專題04冪函數(shù)及函數(shù)的應(yīng)用（一）

專題04冪函數(shù)及函數(shù)的應(yīng)用（一）專題04冪函數(shù)及函數(shù)的應(yīng)用（一）一般地，形如y＝xα的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α為常數(shù).函數(shù)特征性質(zhì)y＝xy＝x2y＝x3y＝xeq\s\up6(\f(1,2))y＝x－1定義域RRR[0，＋∞){x|x∈R，且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇(1)一次函數(shù)模型：y＝kx＋b(k≠0)；(2)二次函數(shù)模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(3)分式函數(shù)模型：(4)冪函數(shù)模型：y＝axn＋b(a≠0)；(5)分段函數(shù)模型=1\*GB3①審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；=2\*GB3②建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；=3\*GB3③求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；=4\*GB3④還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實(shí)際問題的意義．題型01：冪函數(shù)的概念【典例1】（2023春·湖北·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）下列函數(shù)是冪函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由冪函數(shù)的定義可判斷各選項(xiàng).【詳解】由冪函數(shù)的定義,形如，叫冪函數(shù)，對(duì)A，，故A正確；B，C，D均不符合.故選：A．【典例2】（2022秋·陜西西安·高三西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）下列函數(shù)中，，，，是冪函數(shù)的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義判斷即可.【詳解】一般地，函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中是自變量，為常數(shù)，故，為冪函數(shù)，，均不為冪函數(shù).故選：B題型02：冪函數(shù)的解析式與求值【典例3】（2023秋·江蘇蘇州·高三常熟中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)待定系數(shù)法求解，即可代入求解.【詳解】設(shè)，則，所以，故，故選：C【典例4】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，對(duì)于偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．(1)求函數(shù)的解析式；(2)求當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式；【答案】(1)(2)【分析】（1）先設(shè)冪函數(shù)，根據(jù)題意，得到，即可求出解析式；（2）根據(jù)題意可得：當(dāng)時(shí)，，結(jié)合函數(shù)奇偶性，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)，代入點(diǎn)，得，解得，所以.（2）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，設(shè)，則，又因?yàn)槭荝上的偶函數(shù)，所以，即當(dāng)時(shí)，.【規(guī)律方法】根據(jù)已知條件求冪函數(shù)的解析式，實(shí)際上就是應(yīng)用待定系數(shù)法.題型03：求冪（復(fù)合）函數(shù)的定義域、值域【典例5】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則的定義域?yàn)椋敬鸢浮俊痉治觥渴紫惹髢绾瘮?shù)的解析式，再求函數(shù)的定義域，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的形式，求函數(shù)的定義域.【詳解】∵的圖象過點(diǎn)，∴，，應(yīng)該滿足：，即，∴的定義域?yàn)椋蚀鸢笧椋骸镜淅?】（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)，其中，則其值域?yàn)?【答案】/【分析】利用換元法將函數(shù)化為，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)，則.因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，.所以函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：【規(guī)律方法】求冪函數(shù)的定義域，應(yīng)具體問題具體分析，而對(duì)于復(fù)合函數(shù)，則考慮“換元法”等.題型04：根據(jù)冪（復(fù)合）函數(shù)的定義域、值域求參數(shù)【典例7】（2023秋·全國·高一專題練習(xí)）若函數(shù)的值域?yàn)?，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的值域得函數(shù)的最小值要小于等于，進(jìn)而結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求解即可．