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文檔簡介
2023-2024學(xué)年安徽省宣城二中高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù)在區(qū)間有三個(gè)零點(diǎn),,,且,若,則的最小正周期為()A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位),則下列說法正確的是()A.的虛部為 B.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限C.的共軛復(fù)數(shù) D.3.已知為一條直線,為兩個(gè)不同的平面,則下列說法正確的是()A.若,則 B.若,則C.若,則 D.若,則4.已知函數(shù),若,則下列不等關(guān)系正確的是()A. B.C. D.5.已知集合.為自然數(shù)集,則下列表示不正確的是()A. B. C. D.6.下列函數(shù)中,在區(qū)間上為減函數(shù)的是()A. B. C. D.7.已知的值域?yàn)?,?dāng)正數(shù)a,b滿足時(shí),則的最小值為()A. B.5 C. D.98.已知集合,則集合真子集的個(gè)數(shù)為()A.3 B.4 C.7 D.89.已知雙曲線的焦距為,過左焦點(diǎn)作斜率為1的直線交雙曲線的右支于點(diǎn),若線段的中點(diǎn)在圓上,則該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.10.如圖所示,三國時(shí)代數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用弦圖,給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個(gè)全等的直角三角形及一個(gè)小正方形(陰影),設(shè)直角三角形有一內(nèi)角為,若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲500顆米粒(米粒大小忽略不計(jì),?。?,則落在小正方形(陰影)內(nèi)的米粒數(shù)大約為()A.134 B.67 C.182 D.10811.定義在上的函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示,設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),、、、四點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為、、、,則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A. B. C. D.12.已知正三角形的邊長為2,為邊的中點(diǎn),、分別為邊、上的動(dòng)點(diǎn),并滿足,則的取值范圍是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)、,則的取值范圍為_________.14.設(shè)、滿足約束條件,若的最小值是,則的值為__________.15.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,,,,則滿足的正整數(shù)的所有取值為__________.16.已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn),,是該拋物線上的兩點(diǎn),若,則線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),設(shè)的最小值為m.(1)求m的值;(2)是否存在實(shí)數(shù)a,b,使得,?并說明理由.18.(12分)設(shè),,其中.(1)當(dāng)時(shí),求的值;(2)對(duì),證明:恒為定值.19.(12分)如圖,在直角中,,,,點(diǎn)在線段上.(1)若,求的長;(2)點(diǎn)是線段上一點(diǎn),,且,求的值.20.(12分)有甲、乙兩家外賣公司,其送餐員的日工資方案如下:甲公司底薪元,送餐員每單制成元;乙公司無底薪,單以內(nèi)(含單)的部分送餐員每單抽成元,超過單的部分送餐員每單抽成元.現(xiàn)從這兩家公司各隨機(jī)選取一名送餐員,分別記錄其天的送餐單數(shù),得到如下頻數(shù)分布表:送餐單數(shù)3839404142甲公司天數(shù)101015105乙公司天數(shù)101510105(1)從記錄甲公司的天送餐單數(shù)中隨機(jī)抽取天,求這天的送餐單數(shù)都不小于單的概率;(2)假設(shè)同一公司的送餐員一天的送餐單數(shù)相同,將頻率視為概率,回答下列兩個(gè)問題:①求乙公司送餐員日工資的分布列和數(shù)學(xué)期望;②小張打算到甲、乙兩家公司中的一家應(yīng)聘送餐員,如果僅從日工資的角度考慮,小張應(yīng)選擇哪家公司應(yīng)聘?說明你的理由.21.(12分)已知橢圓的離心率為,且過點(diǎn).(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)設(shè)是橢圓上且不在軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),過右焦點(diǎn)作的平行線交橢圓于、兩個(gè)不同的點(diǎn),求的值.22.(10分)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)(2)
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
根據(jù)題意,知當(dāng)時(shí),,由對(duì)稱軸的性質(zhì)可知和,即可求出,即可求出的最小正周期.【詳解】解:由于在區(qū)間有三個(gè)零點(diǎn),,,當(dāng)時(shí),,∴由對(duì)稱軸可知,滿足,即.同理,滿足,即,∴,,所以最小正周期為:.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的最小正周期,涉及函數(shù)的對(duì)稱性的應(yīng)用,考查計(jì)算能力.2、D【解析】
利用的周期性先將復(fù)數(shù)化簡為即可得到答案.【詳解】因?yàn)?,,,所以的周期?,故,故的虛部為2,A錯(cuò)誤;在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,在第二象限,B錯(cuò)誤;的共軛復(fù)數(shù)為,C錯(cuò)誤;,D正確.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,涉及到復(fù)數(shù)的虛部、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)的模等知識(shí),是一道基礎(chǔ)題.3、D【解析】A.若,則或,故A錯(cuò)誤;B.若,則或故B錯(cuò)誤;C.若,則或,或與相交;D.若,則,正確.故選D.4、B【解析】
