說(shuō)從f(x)=0，構(gòu)造不止一種，有的收斂，有的不收斂，這取決于的性態(tài)。方程x=的根，在幾何上就是直線y=x與曲線y=交點(diǎn)的橫坐標(biāo),如圖2-3所示。（a）（b）（c）（d）圖2-3中(1)、(2)收斂，(3)、(4)發(fā)散。三、迭代法收斂的條件定義1如果在根的某個(gè)鄰域B=∈B，迭代過(guò)程，n=0,1,2，…收斂，則稱迭代過(guò)程在附近局部收斂。定理1設(shè)=()，在的某個(gè)鄰域B內(nèi)連續(xù)，并且｜｜≤q<1，則對(duì)任何∈B，由迭代公式?jīng)Q定的迭代序列｛｝收斂于。且｜-｜≤(3)｜-｜≤(4)證：由拉格朗日中值定理，存在B，使由已知｜｜≤q,從而得｜-｜≤q｜｜≤…≤｜-｜所以這樣我們就證明了｛｝收斂于。再由拉格朗日中值定理，存在，使==()所以｜｜≤q｜｜≤…≤q｜｜(5)又由于｜｜=｜()+()+…+()｜≤｜｜+｜｜+…+｜｜所以｜｜≤(q+q+…+q+1)｜｜=｜｜令p→+∞,有｜-｜≤｜｜也即｜-｜≤｜｜這樣(4)式得證。再由(5)得｜-｜≤｜｜這樣(3)式也得證。這個(gè)定理是一個(gè)很實(shí)用的收斂定理。一方面它可以判定我們所構(gòu)造的迭代函數(shù)是否收斂。另一方面(3)式還可以估計(jì)迭代次數(shù)。但結(jié)果偏保守，次數(shù)也偏大，實(shí)際中很少用。通常由(4)式，當(dāng)｜｜<(為給定精度)時(shí)，認(rèn)為｜-｜<就是滿足精度的一個(gè)近似解了。定理2〖HTSS〗對(duì)于方程x=,如果滿足(1)對(duì)任意x∈［a,b］，有∈［a,b］(2)對(duì)任意x∈［a,b］，有｜(x)｜≤q<1則對(duì)任意x∈［a,b］，迭代x=(x)所決定的序列｛x｝收斂于x=(x)的根x，且(3)、(4)式也都成立。證明與定理1相仿，故略去。以上兩定理中的條件要嚴(yán)格驗(yàn)證都較困難，實(shí)用時(shí)常用以下不嚴(yán)格的標(biāo)準(zhǔn)。有根區(qū)間［a,b］較小，對(duì)某一x∈［a,b］,｜(x)｜明顯小于1，由(x)連續(xù)性知在的x某領(lǐng)域內(nèi)｜(x)｜也小于1，則迭代收斂。例2考察例1中四種迭代法在根附近的收斂情況，取根的近似值為x=。解(1)17.75>1不收斂(2)5.128>1不收斂〖ZK〗〗(3)0.656<1收斂(4)0.122<1收斂)上例說(shuō)明值越小，收斂速度就越快。四、迭代法的收斂速度用迭代法求方程的近似根，我們不僅要構(gòu)造適當(dāng)?shù)囊笏諗?，而且還需要知道它的收斂速度。關(guān)于收斂速度，有如下定義：定義2設(shè)序列｛x｝收斂于，令=-x，若存在某實(shí)數(shù)p≥1及正常數(shù)C，使(6)則稱序列｛x｝階收斂。如果序列｛x｝是由=(x)產(chǎn)生的，且p階收斂，則稱這種迭代過(guò)程是p階收斂的。當(dāng)p=1，且C<1時(shí)，稱為線性收斂；當(dāng)p=2時(shí)，稱為平方收斂(或二次收斂)；當(dāng)1<p<2時(shí)，稱為超線性收斂。同前面一樣，設(shè),=(x),=()則有-=(-x)(在在與x之間)所以=因而=||(n→∞)若0<<1,則迭代過(guò)程為線性收斂。若=0，由泰勒展開得(x)=()+設(shè)()≠0,則-=(x)-()=從而〖→>0(n→∞)此時(shí)迭代過(guò)程為二階收斂。定理3設(shè)在x=的根鄰近有連續(xù)的p階導(dǎo)數(shù)，當(dāng)｜｜<1，且()≠0時(shí)，迭代過(guò)程=(x)為線性收斂；而當(dāng)()=0，()≠0時(shí)為二階收斂。一般來(lái)說(shuō)，若()=()=…=()=0，而()≠0，則稱=(x)在附近為p階收斂。第三節(jié)迭代收斂的加速?gòu)膄(x)=0構(gòu)造出的迭代格式x=(x)可能收斂也可能不收斂，在收斂的情形，收斂速度也取決于｜(x)｜的大小，當(dāng)｜(x)｜接近于1時(shí)，收斂可能很慢。后兩種情形都影響迭代法的應(yīng)用。能否從x=(x)出發(fā)構(gòu)造出新的迭代形式，使收斂速度加快呢?松馳法對(duì)x=(x)引入一個(gè)任意常數(shù)作為參數(shù),并假設(shè)≠-1，在方程兩邊加上x,得(1+)x=x+(x)于是x=(x)(1)顯然方程(1)與方程x=(x)等價(jià)，若令(x)=(x)，(1)可寫成x=(x)(2)為了使得用x=(x)作迭代比用x=(x)作迭代收斂的更快，我們希望|(x)｜比｜(x)｜更小，又由于(x)=(3)若(x)連續(xù)，則當(dāng)x在根x*附近時(shí)，(x)也在(x*)附近，為此選取=-(x*)。這樣可以使得|(x)｜較小。但在求解過(guò)程中x*未知，故用x來(lái)代替，只要-()≠-1，記，于是代入(1)有松弛法迭代公式：x(n=0,1,2,…)(4)稱為松弛因子。松弛法的加速效果是明顯的，甚至不收斂的迭代函數(shù)經(jīng)加速后一般也能獲得收斂。二、埃特金方法用松弛法計(jì)算時(shí)，要先算(x)，在使用時(shí)有時(shí)不太方便，假若在求得x以后，先求出和再利用和構(gòu)造格式-由此得到埃特金（Altken）公式：==()-(n=0,1,2，…)(5)它的加速效果也十分明顯。例1分別用松弛法、埃特金法求方程-10=0在初值附近的一個(gè)根，取迭代格式解用松弛法計(jì)算，取因此松弛法的迭代公式為n=0,1,2，…列表計(jì)算如下：表2-3n01230.8908036860.8871231410.887130869

1.51.3649539161.3652300121.365230013

用埃特金方法計(jì)算，迭代格式為n=0,1,2，…列表計(jì)算如下：表2-4n01230.8908036860.8871231410.887130869

1.51.3649539161.3652300121.365230013

與上節(jié)例1中(3)與(4)相比收斂速度明顯增加。第四節(jié)

牛頓法解非線性方程f(x)=0的牛頓(Newton)法，就是將非線性方程線性化的一種方法。它是解代數(shù)方程和超越方程的有效方法之一。一、牛頓法的基本思想把非線性函數(shù)f(x)在處展開成泰勒級(jí)數(shù)f(x)=f()+(x-)f′()+(x-)+…取其線性部分，作為非線性方程f(x)=0的近似方程，則有f()+(x-)f′()=0設(shè)f′()≠0，則其解為x=-(1)再把f(x)在x處展開為泰勒級(jí)數(shù)，取其線性部分為f(x)=0的近似方程，若f′(x)≠0，則得x=-如此繼續(xù)下去，得到牛頓法的迭代公式：x=-(n=0,1,2,…)(2)例1用牛頓法求方程f(x)=x+4x-10=0在［1,2］內(nèi)一個(gè)實(shí)根，取初始近似值x=1.5。解f′(x)=3x+8x所以迭代公式為：x=-n=0,1,2，…列表計(jì)算如下：n01231.51.37333331.365262011.36523001

