2023北師大版新教材高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)同步練習(xí)-第四章　對(duì)數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)函數(shù)綜合拔高練

2023北師大版新教材高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)

第四章對(duì)數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)函數(shù)

綜合拔IWJ練

五年高考練

考點(diǎn)1對(duì)數(shù)的運(yùn)算

1.(2021全國(guó)甲文,6)青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問(wèn)題，視力情況可借助視力表

測(cè)量.通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)

記錄法的數(shù)據(jù)V滿足L=5+lgV.已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則

其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為(弋國(guó)之L259)()

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

2.(2021天津,7)若2a=5b=10廁泊=()

A.-lB.lg7

C.lD.logylO

考點(diǎn)2對(duì)數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)

3.(2017山東,1)設(shè)函數(shù)y二代二^的定義域?yàn)锳,函數(shù)y=ln(l-x)的定義域?yàn)锽,則

ADB=()

A.(l,2)B.(l,2]

C.(-2,l)D.[-2,l)

4.(2017課標(biāo)全國(guó)1,9)已知函數(shù)g)=皿x+ln(2-x)JJUJ()

A.f(x)在(0,2)單調(diào)遞增

B.f(x)在(0,2)單調(diào)遞減

C.y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱

D.y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(L0)對(duì)稱

5.(2017課標(biāo)全國(guó)口,8)函數(shù)f(x)=ln(x2-2x-8)的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(-oo,-2)B.(-oo,l)

C.(l,+oo)D.(4,+oo)

6.(2018江蘇,5)函數(shù)￡僅)二河/，的定義域?yàn)?

7.(2018課標(biāo)全國(guó)印,16)已知函數(shù)f(x)=ln(VT不淳-x)+l,f(a)=4,則f(-a)=_.

考點(diǎn)3函數(shù)值(對(duì)數(shù)值)的大小比較

8.(2021全國(guó)新高考口,7)已知a=log52,b=log83,c=|,!Ji!J()

A.c<b<aB.b<a<c

C.a<c<bD.a<b<c

9.(2020天津理,6)設(shè)a=30-7,b=G)“：c=logo.708則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.c<a<b

10.(2019課標(biāo)全國(guó)IH,11)設(shè)f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)且在(0,+⑼單調(diào)遞減則

()

A.f(log3^>f(2-I)>f(2-|)

B.f(Iog3^>f(2-t)>f(2-|)

C.f(2-1)>f(2-|)>f(log3|)

D.f(2'l)>f(2-1)>f(log3^

11.(2020全國(guó)m理,12)已知55<84,134<85.設(shè)a=log53,b=log85,c=logi38貝!]

()

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.c<a<b

12.(2018課標(biāo)全國(guó)印[2)設(shè)a=logo.203b=log20.3JJUJ()

A.a+b<ab<0B.ab<a+b<0

C.a+b<0<abD.ab<0<a+b

三年模擬練

應(yīng)用實(shí)踐

1.(2020河北保定期末)〃館5末1)3-J(lg2-1)2=()

A.2lg5B.O

C.-lD.-2lg5

2.(2022安徽十校聯(lián)盟聯(lián)考)已知aTogsZ.bME/uO.7%則a,b,c的大小關(guān)

系為()

A.a<c<bB.a<b<c

C.b<c<aD.c<a<b

3.(多選)(2021浙江溫州期末)在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)f(x)=loga(x-

b),g(x)=bxa的圖象可能是(

y

4.(2022陜西寶雞中學(xué)期中)若函數(shù)丫=1。92僅2郎+3可在(2,+8)上單調(diào)遞墻則

實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.[-4,4]B.(-4,4)

C.(-oo,41D.(-oo,4)

5.(2020河南平頂山期中)已知f(x)是偶函數(shù)且在［0,+8)上是減函數(shù)若f(|g

刈才(1)廁乂的取值范圍是()

A.(Q)B.(0,1)U(10,+CO)

C.(Q。)D.(o焉)U(l,+8)

6.(2021四川頂級(jí)名校期中)已知函數(shù)f(x)=嚴(yán)盤(pán)?°二^3,若函數(shù)丫=煙的圖

象與直線y=m有三個(gè)不同的交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)依次為X1,X2,X3,且X1<X2<X3,則

m

(XlX2+l)-X3的取值范圍是()

A.(-3,-l)B.(0,2)

C.(-l,3)D.(3,0)

7.(2020河南鄭州期末)已知函數(shù)f(x)=log3(x+kFT)+券在［-k,k］(k>0)上的

最大值和最小值分別為M和m廁M+m=()

A.4B.2

C.lD.0

8.(2021江西南昌外國(guó)語(yǔ)學(xué)校期中)函數(shù)f(x)=log4"log魚(yú)(2x)的值域

為.

