高中數(shù)學(xué)2.1.5向量共線的條件與軸上向量坐標(biāo)運(yùn)算學(xué)案新人教B版必修4

2。1。5向量共線的條件與軸上向量坐標(biāo)運(yùn)算1.掌握平行向量基本定理并理解兩向量共線的條件及單位向量的含義。(重點(diǎn)）2.理解軸上的基向量、向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算公式,并解決軸上的相關(guān)問題.（難點(diǎn))［基礎(chǔ)·初探］教材整理1平行向量基本定理閱讀教材P90“例1”以上內(nèi)容,完成下列問題。1。平行向量基本定理：如果a＝λb,則a∥b；反之，如果a∥b,且b≠0，則一定存在唯一一個實(shí)數(shù)λ,使a＝λb。2。單位向量:給定一個非零向量a,與a同方向且長度等于1的向量，叫做向量a的單位向量,如果a的單位向量記作a0，由數(shù)乘向量的定義可知：a＝｜a|a0或a0＝eq\f(a，|a|)。判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×"）（1)若b與a共線，則存在實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa。(）(2）任意兩個相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一平行四邊形的四個頂點(diǎn).（）(3)向量a與b不共線，則a與b都是非零向量。()(4)有相同起點(diǎn)的兩個非零向量不平行.(）【答案】（1）×（2)×(3)√（4）×教材整理2軸上向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算閱讀教材P91“例2”以下～P92“例3”以上內(nèi)容，完成下列問題。1。規(guī)定了方向和長度單位的直線叫做軸。已知軸l，取單位向量e，使e的方向與l同方向。根據(jù)向量平行的條件,對軸上任意向量a，一定存在唯一實(shí)數(shù)x，使a＝xe.反過來，任意給定一個實(shí)數(shù)x，我們總能作一個向量a＝xe，使它的長度等于這個實(shí)數(shù)x

的絕對值，方向與實(shí)數(shù)的符號一致.單位向量e叫做軸l的基向量，x叫做a在l上的坐標(biāo)（或數(shù)量）.2。x的絕對值等于a的長，當(dāng)a與e同方向時,x是正數(shù)，當(dāng)a與e反方向時，x是負(fù)數(shù).實(shí)數(shù)與軸上的向量建立起一一對應(yīng)關(guān)系.3。向量相等與兩個向量的和:設(shè)a＝x1e,b＝x2e，于是：如果a＝b，則x1＝x2；反之，如果x1＝x2，則a＝b；另外，a＋b＝(x1＋x2）e，這就是說，軸上兩個向量相等的條件是它們的坐標(biāo)相等;軸上兩個向量和的坐標(biāo)等于兩個向量的坐標(biāo)的和.4.向量eq\o(AB,\s\up13(→))的坐標(biāo)常用AB表示,則eq\o（AB，\s\up13(→)）＝ABe.eq\o（AB，\s\up13(→))表示向量，而AB表示數(shù)量，且有AB＋BA＝0。5。軸上向量的坐標(biāo):在數(shù)軸x上,已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為x1,點(diǎn)B的坐標(biāo)為x2，則AB＝x2－x1，即軸上向量的坐標(biāo)等于向量終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)。6.數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離公式：在數(shù)軸x上,點(diǎn)A的坐標(biāo)為x1，點(diǎn)B的坐標(biāo)為x2,則|AB｜＝｜x2－x1｜.數(shù)軸上點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為－1，1,5，則下列結(jié)論錯誤的是()A。eq\o(AB,\s\up13（→))的坐標(biāo)是2 B.eq\o(CA,\s\up13（→）)＝－3eq\o(AB，\s\up13(→))C.eq\o(CB，\s\up13(→）)的坐標(biāo)是4 D。eq\o（BC,\s\up13（→))＝2eq\o(AB,\s\up13（→))【解析】答案C不正確.故選C.【答案】C［質(zhì)疑·手記]預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們"探討交流：疑問1：_________________________________________________________解惑：_________________________________________________________疑問2：_________________________________________________________解惑：_________________________________________________________疑問3:_________________________________________________________解惑：_________________________________________________________疑問4:_________________________________________________________解惑：_________________________________________________________