二、牛頓法的幾何意義方程f(x)=0的根就是曲線y=f(x)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x*，當(dāng)初始近似值選取后，過(guò)(,f())作切線，其切線方程為：y-f()=f′()(x-)它與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=-一般地，設(shè)是x*的第n次近似值，過(guò)(,f()作y=f(x)的切線，其切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：x=-即用切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)近似代曲線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如圖2-4。2-4牛頓法正因?yàn)橛写嗣黠@的幾何意義，所以也叫切線法。三、牛頓法的收斂性及收斂速度定理設(shè)f(x)在［a,b］滿足(1)

f(a)·f(b)<0(2)f(x)∈［a,b］，f′(x),f″(x)均存在，且f′(x)與f″(x)的符號(hào)均保持不變。(3)f()·f″(x)>0，、x∈［a,b］，則方程f(x)=0在［a,b］上有且只有一個(gè)實(shí)根，由牛頓法迭代公式計(jì)算得到的近似解序列｛｝收斂于方程f(x)=0的根x*。由方程f(x)=0得到的牛頓迭代形式x=x-==1-=由于f(x*)=0，所以當(dāng)f′(x*)≠0時(shí)，(x*)=0，牛頓法至少是二階收斂的，即牛頓法在單根附近至少是二階收斂的，在重根附近是線性收斂的。牛頓法收斂很快，而且可求復(fù)根，缺點(diǎn)是對(duì)重根收斂較慢，要求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)存在。

四、牛頓二階導(dǎo)數(shù)法這里將簡(jiǎn)單介紹一下牛頓二階導(dǎo)數(shù)法。對(duì)其幾何意義及收斂性不作詳細(xì)的敘述，讀者可仿照牛頓法進(jìn)行討論，其基本思想是：將f(x)在處展開泰勒級(jí)數(shù)f(x)=f()+f′()(x-)+f″()(x-)+…取右端前三項(xiàng)近似代替f(x)，于是得f(x)=0的近似方程為f()+f′()(x-)+f″()(x-)=0也即f()+(x-)[f′()+f″()(x-)]=0(3)設(shè)其解為.利用(1)，-=-，代入(3)中括號(hào)內(nèi)-,則得f()+(-)[f′()+f″()]=0于是解出，得=-重復(fù)以上過(guò)程得：=-于是得牛頓二階導(dǎo)數(shù)法的迭代公式為：=-n=0,1,2,…(4)上式與牛頓法迭代公式(2)相比，利用此公式求根收斂更快，迭代次數(shù)更少。其缺點(diǎn)是要求f(x)的二階導(dǎo)數(shù)存在。第五節(jié)割線法用牛頓方法解非線性方程f(x)=0，雖然在單根附近有較高的收斂速度，但需要計(jì)算f′(x)。若f(x)比較復(fù)雜時(shí)，每次計(jì)算f′(x)帶來(lái)很多不便；如果用不計(jì)算導(dǎo)數(shù)的迭代方法，往往只有線性收斂的速度。本節(jié)我們介紹割線法，采取在迭代過(guò)程中不僅用前一步處的函數(shù)值，而且還使用處的函數(shù)值來(lái)構(gòu)造迭代函數(shù)。這樣做能提高迭代的收斂速度。一割線法的基本思想設(shè)非線性方程f(x)=0，其中f(x)為［a,b］上的連續(xù)函數(shù)，且f(a)·f(b)<0。設(shè),為f(x)=0的根x*的兩個(gè)初始近似值，過(guò)(,f())和(,f())作一直線，其方程為：y=f()+(x-)當(dāng)f()≠f()時(shí)，此直線與x軸交點(diǎn)為=-(-)(1)作為f(x)=0根的第二次近似值，可以預(yù)期比,更接近于x*。重復(fù)上述過(guò)程可得,，…，,從而可得割線法的迭代公式：=-(-)(n=1,2,…)(2)很明顯，它也可由牛頓法用差商近似代替微商f′()而得。若把(2)中的換為,則得迭代公式=-(-)(n=1,2,…)(3)顯然，它也可由牛頓法用差商近似代替微商f′()而得。以上兩種迭代方法都稱為割線法(或弦截法)。(2)稱為雙點(diǎn)割線法。也稱為有記憶割線法。(3)稱為單點(diǎn)割線法。它們都需要x*鄰近的兩個(gè)初始近似值,才能啟動(dòng)。例1

用雙點(diǎn)割線法求方程x-3x+1=0在0.5附近的根。精確到小數(shù)點(diǎn)后第六位。解：令f(x)=x-3x+1=-(-)(n=1,2,…)即=-(-)(n=1,2,…)取=0.5，=0.2列表計(jì)算如下：表2-6n123450.50.20.3563220.3477310.3472950.20.3563220.3477310.3472950.347296

二割線法的幾何意義雙點(diǎn)割線法是用過(guò)點(diǎn)(,f())和(,f())兩點(diǎn)的割線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x2作為x*的新近似值。重復(fù)此過(guò)程，用過(guò)點(diǎn)(，f())和(,f())兩點(diǎn)的割線法與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)來(lái)作為x*的下一新的近似值。如圖2-5。單點(diǎn)迭代法則是用過(guò)點(diǎn)(,f())和(,f())兩點(diǎn)的割線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)來(lái)作為x*的近似值，如圖2-6。2-52-6三割線法收斂的速度定理設(shè)方程f(x)=0的根為x*。若f(x)在x*附近有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，f′(x*)≠0，而初值,充分接近x*，則雙點(diǎn)割線法的迭代過(guò)程收斂，收斂速度為｜-x*｜≈｜-x*｜這說(shuō)明它是超線性收斂的(p=1.618>1)。而單點(diǎn)割線法在單根附近是線性收斂的。第三章解線性方程組的直接法3.1引言與矩陣一些基礎(chǔ)知識(shí)3.1.1引言線性方程組求解是科學(xué)計(jì)算中最常遇到的問(wèn)題，如在應(yīng)力分析、電路分析、分子結(jié)構(gòu)、測(cè)量學(xué)中都會(huì)遇到解線性方程組問(wèn)題.在很多廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)值方法中，如三次樣條、最小二乘法、微分方程邊值問(wèn)題的差分法與有限元法也都涉及到求解線性方程組.