安徽省霍邱一中2024屆高三最后一模數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁(yè)
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安徽省霍邱一中2024屆高三最后一模數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě),字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)為F,拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)P,且PQ⊥y軸交y軸于點(diǎn)Q,則的最小值為()A. B. C.l D.12.已知銳角滿(mǎn)足則()A. B. C. D.3.已知等差數(shù)列中,若,則此數(shù)列中一定為0的是()A. B. C. D.4.已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn),則A. B.C. D.5.已知定點(diǎn),,是圓上的任意一點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為,線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)與直線(xiàn)相交于點(diǎn),則點(diǎn)的軌跡是()A.橢圓 B.雙曲線(xiàn) C.拋物線(xiàn) D.圓6.已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都相等,是的中點(diǎn),則所成的角的余弦值為()A. B. C. D.7.已知集合,定義集合,則等于()A. B.C. D.8.設(shè)函數(shù)(,)是上的奇函數(shù),若的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng),且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),則()A. B. C. D.9.在中,角所對(duì)的邊分別為,已知,則()A.或 B. C. D.或10.五名志愿者到三個(gè)不同的單位去進(jìn)行幫扶,每個(gè)單位至少一人,則甲、乙兩人不在同一個(gè)單位的概率為()A. B. C. D.11.已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足,其中為虛數(shù)單位,則().A. B. C. D.12.在中,“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.執(zhí)行以下語(yǔ)句后,打印紙上打印出的結(jié)果應(yīng)是:_____.14.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,,,,則滿(mǎn)足的正整數(shù)的所有取值為_(kāi)_________.15.已知半徑為的圓周上有一定點(diǎn),在圓周上等可能地任意取一點(diǎn)與點(diǎn)連接,則所得弦長(zhǎng)介于與之間的概率為_(kāi)_________.16.如圖是一個(gè)算法流程圖,若輸出的實(shí)數(shù)的值為,則輸入的實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的離心率為,且過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)點(diǎn)P是橢圓上異于短軸端點(diǎn)A,B的任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作軸于Q,線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)為M.直線(xiàn)AM與直線(xiàn)交于點(diǎn)N,D為線(xiàn)段BN的中點(diǎn),設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),試判斷以O(shè)D為直徑的圓與點(diǎn)M的位置關(guān)系.18.(12分)在四棱錐的底面是菱形,底面,,分別是的中點(diǎn),.(Ⅰ)求證:;(Ⅱ)求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值;(III)在邊上是否存在點(diǎn),使與所成角的余弦值為,若存在,確定點(diǎn)的位置;若不存在,說(shuō)明理由.19.(12分)已知拋物線(xiàn)C:x24py(p為大于2的質(zhì)數(shù))的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F且斜率為k(k0)的直線(xiàn)交C于A,B兩點(diǎn),線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)交y軸于點(diǎn)E,拋物線(xiàn)C在點(diǎn)A,B處的切線(xiàn)相交于點(diǎn)G.記四邊形AEBG的面積為S.(1)求點(diǎn)G的軌跡方程;(2)當(dāng)點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為整數(shù)時(shí),S是否為整數(shù)?若是,請(qǐng)求出所有滿(mǎn)足條件的S的值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.20.(12分)已知數(shù)列滿(mǎn)足,且,,成等比數(shù)列.(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.21.(12分)在國(guó)家“大眾創(chuàng)業(yè),萬(wàn)眾創(chuàng)新”戰(zhàn)略下,某企業(yè)決定加大對(duì)某種產(chǎn)品的研發(fā)投入.為了對(duì)新研發(fā)的產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià),將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格試銷(xiāo),得到一組檢測(cè)數(shù)據(jù)如表所示:試銷(xiāo)價(jià)格(元)產(chǎn)品銷(xiāo)量(件)已知變量且有線(xiàn)性負(fù)相關(guān)關(guān)系,現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學(xué)通過(guò)計(jì)算求得回歸直線(xiàn)方程分別為:甲;乙;丙,其中有且僅有一位同學(xué)的計(jì)算結(jié)果是正確的.(1)試判斷誰(shuí)的計(jì)算結(jié)果正確?(2)若由線(xiàn)性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與檢測(cè)數(shù)據(jù)的誤差不超過(guò),則稱(chēng)該檢測(cè)數(shù)據(jù)是“理想數(shù)據(jù)”,現(xiàn)從檢測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取個(gè),求“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù)為的概率.22.(10分)如圖,在直三棱柱中,,,D,E分別為AB,BC的中點(diǎn).(1)證明:平面平面;(2)求點(diǎn)到平面的距離.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