9.(2020浙江臺(tái)州椒江期中)定義區(qū)間［xi,X2］的長(zhǎng)度為X2-xi.若函數(shù)y二|log2x歸勺

定義域?yàn)椋踑,b］,值域?yàn)椋?,3］,則區(qū)間匕⑼長(zhǎng)度的最大值為.

(3-a)x+a-l,x<1,

10.(2020江蘇南通期末)已知函數(shù)f(x)=./2,匚、、1若f(x)在R上

J°ga1%-ax十4—L

是增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

11.(2022北京東城期末)設(shè)函數(shù)f(x)=loga(|x|+l)(a>l)廁f(x)是(填

"奇函數(shù)"或"偶函數(shù)")；若懺僅)={%眼熱T>0),則當(dāng)T=：時(shí)，函數(shù)fT(x)的

值域?yàn)?

12.已知函數(shù)f(x)=loga(x+a)(a>0且awl),g(x)=f(x)-f(-x).

⑴判斷并證明函數(shù)g(x)的奇偶性；

(2)若x￡[m,n]時(shí)，函數(shù)g(x)的值域是[logamjogan],求整數(shù)a的最小值.

13.(2020陜西咸陽(yáng)實(shí)驗(yàn)中學(xué)期末)如圖,過(guò)函數(shù)f(x)=logcx(c>l)的圖象上的兩點(diǎn)

A,B作x軸的垂線，垂足分別為M(a,0),N(b,0)(b>a>l),線段BN與函數(shù)

g(x)=logmx(m>c>l)的圖象交于點(diǎn)C,且AC與x軸平行.

⑴當(dāng)a=2,b=4,c=3時(shí),求實(shí)數(shù)m的值；

⑵當(dāng)b=a2時(shí)，求藍(lán)常的最小值;

⑶已知h(x)=ax,cp(x)=bx,xi,X2為區(qū)間(a,b)內(nèi)任意兩個(gè)變量，且xi<X2,求

證:h(f(X2))<(p(f(xi)).

遷移創(chuàng)新

14.(2021河南安陽(yáng)一中月考)已知函數(shù)y=f(x),若對(duì)于給定的正整數(shù)k,f(x)在其定

義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)xo,使得f(xo+k)=f(xo)+f(k)廁稱此函數(shù)f(x)為"保k值函數(shù)”.

⑴若函數(shù)f(x)=2x為"保1值函數(shù)"，求xo的值；

⑵①試判斷函數(shù)f(x)=x+：是不是"保k值函數(shù)"，若是，求出k的值;若不是，請(qǐng)說(shuō)

明理由；

②試判斷函數(shù)f(x)=ln3是不是"保2值函數(shù)"，若是，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；

若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

本章達(dá)標(biāo)檢測(cè)見(jiàn)增分測(cè)評(píng)卷P7

答案與分層梯度式解析

第四章對(duì)數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)函數(shù)

綜合拔同J練

五年高考練

1.C將L=4.9代入L=5+lgV,得4.9=5+lgV,

1

即lgV=-0.1=-^=lglow,

1

「?其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為0.8.故選C.

2.C/2a=5b=10,..3=109210^=109510,

?戶嬴+^Tg2+ig5=ig10=1.

3.P由4-x2“,解得-24x42,由l-x>0,解得x<L-AnB={x卜2Vx<1}.故選D.

4.6?函數(shù)f(x)=lnx+ln(2-x)=ln［x(2-x)］，其中0<x<2廁函數(shù)f(x)是由y=ln

t,t(x)=x(2-x)復(fù)合而成的油復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知,x￡(0,l)時(shí),f(x)單調(diào)遞

增,x￡(1,2)時(shí),f(x)單調(diào)遞減廁A、B選項(xiàng)錯(cuò)誤;t(x)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，即

t(x)=t(2-x)廁f(x)=f(2-x),即f(x)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，故C選項(xiàng)正確,D選

項(xiàng)錯(cuò)誤.故選C.

5.P由x2-2x-8>0可得x>4或x<-2,

所以XG(-oo,-2)U(4,+oo),

令u=x2-2x-8,

則u=x2-2x-8在x￡(-8,-2)上單調(diào)遞減，在x￡(4,+8)上單調(diào)遞增.

又因?yàn)閥=lnu在u￡(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以y=In(x2-2x-8)在x￡(4,+⑼上單調(diào)遞增.故選D.

6.答案［2,+8)

解析由題意得黑/3解得x>2,

即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?+8).