本章討論n個(gè)變量n個(gè)線性方程的方程組求解，其表達(dá)式為通常用向量矩陣表示，則上述方程可寫成(3.1.1)其中并記做，分別表示A為n×n階實(shí)矩陣，x,b為n維實(shí)向量.根據(jù)線性代數(shù)知識(shí)可知A非奇異，即detA≠0，方程組(3.1.1)有唯一解，并可用Cramer法則將解用公式表示出來(lái)，但由于計(jì)算量太大，因此不能用于實(shí)際求解.本章要討論的直接方法是將方程組(3.1.1)轉(zhuǎn)化為三角方程組，再通過(guò)回代求三角方程組的解.理論上，直接法可在有限步內(nèi)求得方程的精確解，但由于數(shù)值運(yùn)算有舍入誤差，因此實(shí)際在計(jì)算機(jī)上求得的數(shù)值解仍是近似解，仍要對(duì)它進(jìn)行誤差分析.解線性方程組的另一類方法是迭代法，將在下一章討論.下面給出本章和下章需要的一些矩陣基礎(chǔ)知識(shí).3.1.2矩陣特征值與譜半徑定義1.1設(shè)，若存在一個(gè)數(shù)(實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù))和非零向量，使(3.1.2)則稱為A的特征值，x為A對(duì)應(yīng)的特征向量，A的全體特征值稱為A的譜，記作，即(3.1.3)稱為A的譜半徑.由式(3.1.2)知，可使齊次方程有非零解，故系數(shù)行列式det(I-A)=0，即(3.1.4)稱為特征多項(xiàng)式，方程(3.1.4)稱為特征方程，在復(fù)數(shù)域中有n個(gè)根，故由行列式(3.1.4)展開可知：于是，矩陣的n個(gè)特征值是它的特征方程(3.1.4)的n個(gè)根，A的跡trA有(3.1.5)(3.1.6)此外，A的特征值和特征向量x還有如下性質(zhì)：(1)與A有相同的特征值及相同的特征向量x.(2)若A非奇異，則的特征值為，特征向量為x.(3)相似矩陣有相同特征多項(xiàng)式.例3.1求的特征值及譜半徑.解A的特征方程為故A的特征值為.譜半徑為.講解：根據(jù)特征值定義（3.1.2）式知它等價(jià)于齊次方程有非零解，它的充分必要條件是系數(shù)行列式為零即，將行列式展開，由（3.1.4）看到它是的n次多項(xiàng)式，記作稱為特征多項(xiàng)式，將行列式對(duì)角元素相乘，即它決定了中及的系數(shù)，因?yàn)樾辛惺降恼归_式中其余各項(xiàng)的次數(shù)均不超過(guò)，故，利用，有n個(gè)根（在復(fù)數(shù)域中，復(fù)根成對(duì)出現(xiàn)），故，可知，于是有，稱為矩陣A的跡。另外行列式中令，則得，從而得到（3.1.6）3.1.3對(duì)稱正定矩陣定義1.2設(shè)，如果，即，則稱A為對(duì)稱矩陣，若還滿足對(duì)于，則稱A為對(duì)稱正定矩陣，如果對(duì)有，則稱A為半正定矩陣.當(dāng)A為對(duì)稱時(shí)，A的特征值皆為實(shí)數(shù)，且有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.對(duì)稱正定矩陣還有以下重要性質(zhì)：(1)對(duì)稱正定，則〖WTHX〗A非奇異，且也對(duì)稱正定；(2)A對(duì)稱正定的充要條件是，A的所有特征值；(3)A對(duì)稱正定，則A的對(duì)角元素；(4)A對(duì)稱正定的充要條件是A的所有順序主子式以上性質(zhì)可直接由定義證明，證明略.講解：對(duì)稱正定矩陣性質(zhì)都可直接由定義證明為了更好理解，下面就性質(zhì)（1）給出證明先證A非奇異，用反證法，假定A奇異，則，使，故與A正定的假定矛盾，故A非奇異，即存在。由于是，即對(duì)稱，再證正定。對(duì)，令，于是，由A正定得，故也正定。3.1.4正交矩陣與初等矩陣定義1.3若且，則稱A為正交矩陣.由定義知，且與均為正交陣，且有.定義1.4設(shè).則為單位矩陣，稱為(實(shí))初等矩陣.顯然，例如，則設(shè)，則若σ已知，選，使則當(dāng)時(shí)，令(3.1.7)則有(3.1.8)此外，還有(3.1.9)下面給出兩個(gè)常用的初等矩陣.例3.2初等排列矩陣.令則矩陣也稱初等置換矩陣，它由單位矩陣I交換i行與j行得到，它有以下性質(zhì)：(1)，故為正交矩陣.(2).(3)是將A的i,j行互換，是將A的i,j列互換.例3.3初等下三角矩陣.設(shè),則記稱為指標(biāo)為j的初等下三角矩陣，即(3.1.10)矩陣有以下性質(zhì)：(1).(2).(3)，為單位下三角矩陣.初等下三角矩陣也稱為Gauss變換矩陣.講解：例3.2中給出的初等排列陣，其作用是實(shí)現(xiàn)矩陣A的i,j行互換及列互換，即表示A的i、j兩行互換，而，表示A的i,j兩列互換。例3.3初等下三角陣，由（3.1.10）所表示的矩陣，在下節(jié)Gauss消去法中有應(yīng)用，其逆矩陣，表示為3.2Gauss消去法3.2.1順序消去法Gauss消去法就是將方程組(3.1.1)通過(guò)(n-1)步消元，將(3.1.1)轉(zhuǎn)化為上三角方程組(3.2.1)再回代求此方程組的解.下面記增廣矩陣，即第1步設(shè)，計(jì)算l，記為，若用乘第一行加到第i行，可消去,用Gauss變換矩陣表示令其中一般地，假定已完成了(k-1)步消元，即已將轉(zhuǎn)化為以下形式：第k步，假定，計(jì)算(3.2.2)記，，則其中(3.2.3).當(dāng)k=1,2，…,n-1則可得到，即方程組(3.2.1).直接回代解(3.2.1)得，(3.2.4)并且有，由以上順序消去過(guò)程可得如下定理.定理2.1設(shè)非奇異，則通過(guò)兩行互換總可使，k=1,2，…,n-1.可將方程組(3.1.1)轉(zhuǎn)化為(3.2.1)并求得方程組(3.1.1)的解為(3.2.4)，且有.如果不做行交換，則使的條件如下.定理2.2非奇異，且各階順序主子式，則，k=1,2，…,n-1.證明用歸納法，當(dāng)，故.現(xiàn)假設(shè)(k-1)成立，即，對(duì)i=1，2，…,k-1已推出，故Gauss消去法能進(jìn)行(k-1)步消元，A已約化為，即故對(duì)k=1,2,…,n均成立，證畢.在整個(gè)消去法消元過(guò)程中，k從1到(n-1)共需乘除法運(yùn)算次數(shù)為加減法次數(shù)為回代過(guò)程中由公式(3.2.4)可知乘除法次數(shù)為，加減法次數(shù)為，于是Gauss消去法的乘除法總次數(shù)為，加減法次數(shù)為例3.4用Gauss消去法解方程組并求detA.解消元得再由(3.2.4)回代，得解講解：Gauss消去法是將方程組AX＝b,通過(guò)消元轉(zhuǎn)化為上三角方程組（3，2，1）求解，消元第一步做完后有用矩陣表示第K－1步完成后得到當(dāng)，可做K步，得到得到，對(duì)應(yīng)的方程組就是（3.2.1），利用公式（3.2.4）就可求得解。