第08講兩點分布二項分布超幾何分布與正態(tài)分布（十一大題型）（講義）

第08講兩點分布、二項分布、超幾何分布與正態(tài)分布目錄考點要求考題統(tǒng)計考情分析（1）理解兩點分布、二項分布、超幾何分布的概念，能解決一些簡單的實際問題．（2）借助正態(tài)分布曲線了解正態(tài)分布的概念，并進行簡單應(yīng)用．2022年II卷第13題，5分2021年II卷第6題，5分2018年I卷第18題，12分從近五年的全國卷的考查情況來看，本節(jié)是高考的熱點，特別是解答題中，更是經(jīng)常出現(xiàn)．本節(jié)的重點內(nèi)容是求隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望．求分布列其實是求概率的過程，首先要明確隨機變量的類型，是二項分布、超幾何分布或是一般的概率分布．對于一般的概率分布，沒有特別的公式，就需要將復(fù)雜事件拆分為等價的幾個事件，根據(jù)概率計算公式求概率，從而得到分布列．對于數(shù)學(xué)期望與方差，都可用定義運用相應(yīng)的公式求解，因而關(guān)鍵問題還是求分布列．知識點一．兩點分布1、若隨機變量服從兩點分布，即其分布列為01其中，則稱離散型隨機變量服從參數(shù)為的兩點分布．其中稱為成功概率．注意：（1）兩點分布的試驗結(jié)果只有兩個可能性，且其概率之和為；（2）兩點分布又稱分布、伯努利分布，其應(yīng)用十分廣泛．2、兩點分布的均值與方差：若隨機變量服從參數(shù)為的兩點分布，則，．知識點二．次獨立重復(fù)試驗1、定義一般地，在相同條件下重復(fù)做的次試驗稱為次獨立重復(fù)試驗．注意：獨立重復(fù)試驗的條件：①每次試驗在同樣條件下進行；②各次試驗是相互獨立的；③每次試驗都只有兩種結(jié)果，即事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生．2、特點（1）每次試驗中，事件發(fā)生的概率是相同的；（2）每次試驗中的事件是相互獨立的，其實質(zhì)是相互獨立事件的特例．知識點三．二項分布1、定義一般地，在次獨立重復(fù)試驗中，用表示事件發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗中事件發(fā)生的概率為，不發(fā)生的概率，那么事件恰好發(fā)生次的概率是（，，，…，）于是得到的分布列…………由于表中第二行恰好是二項式展開式各對應(yīng)項的值，稱這樣的離散型隨機變量服從參數(shù)為，的二項分布，記作，并稱為成功概率．注意：由二項分布的定義可以發(fā)現(xiàn)，兩點分布是一種特殊的二項分布，即時的二項分布，所以二項分布可以看成是兩點分布的一般形式．2、二項分布的適用范圍及本質(zhì)（1）適用范圍：①各次試驗中的事件是相互獨立的；②每次試驗只有兩種結(jié)果：事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生；③隨機變量是這次獨立重復(fù)試驗中事件發(fā)生的次數(shù)．（2）本質(zhì)：二項分布是放回抽樣問題，在每次試驗中某一事件發(fā)生的概率是相同的．3、二項分布的期望、方差若，則，．知識點四．超幾何分布1、定義在含有件次品的件產(chǎn)品中，任取件，其中恰有件次品，則事件發(fā)生的概率為，，1，2，…，，其中，且，，，，，稱分布列為超幾何分布列．如果隨機變量的分布列為超幾何分布列，則稱隨機變量服從超幾何分布．01……2、超幾何分布的適用范圍件及本質(zhì)（1）適用范圍：①考察對象分兩類；②已知各類對象的個數(shù)；③從中抽取若干個個體，考察某類個體個數(shù)的概率分布．（2）本質(zhì)：超幾何分布是不放回抽樣問題，在每次試驗中某一事件發(fā)生的概率是不相同的．知識點四、正態(tài)曲線1、定義：我們把函數(shù)，（其中是樣本均值，是樣本標準差）的圖象稱為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線．正態(tài)曲線呈鐘形，即中間高，兩邊低．2、正態(tài)曲線的性質(zhì)（1）曲線位于軸上方，與軸不相交；（2）曲線是單峰的，它關(guān)于直線對稱；（3）曲線在處達到峰值（最大值）；（4）曲線與軸之間的面積為1；（5）當一定時，曲線的位置由確定，曲線隨著的變化而沿軸平移，如圖甲所示：（6）當一定時，曲線的形狀由確定．越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖乙所示：：甲乙知識點五、正態(tài)分布1、定義隨機變量落在區(qū)間的概率為，即由正態(tài)曲線，過點和點的兩條軸的垂線，及軸所圍成的平面圖形的面積，如下圖中陰影部分所示，就是落在區(qū)間的概率的近似值．一般地，如果對于任何實數(shù)，，隨機變量滿足，則稱隨機變量服從正態(tài)分布．正態(tài)分布完全由參數(shù)，確定，因此正態(tài)分布常記作．如果隨機變量服從正態(tài)分布，則記為．其中，參數(shù)是反映隨機變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本的均值去估計；是衡量隨機變量總體波動大小的特征數(shù)，可以用樣本的標準差去估計．2、原則若，則對于任意的實數(shù)，為下圖中陰影部分的面積，對于固定的和而言，該面積隨著的減小而變大．這說明越小，落在區(qū)間的概率越大，即集中在周圍的概率越大特別地，有；；．由，知正態(tài)總體幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間之內(nèi)．而在此區(qū)間以外取值的概率只有，通常認為這種情況在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生，即為小概率事件．在實際應(yīng)用中，通常認為服從于正態(tài)分布的隨機變量只取之間的值，并簡稱之為原則．【解題方法總結(jié)】1、超幾何分布和二項分布的區(qū)別（1）超幾何分布需要知道總體的容量，而二項分布不需要；（2）超幾何分布是“不放回”抽取，在每次試驗中某一事件發(fā)生的概率是不相同的；而二項分布是“有放回”抽取（獨立重復(fù)），在每次試驗中某一事件發(fā)生的概率是相同的.2、在解決有關(guān)問題時，通常認為服從正態(tài)分布的隨機變量只取之間的值．如果服從正態(tài)分布的隨機變量的某些取值超出了這個范圍就說明出現(xiàn)了意外情況．3、求正態(tài)變量在某區(qū)間內(nèi)取值的概率的基本方法：（1）根據(jù)題目中給出的條件確定與的值．（2）將待求問題向，，這三個區(qū)間進行轉(zhuǎn)化；（3）利用在上述區(qū)間的概率、正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間的面積為1求出最后結(jié)果．4、假設(shè)檢驗的思想（1）統(tǒng)計中假設(shè)檢驗的基本思想：根據(jù)小概率事件在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生的原則和從總體中抽測的個體的數(shù)值，對事先所作的統(tǒng)計假設(shè)作出判斷：是拒絕假設(shè)，還是接受假設(shè)．（2）若隨機變量ξ服從正態(tài)分布，則ξ落在區(qū)間內(nèi)的概率為，亦即落在區(qū)間之外的概率為，此為小概率事件．如果此事件發(fā)生了，就說明不服從正態(tài)分布．（3）對于小概率事件要有一個正確的理解：小概率事件是指發(fā)生的概率小于的事件．對于這類事件來說，在大量重復(fù)試驗中，平均每試驗大約次，才發(fā)生1次，所以認為在一次試驗中該事件是幾乎不可能發(fā)生的．不過應(yīng)注意兩點：一是這里的“幾乎不可能發(fā)生”是針對“一次試驗”來說的，如果試驗次數(shù)多了，該事件當然是很可能發(fā)生的；二是當我們運用“小概率事件幾乎不可能發(fā)生的原理”進行推斷時，也有犯錯的可能性．題型一：兩點分布例1．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高三江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若隨機變量服從兩點分布，其中，分別為隨機變量的均值與方差，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】隨機變量服從兩點分布，其中，，，，在A中，，故A正確；在B中，，故B正確；在C中，，故C錯誤；在D中，，故D正確.故選：C.例2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)隨機變量服從兩點分布，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意得，因為，所以解得，所以，故選：D例3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）有一個盒子里有1個紅球，現(xiàn)將（）個黑球放入盒子后，再從盒子里隨機取一球，記取到的紅球個數(shù)為個，則隨著（）的增加，下列說法正確的是（

