【考研數(shù)學(xué)】143分牛人的重點(diǎn)及難點(diǎn)歸納輔導(dǎo)筆記1

數(shù)學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)歸納輔導(dǎo)

第一部分

第一章集合與映射

§1.集合

§2.映射與函數(shù)

本章教學(xué)要求：理解集合的概念與映射的概念，掌握實(shí)數(shù)集合的表示法，函數(shù)的表示法與函

數(shù)

的一些基本性質(zhì)。

§1.實(shí)數(shù)系的連續(xù)性

§2數(shù)列極限

§3.無窮大量

§4.收斂準(zhǔn)則

本章教學(xué)要求：掌握數(shù)列極限的概念與定義，掌握并會應(yīng)用數(shù)列的收斂準(zhǔn)則，理解實(shí)數(shù)系具

有

連續(xù)性的分析意義，并掌握實(shí)數(shù)系的一系列基本定理。

第三章函數(shù)極限與連續(xù)函數(shù)

§1.函數(shù)極限

§2.連續(xù)函數(shù)

§3.無窮小量與無窮大量的階

§4.閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)

本章教學(xué)要求：掌握函數(shù)極限的概念，函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系，無窮小量與無窮大量階

的

估計，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)。

第四章微分

§1.微分和導(dǎo)數(shù)

§2.導(dǎo)數(shù)的意義和性質(zhì)

§3.導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算和反函數(shù)求導(dǎo)法則

§4.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則及其應(yīng)用

§5.高階導(dǎo)數(shù)和高階微分

本章教學(xué)要求：理解微分，導(dǎo)數(shù)，高階微分與高階導(dǎo)數(shù)的概念，性質(zhì)及相互關(guān)系，熟練掌握

求

導(dǎo)與求微分的方法。

第五章微分中值定理及其應(yīng)用

§1.微分中值定理

§2.匚ffcspital法則

§3.插值多項式和Taylor公式

§4.函數(shù)的Taylor公式及其應(yīng)用

§5.應(yīng)用舉例

§6.函數(shù)方程的近似求解

本章教學(xué)要求：掌握微分中值定理與函數(shù)的Taylor公式，并應(yīng)用于函數(shù)性質(zhì)的研究，熟練

運(yùn)

用ITHospital法則計算極限，熟練應(yīng)用微分于求解函數(shù)的極值問題與函數(shù)作圖問題。

第六章不定積分

§1.不定積分的概念和運(yùn)算法則

§2.換元積分法和分部積分法

§3.有理函數(shù)的不定積分及其應(yīng)用

本章教學(xué)要求：掌握不定積分的概念與運(yùn)算法則，熟練應(yīng)用換元法和分部積分法求解不定積

分，

掌握求有理函數(shù)與部分無理函數(shù)不定積分的方法。

第七章定積分（§1一§3

§1.定積分的概念和可積條件

§2定積分的基本性質(zhì)

§3.微積分基本定理

第七章定積分（§4—§&

§4.定積分在幾何中的應(yīng)用

§5.微積分實(shí)際應(yīng)用舉例

§6.定積分的數(shù)值計算

本章教學(xué)要求：理解定積分的概念，牢固掌握微積分基本定理：牛頓-萊布尼茲公式，熟練

定

積分的計算，熟練運(yùn)用微元法解決幾何，物理與實(shí)際應(yīng)用中的問題，初步掌握定積分的數(shù)值

計

算。

第八章反常積分

§1.反常積分的概念和計算

§2.反常積分的收斂判別法

本章教學(xué)要求：掌握反常積分的概念，熟練掌握反常積分的收斂判別法與反常積分的計

算。

第九章數(shù)項級數(shù)

§1.數(shù)項級數(shù)的收斂性

§2.上級限與下極限

§3.正項級數(shù)

§4.任意項級數(shù)

