2024屆云南省玉溪市元江第一中學(xué)高考數(shù)學(xué)考前最后一卷預(yù)測卷含解析

2024屆云南省玉溪市元江第一中學(xué)高考數(shù)學(xué)考前最后一卷預(yù)測卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，則（）A． B． C． D．22．以下三個命題：①在勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上，質(zhì)檢員每10分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進行某項指標檢測，這樣的抽樣是分層抽樣；②若兩個變量的線性相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1；③對分類變量與的隨機變量的觀測值來說，越小，判斷“與有關(guān)系”的把握越大；其中真命題的個數(shù)為（）A．3 B．2 C．1 D．03．設(shè)、分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，則（）A． B．0 C．1 D．34．已知拋物線的焦點與雙曲線的一個焦點重合，且拋物線的準線被雙曲線截得的線段長為，那么該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．5．如圖，在平行四邊形中，為對角線的交點，點為平行四邊形外一點，且，，則（）A． B．C． D．6．已知隨機變量X的分布列如下表：X01Pabc其中a，b，.若X的方差對所有都成立，則（）A． B． C． D．7．在原點附近的部分圖象大概是（）A． B．C． D．8．某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的體積為（）A． B． C． D．9．已知雙曲線的中心在原點且一個焦點為，直線與其相交于，兩點，若中點的橫坐標為，則此雙曲線的方程是A． B．C． D．10．已知函數(shù)（，是常數(shù)，其中且）的大致圖象如圖所示，下列關(guān)于，的表述正確的是（）A．， B．，C．， D．，11．已知雙曲線的右焦點為為坐標原點，以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點及點，則雙曲線的方程為（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)，若則（）A．f(a)<f(b)<f(c) B．f(b)<f(c)<f(a)C．f(a)<f(c)<f(b) D．f(c)<f(b)<f(a)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點是拋物線上動點，是拋物線的焦點，點的坐標為，則的最小值為______________．14．已知實數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的值為_______.15．拋物線上到其焦點的距離為的點的個數(shù)為________．16．的角所對的邊分別為，且，，若，則的值為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，若的解集為．（1）求的值；（2）若正實數(shù)，，滿足，求證：．18．（12分）已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（2）設(shè)點，直線與曲線交于，兩點，求的值.19．（12分）在平面直角坐標系中，直線與拋物線：交于，兩點，且當時，.（1）求的值；（2）設(shè)線段的中點為，拋物線在點處的切線與的準線交于點，證明：軸.20．（12分）如圖，在棱長為的正方形中，，分別為，邊上的中點，現(xiàn)以為折痕將點旋轉(zhuǎn)至點的位置，使得為直二面角．（1）證明：；（2）求與面所成角的正弦值．21．（12分）在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）寫出的普通方程和的直角坐標方程；（2）設(shè)點在上，點在上，求的最小值以及此時的直角坐標.22．（10分）已知函數(shù)，其中．（1）①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；②若滿足，且．求證：．（2）函數(shù)．若對任意，都有，求的最大值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

結(jié)合求得的值，由此化簡所求表達式，求得表達式的值.【詳解】由，以及，解得..故選：B【點睛】本小題主要考查利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡求值，考查二倍角公式，屬于中檔題.2、C【解析】

根據(jù)抽樣方式的特征，可判斷①；根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，可判斷②；根據(jù)獨立性檢驗的方法和步驟，可判斷③．【詳解】①根據(jù)抽樣是間隔相同，且樣本間無明顯差異，故①應(yīng)是系統(tǒng)抽樣，即①為假命題；②兩個隨機變量相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1；兩個隨機變量相關(guān)性越弱，則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于0；故②為真命題；③對分類變量與的隨機變量的觀測值來說，越小，“與有關(guān)系”的把握程度越小，故③為假命題．故選：．【點睛】本題以命題的真假判斷為載體考查了抽樣方法、相關(guān)系數(shù)、獨立性檢驗等知識點，屬于基礎(chǔ)題．3、C【解析】

先根據(jù)奇偶性，求出的解析式，令，即可求出?！驹斀狻恳驗椤⒎謩e是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，，用替換，得，化簡得，即令，所以，故選C?！军c睛】本題主要考查函數(shù)性質(zhì)奇偶性的應(yīng)用。4、A【解析】