）A．減小，增加 B．增加，減小C．增加，增加 D．減小，減小【答案】D【解析】取到紅球個數(shù)服從兩點分布，其中，所以，顯然隨著n的增大而減小.，記，，當時，，故在上單調(diào)遞減，則當時，隨著n的增大而減小.故選：D.變式1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知離散型隨機變量的分布列服從兩點分布，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為的分布列服從兩點分布，所以，因為，所以故選：C變式2．（2023·北京·高三專題練習(xí)）某高?！爸参餇I養(yǎng)學(xué)專業(yè)”學(xué)生將雞冠花的株高增量作為研究對象，觀察長效肥和緩釋肥對農(nóng)作物影響情況.其中長效肥、緩釋肥、未施肥三種處理下的雞冠花分別對應(yīng)1,2,3三組.觀察一段時間后，分別從1,2,3三組隨機抽取40株雞冠花作為樣本，得到相應(yīng)的株高增量數(shù)據(jù)整理如下表.株高增量（單位：厘米）第1組雞冠花株數(shù)92092第2組雞冠花株數(shù)416164第3組雞冠花株數(shù)1312132假設(shè)用頻率估計概率，且所有雞冠花生長情況相互獨立.(1)從第1組所有雞冠花中隨機選取1株，估計株高增量為厘米的概率；(2)分別從第1組，第2組，第3組的所有雞冠花中各隨機選取1株，記這3株雞冠花中恰有株的株高增量為厘米，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)用“”表示第組雞冠花的株高增量為，“”表示第組雞冠花的株高增量為厘米，，直接寫出方差，，的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）【解析】（1）設(shè)事件為“從第1組所有雞冠花中隨機選取1株，株高增量為厘米”，根據(jù)題中數(shù)據(jù)，第1組所有雞冠花中，有20株雞冠花增量為厘米,所以估計為；（2）設(shè)事件為“從第2組所有雞冠花中隨機選取1株，株高增量為厘米”，設(shè)事件為“從第3組所有雞冠花中隨機選取1株，株高增量為厘米”，根據(jù)題中數(shù)據(jù)，估計為，估計為，根據(jù)題意，隨機變量的所有可能取值為，且；；；，則的分布列為：0123所以.（3）理由如下：，所以；，所以；，所以；所以.變式3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某工廠生產(chǎn)某種電子產(chǎn)品，每件產(chǎn)品不合格的概率均為，現(xiàn)工廠為提高產(chǎn)品聲譽，要求在交付用戶前每件產(chǎn)品都通過合格檢驗，已知該工廠的檢驗儀器一次最多可檢驗件該產(chǎn)品，且每件產(chǎn)品檢驗合格與否相互獨立．若每件產(chǎn)品均檢驗一次，所需檢驗費用較多，該工廠提出以下檢驗方案：將產(chǎn)品每個一組進行分組檢驗，如果某一組產(chǎn)品檢驗合格，則說明該組內(nèi)產(chǎn)品均合格，若檢驗不合格，則說明該組內(nèi)有不合格產(chǎn)品，再對該組內(nèi)每一件產(chǎn)品單獨進行檢驗，如此，每一組產(chǎn)品只需檢驗次或次．設(shè)該工廠生產(chǎn)件該產(chǎn)品，記每件產(chǎn)品的平均檢驗次數(shù)為．（1）求的分布列及其期望；（2）（i）試說明，當越小時，該方案越合理，即所需平均檢驗次數(shù)越少；（ii）當時，求使該方案最合理時的值及件該產(chǎn)品的平均檢驗次數(shù)．【解析】（1）由題，的可能取值為和，故的分布列為由記，因為，所以在上單調(diào)遞增，故越小，越小，即所需平均檢驗次數(shù)越少，該方案越合理記當且取最小值時，該方案最合理，因為，，所以時平均檢驗次數(shù)最少，約為次．變式4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某單位有員工50000人，一保險公司針對該單位推出一款意外險產(chǎn)品，每年每位職工只需要交少量保費，發(fā)生意外后可一次性獲得若干賠償金.保險公司把該單位的所有崗位分為，，三類工種，從事三類工種的人數(shù)分布比例如餅圖所示，且這三類工種每年的賠付概率如下表所示：工種類別賠付概率對于，，三類工種，職工每人每年保費分別為元?元?元，出險后的賠償金額分別為100萬元?100萬元?50萬元，保險公司在開展此項業(yè)務(wù)過程中的固定支出為每年20萬元.(1)若保險公司要求每年收益的期望不低于保費的，證明：.(2)現(xiàn)有如下兩個方案供單位選擇：方案一：單位不與保險公司合作，職工不交保險，出意外后單位自行拿出與保險公司提供的等額賠償金賠付給出意外的職工，單位開展這項工作的固定支出為每年35萬元；方案二：單位與保險公司合作，，，單位負責(zé)職工保費的，職工個人負責(zé)，出險后賠償金由保險公司賠付，單位無額外專項開支.根據(jù)該單位總支出的差異給出選擇合適方案的建議.【解析】（1）設(shè)工種，，對應(yīng)職工的每份保單保險公司的收益分別為隨機變量，，（單位：元），則，，的分布列分別為，，.所以，整理得.（2）方案一：單位不與保險公司合作，則單位每年賠償金支出的期望與固定開支共為（元）.方案二：單位與保險公司合作，則單位支出金額為（元）.因為，所以建議單位選擇方案二.變式5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）為考察本科生基本學(xué)術(shù)規(guī)范和基本學(xué)術(shù)素養(yǎng)，某大學(xué)決定對各學(xué)院本科畢業(yè)論文進行抽檢，初步方案是本科畢業(yè)論文抽檢每年進行一次，抽檢對象為上一學(xué)年度授予學(xué)士學(xué)位的論文，初評階段，每篇論文送位同行專家進行評審，位專家中有位以上（含位）專家評議意見為“不合格”的畢業(yè)論文，將認定為“存在問題畢業(yè)論文”.位專家中有位專家評議意見為“不合格”，將再送位同行專家（不同于前位）進行復(fù)評.復(fù)評階段，位復(fù)評專家中有位以上（含位）專家評議意見為“不合格”，將認定為“存在問題畢業(yè)論文”.每位專家，判定每篇論文“不合格”的概率均為，且各篇畢業(yè)論文是否被判定為“不合格”相互獨立.(1)若，求每篇畢業(yè)論文被認定為“存在問題畢業(yè)論文”的概率是多少；(2)學(xué)校擬定每篇論文需要復(fù)評的評審費用為元，不需要復(fù)評的評審費用為元，則每篇論文平均評審費用的最大值是多少？【解析】（1）設(shè)每篇畢業(yè)論文被認定為“存在問題畢業(yè)論文”為事件，則，，；（2）設(shè)每篇文章的評審費用為元，則的可能取值為，，則，；.令，，則.當時，，在上單調(diào)遞增，當時，，在上單調(diào)遞減，的最大值為，每篇論文平均評審費用的最大值是元.題型二：次獨立重復(fù)試驗例4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）為落實立德樹人根本任務(wù)，堅持五育并舉全面推進素質(zhì)教育，某學(xué)校舉行了乒乓球比賽，其中參加男子乒乓球決賽的12名隊員來自3個不同校區(qū)，三個校區(qū)的隊員人數(shù)分別是3，4，5.本次決賽的比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每名隊員進行11場比賽（每場比賽都采取5局3勝制），最后根據(jù)積分選出最后的冠軍.積分規(guī)則如下：比賽中以或取勝的隊員積3分，失敗的隊員積0分；而在比賽中以取勝的隊員積2分，失敗的隊員的隊員積1分.已知第10輪張三對抗李四，設(shè)每局比賽張三取勝的概率均為.(1)比賽結(jié)束后冠亞軍(沒有并列)恰好來自不同校區(qū)的概率是多少？(2)第10輪比賽中，記張三取勝的概率為，求出的最大值點.【解析】（1）根據(jù)題意，比賽結(jié)束后冠亞軍恰好來自不同校區(qū)的概率是；（2）由題可知，，令，得，當時，，在上單調(diào)遞增；當時，，在上單調(diào)遞減.所以的最大值點.例5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）甲?乙兩人參加一個游戲，該游戲設(shè)有獎金256元，誰先贏滿5局，誰便贏得全部的獎金，已知每局游戲乙贏的概率為，甲贏的概率為，每局游戲相互獨立，在乙贏了3局甲贏了1局的情況下，游戲設(shè)備出現(xiàn)了故障，游戲被迫終止，則獎金應(yīng)該如何分配才為合理？有專家提出如下的獎金分配方案：如果出現(xiàn)無人先贏5局且游戲意外終止的情況，則甲?乙按照游戲再繼續(xù)進行下去各自贏得全部獎金的概率之比分配獎金.記事件A為“游戲繼續(xù)進行下去甲獲得全部獎金”，試求當游戲繼續(xù)進行下去，甲獲得全部獎金的概率，并判斷當時，事件A是否為小概率事件，并說明理由.（注：若隨機事件發(fā)生的概率小于，則稱隨機事件為小概率事件）【解析】設(shè)游戲繼續(xù)進行Y局甲獲得全部獎金，則最后一局必然甲贏.由題知，當時，甲以贏，所以，當時，甲以贏，所以，甲獲得全部獎金的概率，所以，所以，，，在上單調(diào)遞減，所以，故事件A是小概率事件.例6．（2023·河南信陽·高三信陽高中?？茧A段練習(xí)）一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)三次音樂獲得分，出現(xiàn)兩次音樂獲得分，出現(xiàn)一次音樂獲得50分，沒有出現(xiàn)音樂則獲得分，設(shè)備次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為.且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨立.(1)若一盤游戲中僅出現(xiàn)一次音樂的概率為，求的最大值點；(2)玩過這款游戲的許多人都發(fā)現(xiàn)，若干盤游戲后，與最初的分數(shù)相比，分數(shù)沒有增加反而減少了.設(shè)每盤游戲的得分為隨機變量；請運用概率統(tǒng)計的相關(guān)知識分析分數(shù)減少的原因.【解析】（1）由題可知，一盤游戲中僅出現(xiàn)一次音樂的概率為，，由得，或(舍)，當時，；當時，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴當時，有最大值，即的最大值點；（2）由題可設(shè)每盤游戲的得分為隨機變量，則的可能值為，，，所以，令，則，所以在單調(diào)遞增；∴，故有，這說明每盤游戲平均得分是負分，由概率統(tǒng)計的相關(guān)知識可知：許多人經(jīng)過若干盤游戲后，與最初的分數(shù)相比，分數(shù)沒有增加反而會減少.變式6．（2023·江蘇南通·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）現(xiàn)有甲、乙兩個盒子，甲盒中有3個紅球和1個白球，乙盒中有2個紅球和2個白球，所有的球除顏色外都相同.某人隨機選擇一個盒子，并從中隨機摸出2個球觀察顏色后放回，此過程為一次試驗.重復(fù)以上試驗，直到某次試驗中摸出2個紅球時，停止試驗.(1)求一次試驗中摸出2個紅球的概率；(2)在3次試驗后恰好停止試驗的條件下，求累計摸到2個紅球的概率.【解析】（1）一次試驗摸出2個紅球的概率為.（2）記在3次試驗后恰好停止試驗為事件，累計摸到2個紅球為事件，∴，，，∴.變式7．（2023·福建莆田·高三?？奸_學(xué)考試）甲、乙兩名運動員進行五局三勝制的乒乓球比賽，先贏得3局的運動員獲勝，并結(jié)束比賽．設(shè)各局比賽的結(jié)果相互獨立，每局比賽甲贏的概率為，乙贏的概率為．