湖北省武漢市華中師范大學(xué)附屬第一中學(xué)2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期末模擬數(shù)學(xué)試題(一)(學(xué)生版+解析)

華中師范大學(xué)附屬第一中學(xué)高一上學(xué)期期末綜合(一)一、單選題(本大題共8小題，共40.0分.在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng))1.設(shè)集合，，則()A. B. C. D.2.設(shè)命題p：所有的等邊三角形都是等腰三角形，則p的否定為()A.所有的等邊三角形都不是等腰三角形 B.有的等邊三角形不是等腰三角形C.有的等腰三角形不是等邊三角形 D.不是等邊三角形的三角形不是等腰三角形3.著名的物理學(xué)家牛頓在17世紀(jì)提出了牛頓冷卻定律，描述溫度高于周圍環(huán)境的物體向周圍媒質(zhì)傳遞熱量逐漸冷卻時(shí)所遵循的規(guī)律.新聞學(xué)家發(fā)現(xiàn)新聞熱度也遵循這樣的規(guī)律，即隨著時(shí)間的推移，新聞熱度會(huì)逐漸降低，假設(shè)一篇新聞的初始熱度為，經(jīng)過時(shí)間天之后的新聞熱度變?yōu)椋渲袨槔鋮s系數(shù).假設(shè)某篇新聞的冷卻系數(shù)，要使該新聞的熱度降到初始熱度的以下，需要經(jīng)過天(參考數(shù)據(jù)：)()A.6 B.7 C.8 D.94.函數(shù)圖象大致為()A. B.C. D.5.設(shè)，，，則()A. B. C. D.6.已知函數(shù)定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)?)A. B. C. D.7.已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，則a的取值范圍為()A. B.C. D.8.已知函數(shù)，，函數(shù)有4個(gè)不同的零點(diǎn)且，則的取值范圍為()A. B. C. D.二、多選題(本大題共4小題，共20.0分.在每小題有多項(xiàng)符合題目要求)9.已知為第二象限角，則下列說法正確的是()A. B. C. D.10.已知函數(shù)，，若存在實(shí)數(shù)m，使得對(duì)于任意，都有，則稱函數(shù)，有下界，m為其一個(gè)下界；類似的，若存在實(shí)數(shù)M，使得對(duì)于任意的，都有，則稱函數(shù)，有上界，M為其一個(gè)上界.若函數(shù)，既有上界，又有下界，則稱該函數(shù)為有界函數(shù).下列說法正確的是()A.若函數(shù)在定義域上有下界，則函數(shù)有最小值B.若定義在上的奇函數(shù)有上界，則該函數(shù)一定有下界C.若函數(shù)為有界函數(shù)，則函數(shù)是有界函數(shù)D.若函數(shù)定義域?yàn)殚]區(qū)間，則該函數(shù)是有界函數(shù)11.已知a為實(shí)數(shù)，且，函數(shù)，則下列說法正確的是()A.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像關(guān)于中心對(duì)稱 B.當(dāng)時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)C.函數(shù)圖像關(guān)于直線成軸對(duì)稱圖形 D.函數(shù)圖像上任意不同兩點(diǎn)的連線與x軸有交點(diǎn)12.已知奇函數(shù)，恒成立，且當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則()A.B.函數(shù)為周期函數(shù)C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減D.函數(shù)的圖像既有對(duì)稱軸又有對(duì)稱中心三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)13.冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則______.14.已知集合沒有非空真子集，則實(shí)數(shù)a構(gòu)成的集合為______.15.已知均為實(shí)數(shù)且，，則的最小值為______.16.已知偶函數(shù)的定義域?yàn)?，已知?dāng)時(shí)，，若，則的解集為______.四、解答題(本大題共6小題，共70.0分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17.已知函數(shù)(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)設(shè)，，求的值.18.在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并回答下列問題.設(shè)全集，______，(1)若，求；(2)若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.19.2022年冬天新冠疫情卷土重來，我國大量城市和地區(qū)遭受了奧密克戎新冠病毒的襲擊，為了控制疫情，某單位購入了一種新型的空氣消毒劑用于環(huán)境消毒，已知在一定范圍內(nèi)，每噴灑1個(gè)單位的消毒劑，空氣中釋放的濃度單位：毫克/立方米隨著時(shí)間單位：小時(shí)變化的關(guān)系如下：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，若多次噴灑，則某一時(shí)刻空氣中的消毒劑濃度為每次投放的消毒劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和.由實(shí)驗(yàn)知，當(dāng)空氣中消毒劑的濃度不低于毫克/立方米時(shí)，它才能起到殺滅空氣中的病毒的作用.(1)若一次噴灑4個(gè)單位的消毒劑，則有效殺滅時(shí)間可達(dá)幾小時(shí)？(2)若第一次噴灑2個(gè)單位的消毒劑，6小時(shí)后再噴灑個(gè)單位的消毒劑，要使接下來的4小時(shí)中能夠持續(xù)有效消毒，試求a的最小值.精確到，參考數(shù)據(jù)：取20.已知函數(shù)，將函數(shù)向右平移個(gè)單位得到的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱且當(dāng)時(shí)，取得最大值.