大學(xué)物理重要課后習(xí)題答案(第五版)馬文蔚改編

第五章

5-8在氯化鈉晶體中，一價(jià)氯離子C「與其最鄰近的八個(gè)一價(jià)鈉離子Cs+

構(gòu)成如圖所示的立方晶格結(jié)構(gòu).（1）求氯離子所受的庫(kù)侖力；（2）假設(shè)圖中

箭頭所指處缺少一個(gè)艷離子（稱作晶格缺陷），求此時(shí)氯離子所受的庫(kù)侖力.

Ocs+

題5-8圖

分析鈉離子和氯離子均可視作點(diǎn)電荷,可直接將晶格頂角鈉離子與氯離子

之間的庫(kù)侖力進(jìn)行矢量疊加.為方便計(jì)算可以利用晶格的對(duì)稱性求氯離子所

受的合力.

解（1）由對(duì)稱性，每條對(duì)角線上的一對(duì)鈉離子與氯離子間的作用合力為

零，故尸?=0.

（2）除了有缺陷的那條對(duì)角線外，其它鈉離子與氯離子的作用合力為零，所

以氯離子所受的合力尸2的值為

2

工&=1.92x109N

"47n?or3iu:oa

F2方向如圖所示.

5-9若電荷。均勻地分布在長(zhǎng)為力的細(xì)棒上.求證：（1）在棒的延長(zhǎng)線,

且離棒中心為r處的電場(chǎng)強(qiáng)度為

￡=-——

71€04廠-L

（2）在棒的垂直平分線上，離棒為r處的電場(chǎng)強(qiáng)度為

E=J__,Q

2兀%rV4r2+L2

若棒為無(wú)限長(zhǎng)（即Lf8）,試將結(jié)果與無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直線的電場(chǎng)強(qiáng)度相比

較.

題5-9圖

分析這是計(jì)算連續(xù)分布電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度.此時(shí)棒的長(zhǎng)度不能忽略，因而不

能將棒當(dāng)作點(diǎn)電荷處理.但帶電細(xì)棒上的電荷可看作均勻分布在一維的長(zhǎng)直

線上.如圖所示，在長(zhǎng)直線上任意取一線元網(wǎng),其電荷為dq=Qdx/L,它在

點(diǎn)P的電場(chǎng)強(qiáng)度為

整個(gè)帶電體在點(diǎn)尸的電場(chǎng)強(qiáng)度

E=JdE

接著針對(duì)具體問(wèn)題來(lái)處理這個(gè)矢量積分.

（1）若點(diǎn)尸在棒的延長(zhǎng)線匕帶電棒上各電荷元在點(diǎn)P的電場(chǎng)強(qiáng)度方向相

同，

E=jd￡i

（2）若點(diǎn)P在棒的垂直平分線上，如圖（A）所示，則電場(chǎng)強(qiáng)度E沿x軸方向

的分量因?qū)ΨQ性疊加為零，因此，點(diǎn)戶的電場(chǎng)強(qiáng)度就是

E=JdEvj=[sinad圖

證（1）延長(zhǎng)線上一點(diǎn)P的電場(chǎng)強(qiáng)度E=[―^,利用幾何關(guān)系r'=

-?

r一關(guān)統(tǒng)一積分變量，則

E=1Qdx=Q1________1__1Q

222

'4jie0L（r-x）4TT￡0L_r-L/2r+L/2_7t￡04r-L

電場(chǎng)強(qiáng)度的方向沿x軸.

（2）根據(jù)以上分析，中垂線上一點(diǎn)產(chǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度E的方向沿y軸，大小為

c，rsinad^

E=I-'dE

A

4ji￡0r

利用兒何關(guān)系sina=r/r',r'=ylr2+x2統(tǒng)一積分變量，則

“21rQdx_Q1

2

〃24TT￡0L(X+rJ"2%r14r2+

當(dāng)棒長(zhǎng)8時(shí)，若棒單位長(zhǎng)度所帶電荷%為常量，則p點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度

1QIL

E=lim

If82%rJ1+4//Z?

2

2叫/

此結(jié)果與無(wú)限長(zhǎng)帶電直線周圍的電場(chǎng)強(qiáng)度分布相同［圖（B）］.這說(shuō)明只要

滿足<<1,帶電長(zhǎng)直細(xì)棒可視為無(wú)限長(zhǎng)帶電直線.

5-10一半徑為R的半球殼，均勻地帶有電荷，電荷面密度為（7,求球心

處電場(chǎng)強(qiáng)度的大小.

題5-1()圖

分析這仍是一個(gè)連續(xù)帶電體問(wèn)題，求解的關(guān)鍵在于如何取電荷元.現(xiàn)將半

球殼分割為一組平行的細(xì)圓環(huán)，如圖所示，從教材第5-3節(jié)的例1可以看

出，所有平行圓環(huán)在軸線上P處的電場(chǎng)強(qiáng)度方向都相同，將所有帶電圓環(huán)的

電場(chǎng)強(qiáng)度積分，即可求得球心0處的電場(chǎng)強(qiáng)度.