(1)求甲獲勝的概率；(2)設(shè)為結(jié)束比賽所需要的局數(shù)，求隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望．【解析】（1）依題意，比賽三局且甲獲勝的概率為，比賽四局且甲獲勝的概率為，比賽五局且甲獲勝的概率為，所以甲獲勝的概率為．（2）隨機變量的取值為3，4，5，則，，，所以隨機變量的分布列為：345則隨機變量的數(shù)學(xué)期望為．變式8．（2023·福建漳州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）甲、乙兩選手進行一場體育競技比賽，采用局n勝制（當一選手先贏下n局比賽時，該選手獲勝，比賽結(jié)束）.已知每局比賽甲獲勝的概率為p，乙獲勝的概率為.(1)若，，比賽結(jié)束時的局數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)若比對甲更有利，求p的取值范圍.【解析】（1）依題意得，隨機變量所有可能取值為，可得，，所以隨機變量的分布列為23所以的數(shù)學(xué)期望.（2）解法一：若采用3局2勝制，甲最終獲勝的概率為，若采用5局3勝制，甲最終獲勝的概率為：，若采用5局3勝制比采用3局2勝制對甲更有利，則，即，解得.解法二：采用3局2勝制，不妨設(shè)賽滿3局，用表示3局比賽中甲獲勝的局數(shù)，則，甲最終獲勝的概率為：，采用5局3勝制，不妨設(shè)賽滿5局，用表示5局比賽中甲獲勝的局數(shù)，則，甲最終獲勝的概率為：，若采用5局3勝制比采用3局2勝制對甲更有利，則，即，解得.變式9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某企業(yè)包裝產(chǎn)品時，要求把2件優(yōu)等品和(，且)件一等品裝在同一個箱子中，質(zhì)檢員從某箱子中摸出兩件產(chǎn)品進行檢驗，若抽取到的兩件產(chǎn)品等級相同則該箱產(chǎn)品記為，否則該箱產(chǎn)品記為.(1)試用含的代數(shù)式表示某箱產(chǎn)品抽檢被記為的概率；(2)設(shè)抽檢5箱產(chǎn)品恰有3箱被記為的概率為，求當為何值時，取得最大值，并求出最大值.【解析】（1）從件正品中任選兩個，有種選法，其中等級相同有種選法，∴某箱產(chǎn)品抽檢被記為的概率.（2）由題意，一箱產(chǎn)品抽檢被記為的概率為，則抽檢5箱產(chǎn)品恰有3箱被記為的概率為，所以，所以當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當時，取得最大值，最大值為.此時，，且，解得，∴當時，抽檢5箱產(chǎn)品恰有3箱被記為B的概率最大，最大值為.【解題方法總結(jié)】（1）在解復(fù)雜的題目時，可利用“正難則反”的思想，通過考查原事件的對立事件來求其概率．（2）運用獨立重復(fù)試驗的概率公式求概率，首先要分析問題中涉及的試驗是否為次獨立重復(fù)試驗，若不符合條件，則不能應(yīng)用公式求解；在求次獨立重復(fù)試驗中事件恰好發(fā)生次的概率時，首先要確定好和的值，再準確利用公式求概率．（3）解決這類實際問題往往需把所求的概率的事件分拆為若干個事件，而這每個事件均為獨立重復(fù)試驗．題型三：二項分布例7．（2023·福建莆田·高三校考開學(xué)考試）已知隨機變量服從二項分布，則.【答案】【解析】表示做了4次獨立實驗，每次試驗成功概率為，，故答案為：例8．（2023·江蘇常州·高三常州高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）設(shè)隨機變量，記，．在研究的最大值時，某學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)并證明了如下正確結(jié)論：若為正整數(shù)，當時，，此時這兩項概率均為最大值；若不為正整數(shù)，則當且僅當取的整數(shù)部分時，取最大值．某同學(xué)重復(fù)投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子并實時記錄點數(shù)1出現(xiàn)的次數(shù)．當投擲到第20次時，記錄到此時點數(shù)1出現(xiàn)4次，若繼續(xù)再進行80次投擲試驗，則在這100次投擲試驗中，點數(shù)1總共出現(xiàn)的次數(shù)為的概率最大．【答案】17【解析】繼續(xù)再進行80次投擲試驗，出現(xiàn)點數(shù)為1次數(shù)服從二項分布，由，結(jié)合題中結(jié)論可知，時概率最大，即后面80次中出現(xiàn)13次點數(shù)1的概率最大，加上前面20次中的4次，所以出現(xiàn)17次的概率最大.故答案為：17.例9．（2023·黑龍江佳木斯·高三?？奸_學(xué)考試）設(shè)隨機變量，若，則p的值為.【答案】【解析】，由于，所以，故答案為：變式10．（2023·全國·高三對口高考）假設(shè)某型號的每一架飛機的引擎在飛行中出現(xiàn)故障的概率為，且各引擎是否有故障是獨立的，如有至少50%的引擎能正常運行，飛機就可成功飛行，若使4引擎飛機比2引擎飛機更為安全，則p的取值范圍是．【答案】【解析】由已知可得，飛機引擎運行正常的個數(shù)，所以4引擎飛機正常運行的概率為.2引擎飛機正常運行的概率為.所以，.因為4引擎飛機比2引擎飛機更為安全，所以，即.因為，所以.故答案為：.變式11．（2023·湖南常德·高三常德市一中?？茧A段練習(xí)）一個袋子中裝有大小相同的球，其中有個黃球，個白球，從中隨機地摸出個球作為樣本，用表示樣本中黃球的個數(shù).(1)若采取不放回摸球，當，，，時，求的分布列；(2)若采取有放回摸球，當，，，時，用樣本中黃球的比例估計總體黃球的比例，求誤差不超過的概率(用分數(shù)表示).【解析】（1）對于不放回摸球，各次試驗的結(jié)果不獨立，服從超幾何分布，且，，則，，，則分布列為012（2）對于有放回摸球，各次試驗結(jié)果相互獨立，且每次摸到黃球的概率為，服從二項分布，即，且，，樣本中黃球的比例為一個隨機變量，用樣本中黃球的比例估計總體黃球的比例誤差不超過的概率.變式12．（2023·四川遂寧·高三射洪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）“雙減”政策執(zhí)行以來，中學(xué)生有更多的時間參加志愿服務(wù)和體育鍛煉等課后活動.某校為了解學(xué)生課后活動的情況，從全校學(xué)生中隨機選取人，統(tǒng)計了他們一周參加課后活動的時間（單位：小時），分別位于區(qū)間，，，，，，用頻率分布直方圖表示如下，假設(shè)用頻率估計概率，且每個學(xué)生參加課后活動的時間相互獨立.(1)估計全校學(xué)生一周參加課后活動的時間位于區(qū)間的概率；(2)從全校學(xué)生中隨機選取人，記表示這人一周參加課后活動的時間在區(qū)間的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【解析】（1）由頻率分布直方圖知：人中，一周參加課后活動的事件位于區(qū)間的頻率為，用頻率估計概率，全校學(xué)生一周參加課后活動的時間位于區(qū)間的概率為.（2）用頻率估計概率，從全校學(xué)生中隨機抽取人，則該人一周參加課后活動的事件在區(qū)間的概率，，則所有可能的取值為，；；；；的分布列為：數(shù)學(xué)期望.變式13．（2023·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）甲、乙兩位同學(xué)決定進行一次投籃比賽，他們每次投中的概率均為P，且每次投籃相互獨立，經(jīng)商定共設(shè)定5個投籃點，每個投籃點投球一次，確立的比賽規(guī)則如下：甲分別在5個投籃點投球，且每投中一次可獲得1分；乙按約定的投籃點順序依次投球，如投中可繼續(xù)進行下一次投籃，如沒有投中，投籃中止，且每投中一次可獲得2分.按累計得分高低確定勝負．(1)若乙得6分的概率，求；(2)由（1）問中求得的值，判斷甲、乙兩位選手誰獲勝的可能性大？【解析】（1）若乙得6分，則需乙前3個投籃投中，第4個投籃未中，其概率為，又，故，解得；（2）設(shè)為甲累計獲得的分數(shù)，則，所以，設(shè)為乙累計獲得的分數(shù)，則的可能取值為0，2，4，6，8，10，，，，，，，所以的分布列為：0所以，因為，所以甲獲勝的可能性大變式14．（2023·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）艾倫·麥席森·圖靈提出的圖靈測試，指測試者與被測試者在隔開的情況下，通過一些裝置（如鍵盤）向被測試者隨意提問．已知在某一輪圖靈測試中有甲、乙、丙、丁4名測試者，每名測試者向一臺機器（記為）和一個人（記為）各提出一個問題，并根據(jù)機器和人的作答來判斷誰是機器，若機器能讓至少一半的測試者產(chǎn)生誤判，則機器通過本輪的圖靈測試．假設(shè)每名測試者提問相互獨立，且甲、乙、丙、丁四人之間的提問互不相同，而每名測試者有的可能性會向和問同一個題．當同一名測試者提出的兩個問題相同時，機器被誤判的可能性為，當同一名測試者提的兩個問題不相同時，機器被誤判的可能性為．(1)當回答一名測試者的問題時，求機器被誤判的概率；(2)按現(xiàn)有設(shè)置程序，求機器通過本輪圖靈測試的概率．【解析】（1）用表示事件“測試者提出的兩個問題相同”，表示事件“測試者對機器產(chǎn)生誤判”，則．（2）設(shè)為4名測試者中產(chǎn)生誤判的人數(shù)，由（1）可知，，若機器通過本輪的圖靈測試，則4名測試者中至少有2名產(chǎn)生誤判，所以機器通過圖靈測試的概率．變式15．（2023·廣西玉林·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）某醫(yī)藥企業(yè)使用新技術(shù)對某款血液試劑進行試生產(chǎn).(1)在試產(chǎn)初期，該款血液試劑的I批次生產(chǎn)有四道工序，前三道工序的生產(chǎn)互不影響，第四道是檢測評估工序，包括智能自動檢測與人工抽檢.已知該款血液試劑在生產(chǎn)中，經(jīng)過前三道工序后的次品率為.第四道工序中智能自動檢測為次品的血液試劑會被自動淘汰，合格的血液試劑進入流水線并由工人進行抽查檢驗.已知批次I的血液試劑智能自動檢測顯示合格率為98%，求工人在流水線進行人工抽檢時，抽檢一個血液試劑恰為合格品的概率；(2)已知切比雪夫不等式：設(shè)隨機變量的期望為，方差為，則對任意，均有.