［小組合作型]平行向量基本定理的應(yīng)用如圖2。1.31所示，已知在?ABCD中，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N在BD上，且3BN＝BD。求證:M，N,C三點(diǎn)共線。【導(dǎo)學(xué)號:72010051】圖2。1.31【精彩點(diǎn)撥】利用向量的運(yùn)算法則將eq\o（MC,\s\up13(→）),eq\o(MN,\s\up13（→)）兩向量分別用eq\o（AB，\s\up13(→))，eq\o（AD,\s\up13(→）)表示出來，再利用平行向量基本定理判定eq\o（MC，\s\up13(→)），eq\o(MN,\s\up13(→））共線,從而證明M，N，C三點(diǎn)共線?！咀灾鹘獯稹吭O(shè)eq\o(AB,\s\up13（→）)＝a，eq\o（AD,\s\up13（→）)＝b，則eq\o(BD，\s\up13（→）)＝eq\o（BA,\s\up13(→))＋eq\o(AD，\s\up13（→）)＝－a＋b，eq\o（BN,\s\up13(→))＝eq\f（1，3)eq\o(BD，\s\up13（→））＝－eq\f（1，3)a＋eq\f（1,3)b，eq\o(MB,\s\up13（→）)＝eq\f（1,2）a，eq\o（BC,\s\up13（→）)＝eq\o(AD,\s\up13(→））＝b,∴eq\o（MC,\s\up13(→)）＝eq\o(MB，\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→))＝eq\f（1,2）a＋b,eq\o（MN，\s\up13（→))＝eq\o(MB，\s\up13(→))＋eq\o(BN，\s\up13(→)）＝eq\f(1，2）a－eq\f（1,3）a＋eq\f(1，3）b＝eq\f(1，3)eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，2)a＋b))，∴eq\o(MN,\s\up13（→））＝eq\f（1，3)eq\o（MC,\s\up13（→)）,∴eq\o（MN,\s\up13（→)）∥eq\o（MC,\s\up13(→）），又M為公共點(diǎn)，∴M、N、C三點(diǎn)共線。平行向量基本定理有兩個方面的應(yīng)用：(1）一個向量可以由另一個向量線性表示，則可以判定兩向量平行,進(jìn)而證明三點(diǎn)共線，三角形相似，兩線段平行以及用來判斷圖形的形狀等.

（2)若兩向量平行，則一個向量可以由另一個非零向量線性表示，可以用來求參數(shù),它是軸上向量坐標(biāo)化的依據(jù)。［再練一題]1。已知任意兩個非零向量a,b，作eq\o(OA,\s\up13（→）)＝a＋b,eq\o(OB，\s\up13(→）)＝a＋2b,eq\o(OC,\s\up13（→)）＝a＋3b.試判斷A，B，C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系，并說明理由。【解】因?yàn)閑q\o（AB，\s\up13(→））＝eq\o(OB，\s\up13(→)）－eq\o（OA,\s\up13（→)）＝(a＋2b）－（a＋b)＝b，eq\o(AC，\s\up13（→））＝eq\o(OC，\s\up13（→））－eq\o（OA,\s\up13（→)）＝（a＋3b)－(a＋b)＝2b，故有eq\o（AC,\s\up13(→））＝2eq\o(AB,\s\up13（→））.所以eq\o(AC,\s\up13(→）)∥eq\o（AB,\s\up13(→)），且有公共點(diǎn)A，所以A，B,C三點(diǎn)共線.用平行向量基本定理證明幾何問題已知梯形ABCD中，AB∥DC，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，求證：EF∥AB∥DC.圖2.1。32【精彩點(diǎn)撥】解題時首先結(jié)合圖形與所證問題，把幾何條件轉(zhuǎn)化為向量條件,然后利用向量的線性運(yùn)算與平行向量基本定理求證.【自主解答】延長EF到M，使EF＝FM，連接CM，BM，EC，EB，得?ECMB，由平形四邊形法則得eq\o（EF,\s\up13（→））＝eq\f（1,2)eq\o(EM,\s\up13(→)）＝eq\f（1,2）(eq\o（EB，\s\up13(→))＋eq\o(EC，\s\up13(→))）.由于AB∥DC,所以eq\o(AB,\s\up13（→)），eq\o（DC，\s\up13（→））共線且同向，根據(jù)平行向量基本定理，存在正實(shí)數(shù)λ,使eq\o(AB,\s\up13(→))＝λeq\o（DC,\s\up13（→））.由三角形法則得eq\o（EB,\s\up13（→））＝eq\o（EA,\s\up13（→）)＋eq\o(AB，\s\up13(→)），eq\o(EC,\s\up13(→)）＝eq\o（ED，\s\up13（→）)＋eq\o（DC,\s\up13（→)）且eq\o（ED,\s\up13(→）)＋eq\o(EA，\s\up13（→))＝0，