§5.無窮乘積

本章教學(xué)要求：掌握數(shù)項級數(shù)斂散性的概念，理解數(shù)列上級限與下極限的概念，熟練運(yùn)用各

種

判別法判別正項級數(shù)，任意項級數(shù)與無窮乘積的斂散性。

第十章函數(shù)項級數(shù)

§1.函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性

§2一致收斂級數(shù)的判別與性質(zhì)

§3.哥級數(shù)

§4.函數(shù)的嘉級數(shù)展開

§5.用多項式逼近連續(xù)函數(shù)

本章教學(xué)要求：掌握函數(shù)項級數(shù)（函數(shù)序列）一致收斂性概念，一致收斂性的判別法與

一致收斂級數(shù)的性質(zhì)，掌握基級數(shù)的性質(zhì)，會熟練展開函數(shù)為募級數(shù)，了解函數(shù)的幕級數(shù)展

開

的重要應(yīng)用。

第十一章Euclid空間上的極限和連續(xù)

§LEuclid空間上的基本定理

§2多元連續(xù)函數(shù)

§3.連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

本章教學(xué)要求：了解Euclid空間的拓?fù)湫再|(zhì)，掌握多元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念，區(qū)分

它

們與一元函數(shù)對應(yīng)概念之間的區(qū)別，掌握緊集上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

第十二章多元函數(shù)的微分學(xué)（§1—§，

§1.偏導(dǎo)數(shù)與全微分

§2.多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

§3.Taylor公式

§4.隱函數(shù)

§5.偏導(dǎo)數(shù)在幾何中的應(yīng)用

第十二章多元函數(shù)的微分學(xué)（§/§》

§6.無條件極值

§7.條件極值問題與Lagrange乘數(shù)法

本章教學(xué)要求：掌握多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與微分的概念，區(qū)分它們與一元函數(shù)對應(yīng)概念之間的

區(qū)

別，熟練掌握多元函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)方法，掌握偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用，掌握求多元函數(shù)

無

條件極值與條件極值的方法。

第十三章重積分

§1.有界閉區(qū)域上的重積分

§2重積分的性質(zhì)與計算

§3.重積分的變量代換

§4.反常重積分

§5.微分形式

本章教學(xué)要求：理解重積分的概念，掌握重積分與反常重積分的計算方法，會熟練應(yīng)用變量

代

換法計算重積分，了解微分形式的引入在重積分變量代換的表示公式上的應(yīng)用。

第十四章曲線積分與曲面積分

§1.第一類曲線積分與第一類曲面積分

§2第二類曲線積分與第二類曲面積分

§3.Green公式，Gauss公式和Stokes公式

§4微分形式的外微分

§5.場論初步

本章教學(xué)要求：掌握二類曲線積分與二類曲面積分的概念與計算方法，掌握Green公式,

Gauss

公式和Stokes公式的意義與應(yīng)用，理解外微分的引入在給出Green公式，Gauss公式和

Stokes

公式統(tǒng)一形式上的意義，對場論知識有一個初步的了解。

第十五章含參變量積分

§1.含參變量的常義積分

§2.含參變量的反常積分

§3.Euler積分

本章教學(xué)要求：掌握含參變量常義積分的性質(zhì)與計算，掌握含參變量反常積分一致收斂

的概念，一致收斂的判別法，一致收斂反常積分的性質(zhì)及其在積分計算中的應(yīng)用，掌握Euler

積分的計算。

第十六章Fourier級數(shù)

§1.函數(shù)的Fourier級數(shù)展開

§2.Fourier級數(shù)的收斂判別法

§3.Fourier級數(shù)的性質(zhì)

§4.Fourier變換和Fourier積分

§5,快速Fourier變換

本章教學(xué)要求：掌握周期函數(shù)的Fourier級數(shù)展開方法，掌握Fourier級數(shù)的收斂判別法與

Fourier級數(shù)的性質(zhì)，對Fourier變換與Fourier積分有一個初步的了解。

試題

一、解答下列各題

1、

求極限1imtantan

sinIn()

x

x

7x

2-

2

1

2

(ex1)xdx求/+

3.