設(shè)點(diǎn),則點(diǎn),,利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得最值.【詳解】解:設(shè)點(diǎn),則點(diǎn),,,,當(dāng)時(shí),取最小值,最小值為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線(xiàn)背景下的向量的坐標(biāo)運(yùn)算,考查學(xué)生的計(jì)算能力,是基礎(chǔ)題.2、C【解析】

利用代入計(jì)算即可.【詳解】由已知,,因?yàn)殇J角,所以,,即.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查二倍角的正弦、余弦公式的應(yīng)用,考查學(xué)生的運(yùn)算能力,是一道基礎(chǔ)題.3、A【解析】

將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式,由此確定數(shù)列為的項(xiàng).【詳解】由于等差數(shù)列中,所以,化簡(jiǎn)得,所以為.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列的基本量計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn),所以,則,即.故選D.5、B【解析】

根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì),結(jié)合三角形中位線(xiàn)定理、圓錐曲線(xiàn)和圓的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)榫€(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)與直線(xiàn)相交于點(diǎn),如下圖所示:所以有,而是中點(diǎn),連接,故,因此當(dāng)在如下圖所示位置時(shí)有,所以有,而是中點(diǎn),連接,故,因此,綜上所述:有,所以點(diǎn)的軌跡是雙曲線(xiàn).故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線(xiàn)的定義,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和推理論證能力,考查了分類(lèi)討論思想.6、C【解析】試題分析:設(shè)的交點(diǎn)為,連接,則為所成的角或其補(bǔ)角;設(shè)正四棱錐的棱長(zhǎng)為,則,所以,故C為正確答案.考點(diǎn):異面直線(xiàn)所成的角.7、C【解析】

根據(jù)定義,求出,即可求出結(jié)論.【詳解】因?yàn)榧希裕瑒t,所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查集合的新定義運(yùn)算,理解新定義是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

根據(jù)函數(shù)為上的奇函數(shù)可得,由函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸及單調(diào)性即可確定的值,進(jìn)而確定函數(shù)的解析式,即可求得的值.【詳解】函數(shù)(,)是上的奇函數(shù),則,所以.又的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)可得,,即,,由函數(shù)的單調(diào)區(qū)間知,,即,綜上,則,.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,由對(duì)稱(chēng)軸、奇偶性及單調(diào)性確定參數(shù),屬于中檔題.9、D【解析】

根據(jù)正弦定理得到,化簡(jiǎn)得到答案.【詳解】由,得,∴,∴或,∴或.故選:【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理解三角形,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.10、D【解析】

三個(gè)單位的人數(shù)可能為2,2,1或3,1,1,求出甲、乙兩人在同一個(gè)單位的概率,利用互為對(duì)立事件的概率和為1即可解決.【詳解】由題意,三個(gè)單位的人數(shù)可能為2,2,1或3,1,1;基本事件總數(shù)有種,若為第一種情況,且甲、乙兩人在同一個(gè)單位,共有種情況;若為第二種情況,且甲、乙兩人在同一個(gè)單位,共有種,故甲、乙兩人在同一個(gè)單位的概率為,故甲、乙兩人不在同一個(gè)單位的概率為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率公式的計(jì)算,涉及到排列與組合的應(yīng)用,在正面情況較多時(shí),可以先求其對(duì)立事件,即甲、乙兩人在同一個(gè)單位的概率,本題有一定難度.11、A【解析】

先化簡(jiǎn)求出,即可求得答案.【詳解】因?yàn)?,所以所以故選:A【點(diǎn)睛】此題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算,注意計(jì)算的準(zhǔn)確度,屬于簡(jiǎn)單題目.12、D【解析】