藥廠宣稱該血液試劑對檢測某種疾病的有效率為，現(xiàn)隨機選擇了100份血液樣本，使用該血液試劑進行檢測，每份血液樣本檢測結(jié)果相互獨立，顯示有效的份數(shù)不超過60份，請結(jié)合切比雪夫不等式，通過計算說明該企業(yè)的宣傳內(nèi)容是否真實可信.【解析】（1）設(shè)批次I的血液試劑智能自動檢測合格為事件A，人工抽檢合格為事件，由已知得，則工人在流水線進行人工抽檢時，抽檢一個血液試劑恰為合格品的概率為.（2）設(shè)份血液樣本中檢測有效的份數(shù)為，假設(shè)該企業(yè)關(guān)于此新試劑有效率的宣傳內(nèi)容是客觀真實的，那么在此假設(shè)下，，，由切比雪夫不等式，有，即在假設(shè)下，100份血液樣本中顯示有效的份數(shù)不超過60份的概率不超過，此概率很小，據(jù)此我們有理由推斷該企業(yè)的宣傳內(nèi)容不可信.變式16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）袋中有8個白球?2個黑球，從中隨機地連續(xù)抽取3次，每次取1個球.求：(1)有放回抽樣時，取到黑球的個數(shù)的分布列?數(shù)學(xué)期望和方差；(2)不放回抽樣時，取到黑球的個數(shù)的分布列?數(shù)學(xué)期望和方差.【解析】（1）有放回抽樣時，取到的黑球數(shù)可能的取值為.又由于每次取到黑球的概率均為，3次取球可以看成3次獨立重復(fù)試驗，則.；；；.因此，的分布列為0123.（2）不放回抽樣時，取到的黑球數(shù)可能的取值為，且有：；；.因此，的分布列為012.變式17．（2023·吉林長春·高三長春外國語學(xué)校校考開學(xué)考試）第四屆應(yīng)急管理普法知識競賽線上啟動儀式在3月21日上午舉行，為普及應(yīng)急管理知識，某高校開展了“應(yīng)急管理普法知識競賽”活動，現(xiàn)從參加該競賽的學(xué)生中隨機抽取100名，統(tǒng)計他們的成績（滿分100分），其中成績不低于80分的學(xué)生被評為“普法王者”，將數(shù)據(jù)整理后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)若該校參賽人數(shù)達20000人，請估計其中有多少名“普法王者”；(2)隨機從該高校參加競賽的學(xué)生中抽取3名學(xué)生，記其中“普法王者”人數(shù)為，用頻率估計概率，請你寫出的分布列.【解析】（1）由頻率分布直方圖可知，，解得，成績不低于80分的學(xué)生被評為“普法王者”，則“普法王者”的頻率為，則該校參賽人數(shù)達20000人中“普法王者”人數(shù)為.（2）隨機從該高校參加競賽的學(xué)生中抽取3名學(xué)生，記其中“普法王者”人數(shù)為，則的取值為0，1，2，3，由（1）知，從中任取一人是“普法王者”的概率為，不是“普法王者”的概率為，則，，，；故的分布列為：0123變式18．（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考三模）某企業(yè)從生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中抽取個作為樣本，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標值，由測量結(jié)果制成如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求這件產(chǎn)品質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）和中位數(shù)；(2)已知某用戶從該企業(yè)購買了件該產(chǎn)品，用表示這件產(chǎn)品中質(zhì)量指標值位于內(nèi)的產(chǎn)品件數(shù)，用頻率代替概率，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【解析】（1）由已知得．因為．設(shè)中位數(shù)為，則，則，解得．（2）因為購買一件產(chǎn)品，其質(zhì)量指標值位于內(nèi)的概率為，所，，，，，所以的分布為所以，．【解題方法總結(jié)】1、二項分布求解隨機變量涉及“至少”“至多”問題的取值概率，其實質(zhì)是求在某一取值范圍內(nèi)的概率，一般轉(zhuǎn)化為幾個互斥事件發(fā)生的概率的和，或者利用對立事件求概率．2、二項分布的簡單應(yīng)用是求次獨立重復(fù)試驗中事件恰好發(fā)生次的概率．解題的一般思路是：（1）根據(jù)題意設(shè)出隨機變量；（2）分析出隨機變量服從二項分布；（3）找到參數(shù)，；（4）寫出二項分布的分布列；（5）將值代入求解概率．題型四：超幾何分布例10．（2023·全國·高三對口高考）廠家在產(chǎn)品出廠前，需對產(chǎn)品做檢驗，廠家將一批產(chǎn)品發(fā)給商家時，商家按合同規(guī)定也需隨機抽取一定數(shù)量的產(chǎn)品做檢驗，以決定是否接收這批產(chǎn)品．若廠家發(fā)給商家20件產(chǎn)品，其中有3件不合格，按合同規(guī)定該商家從中任取2件，都進行檢驗，只有2件都合格時才接收這批產(chǎn)品，否則拒收．則該商家拒收這批產(chǎn)品的概率是．【答案】【解析】依題意，這20件產(chǎn)品中有件合格品，所以該商家接收這批產(chǎn)品的概率為，故商家拒收這批產(chǎn)品的概率為.故答案為：.例11．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考二模）一個袋子中有100個大小相同的球，其中有40個黃球，60個白球．采取不放回摸球，從中隨機摸出22個球作為樣本，用X表示樣本中黃球的個數(shù)．當最大時，．【答案】【解析】不放回的摸球，每次實驗結(jié)果不獨立，為超幾何分布，最大時，即最大，超幾何分布最大項問題，利用比值求最大項設(shè)則令故當時，嚴格增加，當時，嚴格下降，即時取最大值，此題中，根據(jù)超幾何分布的期望公式可得，故答案為：例12．（2023·上海浦東新·高三上海市建平中學(xué)校考階段練習(xí)）莫高窟坐落在甘肅的敦煌，它是世界上現(xiàn)存規(guī)模最大、內(nèi)容最豐富的佛教藝術(shù)勝地，每年都會吸引來自世界各地的游客參觀旅游．已知購買莫高窟正常參觀套票可以參觀8個開放洞窟，在這8個洞窟中莫高窟九層樓96號窟、莫高窟三層樓16號窟、藏經(jīng)洞17號窟被譽為最值得參觀的洞窟．根據(jù)疫情防控的需要，莫高窟改為極速參觀模式，游客需從套票包含的開放洞窟中隨機選擇4個進行參觀，所有選擇中至少包含2個最值得參觀洞窟的概率是．【答案】【解析】已知8個開放洞窟中有3個最值得參觀，隨機選擇4個進行參觀，至少包含2個最值得參觀洞窟包括2個或3個兩種情況.所求概率為.故答案為：.變式19．（2023·高三課時練習(xí)）袋中裝有10個除顏色外完全一樣的黑球和白球，已知從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是．現(xiàn)從該袋中任意摸出3個球，記得到白球的個數(shù)為X，則E(X)=．【答案】/【解析】設(shè)袋中有個黑球，則白球有，由題意可得：，解得或（舍去），故X的可能取值有，則有：，可得X的分布列為：X0123P故.故答案為：.變式20．（2023·陜西商洛·陜西省丹鳳中學(xué)?？寄M預(yù)測）某乒乓球隊訓(xùn)練教官為了檢驗學(xué)員某項技能的水平，隨機抽取100名學(xué)員進行測試，并根據(jù)該項技能的評價指標，按分成8組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求a的值，并估計該項技能的評價指標的中位數(shù)（精確到）；(2)若采用分層抽樣的方法從評價指標在和內(nèi)的學(xué)員中隨機抽取12名，再從這12名學(xué)員中隨機抽取5名學(xué)員，記抽取到學(xué)員的該項技能的評價指標在內(nèi)的學(xué)員人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．【解析】（1）由直方圖可知，解得．因為，，所以學(xué)員該項技能的評價指標的中位數(shù)在內(nèi)．設(shè)學(xué)員該項技能的評價指標的中位數(shù)為，則，解得．（2）由題意可知抽取的12名學(xué)員中該項技能的評價指標在內(nèi)的有4名，在內(nèi)的有8名．由題意可知的所有可能取值為．，，，，，則的分布列為01234變式21．（2023·湖南益陽·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）某公司生產(chǎn)一種電子產(chǎn)品，每批產(chǎn)品進入市場之前，需要對其進行檢測，現(xiàn)從某批產(chǎn)品中隨機抽取9箱進行檢測，其中有5箱為一等品.(1)若從這9箱產(chǎn)品中隨機抽取3箱，求至少有2箱是一等品的概率；(2)若從這9箱產(chǎn)品中隨機抽取3箱，記表示抽到一等品的箱數(shù)，求的分布列和期望.【解析】（1）設(shè)從這9箱產(chǎn)品中隨機抽取的3箱產(chǎn)品中至少有2箱是一等品的事件為，則，因此從這9箱產(chǎn)品中隨機抽取3箱，求至少有2箱是一等品的概率為.（2）由題意可知的所有可能取值為，由超幾何分布概率公式得，，，，所以的分布列為：0123所以.變式22．（2023·陜西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）人工智能（AI）是當今科技領(lǐng)域最熱門的話題之一，某學(xué)校組織學(xué)生參加以人工智能（AI）為主題的知識競賽，為了解該校學(xué)生在該知識競賽中的情況，現(xiàn)采用隨機抽樣的方法抽取了600名學(xué)生進行調(diào)查，分數(shù)分布在450～950分之間，根據(jù)調(diào)查的結(jié)果繪制的學(xué)生分數(shù)頻率分布直方圖如圖所示．將分數(shù)不低于850分的學(xué)生稱為“最佳選手”．(1)求頻率分布直方圖中a的值，并估計該校學(xué)生分數(shù)的中位數(shù)；(2)現(xiàn)采用分層抽樣的方法從分數(shù)落在，內(nèi)的兩組學(xué)生中抽取7人，再從這7人中隨機抽取3人，記被抽取的3名學(xué)生中屬于“最佳選手”的學(xué)生人數(shù)為隨機變量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．