解將半球殼分割為一組平行細(xì)圓環(huán)，任一個(gè)圓環(huán)所帶電荷元

dq=<5dS=d-27rR2sined，，在點(diǎn)0激發(fā)的電場(chǎng)強(qiáng)度為

xdq

4兀q13+產(chǎn)產(chǎn)

由于平行細(xì)圓環(huán)在點(diǎn)0激發(fā)的電場(chǎng)強(qiáng)度方向相同，利用幾何關(guān)系

x=Reos。，r=Rsin。統(tǒng)一積分變量，有

xdq1Reos。ccn，.n./1

d￡=—-7------^^777=------------^—<5■2^/?-sin0AO

4兀4'o^+r2)24。R3

------sin。cos

2%

積分得E=I""_sin^cos0d0=—

』,2%4e0

5-17設(shè)在半徑為R的球體內(nèi)，其電荷為球?qū)ΨQ分布，電荷體密度為

p-kr(0<r<R)

p=0(r>/?)

k為一常量.試分別用高斯定理和電場(chǎng)疊加原理求電場(chǎng)強(qiáng)度E與r的函數(shù)關(guān)系.

題5-17圖

分析通常有兩種處理方法：（1）利用高斯定理求球內(nèi)外的電場(chǎng)分布.由題

意知電荷呈球?qū)ΨQ分布，因而電場(chǎng)分布也是球?qū)ΨQ，選擇與帶電球體同心的

球面為高斯面，在球面上電場(chǎng)強(qiáng)度大小為常量，且方向垂直于球面，因而有

《EdS=E.4“2

根據(jù)高斯定理m?dS=’JpdV，可解得電場(chǎng)強(qiáng)度的分布.

￡0

（2）利用帶電球殼電場(chǎng)疊加的方法求球內(nèi)外的電場(chǎng)分布.將帶電球分割成無(wú)

數(shù)個(gè)同心帶電球殼，球殼帶電荷為dq=〃-4a'2d/,每個(gè)帶電球殼在殼內(nèi)

激發(fā)的電場(chǎng)也=0,而在球殼外激發(fā)的電場(chǎng)

4%/

由電場(chǎng)登加可.解得帶電球體內(nèi)外的電場(chǎng)分布

E（r）=JdE（0<r<R）

E（r）=fdE（r>/?）

解1因電荷分布和電場(chǎng)分布均為球?qū)ΨQ，球面上各點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為常

量，由高斯定理，E-dS=LJpdV得球體內(nèi)（OWrWR）

Tlk

￡(r)4;ir2=—￡kr4nr2dr4

球體外(r>R)

E(r)4^2=—Tfcr4;ir2dr=—r4

%4%

解2將帶電球分割成球殼，球殼帶電

dq=pdV=kr^Ttr'Ar

由上述分析，球體內(nèi)(OWrWA)

r1攵/?4兀/dr'

夙-)=14兀%

球體外(r>/?)

(F1kr-47rr,2drx_kR2

147r%r2C，44戶

5-18—無(wú)限大均勻帶電薄平板，電荷面密度為。，在平板中部有一半徑

為，的小圓孔.求圓孔中心軸線上與平板相距為x的一點(diǎn)尸的電場(chǎng)強(qiáng)度.

(a)(b)

題5-18圖

分析用補(bǔ)償法求解利用高斯定理求解電場(chǎng)強(qiáng)度只適用于幾種非常特殊的

對(duì)稱性電場(chǎng).本題的電場(chǎng)分布雖然不具有這樣的對(duì)稱性，但可以利用具有對(duì)

稱性的無(wú)限大帶電平面和帶電圓盤的電場(chǎng)疊加，求出電場(chǎng)的分布.若把小圓

孔看作由等量的正、負(fù)電荷重疊而成，挖去圓孔的帶電平板等效于一個(gè)完整

的帶電平板和一個(gè)帶相反電荷（電荷面密度。'=一。）的小圓盤.這樣中心軸

線上的電場(chǎng)強(qiáng)度等效于平板和小圓盤各臼獨(dú)立在該處激發(fā)電場(chǎng)的矢量和.

解由教材中第5-4節(jié)例4可知，在無(wú)限大帶電平面附近

17=0L“

2%

e,為沿平面外法線的單位矢量；圓盤激發(fā)的電場(chǎng)

_o（x]

=--------1—1€

它們的合電場(chǎng)強(qiáng)度為

2%"

在圓孔中心處x=0,貝

=0

在距離圓孔較遠(yuǎn)時(shí)x>>r,則

1

E=,-----------

2%Vl+r2/x2

上述結(jié)果表明，在x>>r時(shí)，帶電平板上小圓孔對(duì)電場(chǎng)分布的影響可以忽

略不計(jì).

5-20一個(gè)內(nèi)外半徑分別為R和R2的均勻帶電球殼，總電荷為Q,球

殼外同心罩一個(gè)半徑為總的均勻帶電球面，球面帶電荷為。2.求電場(chǎng)分布.

電場(chǎng)強(qiáng)度是否為離球心距離r的連續(xù)函數(shù)？試分析.

Qi

段E

題5-20件I

分析以球心0為原點(diǎn)，球心至場(chǎng)點(diǎn)的距離，為半徑，作同心球面為高斯面.

由于電荷呈球?qū)ΨQ分布，電場(chǎng)強(qiáng)度也為球?qū)ΨQ分布，高斯面上電場(chǎng)強(qiáng)度沿徑

矢方向，且大小相等.因而，EdS=E-4兀產(chǎn).在確定高斯面內(nèi)的電荷

后，利用高斯定理4EdS=Zq/%即可求出電場(chǎng)強(qiáng)度的分布.