【詳解】解：由題意：函數(shù)是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，要使值域?yàn)?，則函數(shù)的值域要包括，即最小值要小于等于．當(dāng)時(shí)，顯然不成立，所以，當(dāng)時(shí)，則有，解得，所以的取值范圍是.故選：B．【典例8】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】判斷單調(diào)遞增，討論或，根據(jù)分段函數(shù)的值域可得且，解不等式即可求解.【詳解】由函數(shù)單調(diào)遞增，①當(dāng)時(shí)，若，有，而，此時(shí)函數(shù)的值域不是；②當(dāng)時(shí)，若，有，而，若函數(shù)的值域?yàn)?，必有，可得．則實(shí)數(shù)的取值范圍為．故答案為：題型05：冪函數(shù)圖象的辨識(shí)及過定點(diǎn)問題【典例9】（2023·全國·高一專題練習(xí)）右圖的曲線是冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象，已知n分別取，，2四個(gè)值，相應(yīng)的曲線對(duì)應(yīng)的n依次為（

）A．，，1，2 B．2，1，，C．，，2， D．2，，，【答案】B【分析】利用冪函數(shù)的圖象性質(zhì)逐一觀察判斷即可.【詳解】函數(shù)在第一象限內(nèi)單調(diào)遞減，對(duì)應(yīng)的圖象為；對(duì)應(yīng)的圖象為一條過原點(diǎn)的直線，對(duì)應(yīng)的圖象為；對(duì)應(yīng)的圖象為拋物線，對(duì)應(yīng)的圖象應(yīng)為；在第一象限內(nèi)的圖象是；所以與曲線對(duì)應(yīng)的n依次為2，1，，.故選：B【典例10】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)則函數(shù)，則函數(shù)的圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由可知圖像與的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，由的圖像即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋詧D像與的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，由解析式，作出的圖像如圖從而可得圖像為B選項(xiàng).故選：B.【典例11】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，則函數(shù)的圖象恒過的定點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【分析】令求解即可.【詳解】令，得，故函數(shù)圖象過定點(diǎn)，故答案為：【規(guī)律方法】1.冪函數(shù)y＝xα的形式特點(diǎn)是“冪指數(shù)坐在x的肩膀上”，圖象都過點(diǎn)(1,1)．它們的單調(diào)性要牢記第一象限的圖象特征：當(dāng)α>0時(shí)，第一象限圖象是上坡遞增；當(dāng)α＜0時(shí)，第一象限圖象是下坡遞減．然后根據(jù)函數(shù)的奇偶性確定y軸左側(cè)的增減性即可．2.冪函數(shù)圖象過定點(diǎn)（1,1）.題型:06：根據(jù)冪函數(shù)的圖象求參數(shù)【典例12】（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的圖象如圖所示，則的值為（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】由圖象可知函數(shù)為偶函數(shù)，且在第一象限內(nèi)單調(diào)遞減，則，求出的范圍，再由取值驗(yàn)證即可【詳解】由圖象可知函數(shù)為偶函數(shù)，且在第一象限內(nèi)單調(diào)遞減，所以，解得，因?yàn)?，所以，或，或，?dāng)時(shí)，為奇函數(shù)，不合題意，當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)，符合題意，當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)，不合題意，所以，故選：C【典例13】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)，其圖像與坐標(biāo)軸無交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值為．【答案】【分析】根據(jù)冪函數(shù)定義，由求得m，再根據(jù)函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸無交點(diǎn)確定即可.【詳解】由冪函數(shù)知，得或.當(dāng)時(shí)，圖象與坐標(biāo)軸有交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，與坐標(biāo)軸無交點(diǎn)，∴.故答案為:題型07：確定冪（復(fù)合）函數(shù)的單調(diào)性及其單調(diào)區(qū)間【典例14】【多選題】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．和在上的單調(diào)性相同B．和在上的單調(diào)性相反C．和在上的單調(diào)性相同D．