∴eq\o（EF,\s\up13(→))＝eq\f(1，2)(eq\o（EB，\s\up13(→）)＋eq\o（EC，\s\up13(→））)＝eq\f（1，2)(eq\o(EA,\s\up13(→）)＋eq\o(AB，\s\up13（→））＋eq\o(ED,\s\up13(→)）＋eq\o(DC，\s\up13(→)）)＝eq\f（1,2)（eq\o(AB,\s\up13（→）)＋eq\o(DC，\s\up13（→))）＝eq\f（1＋λ,2)eq\o（DC,\s\up13（→）)，∴eq\o（EF，\s\up13(→)）∥eq\o（DC，\s\up13（→)）.由于E,D不共點(diǎn),∴EF∥DC∥AB.1.用平行向量基本定理證直線平行或三點(diǎn)共線時，關(guān)鍵是把一個向量用有關(guān)向量線性表示，同時有機(jī)地結(jié)合向量的線性運(yùn)算及圖形完成證明。2。用向量法證明幾何問題的一般步驟是：首先用向量表示幾何關(guān)系，然后進(jìn)行向量運(yùn)算，得到新的適合題目要求的向量關(guān)系，最后將向量關(guān)系還原為幾何關(guān)系。［再練一題]2。(2016·石家莊高一檢測)已知e,f為兩個不共線的向量，若四邊形ABCD滿足eq\o(AB,\s\up13(→)）＝e＋2f,eq\o（BC，\s\up13（→)）＝－4e－f，eq\o(CD，\s\up13（→))＝－5e－3f.（1)將eq\o（AD，\s\up13（→)）用e，f表示；(2）證明四邊形ABCD為梯形。【解】(1）根據(jù)向量求和的多邊形法則,有eq\o(AD,\s\up13(→)）＝eq\o(AB,\s\up13(→）)＋eq\o（BC，\s\up13（→））＋eq\o（CD，\s\up13（→)）＝(e＋2f）＋（－4e－f）＋（－5e－3f)＝(1－4－5）e＋(2－1－3）f＝－8e－2f.（2）證明:因?yàn)閑q\o(AD，\s\up13（→））＝－8e－2f＝2（－4e－f）＝2eq\o(BC，\s\up13（→）），即eq\o(AD，\s\up13（→)）＝2eq\o（BC,\s\up13(→))。所以eq\o（AD,\s\up13（→））∥eq\o（BC,\s\up13（→）)，且eq\o（AD,\s\up13(→)）的長度為eq\o(BC，\s\up13(→)）的長度的2倍,所以在四邊形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四邊形ABCD為梯形.軸上向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算已知數(shù)軸上四點(diǎn)A,B，C,D的坐標(biāo)分別是－4，－2，c，d.（1)若AC＝5,求c的值；（2)若｜BD｜＝6，求d的值.(3)若eq\o(AC，\s\up13（→))＝－3eq\o（AD，\s\up13（→)），求證:3eq\o（CD,\s\up13（→)）＝－4eq\o（AC，\s\up13（→））.【精彩點(diǎn)撥】解答本題首先據(jù)條件表示出兩點(diǎn)所對應(yīng)的向量的坐標(biāo)，然后求解.【自主解答】(1)∵AC＝5,