解取半徑為r的同心球面為高斯面，由上述分析

E-4nr2=￡qI

I-<7?!,該高斯面內(nèi)無(wú)電荷，^2<7=0,故4=0

Ri<r<R2,高斯面內(nèi)電荷=

故E,=

4或。?-吊產(chǎn)

/?2<r</?3,高斯面內(nèi)電荷為Qi,故

E.=-^-y

4兀4廣

r>R3,高斯面內(nèi)電荷為0]+。2，故

F

電場(chǎng)強(qiáng)度的方向均沿徑矢方向，各區(qū)域的電場(chǎng)強(qiáng)度分布曲線如圖(B)所示.

在帶電球面的兩側(cè)，電場(chǎng)強(qiáng)度的左右極限不同，電場(chǎng)強(qiáng)度不連續(xù)，而在緊貼

r=心的帶電球面兩側(cè)，電場(chǎng)強(qiáng)度的躍變量

△E=E4-E3=—02g=—

4兀/7?3

這一躍變是將帶電球面的厚度抽象為零的必然結(jié)果，且具有普遍性.實(shí)際帶

電球面應(yīng)是有一定厚度的球殼，殼層內(nèi)外的電場(chǎng)強(qiáng)度也是連續(xù)變化的，本題

中帶電球殼內(nèi)外的電場(chǎng)，在球殼的厚度變小時(shí)，E的變化就變陡，最后當(dāng)厚

度趨于零時(shí)，E的變化成為一躍變.

5-21兩個(gè)帶有等量異號(hào)電荷的無(wú)限長(zhǎng)同軸圓柱面，半徑分別為以和&

>r），單位長(zhǎng)度上的電荷為人.求離軸線為r處的電場(chǎng)強(qiáng)度：（1）r<Ri,

(a)

題5-21圖

分析電荷分布在無(wú)限長(zhǎng)同軸圓柱面上，電場(chǎng)強(qiáng)度也必定沿軸對(duì)稱分布，取

同軸圓柱面為高斯面，只有側(cè)面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量不為零，且

^EdS=E-2nrL,求出不同半徑高斯面內(nèi)的電荷?即可解得各區(qū)域電

場(chǎng)的分布.

解作同軸圓柱面為高斯面，根據(jù)高斯定理

E-2nrL=yq/%

r<R\>￡q=0

4=0

在帶電面附近，電場(chǎng)強(qiáng)度大小不連續(xù)，電場(chǎng)強(qiáng)度有一躍變

/?i<r</?2，Z"="

E2=^—

r>&.>,q=0

4=0

在帶電面附近，電場(chǎng)強(qiáng)度大小不連續(xù)，電場(chǎng)強(qiáng)度有一躍變

.?22L（7

△E=------=-----=一

2%尸2叫）也%

這與5-20題分析討論的結(jié)果一致.

5-23已知均勻帶電長(zhǎng)直線附近的電場(chǎng)強(qiáng)度近似為

E=------er

為電荷線密度.（1）求在r=n和「=r2兩點(diǎn)間的電勢(shì)差；（2）在點(diǎn)電荷的電

場(chǎng)中，我們?cè)-8處的電勢(shì)為零，求均勻帶電長(zhǎng)直線附近的電勢(shì)時(shí)，能

否這樣??？試說(shuō)明.

解（1）由于電場(chǎng)力作功與路徑無(wú)關(guān)，若沿徑向積分，則有

U.-,=['E-dr=In—

--*12%4

（2）不能.嚴(yán)格地講，電場(chǎng)強(qiáng)度￡=，只適用于無(wú)限長(zhǎng)的均勻帶電直

2世?0，

線，而此時(shí)電荷分布在無(wú)限空間，，一8處的電勢(shì)應(yīng)與直線上的電勢(shì)相等.

5-27兩個(gè)同心球面的半徑分別為R和色，各自帶有電荷0和。2.求:

（1）各區(qū)域電勢(shì)分布，并畫(huà)出分布曲線；（2）兩球面間的電勢(shì)差為多少？

題5-27圖

分析通?？刹捎脙煞N方法（1）由于電荷均勻分布在球面上，電場(chǎng)分布也具

有球?qū)ΨQ性，因此，可根據(jù)電勢(shì)與電場(chǎng)強(qiáng)度的積分關(guān)系求電勢(shì)?取同心球面

為高斯面，借助高斯定理可求得各區(qū)域的電場(chǎng)強(qiáng)度分布，再由Vp=

可求得電勢(shì)分布.（2）利用電勢(shì)疊加原理求電勢(shì).一個(gè)均勻帶電的球面，在球

面外產(chǎn)生的電勢(shì)為

4兀%，

在球面內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度為零，電勢(shì)處處相等，等于球面的電勢(shì)

4叫）/?

其中R是球面的半徑.根據(jù)上述分析，利用電勢(shì)疊加原理，將兩個(gè)球面在各

區(qū)域產(chǎn)生的電勢(shì)疊加，可求得電勢(shì)的分布.

解1（1）由高斯定理可求得電場(chǎng)分布

耳二=0(r</?,)

E

2=4凱

3(廠>7?2)

%

4ne0r

由電勢(shì)V=[Edi可求得各區(qū)域的電勢(shì)分布.