【解析】（1）由題意知，解得，分數(shù)段對應(yīng)的頻率為，對應(yīng)的頻率為，對應(yīng)的頻率為，設(shè)中位數(shù)為x，則．由，解得．（2）由題意知從分數(shù)段對應(yīng)的學(xué)生中抽取5人，從對應(yīng)的學(xué)生中抽取2人，隨機變量的所有可能取值為0，1，2．則，，，隨機變量X的分布列為012所以．變式23．（2023·河北衡水·河北衡水中學(xué)?？家荒＃厥沂且圆晒飧采w材料作為全部或部分圍護結(jié)構(gòu)材料，具有透光、避雨、保溫、控溫等功能，可在冬季或其他不適宜露地植物生長的季節(jié)供栽培植物的建筑，而溫室蔬菜種植技術(shù)是一種比較常見的技術(shù)，它具有較好的保溫性能，使人們在任何時間都可吃到反季節(jié)的蔬菜，深受大眾喜愛.溫室蔬菜生長和蔬菜產(chǎn)品衛(wèi)生質(zhì)量要求的溫室內(nèi)土壤、灌溉水、環(huán)境空氣等環(huán)境質(zhì)量指標，其溫室蔬菜產(chǎn)地環(huán)境質(zhì)量等級劃定如表所示.環(huán)境質(zhì)量等級土壤各單項或綜合質(zhì)量指數(shù)灌溉水各單項或綜合質(zhì)量指數(shù)環(huán)境空氣各單項或綜合質(zhì)量指數(shù)等級名稱清潔尚清潔超標各環(huán)境要素的綜合質(zhì)量指數(shù)超標，灌溉水、環(huán)境空氣可認為污染，土壤則應(yīng)做進一步調(diào)研，若確對其所影響的植物（生長發(fā)育、可食部分超標或用作飲料部分超標）或周圍環(huán)境（地下水、地表水、大氣等）有危害，方能確定為污染.某鄉(xiāng)政府計劃對所管轄的甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛，共個村發(fā)展溫室蔬菜種植，對各村試驗溫室蔬菜壞境產(chǎn)地質(zhì)量監(jiān)測得到的相關(guān)數(shù)據(jù)如下：(1)若從這個村中隨機抽取個進行調(diào)查，求抽取的個村應(yīng)對土壤做進一步調(diào)研的概率；(2)現(xiàn)有一技術(shù)人員在這個村中隨機選取個進行技術(shù)指導(dǎo)，記為技術(shù)員選中村的環(huán)境空氣等級為尚清潔的個數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【解析】（1）由折線圖可知：應(yīng)對土壤做進一步調(diào)研的村共個，從個村中隨機抽取個進行調(diào)查，基本事件總數(shù)有個；其中抽取的個村應(yīng)對土壤做進一步調(diào)研的基本事件個數(shù)有個，所求概率.（2）由折線圖可知：環(huán)境空氣等級為尚清潔的村共有個，則所有可能的取值為，；；；；的分布列為：數(shù)學(xué)期望.【解題方法總結(jié)】1、隨機變量是否服從超幾何分布的判斷若隨機變量X服從超幾何分布，則滿足如下條件：(1)該試驗是不放回地抽取次；(2)隨機變量表示抽取到的次品件數(shù)(或類似事件)，反之亦然．2、求超幾何分布的分布列的步驟（1）驗證隨機變量服從超幾何分布，并確定參數(shù)，，的值；（2）根據(jù)超幾何分布的概率計算公式計算出隨機變量取每一個值時的概率；（3）列出分布列．題型五：二項分布與超幾何分布的綜合應(yīng)用例13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）2020年五一期間，銀泰百貨舉辦了一次有獎促銷活動，消費每超過600元(含600元)，均可抽獎一次，抽獎方案有兩種，顧客只能選擇其中的一種.方案一：從裝有10個形狀?大小完全相同的小球(其中紅球2個，白球1個，黑球7個)的抽獎盒中，一次性摸出3個球其中獎規(guī)則為：若摸到2個紅球和1個白球，享受免單優(yōu)惠；若摸出2個紅球和1個黑球則打5折；若摸出1個白球2個黑球，則打7折；其余情況不打折.方案二：從裝有10個形狀?大小完全相同的小球(其中紅球3個，黑球7個)的抽獎盒中，有放回每次摸取1球，連摸3次，每摸到1次紅球，立減200元.（1）若兩個顧客均分別消費了600元，且均選擇抽獎方案一，試求兩位顧客均享受免單優(yōu)惠的概率；（2）若某顧客消費恰好滿1000元，試從概率角度比較該顧客選擇哪一種抽獎方案更合算？【解析】（1）選擇方案一若享受到免單優(yōu)惠，則需要摸出三個紅球，設(shè)顧客享受到免單優(yōu)惠為事件，則，所以兩位顧客均享受到免單的概率為；（2）若選擇方案一，設(shè)付款金額為元，則可能的取值為、、、.，，，.故的分布列為，所以（元）.若選擇方案二，設(shè)摸到紅球的個數(shù)為，付款金額為，則，由已知可得，故，所以（元）.因為，所以該顧客選擇第二種抽獎方案更合算.例14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）4月23日是聯(lián)合國教科文組織確定的“世界讀書日”．為了解某地區(qū)高一學(xué)生閱讀時間的分配情況，從該地區(qū)隨機抽取了500名高一學(xué)生進行在線調(diào)查，得到了這500名學(xué)生的日平均閱讀時間（單位：小時），并將樣本數(shù)據(jù)分成，，，，，，，，九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．(1)從這500名學(xué)生中隨機抽取一人，日平均閱讀時間在內(nèi)的概率；(2)為進一步了解這500名學(xué)生數(shù)字媒體閱讀時間和紙質(zhì)圖書閱讀時間的分配情況，從日平均閱讀時間在，，三組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機抽取3人，記日平均閱讀時間在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)以樣本的頻率估計概率，從該地區(qū)所有高一學(xué)生中隨機抽取10名學(xué)生，用表示這10名學(xué)生中恰有k名學(xué)生日平均閱讀時間在內(nèi)的概率，其中，1，2，…，10．當最大時，寫出k的值．（只需寫出結(jié)論）【解析】（1）由頻率分布直方圖得：，解得，，所以日平均閱讀時間在內(nèi)的概率為0.20；（2）由頻率分布直方圖得：這500名學(xué)生中日平均閱讀時間在，，，，，三組內(nèi)的學(xué)生人數(shù)分別為：人，人，人，若采用分層抽樣的方法抽取了10人，則從日平均閱讀時間在，內(nèi)的學(xué)生中抽?。喝?，現(xiàn)從這10人中隨機抽取3人，則的可能取值為0，1，2，3，，，，，的分布列為：0123數(shù)學(xué)期望.（3），理由如下：由頻率分布直方圖得學(xué)生日平均閱讀時間在內(nèi)的概率為，從該地區(qū)所有高一學(xué)生中隨機抽取10名學(xué)生，恰有k名學(xué)生日平均閱讀時間在內(nèi)的分布列服從二項分布，，由組合數(shù)的性質(zhì)可得時最大.例15．（2023·全國·鎮(zhèn)海中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）某學(xué)校從全體師生中隨機抽取30位男生、30位女生、12位教師一起參加社會實踐活動.(1)假設(shè)30位男生身高均不相同，記其身高的第80百分位數(shù)為，從學(xué)校全體男生中隨機選取3人，記為3人中身高不超過的人數(shù)，以頻率估計概率求的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)從參加社會實踐活動的72人中一次性隨機選出30位，記被選出的人中恰好有個男生的概率為，求使得取得最大值的的值.【解析】（1）所有可能的取值為，且.；；；.故的分布列為0123所以.（2）設(shè)事件為“被選出的人中恰好有位男生”，則30個人中剩下個人為女生或者老師，事件包含樣本點的個數(shù)為，所以.所以，解得.所以，故當時，最大.變式24．（2023·福建福州·福州三中?？寄M預(yù)測）某市為了傳承發(fā)展中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，組織該市中學(xué)生進行了一次數(shù)學(xué)知識競賽.為了解學(xué)生對相關(guān)知識的掌握情況，隨機抽取100名學(xué)生的競賽成績（單位：分），并以此為樣本繪制了如下頻率分布直方圖.(1)求該100名學(xué)生競賽成績的中位數(shù)；（結(jié)果保留整數(shù)）(2)從競賽成績在的兩組的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機抽取3人，記競賽成績在的學(xué)生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)以樣本的頻率估計概率，從隨機抽取20名學(xué)生，用表示這20名學(xué)生中恰有名學(xué)生競賽成績在內(nèi)的概率，其中．當最大時，求.【解析】（1）由直方圖可知成績在，，，的頻率和為，而成績在的頻率為，則抽取的100名學(xué)生成績的中位數(shù)在內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為x，則，解得，所以該100名學(xué)生競賽成績的中位數(shù)約為；（2）由頻率分布直方圖可得：競賽成績在，兩組的頻率之比為，則10人中競賽成績在的人數(shù)為人；在的人數(shù)為人；則X所有可能的取值為0，1，2，3，于是，，，，所以X的分布列為：X0123P數(shù)學(xué)期望為；（3）用頻率估計概率，競賽成績在內(nèi)的概率，則，．令，解得，當且僅當時取等號，即，當時，，當時，，所以當或，最大.【解析】（1）設(shè)為事件：“在一輪比賽中，教師甲獲得優(yōu)秀獎”，則事件發(fā)生的所有情況有：所以．則強化訓(xùn)練后，教師甲在一輪比賽中可獲得“優(yōu)秀獎”的概率為：，因為每輪比賽結(jié)果互不影響，所以進行4輪比賽可看作4重伯努利試驗．用表示教師甲在4輪比賽中獲得“優(yōu)秀獎”的次數(shù)，則．，故教師甲不能進入復(fù)賽．變式25．（2023·甘肅·統(tǒng)考一模）“稻草很輕，但是他迎著風(fēng)仍然堅韌，這就是生命的力量，意志的力量”“當你為未來付出踏踏實實努力的時候，那些你覺得看不到的人和遇不到的風(fēng)景都終將在你生命里出現(xiàn)”……當讀到這些話時，你會切身體會到讀書破萬卷給予我們的力量．