(1)求函數(shù)的解析式：(2)方程在上有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21.已知函數(shù).(1)試判斷函數(shù)的奇偶性；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；(3)已知，若，使得，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.22.已知函數(shù)(1)若關(guān)于x的不等式的解集為，求a，的值；(2)已知，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)定義：閉區(qū)間長度為，若對(duì)于任意長度為1的閉區(qū)間D，存在，求正數(shù)a的最小值.華中師范大學(xué)附屬第一中學(xué)高一上學(xué)期期末綜合(一)一、單選題(本大題共8小題，共40.0分.在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng))1.設(shè)集合，，則()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出集合，然后直接利用集合的交集與補(bǔ)集的概念求解即可．【詳解】因?yàn)榧?，，?故選：A．2.設(shè)命題p：所有的等邊三角形都是等腰三角形，則p的否定為()A.所有的等邊三角形都不是等腰三角形 B.有的等邊三角形不是等腰三角形C.有的等腰三角形不是等邊三角形 D.不是等邊三角形的三角形不是等腰三角形【答案】B【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題即可得解.【詳解】解：因?yàn)槿Q量詞命題的否定為存在量詞命題所以命題p的否定為：有的等邊三角形不是等腰三角形.故選：B.3.著名的物理學(xué)家牛頓在17世紀(jì)提出了牛頓冷卻定律，描述溫度高于周圍環(huán)境的物體向周圍媒質(zhì)傳遞熱量逐漸冷卻時(shí)所遵循的規(guī)律.新聞學(xué)家發(fā)現(xiàn)新聞熱度也遵循這樣的規(guī)律，即隨著時(shí)間的推移，新聞熱度會(huì)逐漸降低，假設(shè)一篇新聞的初始熱度為，經(jīng)過時(shí)間天之后的新聞熱度變?yōu)椋渲袨槔鋮s系數(shù).假設(shè)某篇新聞的冷卻系數(shù)，要使該新聞的熱度降到初始熱度的以下，需要經(jīng)過天(參考數(shù)據(jù)：)()A.6 B.7 C.8 D.9【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意建立不等式求解.【詳解】依題意，，，即經(jīng)過8天后，熱度下降到初始熱度的10%以下；故選：C.4.函數(shù)的圖象大致為()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函數(shù)奇偶性和特殊值法進(jìn)行判斷．【詳解】因?yàn)椋允桥己瘮?shù)，故A，C錯(cuò)誤；，選項(xiàng)B符合函數(shù)，D不符合故選：B.5.設(shè)，，，則()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，得出，再判斷和的大小，即可得到答案.【詳解】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，，，，則，，明顯可見，，，得.故選：D6.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)?)A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由函數(shù)的定義域求出函數(shù)的定義域，再根據(jù)抽象函數(shù)的定義域問題即可得解.【詳解】解：由函數(shù)的定義域?yàn)?，得，所以函?shù)的定義域?yàn)?，由函?shù)，得，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：B.7.已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，則a的取值范圍為()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)二倍角得余弦公式化簡，從而問題可轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上有解，再分，和三種情況討論即可得出答案.【詳解】解：，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的最小值為，所以在區(qū)間上有解，當(dāng)時(shí)，由，得，則有，解得，當(dāng)時(shí)，，與題意矛盾，當(dāng)時(shí)，由，得，則有或，解得，綜上a的取值范圍為.故選：A.8.已知函數(shù)，，函數(shù)有4個(gè)不同的零點(diǎn)且，則的取值范圍為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令，得，問題轉(zhuǎn)化為，有4個(gè)不同的根，即函數(shù)與函數(shù)有4個(gè)不同的交點(diǎn)，分別作出與的圖像，利用二次函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像性質(zhì)，計(jì)算可得答案.【詳解】，令，得，函數(shù)有4個(gè)不同的零點(diǎn)，即有4個(gè)不同的根；根據(jù)題意，作出的圖像，如圖明顯地，根據(jù)二次函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，有，，因?yàn)?，故，令，得或，故，又因?yàn)椋瑒t，整理得故的取值范圍為.故選：B二、多選題(本大題共4小題，共20.0分.在每小題有多項(xiàng)符合題目要求)9.已知為第二象限角，則下列說法正確的是()A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】先根據(jù)為第二象限角，求出的范圍再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)及輔助角公式分析即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)闉榈诙笙藿牵?