通過(guò)列舉法可求解,如兩角分別為時(shí)【詳解】當(dāng)時(shí),,但,故充分條件推不出;當(dāng)時(shí),,但,故必要條件推不出;所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查命題的充分與必要條件判斷,三角函數(shù)在解三角形中的具體應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】

根據(jù)程序框圖直接計(jì)算得到答案.【詳解】程序在運(yùn)行過(guò)程中各變量的取值如下所示:是否繼續(xù)循環(huán)ix循環(huán)前14第一圈是44+2第二圈是74+2+8第三圈是104+2+8+14退出循環(huán),所以打印紙上打印出的結(jié)果應(yīng)是:1故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和理解能力.14、20,21【解析】

由題意知數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列,則根據(jù)為奇數(shù)和為偶數(shù)分別算出求和公式,代入數(shù)值檢驗(yàn)即可.【詳解】解:由題意知數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成公差為的等差數(shù)列,偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成公比為的等比數(shù)列,則;.當(dāng)時(shí),,.當(dāng)時(shí),,.由此可知,滿(mǎn)足的正整數(shù)的所有取值為20,21.故答案為:20,21【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列通項(xiàng)與求和公式,是綜合題,分清奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)是解題的關(guān)鍵.15、【解析】在圓上其他位置任取一點(diǎn)B,設(shè)圓半徑為R,其中滿(mǎn)足條件AB弦長(zhǎng)介于與之間的弧長(zhǎng)為?2πR,則AB弦的長(zhǎng)度大于等于半徑長(zhǎng)度的概率P==;故答案為:.16、【解析】

根據(jù)程序框圖得到程序功能,結(jié)合分段函數(shù)進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】解:程序的功能是計(jì)算,若輸出的實(shí)數(shù)的值為,則當(dāng)時(shí),由得,當(dāng)時(shí),由,此時(shí)無(wú)解.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖的識(shí)別和判斷,理解程序功能是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)點(diǎn)在以為直徑的圓上【解析】

(1)根據(jù)題意列出關(guān)于,,的方程組,解出,,的值,即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)點(diǎn),,則,,求出直線(xiàn)的方程,進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo),再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到點(diǎn)的坐標(biāo),下面結(jié)合點(diǎn)在橢圓上證出,所以點(diǎn)在以為直徑的圓上.【詳解】(1)由題意可知,,解得,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:.(2)設(shè)點(diǎn),,則,,直線(xiàn)的斜率為,直線(xiàn)的方程為:,令得,,點(diǎn)的坐標(biāo)為,,點(diǎn)的坐標(biāo)為,,,,又點(diǎn),在橢圓上,,,,點(diǎn)在以為直徑的圓上.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓方程,考查了中點(diǎn)坐標(biāo)公式,以及平面向量的基本知識(shí),屬于中檔題.18、(Ⅰ)見(jiàn)解析;(Ⅱ);(Ⅲ)見(jiàn)解析.【解析】

(Ⅰ)由題意結(jié)合幾何關(guān)系可證得平面,據(jù)此證明題中的結(jié)論即可;(Ⅱ)建立空間直角坐標(biāo)系,求得直線(xiàn)的方向向量與平面的一個(gè)法向量,然后求解線(xiàn)面角的正弦值即可;(Ⅲ)假設(shè)滿(mǎn)足題意的點(diǎn)存在,設(shè),由直線(xiàn)與的方向向量得到關(guān)于的方程,解方程即可確定點(diǎn)F的位置.【詳解】(Ⅰ)由菱形的性質(zhì)可得:,結(jié)合三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)可知:,故,底面,底面,故,且,故平面,平面,(Ⅱ)由題意結(jié)合菱形的性質(zhì)易知,,,以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則:,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則:,據(jù)此可得平面的一個(gè)法向量為,而,設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為,則.(Ⅲ)由題意可得:,假設(shè)滿(mǎn)足題意的點(diǎn)存在,設(shè),,據(jù)此可得:,即:,從而點(diǎn)F的坐標(biāo)為,據(jù)此可得:,,結(jié)合題意有:,解得:.故點(diǎn)F為中點(diǎn)時(shí)滿(mǎn)足題意.【點(diǎn)睛】本題主要考查線(xiàn)面垂直的判定定理與性質(zhì)定理,線(xiàn)面角的向量求法,立體幾何中的探索性問(wèn)題等知識(shí),意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.19、(1)(2)當(dāng)G點(diǎn)橫坐標(biāo)為整數(shù)時(shí),S不是整數(shù).【解析】