當(dāng)rWR時(shí)，有

R|EdZ+2

匕=}E2-d/+

=0+211_|_Q|+。2

4兀%|_R]R24昭。/?2

Q\?Qi

4無(wú)￡（內(nèi)47t￡07?2

當(dāng)植WWRz時(shí)，有

E-d/+fE-dZ

匕=23

儲(chǔ)11IQ1+02

R

4%r24TK?0/?2

Q^+。2

4%,4的o%

當(dāng)時(shí)，有

…3皿翳

(2)兩個(gè)球面間的電勢(shì)差

2,11、

4r^-dz

iK\4%RJ

解2(1)由各球面電勢(shì)的疊加計(jì)算電勢(shì)分布.若該點(diǎn)位于兩個(gè)球面內(nèi)，即r

WR,貝I」

Q】+。2

匕=

4兀qH]4兀％與

若該點(diǎn)位于兩個(gè)球面之間，即&，則

4兀￡（/4%）R2

若該點(diǎn)位于兩個(gè)球面之外，即「2/?2，則

匕=Q+Q

4%/

(2)兩個(gè)球面間的電勢(shì)差

—口仔-最

5-28一半徑為R的無(wú)限長(zhǎng)帶電細(xì)棒，其內(nèi)部的電荷均勻分布，電荷的

體密度為？現(xiàn)取棒表面為零電勢(shì)，求空間電勢(shì)分布并畫(huà)出分布曲線.

題5-28圖

分析無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電細(xì)棒電荷分布呈軸對(duì)稱，其電場(chǎng)和電勢(shì)的分布也呈軸

對(duì)稱.選取同軸柱面為高斯面，利用高斯定理

=—|dV

.￡0

可求得電場(chǎng)分布E(r),再根據(jù)電勢(shì)差的定義

Va-Vb=[E(r)-dl

并取棒表面為零電勢(shì)(%=0)，即可得空間任意點(diǎn)。的電勢(shì).

解取高度為/、半徑為r且與帶電棒同軸的圓柱面為高斯面，由高斯定理

當(dāng)rWR時(shí)

E?liirl=K戶Ip/%

得加=手

2%

當(dāng)r》R時(shí)

2

E-2nrl=nRlp/s0

PR2

得E（r）=

取棒表面為零電勢(shì),空間電勢(shì)的分布有

當(dāng)rWR時(shí)

V（r）=廠=2仁-產(chǎn)）

4%'7

當(dāng)時(shí)

如圖所示是電勢(shì)丫隨空間位置r的分布曲線.

5-29—圓盤半徑R=3.00XKT?m.圓盤均勻帶電，電荷面密度c=

2.00X10-5c.m-2.（1）求軸線上的電勢(shì)分布；（2）根據(jù)電場(chǎng)強(qiáng)度與電勢(shì)梯

度的關(guān)系求電場(chǎng)分布：（3）計(jì)算離盤心30.0cm處的電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度.

題5-29圖

分析將圓盤分割為一組不同半徑的同心帶電細(xì)圓環(huán)，利用帶電細(xì)環(huán)軸線上

一點(diǎn)的電勢(shì)公式，將不同半徑的帶電圓環(huán)在軸線上一點(diǎn)的電勢(shì)積分相加，即

可求得帶電圓盤在軸線上的電勢(shì)分布，再根據(jù)電場(chǎng)強(qiáng)度與電勢(shì)之間的微分關(guān)

系式可求得電場(chǎng)強(qiáng)度的分布.

解（1）帶電圓環(huán)激發(fā)的電勢(shì)

1獷2兀rdr

d1TVZ=------/

4兀%—

由電勢(shì)疊加，軸線匕任一點(diǎn)P的電勢(shì)的

+x-x

J，+x：

(2)軸線上任?點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為

?dV.a.x.

---1——/——

E=------1=22I

口2e0|_7/?+x_

電場(chǎng)強(qiáng)度方向沿x軸方向.

(3)將場(chǎng)點(diǎn)至盤心的距離x=30.0cm分別代入式(1)和式(2),得

V=1691V

E=5607V-m1

2

當(dāng)x>>R時(shí)，圓盤也可以視為點(diǎn)電荷,其電荷為q=HRO=5.65x10-8c

依照點(diǎn)電荷電場(chǎng)中電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度的計(jì)算公式，有

V=—=1695V

4/x

E=―^=5649Vm

4JI￡()X

由此可見(jiàn)，當(dāng)x>>R時(shí)，可以忽略圓盤的幾何形狀，而將帶電的圓盤當(dāng)作

點(diǎn)電荷來(lái)處理.在本題中作這樣的近似處理,E和V的誤差分別不超過(guò)0.3%

和0.8%,這已足以滿足一般的測(cè)量精度.

2

5-30兩個(gè)很長(zhǎng)的共軸圓柱面(8=3.0X10^m,R2=0.10m),帶有

等量異號(hào)的電荷，兩者的電勢(shì)差為450V.求：(1)圓柱面單位長(zhǎng)度上帶有

多少電荷？(2)r=0.05m處的電場(chǎng)強(qiáng)度.

解(1)由習(xí)題5-21的結(jié)果，可得兩圓柱面之間的電場(chǎng)強(qiáng)度為

根據(jù)電勢(shì)差的定義有

：

E2.d/=^-ln—

冗'2兀7R[

里=

解得A=27i%U12/ln2.1x10-8C.m-i

R\

(2)解得兩圓柱面之間r=0.05m處的電場(chǎng)強(qiáng)度

E=-^―=7475V-m-1

2兀%「

第六章

6-8一導(dǎo)體球半徑為心，外罩一半徑為R的同心薄導(dǎo)體球殼，外球殼

所帶總電荷為。，而內(nèi)球的電勢(shì)為h.求此系統(tǒng)的電勢(shì)和電場(chǎng)的分布.