定理2.2給出了進(jìn)行順序消去法的條件，即A的所有順序生子式，而方程（3.1.1）解存在唯一的條件是3.2.2消去法與矩陣三角分解上述Gauss消去法的消元過(guò)程從矩陣變換角度看，就是進(jìn)行了(n-1)次的Gauss變換，即若令，則，則由，得其中L為單位下三角矩陣，U為上三角矩陣.定理2.3設(shè)非奇異，且A的順序主子式(i=1,2,…,n-1)，則存在唯一的單位下三角矩陣L和上三角矩陣U，使A=LU.證明存在性已從上面A的Gauss變換中得到，下面只證唯一性.假定A有兩種不同的分解式，其中，為單位下三角矩陣，為上三角矩陣，因A非奇異，故，，，均非奇異，于是上式用左乘，用右乘，則得因仍為上三角矩陣，則為上三角矩陣，而仍為單位下三角矩陣，故，且.由此可得=，=.證畢.將A分解為單位下三角矩陣L及上三角矩陣U的乘積A=LU，稱為A的Doolittle(杜里特爾)分解.講解：從上面討論的消元過(guò)程看到每消元一步就是用相應(yīng)Gauss變換左乘矩陣A，因而有（上三角陣），即，其中為單位下三角，這就是A的三角分解。它說(shuō)明只要能進(jìn)行順序Gauss消元就能將矩陣A分解為L(zhǎng)U的乘積。定理2.3給出了LU分解的存在唯一性條件。3.2.3列主元消去法在順序消元過(guò)程中，只要(k=1,2,…，n-1)即可進(jìn)行計(jì)算，但如果很小，則將導(dǎo)致舍入誤差增長(zhǎng)，使解的誤差很大，見下例.例3.5用Gauss消去法求解方程組解因,，故方程有唯一解，且精確解為.若用Gauss消去法取四位有效數(shù)字計(jì)算，可得解，與比較，誤差很大，若將兩個(gè)方程互換為仍用Gauss消去法求解，則得，它有四位有效數(shù)字，即.這例子表明通過(guò)行交換可避免舍入誤差增長(zhǎng)，這就是列主元消去法的基本思想。其計(jì)算步驟是：第1步，在中的第1列選主元，即行為主元.若，將的第行與第1行互換，再按消元公式計(jì)算得到.假定上述過(guò)程已進(jìn)行(k-1)步，得到.第k步，在中第k列選主元，，若，則在中將與k行互換(若=k則不動(dòng))，再按公式(3.2.2)、(3.2.3)求出.對(duì)k=1,2,…，n-1，重復(fù)以上過(guò)程則得，如果某個(gè)k出現(xiàn)主元，則表明detA=0，方程沒(méi)有唯一解或嚴(yán)重病態(tài)，否則可由(3.2.4)求得解.上述每步行交換后再消元相當(dāng)于(3.2.5)其中是指標(biāo)為k的初等下三角矩陣，為初等排列矩陣，=k時(shí)，表示不換行，經(jīng)過(guò)(n-1)步換行與消元，A化為上三角矩陣，即它也表明當(dāng)A非奇異時(shí)，存在排列矩陣P(若干初等排列矩陣的乘積)，使PA=LU，其中L為單位下三角矩陣，其元素，U為上三角矩陣.例3.6用列主元消去法解Ax=b，其中解：由回代公式(3.2.4)求得解此例的精確解為，可見結(jié)果精度較高.若不選列主元Gauss消去法，求解得，誤差較大.除列主元消去法外，還有一種消去法，是在A的所有元素中選主元，稱為全主元消去法.因計(jì)算量較大且應(yīng)用列主元已能滿足實(shí)際要求，故不再討論.目前很多數(shù)學(xué)軟件庫(kù)都有列主元消去法，可直接調(diào)用.講解：為了減少計(jì)算的舍入誤差，使用消去法通常都要選主元，目前最常用的是列主元消去法，也就是每步消元之前選主元，當(dāng)?shù)谝徊竭xA中第1列的主元，即，然后將行與1行互換，再進(jìn)行消元，以后每步消元做法類似，先選主元，再消元。3.3直接三角分解法3.3.1Doolittle分解法上節(jié)定理2.3已經(jīng)證明當(dāng)非奇異，且(i=1,2,…,n-1)，則A可做LU分解，即A=LU，其中L為單位下三角矩陣，U為上三角矩陣.現(xiàn)在可直接通過(guò)矩陣乘法求得L及U的元素，于是解方程(3.1.1)就轉(zhuǎn)化為求解(3.3.1)若令Ux=y，則解方程(3.1.1)轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)三角方程下面直接用矩陣乘法求U及L的元素，由直接得到(3.3.3)若已求得U的(i-1)行及L的(i-1)列，則由矩陣乘法有可得(3.3.4)這就求得U的第i行元素，求L的第i列可由若，可得(3.3.5)計(jì)算規(guī)律是先由(3.3.3)求U的第1行和L的第1列元素，再由(3.3.4)求U的第i行(i=2,3,…,n)元素，再由(3.3.5)計(jì)算L的第i列元素,求出L及U后再解方程(3.3.2)，其計(jì)算公式為(3.3.6)(3.3.7)例3.7用Doolittle分解法求方程的解.解先用公式(3.3.3)～(3.3.5)求出,，，，，，，，于是，再由(3.3.6)求得的解由(3.3.7)求得的解.講解：直接利用矩陣乘法求A＝LU的L及U的元素，一般只要掌握矩陣乘法規(guī)則，對(duì)U中元素由上而下逐行計(jì)算，L元素由左向右逐列計(jì)算，總的次序是先算一行U的元素再算一列L元素，按次序交替進(jìn)行，完成分解后再解兩個(gè)三角方程組（3.3.2），計(jì)算公式為（3.3.6）和（3.3.7）。3.3.2Cholesky分解與平方根法當(dāng)對(duì)稱正定時(shí)，A的順序主子式，故由定理2.3知，A=LU的分解存在且唯一，其中L為單位下三角矩陣，U為上三角矩陣，且.定理3.1若對(duì)稱，且A的順序主子式，則A可唯一分解為，其中L為單位下三角矩陣，D為對(duì)角矩陣.證明由定理2.3可知A=LU，而，故這里，，為單位上三角矩陣.因.由A=LU的分解唯一性，得，于是有.證畢.定理3.2若對(duì)稱正定，則存在唯一的對(duì)角元為正的下三角矩陣L，使A分解為(3.3.8)這種分解稱為Cholesky分解.證明由定理3.1可知,這里為單位下三角矩陣，，.由于A的順序主子式，因A正定，故，可推出.若記，于是有.若，則L為下三角矩陣，且對(duì)角元為正，故有，即為(3.3.8).證畢.利用Cholesky分解式(3.3.8)將求方程組(3.1.1)的解轉(zhuǎn)化為求方程的解.令,則得(3.3.9)根據(jù)矩陣乘法，由，求L的元素CONTROLShockwaveFlash.ShockwaveFlash.1\s得當(dāng)i=j有(3.3.10)當(dāng)i＞j,得(3.3.11)注意當(dāng)j=1時(shí)有，對(duì)j=2，3，…，n由(3.3.10)，(3.3.11)逐列求得L的元素，這就是A的Cholesky分解，然后再解(3.3.9)的兩個(gè)三角方程組，得(3.3.12)及(3.3.13)這就是對(duì)稱正定方程組的平方根法.其工作量約為Doolittle分解法的一半.另外，由于故有這表明分解過(guò)程中矩陣L中元素的數(shù)量級(jí)不增長(zhǎng)，因此平方根法計(jì)算是數(shù)值穩(wěn)定的.