由拋物線的焦點得雙曲線的焦點，求出，由拋物線準線方程被曲線截得的線段長為，由焦半徑公式，聯(lián)立求解.【詳解】解：由拋物線，可得，則，故其準線方程為，拋物線的準線過雙曲線的左焦點，．拋物線的準線被雙曲線截得的線段長為，，又，，則雙曲線的離心率為．故選：．【點睛】本題考查拋物線的性質(zhì)及利用過雙曲線的焦點的弦長求離心率.弦過焦點時，可結(jié)合焦半徑公式求解弦長．5、D【解析】

連接，根據(jù)題目，證明出四邊形為平行四邊形，然后，利用向量的線性運算即可求出答案【詳解】連接，由，知，四邊形為平行四邊形，可得四邊形為平行四邊形，所以.【點睛】本題考查向量的線性運算問題，屬于基礎(chǔ)題6、D【解析】

根據(jù)X的分布列列式求出期望,方差,再利用將方差變形為,從而可以利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值為,進而得出結(jié)論.【詳解】由X的分布列可得X的期望為,又,所以X的方差,因為,所以當且僅當時,取最大值,又對所有成立,所以,解得,故選:D.【點睛】本題綜合考查了隨機變量的期望?方差的求法,結(jié)合了概率?二次函數(shù)等相關(guān)知識,需要學(xué)生具備一定的計算能力,屬于中檔題.7、A【解析】

分析函數(shù)的奇偶性，以及該函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)值符號，結(jié)合排除法可得出正確選項.【詳解】令，可得，即函數(shù)的定義域為，定義域關(guān)于原點對稱，，則函數(shù)為奇函數(shù)，排除C、D選項；當時，，，則，排除B選項.故選：A.【點睛】本題考查利用函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象，一般要分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、零點以及函數(shù)值符號，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.8、B【解析】

由三視圖知該四棱錐是底面為正方形，且一側(cè)棱垂直于底面，由此求出四棱錐的體積．【詳解】由三視圖知該四棱錐是底面為正方形，且一側(cè)棱垂直于底面，畫出四棱錐的直觀圖，如圖所示：則該四棱錐的體積為.故選：B.【點睛】本題考查了利用三視圖求幾何體體積的問題，是基礎(chǔ)題．9、D【解析】

根據(jù)點差法得，再根據(jù)焦點坐標得，解方程組得，，即得結(jié)果.【詳解】設(shè)雙曲線的方程為，由題意可得，設(shè)，，則的中點為，由且，得，，即，聯(lián)立，解得，，故所求雙曲線的方程為．故選D．【點睛】本題主要考查利用點差法求雙曲線標準方程，考查基本求解能力，屬于中檔題.10、D【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和特征以及圖象的平移可得正確的選項.【詳解】從題設(shè)中提供的圖像可以看出，故得，故選：D．【點睛】本題考查圖象的平移以及指數(shù)函數(shù)的圖象和特征，本題屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】

根據(jù)雙曲線方程求出漸近線方程：，再將點代入可得，連接，根據(jù)圓的性質(zhì)可得，從而可求出，再由即可求解.【詳解】由雙曲線，則漸近線方程：，，連接，則，解得，所以，解得.故雙曲線方程為.故選：C【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，需掌握雙曲線的漸近線求法，屬于中檔題.12、C【解析】

利用導(dǎo)數(shù)求得在上遞增，結(jié)合與圖象，判斷出的大小關(guān)系，由此比較出的大小關(guān)系.【詳解】因為，所以在上單調(diào)遞增；在同一坐標系中作與圖象，，可得，故.故選：C【點睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

過點作垂直于準線，為垂足，則由拋物線的定義可得，則，為銳角.故當和拋物線相切時，的值最小.再利用直線的斜率公式、導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切點的坐標，從而求得的最小值.【詳解】解：由題意可得，拋物線的焦點，準線方程為，過點作垂直于準線，為垂足，則由拋物線的定義可得，則，為銳角.故當最小時，的值最小.設(shè)切點，由的導(dǎo)數(shù)為，則的斜率為，求得，可得，，，.故答案為：.【點睛】本題考查拋物線的定義，性質(zhì)的簡單應(yīng)用，直線的斜率公式，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.14、【解析】

由虛數(shù)單位的性質(zhì)結(jié)合復(fù)數(shù)相等的條件列式求得，的值，則答案可求．【詳解】解：由，，，所以，得，．．故答案為：．【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查虛數(shù)單位的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．15、【解析】

設(shè)拋物線上任意一點的坐標為，根據(jù)拋物線的定義求得，并求出對應(yīng)的，即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)拋物線上任意一點的坐標為，拋物線的準線方程為，由拋物線的定義得，解得，此時.因此，拋物線上到其焦點的距離為的點的個數(shù)為.故答案為：.【點睛】本題考查利用拋物線的定義求點的坐標，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