和在上的單調(diào)性相反【答案】BC【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義，可求得和的解析式，進(jìn)而得解.【詳解】因?yàn)椋謩e是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，所以，，因?yàn)?，所以，即，兩式?lián)立，可得，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以和在上的單調(diào)性相同，在上的單調(diào)性相反.故選：BC.【典例15】（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為；【答案】【分析】先求解原函數(shù)的定義域，然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性分析求解即可.【詳解】解：令，則可以看作是由與復(fù)合而成的函數(shù).令，得或.易知在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，而在上是增函數(shù)，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.故答案為：.題型08：根據(jù)冪（復(fù)合）函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)【典例16】（2023秋·陜西咸陽·高三?？茧A段練習(xí)）已知冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則（

）A．2 B．1 C． D．1【答案】B【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義及性質(zhì)分類討論計(jì)算即可.【詳解】由題意有，解得或，①當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，不合題意；②當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，符合題意.故選：B【典例17】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性列不等式來求得的取值范圍.【詳解】由于在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，所以，解得，所以的取值范圍是.故答案為：題型09：冪函數(shù)的奇偶性及其應(yīng)用【典例18】【多選題】（2023秋·云南·高一云南省下關(guān)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知冪函數(shù)（m，，m，n互質(zhì)），下列關(guān)于的結(jié)論正確的是（

）A．m，n是奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)是奇函數(shù)B．m是偶數(shù)，n是奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)是偶函數(shù)C．m是奇數(shù)，n是偶數(shù)時(shí)，冪函數(shù)是偶函數(shù)D．時(shí)，冪函數(shù)在上是減函數(shù)【答案】AC【分析】根據(jù)冪函數(shù)中結(jié)論一一分析即可.【詳解】對(duì)A，當(dāng)m，n是奇數(shù)時(shí)，的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，則冪函數(shù)是奇函數(shù)，故A中的結(jié)論正確；對(duì)B，當(dāng)m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，冪函數(shù)在時(shí)無意義，故B中的結(jié)論錯(cuò)誤；對(duì)C，當(dāng)m是奇數(shù)，n是偶數(shù)時(shí)，的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，則冪函數(shù)是偶函數(shù)，故C中的結(jié)論正確；對(duì)D，時(shí)，冪函數(shù)在上是增函數(shù)，故D中的結(jié)論錯(cuò)誤；故選：AC.【典例19】（2023秋·浙江嘉興·高一校考階段練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象是軸對(duì)稱圖形，則實(shí)數(shù)．【答案】2【分析】根據(jù)冪函數(shù)定義可知，求解后根據(jù)函數(shù)對(duì)稱性驗(yàn)證即可.【詳解】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，即，解得或，當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，滿足題意.所以，.故答案為：2題型10：冪函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用比較大小【典例20】（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性判斷.【詳解】因?yàn)?，，，又，在上單調(diào)遞增，所以．綜上，．故選：A．【典例21】（2023秋·黑龍江雙鴨山·高一雙鴨山一中校考階段練習(xí)）若，，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及和“1”比較大小得出結(jié)果.【詳解】設(shè)函數(shù)，則在上單調(diào)遞增，故，即，又，即.故選：B．【總結(jié)提升】1.