∴c－（－4）＝5，∴c＝1.(2)∵|BD|＝6，∴|d－（－2)｜＝6，即d＋2＝6或d＋2＝－6，∴d＝4或d＝－8。(3)因?yàn)閑q\o(CD,\s\up13(→））＝eq\o（CA,\s\up13(→))＋eq\o（AD,\s\up13（→)）＝－eq\o（AC,\s\up13（→）)＋eq\o(AD，\s\up13(→)),而eq\o（AC,\s\up13(→))＝－3AD,所以eq\o（CD，\s\up13（→））＝－(－3eq\o(AD，\s\up13(→)))＋eq\o（AD，\s\up13(→））＝4eq\o(AD,\s\up13（→))，所以3eq\o(CD，\s\up13(→))＝12eq\o（AD，\s\up13（→）)，又－4eq\o(AC,\s\up13（→）)＝－4×（－3eq\o(AD,\s\up13(→）))＝12eq\o(AD,\s\up13(→)），故3eq\o(CD，\s\up13(→）)＝－4eq\o（AC,\s\up13（→)).正確理解和運(yùn)用軸上向量的坐標(biāo)及長度計算公式是學(xué)習(xí)其他向量計算的基礎(chǔ)；解答本題首先利用數(shù)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)，計算出兩點(diǎn)所對應(yīng)向量的坐標(biāo),特別要注意向量坐標(biāo)運(yùn)算公式的順序，還要注意模運(yùn)算中可能會出現(xiàn)的兩種情形.［再練一題］3.已知數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為x1,x2，求eq\o（AB，\s\up13（→)),eq\o(BA，\s\up13(→)）的坐標(biāo)和長度。(1）x1＝2，x2＝－5.3；（2)x1＝10，x2＝20.5.【解】(1）∵x1＝2,x2＝－5.3,∴AB＝－5.3－2＝－7.3，BA＝2－(－5.3)＝7。3.∴|eq\o（AB,\s\up13(→))｜＝7。3，|eq\o(BA，\s\up13（→)）|＝7.3。(2)同理AB＝10。5，BA＝－10.5。|eq\o(AB，\s\up13（→))|＝10.5，｜eq\o(BA,\s\up13(→))|＝10。5。［探究共研型］向量共線問題探究1已知m,n是不共線向量,a＝3m＋4n，b＝6m－8n,判斷a與b是否共線?【提示】要判斷兩向量是否共線,只需看是否能找到一個實(shí)數(shù)λ,使得a＝λb即可。

若a與b共線，則存在λ∈R，使a＝λb，即3m＋4n＝λ(6m－8n)。∵m，n不共線，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6λ＝3,,－8λ＝4。））∵不存在λ同時滿足此方程組,∴a與b不共線。探究2已知e1,e2是共線向量，a＝3e1＋4e2,b＝6e1－8e2,則a與b是否共線？【提示】∵e1，e2共線，∴存在λ∈R,使e1＝λe2?！郺＝3e1＋4e2＝3λe2＋4e2＝(3λ＋4)e2，b＝6e1－8e2＝6λe2－8e2＝（6λ－8)e2,∴a＝eq\f（3λ＋4,6λ－8）beq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（λ≠\f（4,3)）)，∴a與b共線。當(dāng)λ＝eq\f（4，3）時，b＝0，∴a與b共線.探究3設(shè)兩非零向量e1和e2不共線,是否存在實(shí)數(shù)k,使ke1＋e2和e1＋ke2共線？【提示】設(shè)ke1＋e2與e1＋ke2共線，∴存在λ使ke1＋e2＝λ（e1＋ke2)，則（k－λ）e1＝(λk－1)e2.∵e1與e2不共線，∴只能有eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(k－λ＝0，，λk－1＝0,))則k＝±1。已知非零向量e1,e2不共線。如果Aeq\o（B，\s\up13（→）)＝e1＋e2，Beq\o（C，\s\up13（→））＝2e1＋8e2，Ceq\o（D，\s\up13(→))＝3(e1－e2），求證A，B，D三點(diǎn)共線.【精彩點(diǎn)撥】欲證A,B，D共線，只需證存在實(shí)數(shù)λ,使Beq\o(D,\s\up13(→））＝λAeq\o(B,\s\up13(→））即可?！咀灾鹘獯稹俊逜eq\o(B，\s\up13(→)）＝e1＋e2,Beq\o(D,\s\up13(→)）＝Beq\o（C，\s\up13（→)）＋Ceq\o(D,\s\up13(→）)＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2）＝5Aeq\o（B,\s\up13(→)）,∴Aeq\o(B,\s\up13(→))，Beq\o(D，\s\up13(→）)共線，且有公共點(diǎn)B，∴A，B，D三點(diǎn)共線。