利用函數(shù)的單調(diào)性得到的大小關(guān)系,再利用不等式的性質(zhì),即可得答案.【詳解】∵在R上單調(diào)遞增,且,∴.∵的符號(hào)無法判斷,故與,與的大小不確定,對(duì)A,當(dāng)時(shí),,故A錯(cuò)誤;對(duì)C,當(dāng)時(shí),,故C錯(cuò)誤;對(duì)D,當(dāng)時(shí),,故D錯(cuò)誤;對(duì)B,對(duì),則,故B正確.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性、不等式性質(zhì)的運(yùn)用,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】
集合.為自然數(shù)集,由此能求出結(jié)果.【詳解】解:集合.為自然數(shù)集,在A中,,正確;在B中,,正確;在C中,,正確;在D中,不是的子集,故D錯(cuò)誤.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷、元素與集合的關(guān)系、集合與集合的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.6、C【解析】
利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性判斷各選項(xiàng)中函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性,進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng),函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù);對(duì)于B選項(xiàng),函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù);對(duì)于C選項(xiàng),函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù);對(duì)于D選項(xiàng),函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù).故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性的判斷,熟悉一些常見的基本初等函數(shù)的單調(diào)性是判斷的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】
利用的值域?yàn)?求出m,再變形,利用1的代換,即可求出的最小值.【詳解】解:∵的值域?yàn)?∴,∴,∴,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),∴的最小值為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)數(shù)復(fù)合函數(shù)的值域運(yùn)用,同時(shí)也考查了基本不等式中“1的運(yùn)用”,屬于中檔題.8、C【解析】
解出集合,再由含有個(gè)元素的集合,其真子集的個(gè)數(shù)為個(gè)可得答案.【詳解】解:由,得所以集合的真子集個(gè)數(shù)為個(gè).故選:C【點(diǎn)睛】此題考查利用集合子集個(gè)數(shù)判斷集合元素個(gè)數(shù)的應(yīng)用,含有個(gè)元素的集合,其真子集的個(gè)數(shù)為個(gè),屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】
設(shè)線段的中點(diǎn)為,判斷出點(diǎn)的位置,結(jié)合雙曲線的定義,求得雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)線段的中點(diǎn)為,由于直線的斜率是,而圓,所以.由于是線段的中點(diǎn),所以,而,根據(jù)雙曲線的定義可知,即,即.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的定義和離心率的求法,考查直線和圓的位置關(guān)系,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.10、B【解析】
根據(jù)幾何概型的概率公式求出對(duì)應(yīng)面積之比即可得到結(jié)論.【詳解】解:設(shè)大正方形的邊長為1,則小直角三角形的邊長為,
則小正方形的邊長為,小正方形的面積,
則落在小正方形(陰影)內(nèi)的米粒數(shù)大約為,
故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何概型的概率的應(yīng)用,求出對(duì)應(yīng)的面積之比是解決本題的關(guān)鍵.11、B【解析】
先辨別出圖象中實(shí)線部分為函數(shù)的圖象,虛線部分為其導(dǎo)函數(shù)的圖象,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為,由,得出,只需在圖中找出滿足不等式對(duì)應(yīng)的的取值范圍即可.【詳解】若虛線部分為函數(shù)的圖象,則該函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn),但其導(dǎo)函數(shù)圖象(實(shí)線)與軸有三個(gè)交點(diǎn),不合乎題意;若實(shí)線部分為函數(shù)的圖象,則該函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),則其導(dǎo)函數(shù)圖象(虛線)與軸恰好也只有兩個(gè)交點(diǎn),合乎題意.對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得,由得,由圖象可知,滿足不等式的的取值范圍是,因此,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用圖象求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,同時(shí)也考查了利用圖象辨別函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的圖象,考查推理能力,屬于中等題.12、A【解析】
建立平面直角坐標(biāo)系,求出直線,設(shè)出點(diǎn),通過,找出與的關(guān)系.通過數(shù)量積的坐標(biāo)表示,將表示成與的關(guān)系式,消元,轉(zhuǎn)化成或的二次函數(shù),利用二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí),求出其值域,即為的取值范圍.【詳解】以D為原點(diǎn),BC所在直線為軸,AD所在直線為軸建系,設(shè),則直線,設(shè)點(diǎn),所以由得,即,所以,由及,解得,由二次函數(shù)的圖像知,,所以的取值范圍是.故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查解析法在向量中的應(yīng)用,以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的運(yùn)用.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