例3.8用平方根法求以下方程組的解.解先驗(yàn)證系數(shù)矩陣A對(duì)稱正定，對(duì)稱顯然，，，故A對(duì)稱正定，可用Cholesky分解(3.3.10)，(3.3.11)計(jì)算，求得即，求解.由公式(3.3.12)得,再由的公式(3.3.13)求得Cholesky分解法要用到開方運(yùn)算，為避免開方運(yùn)算，可將A分解為(其中L為單位下三角矩陣)，再分別解方程組及或，這種方法稱為改進(jìn)平方根法，可作為練習(xí)自行推導(dǎo).講解：當(dāng)A為對(duì)稱正定矩陣時(shí)，可將A分解為，其中L為下三角陣，這種分解為Cholesky分解，它也是存在唯一的，求L的元素仍可直接用矩陣乘法，由公式（3.3.10）和（3.3.11）逐列求得L的元素，注意，當(dāng)j＝1時(shí)得然后對(duì)j＝2，3...n逐列計(jì)算.由（3.3.10）可得及，所以這表明，平方根法得到的中間量是有界的，完全可以控制，舍入誤差也同樣可以控制，故計(jì)算過(guò)程是穩(wěn)定的。使用平方根法要計(jì)算開方，為避免開方可用改進(jìn)平方根法，將A分解為，即其中，由矩陣乘法，比較等式兩邊，按行計(jì)算L，T元素，對(duì)于i=2,3,…n解方程組以下步驟進(jìn)行：所以，這就是改進(jìn)平方根法。3.3三對(duì)角方程組的追趕法在許多科學(xué)計(jì)算問(wèn)題中，常常所要求解的方程組為三對(duì)角方程組，即(3.3.14)其中(3.3.15)并滿足條件(3.3.16)稱A為對(duì)角占優(yōu)的三對(duì)角矩陣，對(duì)這種簡(jiǎn)單方程可通過(guò)對(duì)A的三角分解建立計(jì)算量更少的求解公式.現(xiàn)將A分解為下三角矩陣L及單位上三角矩陣U的乘積.即A=LU，其中(3.3.17)直接用矩陣乘法公式可得到于是有(3.3.18)由此可見將A分解為L(zhǎng)及U，只需計(jì)算及兩組數(shù)，然后解，計(jì)算公式為(3.3.19)再解Ux=y則得(3.3.20)整個(gè)求解過(guò)程是先由(3.3.18)及(3.3.19)求,及，這時(shí)i=1,…,n是"追"的過(guò)程，再由(3.3.20)求出，這時(shí)i=n,…,1是往回"趕"，故求解方程組(3.3.14)的整個(gè)過(guò)程稱為追趕法.它只用(5n-4)次乘除法運(yùn)算，計(jì)算量只是,而通常方程組求解計(jì)算量為，另外，追趕法計(jì)算,是數(shù)值穩(wěn)定的，因?yàn)樵谑?3.3.16)表示的條件下，可證明所以，追趕法是一種計(jì)算量少及數(shù)值穩(wěn)定的好算法.講解：注意追趕法滿足條件（3.3.16）時(shí)，直接由（3.3.18）則可推出它表明及有界，因此即使不選主元，方法也是數(shù)值穩(wěn)定的，并且，故方程組（3.3.14）解時(shí)存在唯一的。3.4向量和矩陣范數(shù)3.4.1內(nèi)積與向量范數(shù)為了研究方程組Ax=b解的誤差和迭代法收斂性，需對(duì)向量及矩陣的"大小"引進(jìn)一種度量，就要定義范數(shù)，它是向量"長(zhǎng)度"概念的直接推廣，通常用表示n維實(shí)向量空間，表示n維復(fù)向量空間.定義4.1設(shè)(或)，，，實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)，稱為向量x與y的數(shù)量積也稱內(nèi)積.非負(fù)實(shí)數(shù)，稱為向量x的歐氏范數(shù)或2-范數(shù).定理4.1設(shè)設(shè)(或)則內(nèi)積有以下性質(zhì)：(1)，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立；(2),或；(3),或；(4)；(5)(3.4.1)稱為Cauch-Schwarz不等式.(6)，稱為三角不等式.定義4.2向量的某個(gè)實(shí)值函數(shù)N(x)，記作，若滿足下列條件：(1)‖x‖≥0,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立(正定性)；(2)(齊次性)；(3)(三角不等式)；則稱是上的一個(gè)向量范數(shù).對(duì)于，由內(nèi)積性質(zhì)可知它滿足定義4.2的三個(gè)條件，故它是一種向量范數(shù).此外還有以下幾種常用的向量范數(shù).(稱為∞-范數(shù))(稱為1-范數(shù))容易驗(yàn)證及均滿足定義4.2的三個(gè)條件.更一般的還可定義但只有p=1,2,∞時(shí)的三種范數(shù)是常用的向量范數(shù).例如給定,則可求出定理4.2設(shè)是上任一種向量范數(shù)，則N(x)是向量x的分量的連續(xù)函數(shù).定理4.3設(shè)與是上任意兩種向量范數(shù)，則存在常數(shù)，使(3.4.2)不等式稱為向量范數(shù)等價(jià)性.以上兩定理證明可見［2］，［3］.講解：在向量得內(nèi)積（x,y）的性質(zhì)中，定理4.1的（5）為Cauch-Schwarz不等式（3.4.1）是經(jīng)常使用的，下面給出證明，顯然當(dāng)x＝0或y＝0時(shí)（3.4.1）成立，現(xiàn)設(shè)，考察若取則上式為于是兩邊開方則得（3.4.1）利用（3.4.1）直接可證三角不等式，從而可證明向量2一范數(shù)，滿足定義中的三個(gè)條件。及是三種最常用的范數(shù)。實(shí)際上可以給出很多不同的向量范數(shù)，只要證明它們滿足定義4.2中的三個(gè)條件，定理4.3表明任意的兩種向量范數(shù)及，它們都是等價(jià)的，對(duì)于的等價(jià)性在習(xí)題10中給出，可自己證明。3.4.2矩陣范數(shù)矩陣可看成n×n維向量，如果直接將向量的2-范數(shù)用于矩陣A，則可定義(3.4.3)稱為矩陣A的Frobenius范數(shù)，簡(jiǎn)稱F-范數(shù).它顯然滿足向量范數(shù)的三條性質(zhì)，但由于矩陣還有乘法運(yùn)算，因此矩陣范數(shù)的定義中應(yīng)增加新條件.定義4.3如果的某個(gè)非負(fù)實(shí)函數(shù)N(A)，記作‖A‖，滿足條件：(1)‖A‖≥0，當(dāng)且僅當(dāng)A=0(零矩陣)時(shí)等號(hào)成立；(2)；(3)；(4)；則稱N(A)=‖A‖為上的一種矩陣范數(shù).顯然滿足定義中的四個(gè)條件［(3)，(4)兩條均可由Cauchy-Schwarz不等式(3.4.1)證明，故是一種矩陣范數(shù).除矩陣自身的運(yùn)算外，在解方程中矩陣乘向量的運(yùn)算即Ax，也是必不可少的.因此要求所引進(jìn)的范數(shù)應(yīng)滿足條件：(3.4.4)上式稱為相容性條件.為使引進(jìn)的矩陣范數(shù)滿足條件(3.4.4)，我們給出以下定義.定義4.4設(shè)，當(dāng)給定向量范數(shù)時(shí)可定義(3.4.5)稱為矩陣的算子范數(shù)或從屬范數(shù).定理4.4設(shè)是上的一種向量范數(shù)，則由(3.4.5)定義的是一種矩陣范數(shù)，且滿足相容性條件(3.4.4).證明因是中有界閉集上的連續(xù)函數(shù)，故在D上有最大值，即使，而對(duì)，令