先利用余弦定理求出，再用正弦定理求出并把轉(zhuǎn)化為與邊有關(guān)的等式，結(jié)合可求的值.【詳解】因為，故，因為，所以.由正弦定理可得三角形外接圓的半徑滿足，所以即.因為，解得或（舍）.故答案為：.【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，注意結(jié)合求解目標對所得的方程組變形整合后整體求解，本題屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見詳解.【解析】

（1）將不等式的解集用表示出來，結(jié)合題中的解集，求出的值；（2）利用柯西不等式證明.【詳解】解：（1），，，因為的解集為，所以，；（2）由（1）由柯西不等式，當且僅當，，，等號成立．【點睛】本題考查了絕對值不等式的解法，利用柯西不等式證明不等式的問題，屬于中檔題.18、（1）；（2）【解析】

（1）利用參數(shù)方程、普通方程、極坐標方程間的互化公式即可；（2）將直線參數(shù)方程代入圓的普通方程，可得，，而根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義，知，代入即可解決.【詳解】（1）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去；得曲線的極坐標方程為.由，，，可得，即曲線的直角坐標方程為；（2）將直線的參數(shù)方程（為參數(shù)）代入的方程，可得，，設(shè)，是點對應(yīng)的參數(shù)值，，，則.【點睛】本題考查參數(shù)方程、普通方程、極坐標方程間的互化，直線參數(shù)方程的幾何意義，是一道容易題.19、（1）1；（2）見解析【解析】

（1）設(shè)，，聯(lián)立直線和拋物線方程，得，寫出韋達定理，根據(jù)弦長公式，即可求出；（2）由，得，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出拋物線在點點處切線方程，進而求出，即可證出軸.【詳解】解：（1）設(shè)，，將直線代入中整理得：，∴，，∴，解得：.（2）同（1）假設(shè)，，由，得，從而拋物線在點點處的切線方程為，即，令，得，由（1）知，從而，這表明軸.【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，涉及聯(lián)立方程組、韋達定理、弦長公式以及利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，考查轉(zhuǎn)化思想和計算能力.20、（1）證明見詳解；（2）【解析】

（1）在折疊前的正方形ABCD中，作出對角線AC，BD，由正方形性質(zhì)知，又//，則于點H，則由直二面角可知面，故.又，則面，故命題得證；（2）作出線面角，在直角三角形中求解該角的正弦值.【詳解】解：（1）證明：在正方形中，連結(jié)交于．因為//，故可得，即又旋轉(zhuǎn)不改變上述垂直關(guān)系，且平面,面，又面，所以（2）因為為直二面角，故平面平面,又其交線為,且平面,故可得底面，連結(jié)，則即為與面所成角，連結(jié)交于，在中，，在中，．所以與面所成角的正弦值為．【點睛】本題考查了線面垂直的證明與性質(zhì)，利用定義求線面角，屬于中檔題.21、（1）：，：；（2），此時.【解析】試題分析：（1）的普通方程為，的直角坐標方程為；（2）由題意，可設(shè)點的直角坐標為到的距離當且僅當時，取得最小值，最小值為，此時的直角坐標為.試題解析：（1）的普通方程為，的直角坐標方程為.（2）由題意，可設(shè)點的直角坐標為，因為是直線，所以的最小值即為到的距離的最小值，.當且僅當時，取得最小值，最小值為，此時的直角坐標為.考點：坐標系與參數(shù)方程.【方法點睛】參數(shù)方程與普通方程的互化：把參數(shù)方程化為普通方程，需要根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征，選取適當?shù)南麉⒎椒?，常見的消參方法有：代入消參法；加減消參法；平方和（差）消參法；乘法消參法；混合消參法等．把曲線的普通方程化為參數(shù)方程的關(guān)鍵：一是適當選取參數(shù)；二是確保互化前后方程的等價性．注意方程中的參數(shù)的變化范圍．22、（1）①單調(diào)遞增區(qū)間，，單調(diào)遞減區(qū)間；②詳見解析；（2）.【解析】

(1)①求導(dǎo)可得,再分別求解與的解集,結(jié)合定義域分析函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.②根據(jù)(1)中的結(jié)論,求出的表達式,再分與兩種情況,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析的范圍即可.(2)求導(dǎo)分析的單調(diào)性,再結(jié)合單調(diào)性,設(shè)去絕對值化簡