確定函數(shù)的定義域,求導(dǎo)函數(shù),利用極值的定義,建立方程,結(jié)合韋達(dá)定理,即可求的取值范圍.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?,,依題意,方程有兩個(gè)不等的正根、(其中),則,由韋達(dá)定理得,,所以,令,則,,當(dāng)時(shí),,則函數(shù)在上單調(diào)遞減,則,所以,函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以,.因此,的取值范圍是.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)極值點(diǎn)問題,考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值,將的取值范圍轉(zhuǎn)化為以為自變量的函數(shù)的值域問題是解答的關(guān)鍵,考查計(jì)算能力,屬于中等題.14、【解析】
畫出滿足條件的平面區(qū)域,求出交點(diǎn)的坐標(biāo),由得,顯然直線過時(shí),最小,代入求出的值即可.【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示:聯(lián)立,解得,則點(diǎn).由得,顯然當(dāng)直線過時(shí),該直線軸上的截距最小,此時(shí)最小,,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題,考查數(shù)形結(jié)合思想,是一道中檔題.15、20,21【解析】
由題意知數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列,則根據(jù)為奇數(shù)和為偶數(shù)分別算出求和公式,代入數(shù)值檢驗(yàn)即可.【詳解】解:由題意知數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成公差為的等差數(shù)列,偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成公比為的等比數(shù)列,則;.當(dāng)時(shí),,.當(dāng)時(shí),,.由此可知,滿足的正整數(shù)的所有取值為20,21.故答案為:20,21【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列通項(xiàng)與求和公式,是綜合題,分清奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)是解題的關(guān)鍵.16、2【解析】
運(yùn)用拋物線的定義將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離等于到準(zhǔn)線距離,然后求解結(jié)果.【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:,則拋物線的準(zhǔn)線方程為,設(shè),,則,所以,則線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義,由拋物線定義將點(diǎn)到焦點(diǎn)距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線距離,需要熟練掌握定義,并能靈活運(yùn)用,本題較為基礎(chǔ).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)不存在;詳見解析【解析】
(1)將函數(shù)去絕對(duì)值化為分段函數(shù)的形式,從而可求得函數(shù)的最小值,進(jìn)而可得m.(2)由,利用基本不等式即可求出.【詳解】(1);(2),若,同號(hào),,不成立;或,異號(hào),,不成立;故不存在實(shí)數(shù),,使得,.【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)的最值、基本不等式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.18、(1)1(2)1【解析】分析:(1)當(dāng)時(shí)可得,可得.(2)先得到關(guān)系式,累乘可得,從而可得,即為定值.詳解:(1)當(dāng)時(shí),,又,所以.(2)即,由累乘可得,又,所以.即恒為定值1.點(diǎn)睛:本題考查組合數(shù)的有關(guān)運(yùn)算,解題時(shí)要注意所給出的的定義,并結(jié)合組合數(shù)公式求解.由于運(yùn)算量較大,解題時(shí)要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性,避免出現(xiàn)錯(cuò)誤.19、(1)3;(2).【解析】
(1)在中,利用正弦定理即可得到答案;(2)由可得,在中,利用及余弦定理得,解方程組即可.【詳解】(1)在中,已知,,,由正弦定理,得,解得.(2)因?yàn)椋?,解?在中,由余弦定理得,,即,,故.【點(diǎn)睛】本題考查正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,考查學(xué)生的計(jì)算能力,是一道中檔題.20、(1);(2)①分布列見解析,;②小張應(yīng)選擇甲公司應(yīng)聘.【解析】
(1)記抽取的3天送餐單數(shù)都不小于40為事件,可得(A)的值.(2)①設(shè)乙公司送餐員送餐單數(shù)為,可得當(dāng)時(shí),,以此類推可得:當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),的值.當(dāng)時(shí),的值,同理可得:當(dāng)時(shí),.的所有可能取值.可得的分布列及其數(shù)學(xué)期望.②依題意,甲公司送餐員日平均送餐單數(shù).可得甲公司送餐員日平均工資,與乙數(shù)學(xué)期望比較即可得出.【詳解】解:(1)由表知,50天送餐單數(shù)中有30天的送餐單數(shù)不小于40單,記抽取的3天送餐單數(shù)都不小于40為事件,則.(2)①設(shè)乙公司送餐員的送餐單數(shù)為,日工資為元,則當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.所以的分布列為228234240247254.②依題意,甲公司送餐員的日平均送餐單數(shù)為,所以甲公司送餐員的日平均工資為元,因?yàn)?,所以小張?yīng)選擇甲公司應(yīng)聘.【點(diǎn)睛】本題考查了隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望、古典概率計(jì)算公式、組合計(jì)算公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.21、(Ⅰ)(Ⅱ)1【解析】
(Ⅰ)由題,得,,解方程組,即可得到本題答案;(Ⅱ)設(shè)直線,則直線,聯(lián)立,得,聯(lián)立,得,
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