1.本題充分利用了向量共線定理,即b與a（a≠0)共線?b＝λa，因此用它既可以證明點(diǎn)共線或線共線問題，也可以根據(jù)共線求參數(shù)的值.2.向量共線的判斷（證明)是把兩向量用共同的已知向量來表示，進(jìn)而互相表示，從而判斷共線。[再練一題]4.設(shè)兩個非零向量e1，e2不共線，已知eq\o（AB，\s\up13（→））＝2e1＋ke2，eq\o（CB,\s\up13(→)）＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up13(→))＝2e1－e2。問：是否存在實(shí)數(shù)k，使得A，B，D三點(diǎn)共線，若存在，求出k的值；若不存在，說明理由?！窘狻吭O(shè)存在k∈R,使得A，B,D三點(diǎn)共線，∵eq\o（DB，\s\up13（→))＝eq\o(CB，\s\up13(→))－eq\o(CD,\s\up13(→))＝（e1＋3e2）－（2e1－e2）＝－e1＋4e2，eq\o(AB，\s\up13(→)）＝2e1＋ke2.又∵A，B，D三點(diǎn)共線,∴eq\o(AB,\s\up13（→)）＝λeq\o(DB，\s\up13(→）），∴2e1＋ke2＝λ（－e1＋4e2），∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（2＝－λ，，k＝4λ,)）∴k＝－8，所以存在k＝－8，使得A，B,D三點(diǎn)共線。1。以下選項(xiàng)中,a與b不一定共線的是（）A。a＝5e1－e2，b＝2e2－10e1

B.a＝4e1－eq\f(2，5）e2，b＝e1－eq\f（1,10）e2C。a＝e1－2e2，b＝e2－2e1D.a＝3e1－3e2,b＝－2e1＋2e2【解析】只有C選項(xiàng)不一定共線?！敬鸢浮緾2。已知數(shù)軸上兩點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是－4，－1，則AB與｜eq\o（AB,\s\up13(→））｜分別是（）A。－3，3 B.3，3C。3，－3 D.－6，6【解析】AB＝－1－（－4）＝3,｜eq\o（AB,\s\up13（→))｜＝3?！敬鸢浮緽3.如圖2-1-33所示，已知eq\o（OA，\s\up13（→))′＝3eq\o(OA,\s\up13（→))，eq\o(A′B′,\s\up13(→)）＝3eq\o(AB，\s\up13(→)),則向量eq\o（OB,\s\up13(→）)與eq\o（OB′,\s\up13(→）)的關(guān)系為（）圖2。1。33A.共線B.同向C。共線且同向D。共線、同向，且eq\o(OB′，\s\up13（→））的長度是eq\o（OB,\s\up13（→)）的3倍【解析】由題意，知eq\f（OA，OA′)＝eq\f(AB,A′B′)，∴AB∥A′B′，∴eq\f（OB，OB′)＝eq\f（OA，OA′)＝eq\f(1，3),∴eq\o(OB′,\s\up13(→）)＝3eq\o(OB,\s\up13（→))，故選D?！敬鸢浮緿4。設(shè)a，b是兩個不共線的向量，eq\o(AB,\s\up13(→)）＝2a＋pb，eq\o(BC,\s\up13（→））＝a＋b，eq\o(CD，\s\up13(→)）＝a－2b.若A、B、D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)p的值是________?！緦?dǎo)學(xué)號：72010052】【解析】∵A、B、D三點(diǎn)共線，∴存在實(shí)數(shù)λ使eq\o(AB，\s\up13（→））＝xeq\o（BD，\s\up13（→）),

又eq\o(BD，\s\up13（→）)＝eq\o(BC，\s\up13(→))＋eq\o（CD,\s\up13（→))＝2a－b，eq\o（AB,\s\up13(→））＝2a＋pb，∴2a＋pb＝λ(2a－b)，∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(2＝2λ，，p＝－λ，）)∴p＝－1?！敬鸢浮浚?5。如圖2。1-34，ABCD為一個四邊形，E，F(xiàn)，G，H分別為BD,AB,AC和CD的中點(diǎn)，求證:四邊形EFGH為平行四邊形.圖2-1.34【證明】∵F，G分別是AB,AC的中點(diǎn)，∴eq\o（FG，\s\up13(→)）＝eq\f（1，2）eq\o（BC,\s\up13（→））.同理，eq\o（EH，\s\up13(→）)＝eq\f（1，2）eq\o（BC,\s\up13(→）).∴eq\o(FG,\s\up13(→)）＝eq\o(EH，\s\up13(→））。同理eq\o(EF,\s\up13(→）)＝eq\o(HG,\s\up13（→））?！嗨倪呅蜤FGH為平行四邊形。我還有這些不足：(1)_________________________________________________________(2）_________________________________________________________我的課下提升方案：（1）_________________________________________________________（2）_________________________________________________________學(xué)業(yè)分層測評（十七)（建議用時：45分鐘)［學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)］一、選擇題1。已知向量a,b,且eq\o(AB，\s\up13（→))＝a＋2b，eq\o（BC,\s\up13（→))＝－5a＋6b,eq\o(CD,\s\up13（→))＝7a－2b,則一定共線的三點(diǎn)是（)