求極限1im.

x??.

XX

—>ooXXX

++

+++

100101

010010001

2

32

4

設(shè)yx1慮求y?x=f，3

0

2sin2

設(shè)

fX求，其中.

XXX

XXX

()=f(0f(4a

-+<

->

□□□

□□

++->

2

2

11

21

110

6

求極限.

lim

xIn

x

TX

1

21

久設(shè)y=0^+1)In(3x+1),求y'

&

求公

X

X/-

21

02

3

1

9設(shè)yxxea求勿.

x()=-

32

1

ia

求由方程常數(shù)確定的隱函數(shù)

的微分.

xyaa

yyxdy

2

3

2

3

2

+=3>0

0

0

11、

設(shè)由和所確定

試求.

yyxxsys

dy

dx

=()=(i+2)1=a-),

221

2

12設(shè)yyx由方程yu所確定求y

xy

t

==x

+

0,

B若x>0證明x+l+x>2x,2ln()2

14

求/.+

16

14xx

dx

15.

求/.一

2

1x4x2

dx

16

(1)(1)

d

f2x+x+

X求

二、解答下列各題

1、要做一個圓錐形漏斗，其母線長20劭要使其體積最大，問其高應(yīng)為多少？

2求曲線了=2-x為了=x所圍成的平面圖形的面積.

入求曲線『=x和夕=x先￡口1］上所圍成的平面圖形的面積.

三、解答下列各題

證明方程x5-7x=4S區(qū)間(1,4內(nèi)至少有一個實(shí)根.

四、解答下列各題

判定曲線了=U+3)衽K),+8)上的凹凸性

第二部分

(1)課程名稱：微分幾何

(4基本內(nèi)容：三維空間中經(jīng)典的曲線和曲面的理論。主要內(nèi)容有：

曲線論，內(nèi)容包括：曲線的切向量與弧長；主法向量與從法向量:；曲率與擾率；Frenet

標(biāo)架與Frenet公式；曲線的局部結(jié)構(gòu)；曲線論的基本定理；平面曲線的一些整體性質(zhì)，

如切線的旋轉(zhuǎn)指標(biāo)定理，凸曲線的幾何性質(zhì)，等周不等式，四頂點(diǎn)定理與

CauchyCrofton公式；空間曲線的一些整體性質(zhì)，如球面的Crofton公式，F(xiàn)enchel定

理與FaryXiInor定理。

曲面的局部理論，內(nèi)容包括：曲面的表示、切向量、法向量；旋轉(zhuǎn)曲面、直紋面與可

展曲面；曲面的第一基本形式與內(nèi)蘊(yùn)量；曲面的第二基本形式；曲面上的活動標(biāo)架與

基本公式；Meingarten變換與曲面的漸近線、共扼線；法曲率；主方向、主曲率與曲

率線；Gauss曲率和平均曲率；曲面的局部結(jié)構(gòu)；Quss映照與第三基本形式；全臍曲

面、極小曲面與常Gauss曲率曲面；曲面論的基本定理；測地曲率與測地線；向量的

平行移動。

基本要求：通過本課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)掌握曲線論與曲面論中的一些基本幾何概念與研究微

分幾何的一些常用方法。以便為以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)、研究現(xiàn)代幾何學(xué)打好基礎(chǔ)；另一方面培養(yǎng)

學(xué)

生理論聯(lián)系實(shí)際和分析問題解決問題的能力。

二、講授綱要

第一章三維歐氏空間的曲線論

§1曲線曲線的切向量弧長

教學(xué)要求：理解曲線的基本概念、會求曲線的切向量與弧長、會用弧長參數(shù)表示曲

線。

§2主法向量與從法向量曲率與擾率

教學(xué)要求：理解曲率與撓率、主法向量與從法向量、密切平面與從切平面等基本概

念，會計算曲率與撓率。

§3Frene麻架Frenet公式

教學(xué)要求：掌握Frenet公式，能運(yùn)用Frenet公式去解決實(shí)際問題。

§4曲線在一點(diǎn)鄰近的性質(zhì)