在比較冪值的大小時(shí)，必須結(jié)合冪值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較，既不同底又不同次數(shù)的冪函數(shù)值比較大?。撼Ｕ业揭粋€(gè)中間值，通過比較冪函數(shù)值與中間值的大小進(jìn)行判斷．準(zhǔn)確掌握各個(gè)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.2.利用冪函數(shù)的性質(zhì)比較冪值大小的方法步驟．第一步，據(jù)指數(shù)分清正負(fù)；第二步，正數(shù)區(qū)分大于1與小于1，a>1，α>0時(shí)，aα>1；0<a<1，α>0時(shí)0<aα<1；a>1，α<0時(shí)0<aα<1；0<a<1，α<0時(shí)，aα>1；第三步，構(gòu)造冪函數(shù)應(yīng)用冪函數(shù)單調(diào)性，特別注意含字母時(shí)，要注意底數(shù)不在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的情形．2．給定一組數(shù)值，比較大小的步驟．第一步：區(qū)分正負(fù)．一種情形是冪函數(shù)或指數(shù)函數(shù)值即冪式確定符號(hào)；另一種情形是對(duì)數(shù)式確定符號(hào)，要根據(jù)各自的性質(zhì)進(jìn)行．第二步：正數(shù)通常還要區(qū)分大于1還是小于1.第三步：同底的冪，用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性；同指數(shù)的冪用冪函數(shù)單調(diào)性；同底的對(duì)數(shù)用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性．第四步：對(duì)于底數(shù)與指數(shù)均不相同的冪，或底數(shù)與真數(shù)均不相同的對(duì)數(shù)值大小的比較，通常是找一中間值過渡或化同底(化同指)、或放縮、有時(shí)作商(或作差)、或指對(duì)互化，對(duì)數(shù)式有時(shí)還用換底公式作變換等等．【易錯(cuò)警示】用冪函數(shù)的性質(zhì)解題時(shí)，易忽略函數(shù)的定義域及不同單調(diào)區(qū)間的討論.題型11：冪函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用解不等式【典例22】（2023·上海長寧·統(tǒng)考二模）當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象總在的圖像上方，則a的取值范圍為【答案】【分析】問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，利用不等式的性質(zhì)，結(jié)合冪函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象總在的圖像上方，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，，因此要想時(shí)，恒成立，只需，因此a的取值范圍為，故答案為：【典例23】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn).(1)求的解析式:并判斷它的奇偶性（不證明）；(2)若，求a的取值范圍.【答案】(1)，非奇非偶函數(shù)；(2)【分析】（1）待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式，并得到函數(shù)奇偶性；（2）根據(jù)函數(shù)的定義域和單調(diào)性，得到不等式組，求出答案.【詳解】（1）設(shè)冪函數(shù)，將代入可得，解得，故，此函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，理由如下：因?yàn)槎x域?yàn)椋魂P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故為非奇非偶函數(shù)；（2）在上單調(diào)遞增，，故，解得，即的取值范圍是.【總結(jié)提升】求解含“f”的函數(shù)不等式的解題思路先利用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)將不等式轉(zhuǎn)化為f(g(x))＞f(h(x))的形式，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)＞h(x)(或g(x)＜h(x))．題型12：一次函數(shù)模型【典例24】（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓.為解決困難，許多志愿者踴躍報(bào)名參加配貨工作.已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)計(jì)第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05，志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者（

）A．10名 B．18名 C．24名 D．32名【答案】B【分析】算出第二天訂單數(shù)，除以志愿者每天能完成的訂單配貨數(shù)即可.【詳解】由題意，第二天新增訂單數(shù)為，，故至少需要志愿者名.故選：B【典例25】【多選題】（2023·全國·高一專題練習(xí)）某部影片的盈利額(即影片的票房收入與固定成本之差)記為，觀影人數(shù)記為，關(guān)于的函數(shù)圖像如圖（1）所示．由于目前該片盈利未達(dá)到預(yù)期，相關(guān)人員提出了兩種調(diào)整方案，圖（2）、圖（3）中的實(shí)線分別為調(diào)整后關(guān)于的函數(shù)圖像．給出下列四種說法，其中正確的說法是（