A。A，B，D B.A，B，CC。B,C，D D.A,C，D【解析】eq\o(BD，\s\up13(→)）＝eq\o（BC，\s\up13(→））＋eq\o(CD，\s\up13（→）)＝（－5a＋6b）＋(7a－2b)＝2a＋4b＝2(a＋2b）＝2eq\o（AB,\s\up13（→）），所以A，B，D三點(diǎn)共線?！敬鸢浮緼2。(2016·臨沂高一檢測)設(shè)a，b為不共線向量，eq\o（AB,\s\up13(→））＝a＋b，eq\o（BC，\s\up13（→）)＝－4a－b，eq\o（CD,\s\up13（→））＝－5a－2b，則下列關(guān)系式中正確的是（)A。eq\o(AD,\s\up13（→))＝eq\o（BC，\s\up13(→)) B。eq\o(AD,\s\up13（→)）＝2eq\o(BC，\s\up13（→)）C。eq\o(AD，\s\up13（→))＝－eq\o（BC，\s\up13(→)） D。eq\o（AD,\s\up13(→)）＝－2eq\o（BC,\s\up13（→)）【解析】eq\o（AD,\s\up13（→））＝eq\o(AB，\s\up13（→)）＋eq\o(BC,\s\up13（→）)＋eq\o（CD,\s\up13(→））＝－8a－2b＝2（－4a－b)＝2eq\o（BC，\s\up13(→）).【答案】B3.設(shè)a，b是不共線的向量，eq\o（AB,\s\up13（→))＝a＋kb,eq\o(AC，\s\up13（→）)＝ma＋b（k，m∈R)，則當(dāng)A，B，C三點(diǎn)共線時,有(）A。k＝m B。km－1＝0C.km＋1＝0 D。k＋m＝0【解析】∵A,B，C三點(diǎn)共線,∴eq\o（AB,\s\up13(→)）＝neq\o(AC,\s\up13（→)），∴a＋kb＝mna＋nb，∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(mn＝1,,k＝n，))∴mk－1＝0.【答案】B4.（2016·濟(jì)南高一檢測)已知向量e1,e2不共線,a＝ke1＋e2，b＝e1＋ke2,若a與b共線，則k等于(）A.±1 B。1C。－1 D.0【解析】∵a與b共線，∴a＝λb。即ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（k＝λ，，kλ＝1，））解得k＝±1?！敬鸢浮緼

5。（2016·佛山高一檢測）已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1,若a∥b，則()A。λ＝0 B.e2＝0C.e1∥e2 D.e1∥e2或λ＝0【解析】∵a∥b，∴存在實(shí)數(shù)k，使得a＝kb，即(2k－1）e1＝λe2?！遝1≠0，∴若2k－1＝0，則λ＝0或e2＝0；若2k－1≠0，則e1＝eq\f(λ，2k－1)e2,此時e1∥e2，又0與任何一個向量平行，∴有e1∥e2或λ＝0.【答案】D二、填空題6.已知A，B，C三點(diǎn)在數(shù)軸上，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為3,AB＝5，AC＝2，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為________.【解析】設(shè)A，C的坐標(biāo)分別為xA，xC，則AB＝3－xA＝5,∴xA＝－2，又AC＝xC－xA＝xC－(－2)＝2，∴xC＝0?！敬鸢浮?7。(2015·全國卷Ⅱ）設(shè)向量a，b不平行,向量λa＋b與a＋2b平行，則實(shí)數(shù)λ＝________。【解析】∵λa＋b與a＋2b平行,∴λa＋b＝t(a＋2b)，即λa＋b＝ta＋2tb,∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（λ＝t，,1＝2t，）)解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（λ＝\f（1，2)，，t＝\f（1，2)。))【答案】eq\f(1,2)8。（2016·紹興高一檢測)設(shè)a，b是兩個不共線的非零向量，記eq\o(OA，\s\up13(→））＝a,eq\o（OB,\s\up13(→)）＝tb(t∈R），eq\o（OC,\s\up13（→）)＝eq\f(1,3)(a＋b)，那么當(dāng)A,B，C三點(diǎn)共線時，實(shí)數(shù)t的值為________.【導(dǎo)學(xué)號:72010053】【解析】∵eq\o（OA,\s\up13(→)）＝a，eq\o(OB,\s\up13(→))＝tb，eq\o（OC，\s\up13(→））＝eq\f（1,3）（a＋b),∴eq\o（AB，\s\up13(→））＝eq\o(OB,\s\up13（→）)－eq\o（OA,\s\up13（→）)＝tb－a，eq\o(AC,\s\up13(→）)＝eq\o（OC，\s\up13（→）)－eq\o(OA,\s\up13（→)）＝eq\f（1,3）（a＋b）－a＝eq\f(1,3）b－eq\f（2,3)a，