教學(xué)要求：能表達(dá)曲線在一點(diǎn)領(lǐng)域內(nèi)的局部規(guī)范形式，理解擾率符號的集合意義。

§5曲線論基本定理

教學(xué)要求：掌握曲線論的基本定理，能求已知曲率與擾率的一些簡單的曲線。

§6平面曲線的一些整體性質(zhì)

6.1關(guān)于閉曲線的一些概念

6.2切線的旋轉(zhuǎn)指標(biāo)定理

6.3凸曲線*

6.4等周不等式*

6.5四頂點(diǎn)定理*

6.6Cauchy-Crofton^^*

教學(xué)要求：理解平面曲線的一些基本概念：閉曲線、簡單曲線、切線像、相對全曲

率、旋轉(zhuǎn)指標(biāo)、凸曲線。掌握平面曲線的一些整體性質(zhì)：簡單閉曲線切

線的旋轉(zhuǎn)指標(biāo)定理，凸曲線的幾何性質(zhì)，等周不等式，四頂點(diǎn)定理與

Cauchy-Crofton公式。

§7空間曲線的整體性質(zhì)

7.1球面的Crofto必式*

7.2Fenchel定理*

7.3Far*Iilno隨理*

教學(xué)要求：理解全曲率的概念。掌握空間曲線的一些整體性質(zhì)：球面的Crofton公

式，F(xiàn)enche1定理與Fary-MiInor定理。

第二章三維歐氏空間中曲面的局部幾何

§1曲面的表示切向量法向量

1.1曲面的定義

1.2切向量切平面

1.3法向量

1.4曲面的參數(shù)表示

1.5例

1.6單參數(shù)曲面族平面族的包絡(luò)面可展曲面

教學(xué)要求：掌握曲面的三種局部解析表示；會求曲面的切平面與法線；了解旋轉(zhuǎn)曲面

與直紋面的表示；掌握可展曲面的特征。

§2曲面的第一、第二基本形式

21曲面的第一基本形式

22曲面的正交參數(shù)曲線網(wǎng)

23等距對應(yīng)曲面的內(nèi)蘊(yùn)幾何

24共形對應(yīng)

25曲面的第二基本形式

教學(xué)要求：掌握曲面的第一基本形式及相關(guān)量一一曲面上曲線的弧長、兩相交曲線的

交角與面積的計算，并理解其幾何意義；了解等距對應(yīng)與共形對應(yīng)；掌握

第二基本形式。

§3曲面上的活動標(biāo)架曲面的基本公式

3.1省略和式記號的約定

3.2曲面上的活動標(biāo)架曲面的基本公式

3.3怏ingarte唆換W

3.4曲面的共宛方向漸近方向漸近線

教學(xué)要求：掌握曲面上的活動標(biāo)架與曲面的基本公式，能求正交參數(shù)曲線網(wǎng)的聯(lián)絡(luò)系

數(shù)；理解餞ingarten變換與共腕方向、漸近方向，會求一些簡單曲線的

漸近曲線。

§4曲面上的曲率

41曲面上曲線的法曲率

4.2主方向主曲率

43Dipi麻線

44曲率線

4.5主曲率及曲率線的計算總曲率平均曲率

4.6曲率線網(wǎng)