為了解某普通高中學(xué)生的閱讀時間，從該校隨機抽取了名學(xué)生進行調(diào)查，得到了這名學(xué)生一周的平均閱讀時間（單位：小時），并將樣本數(shù)據(jù)分成九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求的值；(2)為進一步了解這名學(xué)生閱讀時間的分配情況，從周平均閱讀時間在，，三組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了人，現(xiàn)從這人中隨機抽取人，記周平均閱讀時間在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)以樣本的頻率估計概率，從該校所有學(xué)生中隨機抽取名學(xué)生，用表示這名學(xué)生中恰有名學(xué)生周平均閱讀時間在內(nèi)的概率，其中．當最大時，寫出的值．【解析】（1），.（2）由頻率分布直方圖可得：周平均閱讀時間在，，三組的頻率之比為，人中，周平均閱讀時間在的人數(shù)為人；在的人數(shù)為人；在的人數(shù)為人；則所有可能的取值為，；；；；的分布列為：數(shù)學(xué)期望.（3）用頻率估計概率，從該校所有學(xué)生中隨機抽取名學(xué)生，周平均閱讀時間在內(nèi)的概率；則，若最大，則最大，當時，取得最大值.變式26．（2023·內(nèi)蒙古·高三校考期末）電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況，隨機抽取了名觀眾進行調(diào)查．如圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖：將日均收看該體育節(jié)目時間不低于分鐘的觀眾稱為“體育迷”．將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率．(1)現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機抽樣方法每次抽取名觀眾，抽取次，記被抽取的名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為．若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．(2)用分層抽樣的方法從這名“體育迷”中抽取名觀眾，再從抽取的抽取名觀眾中隨機抽取名，表示抽取的是“體育迷”的人數(shù)，求的分布列．【解析】（1）“體育迷”對應(yīng)的頻率為：，用頻率估計概率，可知從該地區(qū)大量電視觀眾中，隨機抽取名觀眾，該觀眾是“體育迷”的概率為，則；所有可能的取值為，；；；；的分布列為：數(shù)學(xué)期望.（2）根據(jù)分層抽樣原則知：抽取的人中，有“體育迷”人，非“體育迷”體育迷人，則所有可能的取值為，；；；的分布列為：【解題方法總結(jié)】超幾何分布和二項分布的區(qū)別（1）超幾何分布需要知道總體的容量，而二項分布不需要；（2）超幾何分布是“不放回”抽取，在每次試驗中某一事件發(fā)生的概率是不相同的；而二項分布是“有放回”抽?。í毩⒅貜?fù)），在每次試驗中某一事件發(fā)生的概率是相同的.題型六：正態(tài)密度函數(shù)例16．（2023·全國·高三競賽）已知兩個連續(xù)型隨機變量X，Y滿足條件，且服從標準正態(tài)分布．設(shè)函數(shù)，則的圖像大致為（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】或，因為，所以或，即或，或或因為服從標準正態(tài)分布，所以根據(jù)對稱性可知，所以函數(shù)關(guān)于對稱，故排除AC；當時，，，所以或,因為，其中，，，根據(jù)原則可知，，所以排除B；故選：D例17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)隨機變量的正態(tài)分布密度函數(shù)為，，則參數(shù)，的值分別是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】由正態(tài)分布密度函數(shù)表達式知，.故選：D.例18．（2023·河南信陽·高三河南宋基信陽實驗中學(xué)?？奸_學(xué)考試）某市期末教學(xué)質(zhì)量檢測，甲、乙、丙三科考試成績近似服從正態(tài)分布，則由如圖曲線可得下列說法中正確的是（

）A．甲學(xué)科總體的均值最小B．乙學(xué)科總體的方差及均值都居中C．丙學(xué)科總體的方差最大D．甲、乙、丙的總體的均值不相同【答案】C【解析】由題中圖象可知三科總體的平均數(shù)(均值)相等由正態(tài)密度曲線的性質(zhì),可知σ越大,正態(tài)曲線越扁平,σ越小,正態(tài)曲線越尖陡,故三科總體的標準差從小到大依次為甲、乙、丙.故選:C.變式27．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知連續(xù)型隨機變量Xi~N(ui，σi2)(i=1，2，3)，其正態(tài)曲線如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．P(X1≤μ2)<P(X2≤μ1)B．P(X2≥μ2)>P(X3≥μ3)C．P(X1≤μ2)<P(X2≤μ3)D．P(μi﹣2σi≤Xi≤μi+2σi)=P(μi+1﹣2σi+1≤Xi+1≤μi+1+2σi+1)(i=1，2)【答案】D【解析】對于A：P(X1≤μ2)是第一條正態(tài)分布密度函數(shù)圖象在第二條虛線左側(cè)與x軸圍成的部分，P(X2≤μ1)是第二條正態(tài)分布密度函數(shù)圖象在第一條虛線左側(cè)與x軸圍成的部分，故由圖象可知P(X1≤μ2)>P(X2≤μ1)，故A錯誤；對于B：P(X2≥μ2)=，P(X3≥μ3)=，則P(X2≥μ2)=P(X3≥μ3)，故B錯誤；對于C：與A分析同理，P(X1≤μ2)>P(X2≤μ3)，故C錯誤；對于D：由于概率表示曲線和x軸圍成的部分，與是i還是i+1無關(guān)，故P(μi﹣2σi≤Xi≤μi+2σi)=P(μi+1﹣2σi+1≤Xi+1≤μi+1+2σi+1)(i=1，2)成立，故D正確.故選：D.變式28．（2023·上海浦東新·高三上海市建平中學(xué)校考開學(xué)考試）某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布，下列結(jié)論中不正確的是（

）A．越大，該物理量在一次測量中在的概率越大B．越小，該物理量在一次測量中大于10的概率為C．越大，該物理量在一次測量中小于與大于的概率相等D．越小，該物理量在一次測量中落在與落在的概率相等【答案】A【解析】為數(shù)據(jù)的方差，所以越大，數(shù)據(jù)在均值附近越分散，所以測量結(jié)果落在內(nèi)的概率越小，故A錯誤;由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量大于10的概率為，故B正確；由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量結(jié)果大于的概率與小于的概率相等，故C正確；由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知，該物理量在一次測量中落在與落在的概率相等，故D正確.故選：A.【解題方法總結(jié)】求正態(tài)曲線的兩個方法（1）圖解法：明確頂點坐標即可，橫坐標為樣本的均值，縱坐標為．（2）待定系數(shù)法：求出，便可．題型七：正態(tài)曲線的性質(zhì)例19．（2023·貴州貴陽·高三貴陽一中?？茧A段練習(xí)）若隨機變量，則下列選項錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)隨機變量可知正態(tài)分布曲線的對稱軸為，均值為2，方差為4，所以，故A正確，，故B正確，，C正確，，故D錯誤，故選：D例20．（2023·湖北荊州·高三石首市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某校高二年級1600名學(xué)生參加期末統(tǒng)考，已知數(shù)學(xué)成績（滿分150分）．統(tǒng)計結(jié)果顯示數(shù)學(xué)考試成績在80分到120分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的．則此次統(tǒng)考中數(shù)學(xué)成績不低于120分的學(xué)生人數(shù)約為（

）A．80 B．100 C．120 D．200【答案】D【解析】由題意可知：成績，則其正態(tài)曲線關(guān)于直線對稱，又因為成績在80分到120分之間的人數(shù)約占總?cè)藬?shù)的，由對稱性知：成績不低于120分的學(xué)生約為總?cè)藬?shù)的，所以此次考試成績不低于120分的學(xué)生約有：人．故選：D．例21．（2023·吉林長春·高三長春外國語學(xué)校校考開學(xué)考試）隨機變量服從正態(tài)分布，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由隨機變量服從正態(tài)分布，其正態(tài)分布分布曲線的對稱軸為直線，則，，，且，，所以，當且僅當，即時，取等號.故選：D.變式29．（2023·江蘇南通·高三海安高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）南沿江高鐵即將開通，某小區(qū)居民前往高鐵站有①，②兩條路線可走，路線①穿過市區(qū)，路程較短但交通擁擠，經(jīng)測算所需時間（單位為分鐘）服從正態(tài)分布；路線②騎共享單車到地鐵站，乘地鐵前往，路程長，但意外阻塞較少，經(jīng)測算所需時間（單位為分鐘）服從正態(tài)分布.該小區(qū)的甲乙兩人分別有分鐘與分鐘可用，要使兩人按時到達車站的可能性更大，則甲乙選擇的路線分別為（