7.答案-2

解析易知f(x)的定義域?yàn)镽,設(shè)g(x)=ln(VIT^-x),則g(-x)=ln(VT+^+x)=-g(x),

又g(x)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱/.g(x)為奇函數(shù)，

??.g(a)+g(-a)=O,又f(a)=g(a)+Lf(-a)=g(-a)+L;f⑶+f(-a)=2,又f(a)=4,/.f(-

a)=2-4=-2.

11

8.C,.Iog52<log552=1=log882<log83,/.a<c<b.

9.P由函數(shù)y=3x單調(diào)遞增，函數(shù)y=logo.7X(x>0)單調(diào)遞減可知

a=30-7>3°=l,b=Q)08=30-8>30-7=a,c=logo,70.8<logo,70.7=l,gPc<l<a<b^

選D.

ior?「f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，

/.f(-x)=f(x).

'f(iog3i)=f(-log34)=f(log34).

23

,.log34>log33=l,H1>2-3>2-2>0,

23

.?.Iog34>2_3>2_2>0.

?」f(x)在。+8)上單調(diào)遞減,

32

.?.f(2》f(2號(hào)>f(log34)=f(嗨》.故選C.

11.Aa=Iogs3G(0,l),b=Iogs5G(0,1),IJ1!]

*器=國(guó)3.-8<(一)?號(hào))、L，a<b.

又???134<85/.135<13x85,兩邊同取以13為底的對(duì)數(shù)得Iogi3135<logi3(13x85),

即Iogi38

又<8。.8x55<85兩邊同取以8為底的對(duì)數(shù)得log8(8x5^)<logsS^&P

Iog85<^/.b<^.

綜上所述c>b>a,故選A.

12.Ba+b=logo.20.3+log20.3=鼠+騎l=(lg3-1)

因?yàn)閘g2-l<0,lg2>0,lg3-l<0,lg4-l<0,

所以(Ig3-1)?意金<0,即a+b<0.

ab=logo.20.3-log20.3=g^-^i

_(Ig3-1)2<0

"(lg2-l)lg2,

二h_G*h)—(lg3-l)2_(lg3-l)(lg4-l)

()一(Ig2-l)lg2(Ig2-l)lg2

=('l?q3-Jl()Ig2--l)^lg2^<0'z

所以ab<a+b<0.

三年模擬練

1.13原式=lg50-l-(l-lg2)=lg50-2+lg2=0,故選B.

2.A?.?logsl<log52<log5V5,/.0<a<0.5.

,七二弱島二logo.70.1>logo.70.7,.,.b>1.

,.0.71<0.703<0.7°,/.0.7<c<l,/.a<c<b.

3AC選項(xiàng)A中，根據(jù)題中圖象知f(x)在定義域上單調(diào)遞增，所以a>L又f(x)的

圖象過(guò)點(diǎn)(2,0),所以b=l,所以g(x)=l,故A符合；

選項(xiàng)B中，由g(x)的圖象可知a>l,0<b<L所以函數(shù)f(x犯勺圖象應(yīng)由y=logax的

圖象向右平移b個(gè)單位長(zhǎng)度得到，故B不符合；

選項(xiàng)C中，由f(x)的圖象知0<a<l且0<b<L由g(x)的圖象知0<a<l且

0<b<1故C符合.

選項(xiàng)D好，由f(x)血圖象知由g(x)的圖象知a=0,故D不符合.故選AC.

4.A根據(jù)題意得仁-2，解得-44a44.

5c:Kx)是偶函數(shù)且在[0,+8)上是減函數(shù)，

???f(x)在(-*0)上是增函數(shù).

若f(lgx)>f(l)則lgx|<l,gp-l<lgx<l,

解彳鼠<x<10.

故選C.

6.A作出函數(shù)f(x)=[l^x|，o<x<3,的圖象及直線y=m,如圖所示,

因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)的圖象與直線y=m有三個(gè)不同的交點(diǎn)，所以0<m<l,

S-log3Xi=log3X2=-X3+4=m得xiX2=Lx3=4-m,

所以(XlX2+l)m-X3=2m-4+m.

設(shè)h(m)=2m-4+m,me(0,l),

因?yàn)閔(m)在(0,1)上單調(diào)遞增，

所以

即。僅2+1尸~3的取值范圍為(-3,-1),故選A.