）A．圖（2）對(duì)應(yīng)的方案是：提高票價(jià)，并提高固定成本B．圖（2）對(duì)應(yīng)的方案是：保持票價(jià)不變，并降低固定成本C．圖（3）對(duì)應(yīng)的方案是：提高票價(jià)，并保持固定成本不變D．圖（3）對(duì)應(yīng)的方案是：提高票價(jià)，并降低固定成本【答案】BC【分析】由圖（1）可設(shè)關(guān)于的函數(shù)為，，，分析出為票價(jià)，為固定成本，根據(jù)圖（2）和圖（3）圖像的變化，即可分析出正確答案．【詳解】由圖（1）可設(shè)關(guān)于的函數(shù)為，，，為票價(jià)，當(dāng)時(shí)，，則為固定成本；由圖（2）知，直線向上平移，不變，即票價(jià)不變，變大，則變小，固定成本減小，故A錯(cuò)誤，B正確；由圖（3）知，直線與軸的交點(diǎn)不變，直線斜率變大，即變大，票價(jià)提高，不變，即不變，固定成本不變，故C正確，D錯(cuò)誤；故選：BC．【規(guī)律方法】1.解決函數(shù)應(yīng)用問題重點(diǎn)解決以下幾點(diǎn)：（1）閱讀理解、整理數(shù)據(jù)：通過分析快速弄清數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，數(shù)據(jù)的單位等等；（2）建立函數(shù)模型：關(guān)鍵是正確選擇自變量將問題表示為這個(gè)變量的函數(shù)，建立函數(shù)的模型的過程主要是抓住某些量之間的相等關(guān)系列出函數(shù)式，注意不要忘記函數(shù)的定義域；（3）求解函數(shù)模型：主要是研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的值域、最大(小)值；（4）回答實(shí)際問題結(jié)果：將函數(shù)問題的結(jié)論還原成實(shí)際問題，結(jié)果明確表述出來．2.在現(xiàn)實(shí)生活中，很多問題的兩變量之間的關(guān)系是一次函數(shù)模型，其增長特點(diǎn)是直線上升(自變量的系數(shù)大于0)或直線下降(自變量的系數(shù)小于0)．確定一次函數(shù)模型時(shí)，一般是借助兩個(gè)點(diǎn)來確定，常用待定系數(shù)法．3.往往以分段函數(shù)的形式考查函數(shù)的應(yīng)用問題，在構(gòu)造分段函數(shù)時(shí)，要力求準(zhǔn)確、簡(jiǎn)捷，做到分段合理，不漏不重．同時(shí)求分段函數(shù)的最值時(shí)，應(yīng)在每一段上分別求出各自的最值．然后比較哪一個(gè)最大(小)取哪一個(gè)．題型13：二次函數(shù)模型【典例26】（2023·全國·高一專題練習(xí)）某文具店購進(jìn)一批新型臺(tái)燈，若按每盞臺(tái)燈15元的價(jià)格銷售，每天能賣出30盞；若售價(jià)每提高1元，日銷售量將減少2盞，現(xiàn)決定提價(jià)銷售，為了使這批臺(tái)燈每天獲得400元以上(不含400元)的銷售收入．則這批臺(tái)燈的銷售單價(jià)x(單位：元)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題可根據(jù)題意得出，然后通過計(jì)算以及即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)這批臺(tái)燈的銷售單價(jià)為x元，由題意得，，即，解得，又因?yàn)?，所以，這批臺(tái)燈的銷售單價(jià)的取值范圍是.故選：C【典例27】（2023·全國·高一專題練習(xí)）某小型服裝廠生產(chǎn)一種風(fēng)衣，日銷貨量件（單位：件）（∈N*）與貨價(jià)p（單位：元/件）之間的關(guān)系為p＝160－2，生產(chǎn)x件所需成本C＝100＋30（單位：元），當(dāng)工廠日獲利不少于1000元時(shí)，該廠日產(chǎn)量最少生產(chǎn)風(fēng)衣的件數(shù)是【答案】10【分析】由題意，設(shè)該廠月獲利為元，獲利=總收入成本，即，求解二次不等式即可.【詳解】由題意，設(shè)該廠月獲利為元，則：，當(dāng)工廠日獲利不少于1000元時(shí)，即，即，解得：.故該廠日產(chǎn)量最少生產(chǎn)風(fēng)衣的件數(shù)是10.故答案為：10【溫馨提示】二次函數(shù)的最值一般利用配方法與函數(shù)的單調(diào)性解決，但一定要密切注意實(shí)際問題中函數(shù)的定義域，否則極易出錯(cuò)．題型14：分式函數(shù)模型【典例28】【多選題】（2023·全國·高一專題練習(xí)）幾名大學(xué)生創(chuàng)業(yè)時(shí)經(jīng)過調(diào)研選擇了一種技術(shù)產(chǎn)品，生產(chǎn)此產(chǎn)品獲得的月利潤（單位：萬元）與每月投入的研發(fā)經(jīng)費(fèi)（單位：萬元）有關(guān).已知每月投入的研發(fā)經(jīng)費(fèi)不高于16萬元，且，利潤率.現(xiàn)在已投入研發(fā)經(jīng)費(fèi)9萬元，則下列判斷正確的是（