，則，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，不妨令，此時(shí)，，，由，得，則，所以，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，不妨令，此時(shí)，，由，得，則，所以，綜上所述，說法正確的是BD.故選：BD.10.已知函數(shù)，，若存在實(shí)數(shù)m，使得對(duì)于任意的，都有，則稱函數(shù)，有下界，m為其一個(gè)下界；類似的，若存在實(shí)數(shù)M，使得對(duì)于任意的，都有，則稱函數(shù)，有上界，M為其一個(gè)上界.若函數(shù)，既有上界，又有下界，則稱該函數(shù)為有界函數(shù).下列說法正確的是()A.若函數(shù)定義域上有下界，則函數(shù)有最小值B.若定義在上的奇函數(shù)有上界，則該函數(shù)一定有下界C.若函數(shù)為有界函數(shù)，則函數(shù)是有界函數(shù)D.若函數(shù)的定義域?yàn)殚]區(qū)間，則該函數(shù)是有界函數(shù)【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)上界，下界，有界的定義分別進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，則恒成立，則函數(shù)有下界，但函數(shù)沒有最小值，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若定義在上的奇函數(shù)有上界，不妨設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則當(dāng)時(shí)，，則，即，則，該的下界是，則函數(shù)是有界函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，對(duì)于函數(shù)，若函數(shù)為有界函數(shù)，設(shè)，則或，該函數(shù)是有界函數(shù)，故C正確；對(duì)于D，函數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)殚]區(qū)間，值域?yàn)?，則只有下界，沒有上界，即該函數(shù)不是有界函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.已知a為實(shí)數(shù)，且，函數(shù)，則下列說法正確的是()A.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像關(guān)于中心對(duì)稱 B.當(dāng)時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)C.函數(shù)圖像關(guān)于直線成軸對(duì)稱圖形 D.函數(shù)圖像上任意不同兩點(diǎn)的連線與x軸有交點(diǎn)【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【詳解】由已知對(duì)于A：，，由函數(shù)圖像變換可知，的圖像關(guān)于中心對(duì)稱，故A正確.對(duì)于B：，定義域?yàn)椋忠驗(yàn)?，所以，所以在和為減函數(shù)，所以函數(shù)在和為減函數(shù)，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C：因?yàn)?，令，所以點(diǎn)不在的圖象上，但在該函數(shù)的圖象上，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D：因?yàn)?，定義域?yàn)椋視r(shí)，，所以圖像上任意不同兩點(diǎn)的連線不平行于軸，所以函數(shù)圖像上任意不同兩點(diǎn)的連線與x軸有交點(diǎn)，故D正確.故選：AD12.已知奇函數(shù)，恒成立，且當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則()A.B.函數(shù)為周期函數(shù)C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減D.函數(shù)的圖像既有對(duì)稱軸又有對(duì)稱中心【答案】BCD【解析】【分析】由與的關(guān)系式及的周期性、奇偶性，即可求和判斷的周期，進(jìn)而判斷A和B；利用奇函數(shù)性質(zhì)求在上的解析式，結(jié)合的周期性及求上的解析式判斷C，利用對(duì)稱性判斷、是否成立判斷D.【詳解】因?yàn)椋?，，又為奇函?shù)，故，利用，可得，故的周期為4；因?yàn)橹芷跒?，則的周期為4，又是奇函數(shù)，所以，A錯(cuò)誤，B正確；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，故時(shí)，，因?yàn)楹愠闪?，令，此時(shí)，，則，，故時(shí)，，令，即，則，即；令，即，則，即；令，即，，所以，根據(jù)周期性在上的圖像與在相同，所以，當(dāng)，即時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，C正確；由是周期為4的奇函數(shù)，則且，所以，故關(guān)于對(duì)稱，，所以關(guān)于對(duì)稱，D正確.故選：BCD三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)13.冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則______.【答案】4【解析】【分析】根據(jù)題意可得且，從而可求出的值.【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以且，由，得，，解得或，當(dāng)時(shí)，不滿足，所以舍去，當(dāng)時(shí)，滿足，綜上，，故答案為：414.已知集合沒有非空真子集，則實(shí)數(shù)a構(gòu)成的集合為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可得集合中元素的個(gè)數(shù)為1或0個(gè)，再分情況討論即可，注意這種情況.【詳解】解：因?yàn)榧蠜]有非空真子集，所以集合中元素的個(gè)數(shù)為1或0個(gè)，當(dāng)集合中元素的個(gè)數(shù)為1個(gè)時(shí)，若，則有，解得，符合題意，若，則有，解得，當(dāng)集合中元素的個(gè)數(shù)為0個(gè)時(shí)，則，解得，綜上或，即實(shí)數(shù)a構(gòu)成的集合為.