故所以從而當(dāng)時(shí)(3.4.4)成立，而x=0時(shí)(3.4.4)顯然也成立.下面驗(yàn)證由(3.4.5)定義的滿足矩陣定義的四個(gè)條件.條件(1)，(2)顯然成立.下面只需證(3)，(4).由(3.4.5)及(3.4.4)有故(3)成立，又因故有.證畢.定理4.5設(shè)則(A的行范數(shù))(A的列范數(shù))(A的2范數(shù))這里ρ(·)為矩陣的譜半徑.證明這里只給出的證明，其余可見［2］.設(shè)，由其中.故對(duì)均有.下面證明,使得現(xiàn)設(shè)，其中顯然，且.證畢.從定理可以看出，計(jì)算及較容易，而計(jì)算2時(shí)因?yàn)橐蟮奶卣髦?，所以較為困難.但當(dāng)A對(duì)稱時(shí)，有例3.9已知，求.解.定理4.6對(duì)任何為任一種從屬范數(shù)則(3.4.6)反之，對(duì)任意ε＞0，至少存在一種從屬范數(shù)，使(3.4.7)證明只證定理前一半，后半證明可見［3］.設(shè)為A的特征值，則，使，由(3.4.4)有及得即證畢.注意，當(dāng)A對(duì)稱時(shí)，，表明(3.4.6)可取等號(hào).定理4.7(矩陣范數(shù)等價(jià)性)對(duì)上的任兩種范數(shù)及，存在常數(shù)，使(3.4.8)證明略.例3.10證明(3.4.9)解因?qū)ΨQ半正定，，利用特征值性質(zhì)(3.1.5)及和的定義，有另一方面于是,證畢.定理4.8設(shè)1則非奇異，且(3.4.10)證明用反證法.假定(I+B)奇異，則齊次方程有非零解，即使故而與‖B‖＜1的假設(shè)矛盾，故(I+B)非奇異.又，即，得，取范數(shù)，于是得(3.4.10).證畢.講解：矩陣范數(shù)可看作向量范數(shù)的擴(kuò)充，它的定義中除了向量范數(shù)定義的三條性質(zhì)，只增加了由矩陣乘法的得到的第4條即但為使矩陣與向量運(yùn)算AX能相容，要求它們滿足條件（3.4.4）即這就是相容性條件，由此給出了矩陣的算子范數(shù)，即從屬范數(shù)為等式（3.4.5），它是由相應(yīng)的向量范數(shù)定義的，定理4.4證明了（3.4.5）定義的從屬范數(shù)，滿足矩陣范數(shù)的定義，并針對(duì)三種常用的范數(shù)及得到了及，它們的表達(dá)式已有定理4.5給出。這就是必須記住的，并且當(dāng)給定具體的矩陣A以后要能算出和.如例3.9.定理4.6給出了矩陣范數(shù)與譜半徑關(guān)系，是一個(gè)很重要的結(jié)果，必須記住，定理4.8給出陣非奇異的條件和它的逆矩陣估計(jì)式是一個(gè)經(jīng)常使用的結(jié)論。3.5誤差分析與病態(tài)方程組3.5.1矩陣條件數(shù)與擾動(dòng)方程組誤差界在解方程組Ax=b時(shí)，由于各種原因，A或b往往有誤差，從而使得解也產(chǎn)生誤差.例3.11方程組的準(zhǔn)確解為，當(dāng)A與b有微小變化時(shí)，如變?yōu)榉匠虅t準(zhǔn)確解變?yōu)?它表明A,b的微小擾動(dòng)引起方程解x的很大變化，這就是病態(tài)方程.定義5.1求解線性方程組Ax=b時(shí)，若A或b有微小擾動(dòng)或時(shí)，解x的誤差很大，則稱此方程組為病態(tài)方程組，相應(yīng)的系數(shù)矩陣A稱為病態(tài)矩陣.反之，若此時(shí)很小，則稱方程組為良態(tài)方程組，矩陣A為良態(tài)矩陣.注意方程組是否病態(tài)與用什么數(shù)值方法無(wú)關(guān)，它是由方程自身性質(zhì)決定的.在例3.11中因?yàn)樾辛惺?，因此出現(xiàn)病態(tài).但有時(shí)A從表面上看性質(zhì)很好，也可能是病態(tài)的.例3.12方程組Ax=b表示為它的準(zhǔn)確解，A對(duì)稱正定且.表面看性質(zhì)"較好"，但若對(duì)右端b作微小變化，如方程改為,則解變?yōu)門.這里b的相對(duì)誤差大約只有，但解的相對(duì)誤差卻很大，故A也是病態(tài)矩陣.那么如何判斷A是否病態(tài)?先給出如下定義.定義5.2設(shè)非奇異，‖·‖為矩陣的任一種從屬范數(shù)，則(3.5.1)稱為矩陣A的條件數(shù).從定義看到矩陣條件數(shù)依賴于范數(shù)的選取，如范數(shù)為2-范數(shù)，則記為.同理有等等.條件數(shù)有以下性質(zhì)：(1)；(2)；(3)U為正交矩陣，則(4)若與為A的按模最大與最小特征值，則.若A對(duì)稱，則下面給出擾動(dòng)方程組解的誤差分析.先考察b有擾動(dòng)，則擾動(dòng)方程為由于Ax=b,故得，于是，再由Ax=b,有，即，故得(3.5.2)下面再研究方程Ax=b，當(dāng)A有擾動(dòng)時(shí)，其解的誤差分析.此時(shí)擾動(dòng)方程為因Ax=b,故有(3.5.3)因存在，若假定則由定理4.8可知非奇異，并有由(3.5.3)可得即故有(3.5.4)綜合(3.5.2)與(3.5.4)的結(jié)果可得到如下定理.定理5.1設(shè)是方程組Ax=b的解，是擾動(dòng)方程組的解.如果，則有誤差估計(jì)(3.5.5)此定理包含了(3.5.2)及(3.5.4)兩種特例.當(dāng)則得(3.5.2)式；當(dāng)時(shí)則得(3.5.4)式.實(shí)際使用時(shí)，由于誤差‖‖及‖‖很小，并且一般是可以控制的，故定理中的條件是可以成立的.從(3.5.5)看到，當(dāng)A的條件數(shù)Cond(A)很大時(shí)，解的相對(duì)誤差也很大，故方程組為病態(tài).在例3.11中1，而于是條件數(shù)很大，故方程是嚴(yán)重病態(tài)的.例3.13Hibert矩陣是一個(gè)著名的病態(tài)矩陣，記作