）A．此時(shí)獲得最大利潤率 B．再投入6萬元研發(fā)經(jīng)費(fèi)才能獲得最大利潤C(jī)．再投入1萬元研發(fā)經(jīng)費(fèi)可獲得最大利潤率 D．再投入1萬元研發(fā)經(jīng)費(fèi)才能獲得最大利潤【答案】BC【分析】結(jié)合題目中所給條件及自變量的實(shí)際意義，利用二次函數(shù)以及基本不等式進(jìn)行求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，獲得最大利潤，為，故B正確，D錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)研發(fā)利潤率取得最大值2，故C正確，A錯(cuò)誤.故選：BC.【典例29】（2023·全國·高一專題練習(xí)）某廠家擬對(duì)A產(chǎn)品做促銷活動(dòng)，對(duì)A產(chǎn)品的銷售數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)，A產(chǎn)品的月銷售量t（單位：萬件）與月促銷費(fèi)用x（單位：萬元）滿足關(guān)系式（k為常數(shù)，），如果不搞促銷活動(dòng)，則該產(chǎn)品的月銷量是1萬件．已知生產(chǎn)該產(chǎn)品每月固定投入為7萬元，每生產(chǎn)一萬件該產(chǎn)品需要再投入4萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)定為元，設(shè)該產(chǎn)品的月利潤為y萬元，（注：利潤=銷售收入生產(chǎn)投入促銷費(fèi)用）(1)將y表示為x的函數(shù)；(2)月促銷費(fèi)用為多少萬元時(shí)，該產(chǎn)品的月利潤最大？最大利潤為多少？【答案】(1)，(2)月促銷費(fèi)用為2萬元時(shí)，A產(chǎn)品的月利潤最大，最大利潤為7萬元．【分析】（1）根據(jù)已知條件，解出k，進(jìn)而由題意得到函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)函數(shù)形式知，要求函數(shù)的最大值，可以用基本不等式來求解.【詳解】（1）由題知，當(dāng)時(shí)，，代入得．．將代入得．所以，所求函數(shù)為．（2）由（1）知，．因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．所以．故月促銷費(fèi)用為2萬元時(shí)，A產(chǎn)品的月利潤最大，最大利潤為7萬元．【規(guī)律方法】分式函數(shù)模型的應(yīng)用技巧（1）利用“配湊法”，創(chuàng)造應(yīng)用基本不等式的條件.注意“一正、二定、三相等”.（2）應(yīng)用“對(duì)勾函數(shù)”的單調(diào)性.題型15：冪函數(shù)模型【典例30】（2023·全國·高三對(duì)口高考）有甲、乙兩種商品，經(jīng)營這兩種商品所能獲得的利潤分別記為p（萬元）和q（萬元），它們與投入的資金M（萬元）的關(guān)系近似滿足下列公式：，現(xiàn)有萬元資金投入經(jīng)營這兩種商品，為獲得最大的利潤，應(yīng)對(duì)這兩種商品分別投入資金多少萬元？獲得的最大利潤是多少萬元？【答案】當(dāng)時(shí)，應(yīng)對(duì)乙種商品投資萬元，對(duì)甲商品投資萬元，可獲得最大利潤為萬元；當(dāng)時(shí)，應(yīng)對(duì)乙種商品投資萬元，對(duì)甲商品投資萬元，可獲得最大利潤為萬元.【分析】設(shè)對(duì)乙種商品投資萬元，則對(duì)甲商品投資萬元，總利潤為萬元，那么，代入可得關(guān)于的解析式，利用換元法得到二次函數(shù)，再由二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得的最大值和對(duì)應(yīng)的，即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)對(duì)乙種商品投資萬元，則對(duì)甲商品投資萬元，總利潤為萬元，依題意得，，設(shè)，則，所以，因，所以當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)，即；當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)，即.所以當(dāng)時(shí)，應(yīng)對(duì)乙種商品投資萬元，對(duì)甲商品投資萬元，可獲得最大利潤為萬元；當(dāng)時(shí)，應(yīng)對(duì)乙種商品投資萬元，對(duì)甲商品投資萬元，可獲得最大利潤為萬元.【典例31】（2023·全國·高一專題練習(xí)）黨的十九大報(bào)告明確要求繼續(xù)深化國有企業(yè)改革，培育具有全球競(jìng)爭(zhēng)力的世界一流企業(yè).某企業(yè)抓住機(jī)遇推進(jìn)生產(chǎn)改革，從單一產(chǎn)品轉(zhuǎn)為生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與市場(chǎng)預(yù)測(cè)，A產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關(guān)系如圖①；B產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖②（注：所示圖中的橫坐標(biāo)表示投資金額，單位為萬元）.(1)分別求出A、B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關(guān)系式；(2)該企業(yè)已籌集到10萬元資金，并全部投入A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問：怎樣分配這10萬元資金，才能使企業(yè)獲得最大利潤，最大利潤是多少？【答案】(1)，(2)A產(chǎn)品投入6萬元，B產(chǎn)品投入4萬元，才能使企業(yè)獲得最大利潤，最大利潤是7萬元【分析】（1）由題設(shè)，，根據(jù)圖象上數(shù)據(jù)得解；（2）列出企業(yè)利潤的函數(shù)解析式換元法求得函數(shù)最值得解.【詳解】（1）設(shè)投資為萬元，A產(chǎn)品的利潤為萬元，B產(chǎn)品的利潤為萬元由題設(shè)，，由圖知，故，又，所以．從而，．（2）設(shè)A產(chǎn)品投入萬元，則B產(chǎn)品投入萬元，設(shè)企業(yè)利潤為萬元?jiǎng)t，令，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí).故A產(chǎn)品投入6萬元，B產(chǎn)品投入4萬元，才能使企業(yè)獲得最大利潤，最大利潤是7萬元.【總結(jié)提升】涉及冪函數(shù)型應(yīng)用問題，往往利用冪函數(shù)性質(zhì)或應(yīng)用“換元法”一、選擇題：1．（2022·上?！じ呖颊骖}）下列冪函數(shù)中，定義域?yàn)榈氖牵?/p>

