專題04 相似三角形（重難點突破）（解析版）

專題04相似三角形重點探索兩個三角形相似的條件，會選擇恰當?shù)姆椒ㄗR別兩個三角形相似難點探索相似三角形的性質(zhì)，能運用性質(zhì)進行有關(guān)計算；綜合運用相似三角形的判定和性質(zhì)解決生活中的實際問題易錯相似三角形的對應(yīng)元素出錯；用相似三角形相似比求面積關(guān)系時出錯一、相似三角形的判定1．相似三角形的判定定理①判定定理1：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．②判定定理2：三邊成比例的兩個三角形相似．③判定定理3：兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似．④判定定理4：兩角分別相等的兩個三角形相似．2．直角三角形相似的判定方法如果兩個直角三角形滿足一個銳角相等，或兩組直角邊成比例，那么這兩個直角三角形相似．3．判定三角形相似的幾條思路：（1）條件中若有平行線，可采用相似三角形的判定（1）；（2）條件中若有一對等角，可再找一對等角[用判定（1）]或再找夾邊成比例[用判定（2）]；（3）條件中若有兩邊對應(yīng)成比例，可找夾角相等；（4）條件中若有一對直角，可考慮再找一對等角或證明斜邊、直角邊對應(yīng)成比例；（5）條件中若有等腰條件，可找頂角相等，或找一個底角相等，也可找底和腰對應(yīng)成比例．【例1】如圖，在中，高、相交于點F．圖中與一定相似的三角形有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【詳解】解：∵，，∴，∴，又∵，∴，∵，，∴，即與一定相似的三角形有3個，故選：C．【例2】在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，下列比例式中不能得到DEBC的是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：如圖，解：A．∵，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠ABC，∴DEBC；故選項不符合題意；B．當時，△ADE與△ABC不一定相似，∴∠ADE不一定等于∠B，∴不能得到DEBC，故選項符合題意；C．∵，∴，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠ABC，∴DEBC；故選項不符合題意；D．∵，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠ABC，∴DEBC；故選項不符合題意；故選：B．二、相似三角形的性質(zhì)運用相似三角形性質(zhì)的前提是先判定兩三角形相似.特別注意“相似三角形面積的比等于相似比的平方”而不是等于相似比，即相似比應(yīng)等于面積比的算術(shù)平方根．【例3】如圖，，若，，則與的相似比是（

）A．1∶2 B．1∶3 C．2∶3 D．3∶2【答案】B【詳解】解：∵，，∴，∵，∴相似比為：，故選B．【例4】如圖，已知和的相似比是，且的面積為2，則四邊形的面積為（）A．6 B．8 C．4 D．2【答案】A【詳解】解：∵和的相似比是，且的面積為2，∴，∴，∴．故選：A．三、相似三角形應(yīng)用舉例解相似三角形應(yīng)用題的兩個原則：（1）核心是構(gòu)造相似三角形，在構(gòu)造的三角形中，被測物體的高度或?qū)挾纫话闶瞧渲械囊贿叄?）構(gòu)造三角形的方法多種多樣，只需把握住所構(gòu)造的三角形除被測量的邊以外，其余的對應(yīng)邊易測這一原則．【例5】如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點在同一直線上，已知紙板的兩條直角邊，，測得邊DF離地面的高度，，則樹高AB為（

）m．A．5 B． C．7 D．【答案】B【詳解】解：，∵，∴，∴，即，解得：，∵，∴，即樹高．故答案為：．【例6】地質(zhì)勘探人員為了估算某條河的寬度，在河對岸選定一個目標點O，再在他們所在的這一側(cè)選取點A，B，D，使得，然后找到和的交點C，如圖所示，測得，則可計算出河寬為（）A．16m B．15m C．14m D．13m【答案】C【詳解】解：∵，∴．∴，即，∴．故選C．一、單選題1．如圖，，相交于點，且，若，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】∵，∴，∵，∴，∵，，∴．故選：C．2．若，其相似比為，則與的面積比為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：且相似比為故選：C3．如圖，已知，相似比為，則為（）A．2 B．5 C．5 D．1【答案】A【詳解】解：∵，相似比為，，∴，故選A．4．如圖，，，交于，圖中相似三角形共有（