）A．①?① B．①?② C．②?① D．②?②【答案】C【解析】由正態(tài)分布的區(qū)間概率知，，令路線①所需時間，路線②所需時間對于甲：有分鐘可走，走第一條路線：故，走第二條路線：則，所以，所以應(yīng)選擇路線②；對于乙：有分鐘可走，走第二條路線：走第一條路線：則，所以，所以選擇路線①.故選：C變式30．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知隨機變量X服從正態(tài)分布，下列四個命題：甲：；乙：；丙：；?。喝绻星抑挥幸粋€是假命題，那么該命題是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【解析】因為、均等價于，由題意可得：乙、丙均為真命題，且，對于甲：因為，故甲為真命題；對于?。阂驗椋识榧倜}；故選：D.變式31．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知隨機變量，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題設(shè)可知，服從均值為，標準差的正態(tài)分布，服從均值為，標準差的正態(tài)分布.事件“”的概率僅與正數(shù)有關(guān)，且越大，該事件的概率越大，因此：和分別等價于和，故后者的概率更大，A正確，B錯誤；和分別等價于和，兩者概率相同，C錯誤，D錯誤；故選：A.題型八：正態(tài)曲線概率的計算例22．（2023·全國·高三對口高考）設(shè)，且，那么的值是（

）A．p B． C． D．【答案】C【解析】∵，正態(tài)曲線關(guān)于對稱，∴.故選：C.例23．（2023·重慶·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知隨機變量，隨機變量，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，，，所以，解得或（舍），由，則，所以.故選：C.例24．（2023·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）研究人員采取普查的方式調(diào)查某市國企普通職工的收入情況，記被調(diào)查的職工的收入為X，統(tǒng)計分析可知，則（

）參考數(shù)據(jù)：若，則，，.A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，，所以.故選：D.變式32．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）山東煙臺某地種植的蘋果按果徑（單位：）的大小分級，其中的蘋果為特級，且該地種植的蘋果果徑．若在某一次采摘中，該地果農(nóng)采摘了2萬個蘋果，則其中特級蘋果的個數(shù)約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，．，）A．3000 B．13654 C．16800 D．19946【答案】C【解析】由，得，，，所以，所以特級蘋果的個數(shù)約為個.故選：C.變式33．（2023·西藏林芝·?？寄M預(yù)測）據(jù)統(tǒng)計，在某次聯(lián)考中，考生數(shù)學(xué)單科分數(shù)X服從正態(tài)分布，考生共50000人，估計數(shù)學(xué)單科分數(shù)在130～150分的學(xué)生人數(shù)約為（

）（附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，）A．1070 B．2140 C．4280 D．6795【答案】A【解析】由題設(shè)，所以數(shù)學(xué)單科分數(shù)在130～150分的學(xué)生人數(shù)約為人.故選：A變式34．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則，，.今有一批數(shù)量龐大的零件.假設(shè)這批零件的某項質(zhì)量指標引單位：毫米）服從正態(tài)分布，現(xiàn)從中隨機抽取N個，這N個零件中恰有K個的質(zhì)量指標ξ位于區(qū)間.若，試以使得最大的N值作為N的估計值，則N為（

）A．45 B．53 C．54 D．90【答案】B【解析】由已知可得，.又，所以，，.設(shè)，則，所以，，所以.，所以，，所以.所以，以使得最大的N值作為N的估計值，則N為.故選：B.變式35．（2023·全國·高三專題練習(xí)）法國數(shù)學(xué)家龐加萊是個喜歡吃面包的人，他每天都會到同一家面包店購買一個面包．該面包店的面包師聲稱自己所出售的面包的平均質(zhì)量是1000g，上下浮動不超過50g．這句話用數(shù)學(xué)語言來表達就是：每個面包的質(zhì)量服從期望為1000g，標準差為50g的正態(tài)分布．假設(shè)面包師的說法是真實的，記隨機購買一個面包的質(zhì)量為X，若，則買一個面包的質(zhì)量大于900g的概率為（

）（附：①隨機變量服從正態(tài)分布，則，，；）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意得，故面包的質(zhì)量大于900g的概率為.故選：C變式36．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某小區(qū)有1000戶居民，各戶每月的用電量近似服從正態(tài)分布，則用電量在320度以上的居民戶數(shù)估計約為（

）（參考數(shù)據(jù)：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，）A．17 B．23 C．34 D．46【答案】B【解析】若隨機變量服從正態(tài)分布，則，.因為這1000戶中用電量在320度以上的居民戶數(shù)估計約為，即在這1000戶中，用電量在320度以上的用戶數(shù)約為23.故選：B.變式37．（2023·寧夏銀川·六盤山高級中學(xué)?？既＃┮阎瘮?shù)在R上單調(diào)遞增的概率為，且隨機變量．則等于（

）[附：若，則，．]A． B． C． D．【答案】A【解析】使在R上單調(diào)遞增的充要條件是，即，故.由于隨機變量，則，即，即，.故，，所以．故選：A．變式38．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以.故選：B.變式39．（2023·重慶南岸·高三重慶市第十一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由于，所以，所以.故選：A變式40．（2023·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）已知隨機變量服從正態(tài)分布，如果，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵隨機變量服從正態(tài)分布，∴正態(tài)曲線關(guān)于對稱，∴，.故選：A.【解題方法總結(jié)】1、正態(tài)分布下兩類常見的概率計算（1）利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性研究相關(guān)概率問題，涉及的知識主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線對稱，曲線與軸之間的面積為1．（2）利用原則求概率問題時，要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的，進行對比聯(lián)系，確定它們屬于，，中的哪一個．2、正態(tài)總體在某個區(qū)間內(nèi)取值概率的求解策略（1）充分利用正態(tài)曲線對稱性和曲線與軸之間面積為1．（2）熟記，，的值．題型九：根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性求參數(shù)例25．（2023·上海長寧·高三上海市延安中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知隨機變量，若，則實數(shù)的值為.【答案】1【解析】由隨機變量，且，所以與關(guān)于對稱，即，解得；故答案為：1例26．（2023·上海寶山·上海交大附中?？既＃╇S機變量，，若，那么實數(shù)的值為.【答案】【解析】，，，，，，解得：.故答案為：.例27．（2023·湖北襄陽·襄陽四中校考模擬預(yù)測）已知隨機變量，且，則的最小值為.【答案】8【解析】由隨機變量，且知關(guān)于對稱，故，由不等式，得當且僅當時取等號，的最小值為8.故答案為：8變式41．（2023·吉林白山·撫松縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知隨機變量，則的最小值為．【答案】/【解析】因為隨機變量，且，所以，則，因為，所以，則，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為.故答案為：變式42．（2023·重慶·統(tǒng)考三模）已知隨機變量，若，則．【答案】/【解析】由已知可得，，根據(jù)正態(tài)分布的對稱性可得，，所以，.故答案為：.變式43．（2023·遼寧沈陽·沈陽市第一二〇中學(xué)?？寄M預(yù)測）某工廠生產(chǎn)一批零件（單位：），其尺寸服從正態(tài)分布，且，，則．【答案】16【解析】∵，，∴，∴.故答案為：16變式44．（2023·遼寧朝陽·朝陽市第一高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）若隨機變量服從正態(tài)分布，且，則的值是．【答案】/【解析】因為隨機變量服從正態(tài)分布，且，所以，因為，，所以，故答案為：變式45．（2023·山東青島·統(tǒng)考二模）某市高三年級男生的身高（單位：）近似服從正態(tài)分布，已知，若.寫出一個符合條件的的值為.【答案】（中的任意一個數(shù)均可）【解析】???????因為，且,則,且，故若，則.故答案為:（中的任意一個數(shù)均可）.變式46．（2023·黑龍江齊齊哈爾·高三統(tǒng)考期末）在某項測量中，測得變量．ξ在內(nèi)取值的概率為，則ξ在內(nèi)取值的概率為．【答案】【解析】因為ξ符合正態(tài)分布，所以曲線的對稱軸是，因為ξ在內(nèi)取值的概率為，所以ξ在內(nèi)取值的概率為．故答案為：0.4.【解題方法總結(jié)】①；②；③若，則．特別提醒：正態(tài)曲線，并非都關(guān)于軸對稱，只有標準正態(tài)分布曲線才關(guān)于軸對稱．題型十：正態(tài)分布的實際應(yīng)用例28．