47曲面在一點(diǎn)的鄰近處的形狀

48Gaus§映照及第三基本形式

49總曲率、平均曲率滿足某些性質(zhì)的曲面

教學(xué)要求：理解法曲率、主方向與主曲率、曲率線、總曲率和平均曲率概念與幾何意

義，并會對它們進(jìn)行計算；掌握Gauss映照及第三基本形式；能對全臍曲

面與總曲率為零的曲面進(jìn)行分類；掌握極小曲面的幾何意義并會求一些簡

單的極小曲面。

§5曲面的基本方程及曲面論的基本定理

5.1曲面的基本方程

5.2曲面論的基本定理

教學(xué)要求：掌握、理解曲面的基本方程與曲面論基本定理。

§6測地曲率測地線

6.1測地曲率向量測地曲率

6.2計算測地曲率的Liouvi11於式

6.3測地線

6.4法坐標(biāo)系測地極坐標(biāo)系測地坐標(biāo)系

6.5應(yīng)用

6.6測地擾率

6.7GaussdBonnet公式

教學(xué)要求：理解與掌握測地曲率和測地線、測地擾率、法坐標(biāo)系、測地極坐標(biāo)系與測

地坐標(biāo)系的定義及其幾何意義；能用Liouville公式計算測地曲率與測地

線；能用測地極坐標(biāo)系對總曲率為常數(shù)的曲面進(jìn)行研究；理解（局部）

Gauss-Bonnet公式。

§7曲面上的向量的平行移動

7.1向量沿曲面上一條曲線的平行移動絕對微分

7.2絕對微分的性質(zhì)

7.3自平行曲線

7.4向量繞閉曲線一周的平行移動總曲率的又一種表示

7.5沿曲面上曲線的平行移動與歐氏平面中平行移動的關(guān)系

教學(xué)要求：理解向量沿曲面上一條曲線的平行移動與絕對微分。

習(xí)題：

L證明推論23.1,

2.設(shè)XF為Banach空間，x(t):[舄囪-X是連續(xù)抽象函數(shù)，對有界線性算子予X-

匕

證明：7V在其打上五一可積，并且/=fb

a

b

a

TV(t)或■Tx(「)A,

3.設(shè)C區(qū)國到CN用中的算子7由=/+t

a

6)G)(152)[>(@]2ds給出，T在任一元素處

是否尸一可導(dǎo)？若答案肯定，求導(dǎo)算子7Wo

4.設(shè)f是而到火中的一個Q映射。證明：，在而0處沿方向力C曲的G-微分

(;)0dfxh等于gradf儀0肛

這里grad/=(

xn

f

x

f

X

f

X

f

d

d

d

d

d

d

d

d

，，，L

123

),(,,);\1nh=hh\Ji

在e〃刀fxxxxxxxxl31231(;,)-L=+~HLH■和h=(1,2,3,0,0,L0,D,

(,1,,3,2,1)")=/?刀-L的情況下計算(;)0dfx/i,又問：，在而處的尸

一導(dǎo)數(shù)是什么？

當(dāng)〃

nfx=x+x+xi-HTFx

3

2

12()時求f‘(￥)o

5.設(shè)2TA油TGj)=(x2-y2,個2+3%4x+5y)定義，求丁在(一1,

2)處沿方

向(L-D的G-微分。

解：寫

□□□□

□

□

□口□□

□

□

+

+

=□

□□

□

□□□

□

燈y

y

X

T

45

23

22

,知

□□□

□

□

□□□

□

□

+

=□

□□

□

□□□

'□

45

23

22

P29

xy

y

X

T,故所求G-微分為

□□□

□

□

□□□

□

□

=□

□□

□

□□□

□

□□□

□

□

□□□

□

□

=□

□□

□

□□□

□

-□

□□

□

□□□

□-

t

1

5

2

1

1

45

41

24

1

1

2

1

To

6.設(shè)X、y是賦范線性空間，T:Ay由數(shù)=H+y,Vx€X0定義，其

y€ro,4BWn,證明x處尸一可微，且求其尸一導(dǎo)算子。

解：

oooVxeX、VheX,T(x+/)-T=X(Y+A)+y-(4v+y)=Ax+Ah

+y

-Ax-y=Ah^eo,由于4WB咨P),且力00,(力0,T1-。在x處

是尸一可微的，

且78=4

7.設(shè)T:A3一欠2由T(&yy。)=6x2-2y,y2+2^€/?2,V6%38R

痂定，求T在

(1,2,-1)處的尸一導(dǎo)數(shù)。

解：采用列向量表示，丁將口

□

□

□

□□

□

□

z

y

X

變換成口□

□

□□

□

+

yxz

xy

2

32

2

2

,故7在口

□

□

□

□□

□

□

y

x

處的尸一導(dǎo)數(shù)應(yīng)是變換

T的Jacobi矩陣口

□□

□

□□□

□一

zyx

x

222

620

，在)1,2,1(),,(-=zyx處，此矩陣為口

□□□

□□□

□

242

620

,在

列向量表示下，T在（1,2,-1）處的尸一導(dǎo)數(shù)作為線性算子就是此常數(shù)矩陣決定的變換:

242

6203

3

2

1

3

2

1

3

2

1

R

h

h

h

h

h

h

h

h

h

€

□□□

□

□

□□□

□

□

V

□□□

□

□

□□□

□

□

□□□

□

□□□

□

□□□

□

□

□□□

□

□

a右端即2

123

12242

62Rhhh

hhS□□

□□□

□

-++

一故T在(1,2,—

1)處的尸一導(dǎo)數(shù)就是將(，，)123Vhh力變換為62,242)12123A-A

-力+力+力的線性變換。

［備注1：這一答案保持了原題用行向量敘述的方式。］

［備注2當(dāng)T:7?3-7?凄示為23

2

2

2,

327?

y

X

yxzR

xy

N

y

X

re

□□

□

□

□□

□

□

V€□□

□

□□□

+

□□□

□

□□

□

□

,我們可得T在口

□

□

□

□□

□

□

z

y

X

處的尸一導(dǎo)數(shù)是：

□□□

□

□□□

□一

=□

□

□

□

□□

□

□

□□

□

□

□□

□

□

t

zyx

x

z

y

X

T

222

620

,即3

3

2

1

3

2

1

3

2

1,

222

620

R

hhh

hhh

zyx

x

hhh

z

y

X

T?

□□

□

□

□□

□

□

V

□□

□

□

□□

□

□

□□□

□

□□□

□一

□□

□

□

□□

□

□

□□

□

□

□□

□

□

□□

□

□

□□

□

□

t

故=

□□

□

□

□□

□

□

□□

□

□

□□

□

□

□□

□

□

□□

□

□

3

2

1

1

2

1

h

hh

T3

3

2

1

123

21422,

627?

hhh

hhh

hhS

□□

□

□

□□

□

□

V□□

□□□□

-++

或口

□□

□

□□□

□

=□

□

□

□

□□

□

□

□□

□

□

□□□

□

242

620

1

2

1

Ty算子對向量的作用以相應(yīng)的矩陣對向量的左乘表示。］

第三部分

L高等代數(shù)基本定理

設(shè)K為數(shù)域。以K區(qū)表示系數(shù)在K上的以x為變元的一元多項式的全體。如果

0……口，（00

1

01fx=ax+ax-++a^Kxa^n

nn,則稱。為/3的次數(shù)，記為degf缶。

定理（高等代數(shù)基本定理）C區(qū)的任一元素在講必有零點(diǎn)。

命題設(shè)0.....,（01）0

1

01fx=ax+ax-++aan>n

nn,是Ct一個〃次多項式，a是

一個復(fù)數(shù)。則存在C上首項系數(shù)為0a的〃-砍多項式（73,使得

fQ=qQg

證明對〃作數(shù)學(xué)歸納法。

推論0X為f&的零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)。Ox-X為f8的因式（其中deg/W>1）o

命題（高等代數(shù)基本定理的等價命題）設(shè)n

f3=axn+axrr\+.....+a

01

（01）0a*,/;>為Ct的〃次多項式，則它可以分解成為一次因式的乘積，即存在。個

復(fù)數(shù)

na>a,.....,al2,使

()()().....()012nfx—ax-ax-ax-a

證明利用高等代數(shù)基本定理和命題L3,對〃作數(shù)學(xué)歸納法。

2.高等代數(shù)基本定理的另一種表述方式

定義設(shè)K是一個數(shù)域，x是一個未知量，則等式

.....01

1

01++++=-

nn

axnaxnaxa(1)