分析若匕=—^―,內(nèi)球電勢(shì)等于外球殼的電勢(shì)，則外球殼內(nèi)必定為等

4%.

勢(shì)體，電場(chǎng)強(qiáng)度處處為零，內(nèi)球不帶電.

若匕內(nèi)球電勢(shì)不等于外球殼電勢(shì)，則外球殼內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度不

4無(wú)%R,

為零，內(nèi)球帶電.一般情況下，假設(shè)內(nèi)導(dǎo)體球帶電夕，導(dǎo)體達(dá)到靜電平衡時(shí)

電荷的分布如圖所示.依照電荷的這一分布，利用高斯定理可求得電場(chǎng)分

布.并由V〃=「E?出或電勢(shì)疊加求出電勢(shì)的分布.最后將電場(chǎng)強(qiáng)度和電

勢(shì)用已知量%、。、品、R表示.

題6-8圖

解根據(jù)靜電平衡時(shí)電荷的分布，可知電場(chǎng)分布呈球?qū)ΨQ.取同心球面為高

斯面，由高斯定理《E-dS=網(wǎng)44兀，=￡(/?)?￡(?/%,根據(jù)不同半徑的

高斯面內(nèi)的電荷分布，解得各區(qū)域內(nèi)的電場(chǎng)分布為

rV/?M,耳（「）=0

Rx<r<Rt時(shí),

r>Ri時(shí),,當(dāng)（，）=總

47K?or

由電場(chǎng)強(qiáng)度與電勢(shì)的積分關(guān)系，可得各相應(yīng)區(qū)域內(nèi)的電勢(shì)分布.

r<心時(shí),

2g+Q

fj,d/+E2-dl+

>3-^47r￡（）R14無(wú)％凡

Ri<r<R2時(shí),

2q?Q

E2-d/+￡f3-dZ

V2=『Ed/=

4%r4兀￡O7?2

r>R>時(shí),

匕=fdZq+Q

4%/

也可以從球面電勢(shì)的疊加求電勢(shì)的分布.在導(dǎo)體球內(nèi)（r<R>）

v,Q

4兀4TI8QR2

在導(dǎo)體球和球殼之間（RiOVR）

4叫/4TK?0/?2

在球殼外（廠>型）

匕=心

47U-Or

由題意

匕=%=q+—^

4兀q）/?24兀（￡）

得

4TK0/?24破圈

代入電場(chǎng)、電勢(shì)的分布得

rVR時(shí)，

&=0；匕=匕

Rt<r<R2時(shí)，

一RQ(f)。

口2-92'y2一

r4nE0R2rr4兀

r>Rz時(shí)，

E-HK里-與呼,y/M(4-&)。

223

r47rsnT?2rr47T￡0/?2r

6—9在一半徑為Ri=6.0cm的金屬球A外面套有一個(gè)同心的金屬球

殼B.已知球殼B的內(nèi)、外半徑分別為R=8.0cm,&=10.0cm.設(shè)球A帶

有總電荷QA=3.0X10'C,球殼B帶有總電荷QB=2.0X10、C.(1)求

球殼B內(nèi)、外表面上所帶的電荷以及球A和球殼B的電勢(shì)；(2)將球殼

B接地然后斷開(kāi)，再把金屬球A接地，求金屬球A和球殼B內(nèi)、外表面上

所帶的電荷以及球A和球殼B的電勢(shì).

OA+OB4A-0A

公33

B

（a）（b）（c）

題6-9圖

分析（1）根據(jù)靜電感應(yīng)和靜電平衡時(shí)導(dǎo)體表面電荷分布的規(guī)律，電荷

QA均勻分布在球A表面，球殼B內(nèi)表面帶電荷一。A，外表面帶電荷QB+

2A，電荷在導(dǎo)體表面均勻分布［圖（a）］,由帶電球面電勢(shì)的疊加可求

得球A和球殼B的電勢(shì).（2）導(dǎo)體接地，表明導(dǎo)體與大地等電勢(shì)（大地

電勢(shì)通常取為零）.球殼B接地后，外表面的電荷與從大地流入的負(fù)電荷

中和，球殼內(nèi)表面帶電一QA［圖（b）］.斷開(kāi)球殼B的接地后，再將球

A接地，此時(shí)球A的電勢(shì)為零.電勢(shì)的變化必將引起電荷的重新分布，以

保持導(dǎo)體的靜電平衡.不失一般性吁設(shè)此時(shí)球A帶電心，根據(jù)靜電平衡時(shí)

導(dǎo)體上電荷的分布規(guī)律，可知球殼B內(nèi)表面感應(yīng)一心，外表面帶電4A—QA

［圖（c）］.此時(shí)球A的電勢(shì)可表示為

匕=縱++/一4=0

4兀％/?14TTS0/?24兀％&

由吸=0可解出球A所帶的電荷電，再由帶電球面電勢(shì)的疊加，可求出

球A和球殼B的電勢(shì).