(1)先求解導(dǎo)數(shù),得出切線(xiàn)方程,聯(lián)立方程得出交點(diǎn)G的軌跡方程;(2)先求解弦長(zhǎng),再分別求解點(diǎn)到直線(xiàn)的距離,表示出四邊形的面積,結(jié)合點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為整數(shù)進(jìn)行判斷.【詳解】(1)設(shè),則,拋物線(xiàn)C的方程可化為,則,所以曲線(xiàn)C在點(diǎn)A處的切線(xiàn)方程為,在點(diǎn)B處的切線(xiàn)方程為,因?yàn)閮汕芯€(xiàn)均過(guò)點(diǎn)G,所以,所以A,B兩點(diǎn)均在直線(xiàn)上,所以直線(xiàn)AB的方程為,又因?yàn)橹本€(xiàn)AB過(guò)點(diǎn)F(0,p),所以,即G點(diǎn)軌跡方程為;(2)設(shè)點(diǎn)G(,),由(1)可知,直線(xiàn)AB的方程為,即,將直線(xiàn)AB的方程與拋物線(xiàn)聯(lián)立,,整理得,所以,,解得,因?yàn)橹本€(xiàn)AB的斜率,所以,且,線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M,所以直線(xiàn)EM的方程為:,所以E點(diǎn)坐標(biāo)為(0,),直線(xiàn)AB的方程整理得,則G到AB的距離,則E到AB的距離,所以,設(shè),因?yàn)閜是質(zhì)數(shù),且為整數(shù),所以或,當(dāng)時(shí),,是無(wú)理數(shù),不符題意,當(dāng)時(shí),,因?yàn)楫?dāng)時(shí),,即是無(wú)理數(shù),所以不符題意,當(dāng)時(shí),是無(wú)理數(shù),不符題意,綜上,當(dāng)G點(diǎn)橫坐標(biāo)為整數(shù)時(shí),S不是整數(shù).【點(diǎn)睛】本題主要考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系,拋物線(xiàn)中的切線(xiàn)問(wèn)題通常借助導(dǎo)數(shù)來(lái)求解,四邊形的面積問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為三角形的面積和問(wèn)題,表示出面積的表達(dá)式是求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).20、(1)見(jiàn)解析;(2)【解析】

(1)因?yàn)?,所以,所以,所以?shù)列是等差數(shù)列,設(shè)數(shù)列的公差為,由可得,因?yàn)槌傻缺葦?shù)列,所以,所以,所以,因?yàn)?,所以,解得(舍去)或,所以,所以.?)由(1)知,,所以,所以.21、(1)乙同學(xué)正確;(2).【解析】

(1)根據(jù)變量且有線(xiàn)性負(fù)相關(guān)關(guān)系判斷甲不正確.根據(jù)回歸直線(xiàn)方程過(guò)樣本中心點(diǎn),判斷出乙正確.(2)由線(xiàn)性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù),計(jì)算出誤差,求得“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù),由此利用古典概型概率計(jì)算公式,求得所求概率.【詳解】(1)已知變量具有線(xiàn)性負(fù)相關(guān)關(guān)系,故甲不正確,,代入兩個(gè)回歸方程,驗(yàn)證乙同學(xué)正確,故回歸方程為:(2)由(1)得到的回歸方程,計(jì)算估計(jì)數(shù)據(jù)如下表:021212由上表可知,“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù)為.用列舉法可知,從個(gè)不同數(shù)據(jù)里抽出個(gè)不同數(shù)據(jù)的方法有種.從符合條件的個(gè)不同數(shù)據(jù)中抽出個(gè),還要在不符合條件的個(gè)不同數(shù)據(jù)中抽出個(gè)的方法有種.故所求概率為【點(diǎn)睛】本小題主要考查回歸直線(xiàn)方程的判斷,

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