∵A,B,C三點(diǎn)共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，使eq\o(AB,\s\up13（→)）＝λeq\o（AC，\s\up13(→))，即tb－a＝λeq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,3)b－\f（2,3)a))。由于a,b不共線，∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（t＝\f（1，3)λ，，－1＝－\f(2，3）λ，））解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(λ＝\f(3，2）,,t＝\f(1，2）。)）故當(dāng)t＝eq\f（1，2)時,A，B，C三點(diǎn)共線.【答案】eq\f（1，2）三、解答題9。已知數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為x1,x2，根據(jù)下列題中的已知條件，求點(diǎn)A的坐標(biāo)x1。（1)x2＝－5,BA＝－3；(2)x2＝－1,｜AB｜＝2。【解】(1)BA＝x1－(－5）＝－3，所以x1＝－8.（2)|AB|＝|－1－x1|＝2，所以x1＝1或x1＝－3。10。已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共線,向量c＝2e1－9e2，問是否存在這樣的實(shí)數(shù)λ，μ使向量d＝λa＋μb與c共線？【解】假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)λ，μ使得d＝λa＋μb與c共線，∴d＝λa＋μb＝λ（2e1－3e2)＋μ（2e1＋3e2)＝（2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2。要使d與c共線.則有實(shí)數(shù)k，使得d＝kc,即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ＋2μ＝2k，，－3λ＋3μ＝－9k，））所以λ＝－2μ。故存在這樣的λ，μ,使d與c共線.［能力提升］1。設(shè)e1，e2是不共線向量，若向量a＝3e1＋5e2與向量b＝me1－3e2共線,則m的值等于（)A.－eq\f（9，5） B.－eq\f（5，3）C.－eq\f(3,5） D。－eq\f（5，9)【解析】∵a∥b，∴存在實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa，即me1－3e2＝λ(3e1＋5e2），∵e1，e2是不共線向量，∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（m＝3λ，,－3＝5λ，))解得m＝－eq\f(9,5).

【答案】A2.（2016·棗莊校級月考)已知向量a,b,c中任意兩個都不共線,但a＋b與c共線，且b＋c與a共線,則向量a＋b＋c＝(）A。a B.bC。c D。0【解析】∵a＋b與c共線，b＋c與a共線,∴a＋b＝λc,b＋c＝μa,兩式相減得a－c＝λc－μa，移項(xiàng)得(1＋λ)c＝（1＋μ)a.∵向量a，c不共線，∴只有1＋λ＝0,1＋μ＝0.即λ＝－1，μ＝－1。也就是a＋b＝－c，即a＋b＋c＝0.【答案】D3。已知向量e1,e2是兩個不共線的向量,若a＝2e1－e2與b＝e1＋λe2共線,則λ＝________.【解析】∵a∥b，∴存在實(shí)數(shù)μ,使得a＝μb。即2e1－e2＝μe1＋λμe2，∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(2＝μ，,－1＝λμ,））解得λ＝－eq\f（1，2）.【答案】－eq\f（1,2)4.如圖2。1。35，設(shè)G為△ABC的重心，過G的直線l分別交AB，AC于P，Q，若eq\o(AP，\s\up13（→）)＝meq\o(AB,\s\up13(→）)，eq\o（AQ,\s\up13（→)）＝neq\o（AC,\s\up13(→）)，求證：eq\f（1，m)＋eq\f(1,n)＝3.圖2-1-35【證明】設(shè)eq\o（AB，\s\up13(→)）＝a，eq\o(AC,\s\up13（→）)＝b，∵eq\o（AP，\s\up13(→）)＝meq\o（AB，\s\up13（→））,eq\o（AQ,\s\up13（→)）＝