解（1）由分析可知，球A的外表面帶電3.0x10"C,球殼B內(nèi)表面帶

電一3.0xl（）fC,外表面帶電5.0X10-BC.由電勢(shì)的疊加，球A和球殼B的

電勢(shì)分別為

Qa

匕-%■-+~-+4二圓=5.6x1。3v

4m0凡4兀%7?24TU:07?3

3

V=QA+QB=4.5X10V

(2)將球殼B接地后斷開(kāi)，再把球A接地，設(shè)球A帶電以，球A和球

殼B的電勢(shì)為

%=%++-0+J0

4?！?名4%式24?！?4

y=-+彘

4映）&

解得

3而懸“皿°"

即球A外表面帶電2.12x10-8(2,由分析可推得球殼B內(nèi)表面帶電一2.12

xltr'C,外表面帶電-0.9xl0-'C.另外球A和球殼B的電勢(shì)分別為

匕=0

%=-7.29x102V

導(dǎo)體的接地使各導(dǎo)體的電勢(shì)分布發(fā)生變化，打破了原有的靜電平衡，導(dǎo)體表

面的電荷將重新分布，以建立新的靜電平衡.

6-13在真空中，將半徑為K的金屬球接地，與球心。相距為r(r>R)

處放置一點(diǎn)電荷q,不計(jì)接地導(dǎo)線上電荷的影響.求金屬球表面上的感應(yīng)電

荷總量.

題6-13圖

分析金屬球?yàn)榈葎?shì)體，金屬球上任一點(diǎn)的電勢(shì)V等于點(diǎn)電荷g和金屬球

表面感應(yīng)電荷g在球心激發(fā)的電勢(shì)之和.在球面上任意取一電荷元d/,電

荷元可以視為點(diǎn)電荷，金屬球表面的感應(yīng)電荷在點(diǎn)。激發(fā)的電勢(shì)為

點(diǎn)?？傠妱?shì)為

而接地金屬球的電勢(shì)%=0,由此可解出感應(yīng)電荷

解金屬球接地，其球心的電勢(shì)

用4+產(chǎn)=3+-^4叼=0

4g/&4以（）/?4叫/4冗￡述上

感應(yīng)電荷總量

q=口/=一口

6—15兩線輸電線，其導(dǎo)線半徑為3.26mm,兩線中心相距0.50m.導(dǎo)線

位于地面上空很高處，因而大地影響可以忽略.求輸電線單位長(zhǎng)度的電容.

解由教材第六章6-4節(jié)例3可知兩輸電線的電勢(shì)差

U=Jnd-R

嗎R

因此，輸電線的位長(zhǎng)度的電容

代入數(shù)據(jù)C=5.52xlOT2F

6—18一片二氧化鈦晶片，其面積為1.0cm,厚度為0.10mm.把平行

平板電容器的兩極板緊貼在晶片兩側(cè).（1）求電容器的電容；（2）當(dāng)在

電容器的兩極間加上12V電壓時(shí)，極板上的電荷為多少？此時(shí)自由電荷和

極化電荷的面密度各為多少？（3）求電容器內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度.

解（1）查表可知二氧化鈦的相對(duì)電容率*=173,故充滿此介質(zhì)的平

板電容器的電容

C=j^￡=]53x10-9F

d

（2）電容器加上U=12V的電壓時(shí)，極板上的電荷

Q=CU=1.84x10-8C

極板上自由電荷面密度為

（7=2=1.84x10-8c,m-2

°S

晶片表面極化電荷密度

-42

.=1--a0=1.83xl0C-m-

L￡r]

（3）晶片內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度為

￡=^=1.2xl05Vm-1

6-21一平板電容器，充電后極板上電荷面密度為①=4.5x10$c.m）現(xiàn)

將兩極板與電源斷開(kāi)，然后再把相對(duì)電容率為￡,=2.0的電介質(zhì)插入兩極

板之間.此時(shí)電介質(zhì)中的。、E和尸各為多少？

題6-21圖

分析平板電容器極板上自由電荷均勻分布，電場(chǎng)強(qiáng)度和電位移矢量都是常

矢量.充電后斷開(kāi)電源，在介質(zhì)插入前后，導(dǎo)體板上自由電荷保持不變.取

圖所示的圓柱面為高斯面，由介質(zhì)中的高斯定理可求得電位移矢量再根

據(jù)

E=2,F=D—E°E

%殍

可求得電場(chǎng)強(qiáng)度E和電極化強(qiáng)度矢量P.

解由分析可知，介質(zhì)中的電位移矢量的大小

O=2=ac=4.5xl0-5c-m-

AS°

介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度和極化強(qiáng)度的大小分別為

E=2=2.5xl()6v-mT

%斗

-5-1

P=D-￡oE=2.3xlOCm

。、尸、E方向相同，均由正極板指向負(fù)極板(圖中垂直向下).

6-22在一半徑為R的長(zhǎng)直導(dǎo)線外，套有氯丁橡膠絕緣護(hù)套，護(hù)套外半

徑為R,相對(duì)電容率為設(shè)沿軸線單位長(zhǎng)度上，導(dǎo)線的電荷密度為九試

求介質(zhì)層內(nèi)的。、E和尸.