7.B-.-f(x)=log3(x+V^TT)+^-,

=Iog3(-x++篇,

??.f(x)+f(-x)=2,.?.函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)既不是奇函數(shù),又不是偶函數(shù).令g(x)=f(x)-l,

則g(x)+g(-x)=f(x)-l+f(-x)-l=O,「.g(x)在定義域［-k,k］(k>0)內(nèi)為奇函數(shù)設(shè)g(x)

的最大值為t則最小值為的最大值為M=t+1,最小值為m=-

t+l,/.M+m=2.

8.答案［4+8)

W［Qog2X)2+log2x］W(］°g2x+JW，

解析因?yàn)閒(x)=log4^log歷(2刈=若?霏

所以所以性故函數(shù)f(x)的值域?yàn)橹?8).

9.答案-

解析由題知函數(shù)y=|log2x出勺定義域?yàn)椋踑,b］,值域?yàn)椋?,3］,要使區(qū)間［a,b］的長(zhǎng)度

最大則-34log2X43,解得j4x48,

故區(qū)間［a,b］長(zhǎng)度的最大值為

10.答案(i,|］

解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在R上是增函數(shù)，

所以y=(3-a)x+a-l在區(qū)間(-8,1)上是增函數(shù)且y=loga8-ax+為在區(qū)間［L+8)

上也是增函數(shù).

由函數(shù)y=(3-a)x+a-l在(-8,1)上是增函數(shù)，

得3-a>0=a<3.①

對(duì)于函數(shù)y=loga(/-ax+芝),X￡［L+8),

令u=x2-ax+卜(年了+竽.

當(dāng)0<a<l時(shí),31,所以u(píng)=x2-ax+2在［L+8)上是增函數(shù)

又y=logaii為定義域內(nèi)的減函數(shù)，

所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)"同增異減"可得0<a<l時(shí)，函數(shù)y=loga(一一ax+?在區(qū)間

［1,+8)上是減函數(shù)，不符合題意，舍去；

當(dāng)a>l時(shí)，要使函數(shù)丫=1。92(久2m+9為定義域內(nèi)的增函數(shù),只需函數(shù)u=x2-

ax+卜(x-if+噌在［L+8)上也是增函數(shù)，又對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0,

(-<1,

所以2]>解得a<2.

眸a+弓>0,

又a>l,所以l<a42.②

由①②得l<a42.

因?yàn)閒(x)在R上是增函數(shù)，所以f(x)的圖象在銜接點(diǎn)處的函數(shù)值應(yīng)滿足3-a+a-

2

l<loga(i-a+^),

即a2+a孚0,解得-|4av|.

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是

11.答案偶函數(shù)(-8吊U[o.)

解析因?yàn)閷?121>0恒成立，所以f(x)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

又f(-x)=loga(|-x|+1)=loga(|x|+1)=f(x),所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù).

因?yàn)閷?H,a>L所以f(x)=loga(|x|+l)>0,

若T三廁由題意可得當(dāng)f(x)C時(shí),斤僅)=f(x)q故0"T(X)《

當(dāng)f(x)>^,fT(x)=-f(x)<-i.

綜上，函數(shù)fT(x)的值域?yàn)?9弓u隹).

12.解析Q)函數(shù)g(x)為奇函數(shù)證明如下：

函數(shù)g(x)=f(x)-f(-x)=loga(x+a)-loga(a-x),

?,?{2>o,°->--a<x<a^

二?函數(shù)g(x)的定義域?yàn)?-a,a).

又g(-x)=f(-x)-f(x)=-g(x),

二?函數(shù)g(x)為奇函數(shù).

⑵由logam<logan及x￡[m,n],得n>m>0,a>l,

由⑴知,g(x)=loga(x+a)-loga(a-x)=loga鬻,

令u=也=-1-在廁u在區(qū)間[m,n]內(nèi)單調(diào)遞增，

CL-XX-CL

又y=logau(a>l)為增函數(shù)/.函數(shù)g(x)在區(qū)間[m,n]內(nèi)單調(diào)遞增，且值域是

[logam,logan],

m+a

10=i1m

p(m)=10gam,gnlga—°ga-

?b(n)=logan,[log。詈=iogan,

<m+a

二黑一’在區(qū)間(0⑶上有解，

——=n

Ia-n

即方程巖二X在區(qū)間(0⑶上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

即方程x2+(l-a)x+a=0在區(qū)間(0,a)上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

令h(x)=x2+(l-a)x+a,

2=(l-a)2-4a>0,__

則0<_<a,.卜<3-2夜或a>3+2也

旗0)=a>0,飛>:

[h(a)=2a>0,,

/.a>3+2V2,

又a是整數(shù),」.amin=6.

13解析⑴由瞿意得A(2,log32),B(4,log34),C(4,logm4).

/AC與x軸平行,「.logm4