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某校數(shù)學(xué)組老師為了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)整體發(fā)展水平，組織本校8000名學(xué)生進行針對性檢測（檢測分為初試和復(fù)試），并隨機抽取了100名學(xué)生的初試成績，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本平均數(shù)的估計值和80%分位數(shù);(2)若所有學(xué)生的初試成績近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)的估計值，．初試成績不低于90分的學(xué)生才能參加復(fù)試，試估計能參加復(fù)試的人數(shù);(3)復(fù)試共三道題，規(guī)定：全部答對獲得一等獎;答對兩道題獲得二等獎;答對一道題獲得三等獎;全部答錯不獲獎．已知某學(xué)生進入了復(fù)試，他在復(fù)試中前兩道題答對的概率均為，第三道題答對的概率為．若他獲得一等獎的概率為，設(shè)他獲得二等獎的概率為，求的最小值．附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，【解析】（1）設(shè)樣本平均數(shù)的估計值為則．解得．所以樣本平均數(shù)的估計值為62．前三組的頻率和為，前四組的頻率和為，第四組的頻率為，所以分位數(shù)為.（2）因為學(xué)生的初試成績近似服從正態(tài)分布，其中．所以．所以．所以估計能參加復(fù)試的人數(shù)為．（3）由該學(xué)生獲一等獎的概率為可知：．則．令．．當時，;當時，．所以在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)．所以．所以的最小值為．例29．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某地區(qū)舉行專業(yè)技能考試，共有8000人參加，分為初試和復(fù)試，初試通過后方可參加復(fù)試．為了解考生的考試情況，隨機抽取了100名考生的初試成績繪制成如圖所示的樣本頻率分布直方圖．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計樣本的平均數(shù)；(2)若所有考生的初試成績近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)的估計值，，試估計所有考生中初試成績不低于80分的人數(shù)；(3)復(fù)試共四道題，前兩道題考生每題答對得5分，答錯得0分，后兩道題考生每題答對得10分，答錯得0分，四道題的總得分為考生的復(fù)試成績．已知某考生進入復(fù)試，他在復(fù)試中前兩題每道題能答對的概率均為，后兩題每道題能答對的概率均為，且每道題回答正確與否互不影響．記該考生的復(fù)試成績?yōu)?，?附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則：，，.【解析】（1）由題意得，樣本平均數(shù)的估計值為.（2）以為學(xué)生初試成績服從正態(tài)分布，其中，，則，所以，所以估計初試成績不低于80分的人數(shù)為人.（3）由題意得，，，所以.例30．（2023·山東·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）零件的精度幾乎決定了產(chǎn)品的質(zhì)量，越精密的零件其精度要求也會越高.某企業(yè)為了提高零件產(chǎn)品質(zhì)量，質(zhì)檢部門隨機抽查了100個零件的直徑進行了統(tǒng)計整理，得到數(shù)據(jù)如下表：零件直徑（單位：厘米）零件個數(shù)1025302510已知零件的直徑可視為服從正態(tài)分布，，分別為這100個零件的直徑的平均數(shù)及方差（同一組區(qū)間的直徑尺寸用該組區(qū)間的中點值代表）.(1)分別求，的值；(2)試估計這批零件直徑在的概率；(3)隨機抽查2000個零件，估計在這2000個零件中，零件的直徑在的個數(shù).參考數(shù)據(jù)：；若隨機變量，則，，.【解析】（1）由平均數(shù)與方差的計算公式分別得：故，.（2）設(shè)表示零件直徑，則，即.，由對稱性得，，即.同理，，，即..故這批零件直徑在的概率為0.8186.（3）由（2）知，，所以在這2000個零件中，零件的直徑在的有個.變式47．（2023·山東臨沂·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）在“飛彩鐫流年”文藝匯演中，諸位參賽者一展風(fēng)采，奉上了一場舞與樂的盛宴．現(xiàn)從2000位參賽者中隨機抽取40位幸運嘉賓，統(tǒng)計他們的年齡數(shù)據(jù)，得樣本平均數(shù)．(1)若所有參賽者年齡X服從正態(tài)分布，請估計參賽者年齡在30歲以上的人數(shù)；(2)若該文藝匯演對所有參賽者的表演作品進行評級，每位參賽者只有一個表演作品且每位參賽者作品有的概率評為A類，的概率評為B類，每位參賽者作品的評級結(jié)果相互獨立．記上述40位幸運嘉賓的作品中恰有2份A類作品的概率為，求的極大值點；(3)以（2）中確定的作為a的值，記上述幸運嘉賓的作品中的A類作品數(shù)為Y，若對這些幸運嘉賓進行頒獎，現(xiàn)有兩種頒獎方式：甲：A類作品參賽者獲得1000元現(xiàn)金，B類作品參賽者獲得100元現(xiàn)金；乙：A類作品參賽者獲得3000元現(xiàn)金，B類作品參賽者不獲得現(xiàn)金獎勵．根據(jù)獎金期望判斷主辦方選擇何種頒獎方式，成本可能更低．附：若，則．【解析】（1）因為，則.所以參賽者年齡在30歲以上的人數(shù)約為（人）.（2）記，設(shè)，其中為的極大值點.依題意可得，則，令，因為，故，所以當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的極大值點；（3）由題意知.記分別為甲、乙兩種頒獎方式各自所發(fā)獎金總額，因為.所以，所以.故選擇甲方式成本更低.變式48．（2023·福建廈門·廈門一中?？级＃┓▏鴶?shù)學(xué)家龐加萊是個喜歡吃面包的人，他每天都會到同一家面包店購買一個面包.該面包店的面包師聲稱自己所出售的面包的平均質(zhì)量是，上下浮動不超過.這句話用數(shù)學(xué)語言來表達就是：每個面包的質(zhì)量服從期望為，標準差為的正態(tài)分布.(1)已知如下結(jié)論：若，從X的取值中隨機抽取個數(shù)據(jù)，記這k個數(shù)據(jù)的平均值為Y，則隨機變量，利用該結(jié)論解決下面問題.（i）假設(shè)面包師的說法是真實的，隨機購買25個面包，記隨機購買25個面包的平均值為Y，求；（ii）龐加萊每天都會將買來的面包稱重并記錄，25天后，得到的數(shù)據(jù)都落在上，并經(jīng)計算25個面包質(zhì)量的平均值為.龐加萊通過分析舉報了該面包師，從概率角度說明龐加萊舉報該面包師的理由；(2)假設(shè)有兩箱面包（面包除顏色外，其他都一樣），已知第一箱中共裝有6個面包，其中黑色面包有2個；第二箱中共裝有8個面包，其中黑色面包有3個.現(xiàn)隨機挑選一箱，然后從該箱中隨機取出2個面包.求取出黑色面包個數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：①隨機變量服從正態(tài)分布，則，，；②通常把發(fā)生概率小于的事件稱為小概率事件，小概率事件基本不會發(fā)生.【解析】（1）（i）因為，所以，因為，所以，因為，所以；（ii）由第一問知，龐加萊計算25個面包質(zhì)量的平均值為g，，而，為小概率事件，小概率事件基本不會發(fā)生，這就是龐加萊舉報該面包師的理由；（2）設(shè)取出黑色面包個數(shù)為隨機變量，則的可能取值為0，1，2.則，，故分布列為：012其中數(shù)學(xué)期望.變式49．（2023·廣東江門·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）為深入學(xué)習(xí)黨的二十大精神，某學(xué)校團委組織了“青春向黨百年路，奮進學(xué)習(xí)二十大”知識競賽活動，并從中抽取了200份試卷進行調(diào)查，這200份試卷的成績（卷面共100分）頻率分布直方圖如右圖所示．(1)用樣本估計總體，求此次知識競賽的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）．(2)可以認為這次競賽成績X近似地服從正態(tài)分布N，2（用樣本平均數(shù)和標準差s分別作為、的近似值），已知樣本標準差s7.36，如有84%的學(xué)生的競賽成績高于學(xué)校期望的平均分，則學(xué)校期望的平均分約為多少？（結(jié)果取整數(shù)）(3)從得分區(qū)間80，90和90，100的試卷中用分層抽樣的方法抽取10份試卷，再從這10份樣本中隨機抽測3份試卷，若已知抽測的3份試卷來自于不同區(qū)間，求抽測3份試卷有2份來自區(qū)間80，90的概率．參考數(shù)據(jù)：若X~N，2

，則PX0.68，P2X20.95，P3X30.99.【解析】（1）由頻率分布直方圖可知，平均分；（2）由（1）可知設(shè)學(xué)校期望的平均分約為m，則，因為，，所以，即，所以學(xué)校期望的平均分約為73分；（3）由頻率分布直方圖可知，分數(shù)在和的頻率分別為和，那么按照分層抽樣，抽取10人，其中分數(shù)在，應(yīng)抽取人，分數(shù)在應(yīng)抽取人，記事件：抽測的3份試卷來自于不同區(qū)間；事件B:取出的試卷有2份來自區(qū)間80，90，則，，則．所以抽測3份試卷有2份來自區(qū)間80，90的概率為.變式50．（2023·全國·高三專題練習(xí)）2022年中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會勝利召開之際，結(jié)合鞏固深化“不忘初心、牢記使命”主題教育成果，在全體黨員中繼續(xù)開展黨史學(xué)習(xí)教育．為了配合這次學(xué)黨史活動，某地組織全體黨員干部參加黨史知識競賽，現(xiàn)從參加入員中隨機抽取100人，并對他們的分數(shù)進行統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)現(xiàn)從這100人中隨機抽取2人，記其中得分不低于80分的人數(shù)為，試求隨機變量的分布列及期望．(2)