06-22圖

分析將長(zhǎng)直帶電導(dǎo)線視作無(wú)限長(zhǎng)，自由電荷均勻分布在導(dǎo)線表面.在絕緣

介質(zhì)層的內(nèi)、外表面分別出現(xiàn)極化電荷，這些電荷在內(nèi)外表面呈均勻分布，

所以電場(chǎng)是軸對(duì)稱分布.取同軸柱面為高斯面，由介質(zhì)中的高斯定理可得電

位移矢量。的分布.在介質(zhì)中。=%￡,舊，P=D-￡OE,可進(jìn)一步求得

電場(chǎng)強(qiáng)度E和電極化強(qiáng)度矢量P的分布.

解由介質(zhì)中的高斯定理，有

jDdS=D-271rL=XL

得

_2

D=----e

2兀廠

在均勻各向同性介質(zhì)中

6-24有兩塊相距為0.50的薄金屬板A、B構(gòu)成的空氣平板電容器被屏

蔽在一金屬盒K內(nèi)，金屬盒上、下兩壁與A、B分別相距0.25mm,金屬

板面積為30mmX40mm。求（1）被屏蔽后電容器的電容變?yōu)樵瓉?lái)的幾

倍；（2）若電容器的一個(gè)引腳不慎與金屬屏蔽盒相碰，問(wèn)此時(shí)的電容又為

原來(lái)的幾倍？

題6-24圖

分析薄金屬板A、B與金屬盒一起構(gòu)成三個(gè)電容器，其等效電路圖如圖

（b）所示，由于兩導(dǎo)體間距離較小，電容器可視為平板電容器，通過(guò)分析

等效電路圖可以求得A、B間的電容。

解（1）由等效電路圖可知

c=q+G=^^+a

"iLzR

由于電容器可以視作平板電容器，且4=24=24，故。2=03=2。1，

因此A、B間的總電容

C=2G

（2）若電容器的一個(gè)引腳不慎與金屬屏蔽盒相碰，相當(dāng)于C2（或者C3）

極板短接，其電容為零，則總電容

C=3C\

6-33一平行板空氣電容器，極板面積為S,極板間距為“，充電至帶電。

后與電源斷開(kāi)，然后用外力緩緩地把兩極板間距拉開(kāi)到2".求：（1）電容

器能量的改變；（2）此過(guò)程中外力所作的功，并討論此過(guò)程中的功能轉(zhuǎn)換

關(guān)系.

分析在將電容器兩極板拉開(kāi)的過(guò)程中，由于導(dǎo)體極板上的電荷保持不變，

極板間的電場(chǎng)強(qiáng)度亦不變，但電場(chǎng)所占有的空間增大，系統(tǒng)總的電場(chǎng)能量增

加了.根據(jù)功能原理，所增加的能量應(yīng)該等于拉開(kāi)過(guò)程中外力克服兩極板間

的靜電引力所作的功.

解（1）極板間的電場(chǎng)為均勻場(chǎng)，且電場(chǎng)強(qiáng)度保持不變，因此，電場(chǎng)的能

量密度為

在外力作用下極板間距從4被拉開(kāi)到2d,電場(chǎng)占有空間的體積，也由V增加

到2V,此時(shí)電場(chǎng)能量增加

△叱=卬4=旦工

2%S

（2）兩導(dǎo)體極板帶等量異號(hào)電荷，外力尸將其緩緩拉開(kāi)時(shí)，應(yīng)有戶=一幾，

則外力所作的功為

Q2d

A=—Fe?Ar=QEd

2s0S

外力克服靜電引力所作的功等于靜電場(chǎng)能量的增加.

第七章

7-10如圖所示，有兩根導(dǎo)線沿半徑方向接觸鐵環(huán)的a、b兩點(diǎn)，并與很

遠(yuǎn)處的電源相接。求環(huán)心。的磁感強(qiáng)度.

題7-10圖

分析根據(jù)疊加原理，點(diǎn)。的磁感強(qiáng)度可視作由ef、be、fa三段直線以及

acb、aJb兩段圓弧電流共同激發(fā).由于電源距環(huán)較遠(yuǎn)，Bef=0.而be、fa

兩段直線的延長(zhǎng)線通過(guò)點(diǎn)0，由于/d/xr=0,由畢一薩定律知

Bbe=B(u=0.流過(guò)圓弧的電流八、的方向如圖所示，兩圓弧在點(diǎn)。激

發(fā)的磁場(chǎng)分別為

D_No'D_RoIJ?

4"2也-4"2

其中A、12分別是圓弧acb、a曲的弧長(zhǎng)，由于導(dǎo)線電阻R與弧長(zhǎng)/成正比，

而圓弧acb、aJb又構(gòu)成并聯(lián)電路，故有

["]=1212

將Bl、B2疊加可得點(diǎn)。的磁感強(qiáng)度B.

解由上述分析可知，點(diǎn)。的合磁感強(qiáng)度

〃【

B=B]—B(//_NoJ2=0

o4m-2471r2

7-11如圖所示，幾種載流導(dǎo)線在平面內(nèi)分布，電流均為I,它們?cè)邳c(diǎn)0的

磁感強(qiáng)度各為多少？

分析應(yīng)用磁場(chǎng)疊加原理求解.將不同形狀的載流導(dǎo)線分解成長(zhǎng)直部分和圓

弧部分，它們各自在點(diǎn)。處所激發(fā)的磁感強(qiáng)度較容易求得，則總的磁感強(qiáng)

度5()=

解(a)長(zhǎng)直電流對(duì)點(diǎn)O而言，有/力xr=o,因此它在點(diǎn)。產(chǎn)生的磁

場(chǎng)為零，則點(diǎn)O處總的磁感強(qiáng)度為1/4圓弧電流所激發(fā)，故有

3。=血

8R

Bo的方向垂直紙面向外.