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】直接根據(jù)冪函數(shù)的定義域可直接判斷，偶次根式被開方式必須大于等于0才有意義，分式則必須分母不為0【詳解】對(duì)選項(xiàng)，則有：對(duì)選項(xiàng)，則有：對(duì)選項(xiàng)，定義域?yàn)椋簩?duì)選項(xiàng)，則有：故答案選：2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則該冪函數(shù)的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】設(shè)冪函數(shù)為，然后將坐標(biāo)代入可求出函數(shù)解析式，從而可得函數(shù)圖象.【詳解】設(shè)冪函數(shù)為，則，，得，得，所以，定義域?yàn)椋耘懦鼳D，因?yàn)椋院瘮?shù)為偶函數(shù)，所以排除B，故選：C3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用冪函數(shù)的單調(diào)性和值域，比較算式的大小.【詳解】冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，值域?yàn)?，由，則，又，所以.故選：D二、多項(xiàng)選擇題：4．（2023春·四川德陽·高一什邡中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A． B．C．函數(shù)的定義域?yàn)?D．函數(shù)的值域?yàn)椤敬鸢浮緽D【分析】根據(jù)冪函數(shù)解析式求出,得出解析式,再分別求出定義域值域判斷即可.【詳解】因?yàn)槭莾绾瘮?shù),所以,解得,故B正確;所以,又因的圖像經(jīng)過點(diǎn),所以,所以,解得,故A錯(cuò)誤;因?yàn)?則其定義域,值域均為,故C錯(cuò)誤,D正確.故選:BD.5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）關(guān)于冪函數(shù)是常數(shù)），結(jié)論正確的是（

）A．冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過原點(diǎn)B．冪函數(shù)圖象都經(jīng)過點(diǎn)C．冪函數(shù)圖象有可能關(guān)于軸對(duì)稱D．冪函數(shù)圖象不可能經(jīng)過第四象限【答案】BCD【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷.【詳解】對(duì)于A：冪函數(shù)不經(jīng)過原點(diǎn)，A錯(cuò)誤對(duì)于B：對(duì)于冪函數(shù)是常數(shù)），當(dāng)時(shí)，，經(jīng)過點(diǎn)，B正確；對(duì)于C：冪函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，C正確；對(duì)于D：冪函數(shù)圖象不可能經(jīng)過第四象限，D正確.故選：BCD.三、填空題：6.（2020·江蘇·統(tǒng)考高考真題）已知y=f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，，則f(8)的值是.【答案】【分析】先求，再根據(jù)奇函數(shù)求【詳解】，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以故答案為：7．（2022春·浙江溫州·高二?？紝W(xué)業(yè)考試）已知冪函數(shù)是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，的值可以是.（寫一個(gè)即可）【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)確定出值作答.【詳解】由偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，得在上單調(diào)遞減，而是冪函數(shù)，則，取，符合題意.故答案為：8．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)，若，則a的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)題意得到冪函數(shù)的定義域和單調(diào)性，得到不等式的等價(jià)不等式組，即可求解.【詳解】由冪函數(shù)，可得函數(shù)的定義域?yàn)?，且是遞減函數(shù)，因?yàn)?，可得，解得，即?shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：四、解答題：9．（2023·全國·高一課堂例題）比較和在上增長的快慢．【答案】答案見解析【分析】畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，求得