它是一個(gè)對(duì)稱正定矩陣，當(dāng)n≥3時(shí)它是病態(tài)矩陣.例如，故.另外還有.等等因此是嚴(yán)重的病態(tài)矩陣，且n越大越大.例3.1４在例3.12的方程組中可算出A的特征值，，，，故例中，，，實(shí)際相對(duì)誤差是而根據(jù)(3.5.2)的誤差估計(jì)為這與實(shí)際相差不大，即相對(duì)誤差放大了將近3000倍.故方程為病態(tài)方程組.定理5.2設(shè)方程組，若實(shí)際求得解為，則(3.5.6)證明記剩余，則，，，又故有.證畢.這是關(guān)于方程解的事后誤差估計(jì)，它表明如果方程組病態(tài)，即使剩余‖r‖很小，解的相對(duì)誤差仍可能很大.講解：矩陣條件數(shù)是判斷矩陣是否病態(tài)的依據(jù)，要求在n3時(shí)能夠計(jì)算，一般情況由于計(jì)算較困難，只要知道它的性質(zhì)則可，利用條件數(shù)估計(jì)解方程組AX＝b的誤差，主要根據(jù)定理5.1的誤差估計(jì)式（3.5.5）。3.5.2病態(tài)方程組的解法如果A的條件數(shù)Cond(A)>>1，則Ax=b為病態(tài)方程，但計(jì)算Cond(A)時(shí)需要求，計(jì)算量很大，相當(dāng)于解方程組，在實(shí)際中?？赏ㄟ^(guò)求解過(guò)程直觀地判斷方程組的病態(tài)性質(zhì)，如果解方程時(shí)出現(xiàn)下述情況之一，則可能是"病態(tài)"方程組.(1)在列主元消去法中出現(xiàn)小主元；(2)在計(jì)算過(guò)程中行或列幾乎線性相關(guān)或三角分解中對(duì)角元出現(xiàn)近似零的元素；(3)矩陣A的元素?cái)?shù)量級(jí)相差很大且無(wú)規(guī)律；(4)剩余很小，而解很大，又達(dá)不到精度要求.對(duì)病態(tài)方程組求解可采用以下措施：(1)采用高精度運(yùn)算，減輕病態(tài)影響，例如用雙倍字長(zhǎng)運(yùn)算.(2)用預(yù)處理方法改善A的條件數(shù)，即選擇非奇矩陣，使與Ax=b等價(jià)，而的條件數(shù)比A改善，則求的解，即為原方程的解.計(jì)算時(shí)可選擇P，Q為對(duì)角矩陣或三角矩陣.(3)平衡方法，當(dāng)A中元素的數(shù)量級(jí)相差很大，可采用行均衡或列均衡的方法改善A的條件數(shù).設(shè)非奇異，計(jì)算，令，于是求Ax=b等價(jià)于求，或.這時(shí)的條件數(shù)可得到改善，這就是行均衡法.例3.15給定方程組Ax=b為A的條件數(shù)，若用行均衡法可取，則平衡后的方程為，用三位有效數(shù)字的列主元消去法求解得.【本章小結(jié)】1.本章主要討論解方程組AX＝b的Gauss消去法和直解三角分解法，首先要理解消去法原理并能用列主元消去法求解方程組。當(dāng)矩陣A的順序主子式，則可通過(guò)順序消去得到方程組的解，通過(guò)n-1步消去相當(dāng)于用n-1次Gauss變換使方程轉(zhuǎn)化為,其中,即為上三角陣，于是,其中L為單位下三角陣，為上三角陣，這就是A的LU分解具體計(jì)算時(shí)也可直接利用矩陣乘法求得L與U的元素。從而將方程AX＝b的求解轉(zhuǎn)化為解兩個(gè)三角方程及，要求在不記公式的前提下對(duì)n=3的方程組能直接求出L及U和解x,要注意A能進(jìn)行LU分解的條件。例3.16非奇異矩陣不一定都有LU分解。解設(shè)非奇異，要說(shuō)明A不一定能做LU分解，只需舉出一個(gè)例子不能分解即可，通常應(yīng)盡量找簡(jiǎn)單例子?，F(xiàn)考慮矩陣顯然A為非奇異，若A有LU分解，則于是，而顯然不能同時(shí)成立，這矛盾說(shuō)明A不能做LU分解，所有只假定A非奇異不能保證A能作LU分解，充分條件是A的所有順序主子式2.特殊方程組的三角分解法。當(dāng)A為對(duì)稱正定矩陣，使用Cholesky分解，得，其中L為下三角陣，再用平方根法求得方程組的解x，分解仍用矩陣乘法規(guī)則求得L的元素,然后解兩個(gè)三角方程組Ly=b及，計(jì)算公式（3.3.12），（3.3.13），為避免開方可用改進(jìn)的平方根法。當(dāng)A為三對(duì)角矩陣時(shí)通常用追趕法求解，它也是一種三角分解，只要A的元素滿足條件（3.3.16），則追趕法（見公式（3.3.18）－（3.3.20））計(jì)算是穩(wěn)定的，得到的解是可靠的，且整個(gè)計(jì)算過(guò)程只需（5n-4）次乘除和3(n-1)次加減法運(yùn)算。3．向量和矩陣的范數(shù)是本章另一重點(diǎn)，要熟記向量范數(shù)定義的3條性質(zhì)和矩陣范數(shù)的4條性質(zhì)，并能根據(jù)定義檢驗(yàn)每種具體的范數(shù)及是否符合定義要求。對(duì)常用的向量范數(shù)和矩陣范數(shù)及要熟記并能正確算出結(jié)果。為使同學(xué)更好掌握范數(shù)定義，再給出以下兩個(gè)例題。例3.17設(shè)為非奇異陣，為上的向量范數(shù)，定義，證明是上的一種向量范數(shù)。證明只要證滿足范數(shù)定義3.1中的3個(gè)條件。（1）因P非奇異，故對(duì)，故時(shí)x=0,且當(dāng)，于是例當(dāng)且僅當(dāng)成立。（2）對(duì)（3）故是上的一種向量范數(shù)。例3.18設(shè)，證明（1）是一種矩陣范數(shù)（2）不是A的矩陣范數(shù)證明（1）要證明是一種矩陣范數(shù)只要證明它滿足矩陣范數(shù)定義的4個(gè)條件。（1），且成立。（2）（3）（4）由此可知是A的一種矩陣范數(shù)。（2）由于不滿足條件例如于是顯然不成立，故不是矩陣范數(shù)5.矩陣的條件數(shù)是衡量矩陣A病態(tài)程度的條件，若，就稱A為病態(tài)矩陣，通常為病態(tài)，P越大，病態(tài)越嚴(yán)重，當(dāng)A為對(duì)稱矩陣分別為A的絕對(duì)最大與最小特征值，利用矩陣條件數(shù)還可估計(jì)解方程組的計(jì)算誤差，即當(dāng)A和b有誤差及時(shí)解的誤差，由（3.5.5）式可得到的估計(jì)。例3.19已知Hilbert矩陣解方程組時(shí)，及b有微小誤差（取3位有效數(shù)字），估計(jì)解的誤差解方程組在及b有微小變化時(shí)為簡(jiǎn)記為，它的精確度為，而且的精確解為于是而.這表明及b的相對(duì)誤差不超過(guò)0.3％，而引起解的相對(duì)誤差超過(guò)50％下面利用定理3.6給出的誤差估計(jì)式（3.2.1）可得這個(gè)估計(jì)結(jié)果是比實(shí)際誤差大是合理的。第三章解線性方程組的直接法3.1引言與矩陣一些基礎(chǔ)知識(shí)3.1.1引言線性方程組求解是科學(xué)計(jì)算中最常遇到的問(wèn)題，如在應(yīng)力分析、電路分析、分子結(jié)構(gòu)、測(cè)量學(xué)中都會(huì)遇到解線性方程組問(wèn)題.在很多廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)值方法中，如三次樣條、最小二乘法、微分方程邊值問(wèn)題的差分法與有限元法也都涉及到求解線性方程組.本章討論n個(gè)變量n個(gè)線性方程的方程組求解，其表達(dá)式為通常用向量矩陣表示，則上述方程可寫成(3.1.1)其中并記做，分別表示A為n×n階實(shí)矩陣，x,b為n維實(shí)向量.