故答案為：.15.已知均為實(shí)數(shù)且，，則的最小值為______.【答案】3【解析】【分析】由可得，再將變形為，利用基本不等式即可求解.【詳解】由，可得，因?yàn)椋?，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).所以的最小值為3.故答案為：316.已知偶函數(shù)的定義域?yàn)?，已知?dāng)時(shí)，，若，則的解集為______.【答案】【解析】【分析】由，可得，令，從而可得出函數(shù)在上得單調(diào)性，再判斷函數(shù)的奇偶性，結(jié)合，求得，而所求不等式可化為，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性列出不等式即可得出答案.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，由，得，令，當(dāng)時(shí)，，則，所以函數(shù)在上遞減，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，則，所以函數(shù)也是偶函數(shù)，因?yàn)椋?，不等式可化，即，所以，解得，所以的解集?故答案為：.四、解答題(本大題共6小題，共70.0分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17.已知函數(shù)(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)設(shè)，，求的值.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)利用三角恒等變換化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合整體思想即可得解；(2)由題意可求得，再根據(jù)平方關(guān)系求出，再根據(jù)結(jié)合兩角差的正弦公式即可得解.【小問1詳解】解：，令，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；【小問2詳解】解：因?yàn)?，所以，又，則，所以，所以.18.在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并回答下列問題.設(shè)全集，______，(1)若，求；(2)若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)除法不等式，絕對(duì)值不等式，對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域即可分別求出三種情形下的集合A；(2)對(duì)集合B中不等式進(jìn)行因式分解，再根據(jù)充分必要條件和集合包含關(guān)系即可求解.【小問1詳解】若選①：，，所以，，，故.若選②：，所以，，，故.若選③：，，所以，，，故.【小問2詳解】由(1)知，，因?yàn)椤啊笔恰啊钡某浞植槐匾獥l件，(i)若，即，此時(shí)，所以等號(hào)不同時(shí)取得，解得.故.(ii)若，則，不合題意舍去；(iii)若，即，此時(shí)，等號(hào)不同時(shí)取得，解得.綜上所述，a的取值范圍是.19.2022年冬天新冠疫情卷土重來，我國大量城市和地區(qū)遭受了奧密克戎新冠病毒的襲擊，為了控制疫情，某單位購入了一種新型的空氣消毒劑用于環(huán)境消毒，已知在一定范圍內(nèi)，每噴灑1個(gè)單位的消毒劑，空氣中釋放的濃度單位：毫克/立方米隨著時(shí)間單位：小時(shí)變化的關(guān)系如下：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，若多次噴灑，則某一時(shí)刻空氣中的消毒劑濃度為每次投放的消毒劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和.由實(shí)驗(yàn)知，當(dāng)空氣中消毒劑的濃度不低于毫克/立方米時(shí)，它才能起到殺滅空氣中的病毒的作用.(1)若一次噴灑4個(gè)單位的消毒劑，則有效殺滅時(shí)間可達(dá)幾小時(shí)？(2)若第一次噴灑2個(gè)單位的消毒劑，6小時(shí)后再噴灑個(gè)單位的消毒劑，要使接下來的4小時(shí)中能夠持續(xù)有效消毒，試求a的最小值.精確到，參考數(shù)據(jù)：取【答案】(1)8(2)1.6【解析】【分析】(1)根據(jù)噴灑4個(gè)單位的凈化劑后濃度為，由求解；(2)得到從第一次噴灑起，經(jīng)小時(shí)后，濃度為，化簡利用基本不等式求解.【小問1詳解】解：因?yàn)橐淮螄姙?個(gè)單位的凈化劑，所以其濃度為，當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)，綜上，所以若一次噴灑4個(gè)單位的消毒劑，則有效殺滅時(shí)間可達(dá)8小時(shí)；【小問2詳解】設(shè)從第一次噴灑起，經(jīng)小時(shí)后，其濃度，，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；所以其最小值為，由，解得，所以a的最小值為.20.已知函數(shù)，將函數(shù)向右平移個(gè)單位得到的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱且當(dāng)時(shí)，取得最大值.(1)求函數(shù)的解析式：(2)方程在上有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用正弦函數(shù)的平移變換結(jié)合圖像和性質(zhì)求解即可；(2)利用正弦函數(shù)的圖像和一元二次函數(shù)根與系數(shù)的關(guān)系求解即可.【小問1詳解】函數(shù)向右平移個(gè)單位可得，因?yàn)殛P(guān)于軸對(duì)稱，所以解得，因?yàn)?，所以或，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，取得最大值，所以解得，綜上，所以.【小問2詳解】令，由(1)得當(dāng)時(shí)，，由正弦函數(shù)的圖像可得當(dāng)時(shí)有兩個(gè)解，所以要使方程有4個(gè)不