(b)將載流導(dǎo)線看作圓電流和長(zhǎng)直電流，由疊加原理可得

B-〃(/〃(/

°-2R2nR

B。的方向垂直紙面向里.

(c)將載流導(dǎo)線看作1/2圓電流和兩段半無(wú)限長(zhǎng)直電流，由疊加原理可得

B-⑷?〃。/?〃。/=〃。/?〃。/

°4TI/?4兀R4R2nR4R

B()的方向垂直紙面向外.

7-13如圖所示，-個(gè)半徑為R的無(wú)限長(zhǎng)半圓柱面導(dǎo)體，沿長(zhǎng)度方向的

電流I在柱面上均勻分布.求半圓柱面軸線0。'上的磁感強(qiáng)度.

(b)

題7-13圖

分析畢一薩定理只能用于求線電流的磁場(chǎng)分布,對(duì)于本題的半圓柱形面電

流，可將半圓柱面分割成寬度d/=Rdf)的細(xì)電流,細(xì)電流與軸線。。'平行,

將細(xì)電流在軸線上產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度疊加，即可求得半圓柱面軸線上的磁感強(qiáng)

度.

解根據(jù)分析，由于長(zhǎng)直細(xì)線中的電流d/=/d//兀R,它在軸線上一點(diǎn)激發(fā)

的磁感強(qiáng)度的大小為

dB=-^d/

2兀R

其方向在。町平面內(nèi),且與由d/引向點(diǎn)。的半徑垂直，如圖7—13(b)

所示.由對(duì)稱性可知,半圓柱面上細(xì)電流在軸線。。'上產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度疊

加后，得

紇=JdBsin6>=0

B

x=fdBsin^="RMsin”先

則軸線上總的磁感強(qiáng)度大小

B=BX

TCR

B的方向指向Ox軸負(fù)向.

7-15如圖所示，載流長(zhǎng)直導(dǎo)線的電流為I,試求通過(guò)矩形面積的磁通量.

(a)(b)

題7-15圖

分析由于矩形平面上各點(diǎn)的磁感強(qiáng)度不同，故磁通量。WBS.為此，可在

矩形平面上取一矩形面元d5=/心［圖（b）］,載流長(zhǎng)直導(dǎo)線的磁場(chǎng)穿過(guò)

該面元的磁通量為

d⑦=8dS=血/心

2TLX

矩形平面的總磁通量

。=|（10

解由上述分析可得矩形平面的總磁通量

7-17有一同軸電纜，其尺寸如圖（a）所示.兩導(dǎo)體中的電流均為I,

但電流的流向相反，導(dǎo)體的磁性可不考慮.試計(jì)算以下各處的磁感強(qiáng)度：（1）

r<7?i(2)/?,<r<R：；(3)R2<r<R3；(4)r>??,.畫(huà)

出B—r圖線.

也7-17圖

分析同軸電纜導(dǎo)體內(nèi)的電流均勻分布，其磁場(chǎng)呈軸對(duì)稱，取半徑為r的同

心圓為積分路徑，《37/=8-2口，利用安培環(huán)路定理，

可解得各區(qū)域的磁感強(qiáng)度.

解由上述分析得

r<R{

B,-271r=u^—^—rTir2

1°謁

Ri<r<R2

B2-271r-

嗯

R2<r<R3

B3-2nr=〃（）/-

〃。/&-產(chǎn)

B3

2口

r>/?3

-2nr=//（）（/-/）=0

4=0

磁感強(qiáng)度B(r)的分布曲線如圖(b).

7-18如圖所示，N匝線圈均勻密繞在截面為長(zhǎng)方形的中空骨架上.求

通入電流I后，環(huán)內(nèi)外磁場(chǎng)的分布.

題7-18圖

分析根據(jù)右手螺旋法則，螺線管內(nèi)磁感強(qiáng)度的方向與螺線管中心軸線構(gòu)成

同心圓，若取半徑為r的圓周為積分環(huán)路，由于磁感強(qiáng)度在每一環(huán)路上為常

量，因而

dl=B-2兀r

依照安培環(huán)路定理，可以解得螺線管內(nèi)磁感強(qiáng)度的分布?

解依照上述分析，有

82“=〃oZ/

r<Ri

B]?2jtr=0

B[=0

R2>r>Ri

B2?271r=PoNI

r>R2

B3?271r=0

易=0

在螺線管內(nèi)磁感強(qiáng)度B沿圓周，與電流成右手螺旋.若&-&<<&和

R2,則環(huán)內(nèi)的磁場(chǎng)可以近似視作均勻分布，設(shè)螺線環(huán)的平均半徑

R=1&+&），則環(huán)內(nèi)的磁感強(qiáng)度近似為

2nR

7-19電流/均勻地流過(guò)半徑為R的圓形長(zhǎng)直導(dǎo)線，試計(jì)算單位長(zhǎng)度導(dǎo)線

內(nèi)的磁場(chǎng)通過(guò)圖中所示剖面的磁通量.

題7-19圖

分析由題7—16可得導(dǎo)線內(nèi)部距軸線為r處的磁感強(qiáng)度

0=嗎

'