【狀元橋】2017年高考數(shù)學(xué)(理)一輪總復(fù)習(xí)課件選修4-5不等式選講

選修4-5不等式選講4－5.1含有絕對值的不等式最新考綱1.理解絕對值三角不等式的代數(shù)證明和幾何意義，能利用絕對值三角不等式證明一些簡單的絕對值不等式．

2．掌握|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法．1．絕對值三角不等式定理1如果a，b是實數(shù)，那么|a＋b|≤________，當(dāng)且僅當(dāng)________時，等號成立．定理2如果a，b，c是實數(shù)，那么____________________，當(dāng)且僅當(dāng)____________時，等號成立．【思考探究】絕對值三角不等式的向量形式及幾何意義是什么？|a|＋|b|ab≥0

|a－c|≤|a－b|＋|b－c|

(a－b)(b－c)≥0提示：當(dāng)a，b不共線時，|a＋b|<|a|＋|b|，它的幾何意義就是三角形的兩邊之和大于第三邊．－c≤ax＋b≤c

ax＋b≥c或ax＋b≤－c探究點一絕對值三角不等式定理α、β是實數(shù)，給出以下四個論斷：①|(zhì)α＋β|＝|α|＋|β|；②|α－β|≤|α＋β|；③|α|>2，|β|>2；④|α＋β|>3.以其中的兩個論斷為條件，其余兩個論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個命題：________________.解析：①|(zhì)α＋β|＝|α|＋|β|那么α與β同號或至少有一個為0，故②成立；再由③得|α＋β|＝|α|＋|β|>4>3，故④成立．∴①③?②④答案：①③?②④總結(jié)反思：(1)該定理可以強化為：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它經(jīng)常用于證明含絕對值的不等式．(2)當(dāng)ab≥0時，|a＋b|＝|a|＋|b|；當(dāng)ab≤0時，|a－b|＝|a|＋|b|，這兩個結(jié)論在解題時經(jīng)常用到，應(yīng)熟練掌握．探究點二絕對值不等式的解法設(shè)函數(shù)f(x)＝|x－1|＋|x－a|.(1)假設(shè)a＝－1，解不等式f(x)≥3；(2)如果?x∈R，f(x)≥2，求a的取值范圍．總結(jié)反思：解|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式，其一般步驟如下．(1)令每個絕對值符號里面的因式等于零，求出相應(yīng)的零點；(2)把上述零點由小到大排序，它們把實數(shù)軸分為假設(shè)干個區(qū)間；(3)在所分區(qū)間上，根據(jù)絕對值的定義去掉絕對值符號，組成假設(shè)干個不等式，解這些不等式，求出相應(yīng)的解集；(4)這些不等式解集的并集就是原不等式的解集．探究點三絕對值不等式的證明總結(jié)反思：含絕對值不等式的證明題主要分兩類，一類是比較簡單的不等式，往往可通過公式法、平方法、換元法等去掉絕對值轉(zhuǎn)化為常見的不等式證明題，或利用絕對值三角不等式性質(zhì)定理||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通過適當(dāng)?shù)奶?、拆項證明；另一類是綜合性較強的函數(shù)型含絕對值的不等式，往往可考慮利用一般情況成立那么特殊情況也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法來證明．【變式訓(xùn)練】3.設(shè)f(x)＝x2－x＋43，實數(shù)a滿足|x－a|<1，求證：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．證明：|f(x)－f(a)|＝|x2－x＋43－a2＋a－43|＝|(x－a)(x＋a－1)|＝|x－a|·|x＋a－1|.∵|x－a|<1，∴|x|－|a|≤|x－a|<1.∴|x|<|a|＋1.∴|f(x)－f(a)|＝|x－a|·|x＋a－1|≤|x＋a－1|≤|x|＋|a|＋1<2(|a|＋1)．1．熟練掌握絕對值不等式的根本解法．2．充分利用絕對值的幾何意義處理絕對值不等式，更直觀、簡捷．3．注意絕對值三角不等式的運用.絕對值不等式的應(yīng)用思維提升：研究含有絕對值的函數(shù)問題時，根據(jù)絕對值的定義，分類討論去掉絕對值符號，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，然后數(shù)形結(jié)合解決是常用的思維方法．對于求y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x－a|－|x－b|型的最值問題利用絕對值三角不等式更方便．形如y＝|x－a|＋|x－b|的函數(shù)只有最小值，形如y＝|x－a|－|x－b|的函數(shù)既有最大值又有最小值．【跟蹤體驗】(2015·唐山市第一次模擬)函數(shù)f(x)＝|2x－a|＋a，a∈R，g(x)＝|2x－1|.假設(shè)當(dāng)x∈R時，恒有f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范圍．解析：f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋|2x－1|＋a≥|2x－a－2x＋1|＋a＝|a－1|＋a，當(dāng)且僅當(dāng)(2x－a)(2x－1)≤0時等號成立．解不等式|a－1|＋a≥3，得a的取值范圍是[2，＋∞)．[友情提示]每道習(xí)題都是一個高考點，每項訓(xùn)練都是對能力的檢驗，認(rèn)真對待它們吧！進(jìn)入“課時達(dá)標(biāo)4－5.1”，去收獲希望，體驗成功！本欄目內(nèi)容以活頁形式分冊裝訂！課時作業(yè)4-5.14－5.2幾個重要不等式的證明及其應(yīng)用最新考綱了解證明不等式的根本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法，并能用它們證明一些簡單不等式．a(chǎn)－b>0

只要

充分條件

相反

放大或縮小探究點一用根本不等式求最值總結(jié)反思：利用根本不等式求最值，實質(zhì)上就是利用根本不等式進(jìn)行放縮，在放縮過程中要注意兩點，一是要注意“放”或“縮”的結(jié)果是否為常數(shù)，二是要注意“放”或“縮”的過程中等號成立的條件是否滿足．探究點二不等式證明總結(jié)反思：(1)比較法：比較法是證明不等式的最根本、最重要方法之一，可分為差值比較(作差法)和商值(作商法)比較．(2)綜合法：從不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理、成立的不等式出發(fā)經(jīng)過邏輯推理，最后到達(dá)要證明的結(jié)論．(3)分析法：從待證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件，直至找到一個明顯成立的結(jié)論．分析法要注意表達(dá)的形式:“要證A，只需證B”，這里B是A成立的充分條件．分析法和綜合法是兩種思路截然相反的證明方法，分析法便于尋找解題思路，綜合法便于表達(dá)，因而在解題中經(jīng)常結(jié)合使用．∴原不等式成立．1．證明不等式除了比較法、綜合法、分析法，還可運用反證法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法等．證明不等式時既可探索新的方法，也可一題多證開闊思路．2．運用柯西不等式的關(guān)鍵是巧妙地構(gòu)造兩組數(shù)，并向柯西不等式的形式進(jìn)行轉(zhuǎn)化.柯西不等式的應(yīng)用定義在R上的函