）A．3對 B．4對 C．5對 D．6對【答案】B【詳解】解：，，，，，，，，，即，，，，，，．圖中相似三角形共有4對．故選：B．5．如圖，E是的邊的延長線上的一點，連接，交邊于點P．若，則與的周長之比為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：∵四邊形為平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∴與的周長之比；故選A．6．如圖，在等邊中，點，分別在邊，上，且，則有（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：∵等邊三角形，∴，且，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，故選：．二、填空題7．如圖，已知，，是線段的中點，且，，那么______．【答案】【詳解】解：是線段的中點，，，，，，，，即，，∽，，，，故答案為：．8．如圖，已知中，D為邊AC上一點，P為邊AB上一點，，，，當?shù)拈L度為______時，和相似．【答案】10或6.4【詳解】解：當時，∴，∴，解得：，當時，∴，∴，解得：，∴當?shù)拈L度為10或6.4時，和相似．故答案為：10或6.4．三、解答題9．如圖，在和中，，．(1)求證：；(2)判斷與是否相似？并證明．【答案】(1)見解析(2)與相似，理由見解析【詳解】（1）證明：，，，又，，；（2）與相似，證明：由（1）知：∽，，，又，與相似．10．如圖，點是菱形的對角線上一點，連結(jié)并延長，交于，交的延長線于點．(1)求證：．(2)若，，直接寫出的長．【答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）證明：∵四邊形是菱形，∴，在和中，，∴．∴，，∵，∴，∵，∴，∵，∴．（2）解：∵，∴，∵∴∵，，∴，∴．一、單選題1．如圖，在和中，，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】在中，，，,在和中，，，，故選：B．2．如圖，將沿邊上的中線平移到的位置，已知的面積為，陰影部分三角形的面積為若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：如圖，、，且為邊的中線，，，將沿邊上的中線平移得到，，，∴，即，解得或（舍去），．故選：B．3．如圖，在中，D、E分別是邊、上的點，且∥，若，則的值為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】∵，∴，∵∥，∴，，∴，∴的值為，故選：D．4．如圖，已知在中，，，，為的角平分線，過作于點，交于點．則線段的長為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：∵中，，，，∴，∵為的角平分線，設(shè)到的距離為，則，∴∴即解得如圖，過點作，交的延長線于，∴，∵，∴，∵，∴，又∴∴即解得,∵，∴，∴，∴，∴，∴，故選：D．5．如圖，在中，點D，E分別是邊的中點，與交于點O，連接．下列結(jié)論：（1）；（2）；（3）；（4）．其中正確的個數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【詳解】解：∵點D，E分別是邊的中點∴是三角形的中位線∴，，即②正確；∴，∴,∴，故③錯誤；，故①正確；∵，∴，即，∴＝，故④正確；綜上①②④正確，故選：C．6．如圖，在正方形中，是等邊三角形，、的延長線分別交于點、，連接、，與相交于點，給出下列結(jié)論：其中正確的是（

）①；②；③；④A．①②③ B．②③ C．①②④ D．①③④【答案】C【詳解】∵四邊形是正方形，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，∴，故①正確，∵，∴，∵，又∵，∴，∴，∴，∴，故②正確，∵，∴與不相似，故③錯誤，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故④正確，故選：C．二、填空題7．如圖，在中，，，，則______cm．【答案】4【詳解】解：∵，，∴，∴，∵，，∴，解得：．故答案為：48．如圖，、、、分別為矩形的邊、、、的中點，連接、、、、，已知，，則下列結(jié)論：①；②∽；③；④正確的是______（填寫序號）【答案】②③④【詳解】解：，，不能說明，故①錯誤，不符合題意；，，又，，故②正確，符合題意；如圖，連接，由題意得：，，分別是與的中點，，，，即，，在中，，，解得：，，故③正確，符合題意；，，即，故④正確，符合題意，正確的是②③④，故答案為：②③④．三、解答題9．如圖，在中，，，，點從點開始沿邊向點以的速度移動，點從點開始沿邊向點以的速度移動，如果、分別從、同時出發(fā)，設(shè)移動時間為．(1)當為多少時，的面積是？(2)當為多少時，與是相似三角形？【答案】(1)．(2)或3．【詳解】（1）點從點開始沿邊向點以的速度移動，點從點開始沿邊向點以的速度移動，，，；的面積是，，解得，．即當為3時，的面積是；（2）由運動知，，，、是直角三角形，當與相