(其中，，.....，，OOlOaaaSKarn)稱為數(shù)域K上的一個〃次代數(shù)方程；如

果以x千eK帶

入(D式后使它變成等式，則稱戊為方程(1)在K中的一個根。

定理(高等代數(shù)基本定理的另一種表述形式)數(shù)域K上的〃伊1)次代數(shù)方程在復(fù)數(shù)域C

內(nèi)必有一個根。

命題〃次代數(shù)方程在復(fù)數(shù)域C內(nèi)有且恰有"個根(可以重復(fù))。

命題(高等代數(shù)基本定理的另一種表述形式)給定C上兩個〃次、m次多項式

()...........01=+++羊n

n

nfxaaxaxa,

()......(Q01=+++片m

m

mgxbbxbxb,

如果存在整整數(shù)/,/>〃，及/+公不同的復(fù)數(shù)121,,......,,11+/3§

§3,使得

f0=g()(/=1,2,.....,/+1)ii§§,

則fq=g3。

L22韋達(dá)定理與實(shí)系數(shù)代數(shù)方程的根的特性

設(shè)1

01()nn

nfx=ax+ax-丑+a,其中0,的復(fù)根為

12,,,naaLa(可能有重復(fù))，則

12

01

1

1212

100000

0.

n

in

nn

nn

fxxxxx

a

xx

aaaa

aaaaaa

=-+++++

nL

LLL

所以

(1)012

1

0

1

na

a=-a-far-HLrfer;

L

<<<

iin

iia

a

12

12

0

2

0

2(1)(X;

LLLLULL

(1).12

0

n

nn

a

a=一aaLx

我們記

(,,,)1012=n(JaaLa;

nna\a\a2Lc千24irfcr(,,,);

LLLLLLLL

n

<<<<<

iiin

rniii

r

r

L

LL

12

12

0

12<76夕；

LLLUIIL

nnnoa\a2L/aLr2Lz(,,,)=

(12,,,。L。稱為12,,,〃夕/L夕的初等對稱多項式)。于是有

定理25串達(dá)定理)設(shè)1

01()/?/7

nfx=ax-\-axDHid■2,其中0,0/4￡太43#。設(shè)/'@=0

的復(fù)根為aLa。則

(1)(,,,)112

1

0

1

na

^=□aaaLa；

(1)(,,,)212

2

0

2

na

^=□aaaLa；

LLT""L

(1)(,,,).12

0

nn

nn

a

<3=□oaaLa

命題給定R上刀次方程

....01

1

01++++=□

□

nn

axnaxnaxa,OONR,

如果a=w+8是方程的一個根，則共軻復(fù)數(shù)夕=a口8i也是方程的根。

證明由已知，

1

011〃4....0

nnaaaa□aaa

□++++=.

兩邊取復(fù)共朝，又由于Cna,a,....,)01R所以

1

011/7/7.....0

nnaaaa□aaa

□++++=.

高等代數(shù)試題

設(shè)。苕€匕并且今6),-??,<7左口1&)都不等于零，但。kk)

=0,證明：a,

c6),…，□1&)線性無關(guān)

答案：按線性無關(guān)的定義證明

2令尸因刀表示一切次數(shù)不大于刀的多項式連同零多項式所成的向量空間，

。：fQ8「3,求。關(guān)于以下兩個基的矩陣：

(1)1,x〉x2,…，xn>

(31,c,

2!

(>□d2

0

n

x□cn

,c?F

答：（D

□□□□□□

□

□

□□□□□□

□

□

0000

000

0020

0100

L

L

LLLLL

L

-n

(?

□□□□□□

□

□

□□□□□□

□

□

0000

0001

0010

0100

L

L

LLLLL

L

L

人尸俵示數(shù)域尸上四元列空間取

□□□□

□

□

□□□□

□

□

□

□

□

□□

1397

3181

1123

1151

力對于-C產(chǎn)4令〃F