根據(jù)線性代數(shù)知識(shí)可知A非奇異，即detA≠0，方程組(3.1.1)有唯一解，并可用Cramer法則將解用公式表示出來(lái)，但由于計(jì)算量太大，因此不能用于實(shí)際求解.本章要討論的直接方法是將方程組(3.1.1)轉(zhuǎn)化為三角方程組，再通過(guò)回代求三角方程組的解.理論上，直接法可在有限步內(nèi)求得方程的精確解，但由于數(shù)值運(yùn)算有舍入誤差，因此實(shí)際在計(jì)算機(jī)上求得的數(shù)值解仍是近似解，仍要對(duì)它進(jìn)行誤差分析.解線性方程組的另一類方法是迭代法，將在下一章討論.下面給出本章和下章需要的一些矩陣基礎(chǔ)知識(shí).3.1.2矩陣特征值與譜半徑定義1.1設(shè)，若存在一個(gè)數(shù)(實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù))和非零向量，使(3.1.2)則稱為A的特征值，x為A對(duì)應(yīng)的特征向量，A的全體特征值稱為A的譜，記作，即(3.1.3)稱為A的譜半徑.由式(3.1.2)知，可使齊次方程有非零解，故系數(shù)行列式det(I-A)=0，即(3.1.4)稱為特征多項(xiàng)式，方程(3.1.4)稱為特征方程，在復(fù)數(shù)域中有n個(gè)根，故由行列式(3.1.4)展開可知：于是，矩陣的n個(gè)特征值是它的特征方程(3.1.4)的n個(gè)根，A的跡trA有(3.1.5)(3.1.6)此外，A的特征值和特征向量x還有如下性質(zhì)：(1)與A有相同的特征值及相同的特征向量x.(2)若A非奇異，則的特征值為，特征向量為x.(3)相似矩陣有相同特征多項(xiàng)式.例3.1求的特征值及譜半徑.解A的特征方程為故A的特征值為.譜半徑為.講解：根據(jù)特征值定義（3.1.2）式知它等價(jià)于齊次方程有非零解，它的充分必要條件是系數(shù)行列式為零即，將行列式展開，由（3.1.4）看到它是的n次多項(xiàng)式，記作稱為特征多項(xiàng)式，將行列式對(duì)角元素相乘，即它決定了中及的系數(shù)，因?yàn)樾辛惺降恼归_式中其余各項(xiàng)的次數(shù)均不超過(guò)，故，利用，有n個(gè)根（在復(fù)數(shù)域中，復(fù)根成對(duì)出現(xiàn)），故，可知，于是有，稱為矩陣A的跡。另外行列式中令，則得，從而得到（3.1.6）3.1.3對(duì)稱正定矩陣定義1.2設(shè)，如果，即，則稱A為對(duì)稱矩陣，若還滿足對(duì)于，則稱A為對(duì)稱正定矩陣，如果對(duì)有，則稱A為半正定矩陣.當(dāng)A為對(duì)稱時(shí)，A的特征值皆為實(shí)數(shù)，且有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.對(duì)稱正定矩陣還有以下重要性質(zhì)：(1)對(duì)稱正定，則〖WTHX〗A非奇異，且也對(duì)稱正定；(2)A對(duì)稱正定的充要條件是，A的所有特征值；(3)A對(duì)稱正定，則A的對(duì)角元素；(4)A對(duì)稱正定的充要條件是A的所有順序主子式以上性質(zhì)可直接由定義證明，證明略.講解：對(duì)稱正定矩陣性質(zhì)都可直接由定義證明為了更好理解，下面就性質(zhì)（1）給出證明先證A非奇異，用反證法，假定A奇異，則，使，故與A正定的假定矛盾，故A非奇異，即存在。由于是，即對(duì)稱，再證正定。對(duì)，令，于是，由A正定得，故也正定。3.1.4正交矩陣與初等矩陣定義1.3若且，則稱A為正交矩陣.由定義知，且與均為正交陣，且有.定義1.4設(shè).則為單位矩陣，稱為(實(shí))初等矩陣.顯然，例如，則設(shè)，則若σ已知，選，使則當(dāng)時(shí)，令(3.1.7)則有(3.1.8)此外，還有(3.1.9)下面給出兩個(gè)常用的初等矩陣.例3.2初等排列矩陣.令則矩陣也稱初等置換矩陣，它由單位矩陣I交換i行與j行得到，它有以下性質(zhì)：(1)，故為正交矩陣.(2).(3)是將A的i,j行互換，是將A的i,j列互換.例3.3初等下三角矩陣.設(shè),則記稱為指標(biāo)為j的初等下三角矩陣，即(3.1.10)矩陣有以下性質(zhì)：(1).(2).(3)，為單位下三角矩陣.初等下三角矩陣也稱為Gauss變換矩陣.講解：例3.2中給出的初等排列陣，其作用是實(shí)現(xiàn)矩陣A的i,j行互換及列互換，即表示A的i、j兩行互換，而，表示A的i,j兩列互換。例3.3初等下三角陣，由（3.1.10）所表示的矩陣，在下節(jié)Gauss消去法中有應(yīng)用，其逆矩陣，表示為3.2Gauss消去法3.2.1順序消去法Gauss消去法就是將方程組(3.1.1)通過(guò)(n-1)步消元，將(3.1.1)轉(zhuǎn)化為上三角方程組(3.2.1)再回代求此方程組的解.下面記增廣矩陣，即第1步設(shè)，計(jì)算l，記為，若用乘第一行加到第i行，可消去,用Gauss變換矩陣表示令其中一般地，假定已完成了(k-1)步消元，即已將轉(zhuǎn)化為以下形式：第k步，假定，計(jì)算(3.2.2)記，，則其中(3.2.3).當(dāng)k=1,2，…,n-1則可得到，即方程組(3.2.1).直接回代解(3.2.1)得，(3.2.4)并且有，由以上順序消去過(guò)程可得如下定理.定理2.1設(shè)非奇異，則通過(guò)兩行互換總可使，k=1,2，…,n-1.可將方程組(3.1.1)轉(zhuǎn)化為(3.2.1)并求得方程組(3.1.1)的解為(3.2.4)，且有.如果不做行交換，則使的條件如下.定理2.2非奇異，且各階順序主子式，則，k=1,2，…,n-1.證明用歸納法，當(dāng)，故.現(xiàn)假設(shè)(k-1)成立，即，對(duì)i=1，2，…,k-1已推出，故Gauss消去法能進(jìn)行(k-1)步消元，A已約化為，即故對(duì)k=1,2,…,n均成立，證畢.在整個(gè)消去法消元過(guò)程中，k從1到(n-1)共需乘除法運(yùn)算次數(shù)為加減法次數(shù)為回代過(guò)程中由公式(3.2.4)可知乘除法次數(shù)為，加減法次數(shù)為，于是Gauss消去法的乘除法總次數(shù)為，加減法次數(shù)為例3.4用Gauss消去法解方程組并求detA.解消元得再由(3.2.4)回代，得解講解：Gauss消去法是將方程組AX＝b,通過(guò)消元轉(zhuǎn)化為上三角方程組（3，2，1）求解，消元第一步做完后有用矩陣表示第K－1步完成后得到當(dāng)，可做K步，得到得到，對(duì)應(yīng)的方程組就是（3.2.1），利用公式（3.2.4）就可求得解。定理2.2給出了進(jìn)行順序消去法的條件，即A的所有順序生子式，而方程（3.1.1）解存在唯一的條件是3.2.2消去法與矩陣三角分解上述Gauss消去法的消元