2023-2024學(xué)年人教A版必修第二冊 立體幾何初步章末綜合提升 學(xué)案

第8章立體幾何初步章末綜合類型1空間幾何體的表面積和體積1．主要考查空間幾何體的幾何體表面積、體積的計算以及外接球和內(nèi)切球問題；對于不規(guī)則幾何體常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等進(jìn)行求解．2．利用公式求解表面積、體積，提高數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．【例1】(1)(2022·山東泰安期末)已知三棱柱ABC-A1B1C1中，C1C⊥AC，A1A⊥BC，平面A1BC⊥平面AA1B，AC＝5，若該三棱柱存在體積為43π的內(nèi)切球，則三棱錐A-A1BCA．23B．4(2)如圖所示(單位：cm)，求圖中陰影部分繞AB旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的表面積和體積．[嘗試解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________類型2空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系1．空間中線面位置關(guān)系的證明主要包括線線、線面及面面的平行與垂直關(guān)系，平行、垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化如圖所示．2．通過線線、線面、面面平行、垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，提升直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)．【例2】(1)(多選)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點(diǎn)，其中正確的是()A．直線AM與C1C是相交直線B．直線AM與BN的平行直線C．直線BN與MB1是異面直線D．直線MN與AC所成的角為60°(2)如圖，三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AA1＝12，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．求證：①AC⊥B1C；②AC1∥平面CDB1.[嘗試解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________類型3空間角的計算1．空間角包括異面直線所成的角、線面角及二面角，主要考查空間角的定義及求法，求角時要先找角，再證角，最后在三角形中求角．2．通過找角、證角、求角，提升邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．【例3】如圖，正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為1，B′C∩BC′＝O，求：(1)AO與A′C′所成的角的大?。?2)AO與平面ABCD所成的角的正切值；(3)二面角B-AO-C的大小．[嘗試解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________類型4空間距離的計算1．我們已學(xué)習(xí)過的空間距離的計算主要包括點(diǎn)到平面的距離、直線到平面的距離和平面到平面的距離，其中點(diǎn)到平面的距離的計算是這三種距離的核心，通常借助幾何體的等體積法求解.2．通過三種距離間的轉(zhuǎn)化，提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．【例4】如圖1，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠BAD＝90°，AB＝5，AD＝2，DC＝3，點(diǎn)E在CD上，且DE＝2，將△ADE沿AE折起，使得平面ADE⊥平面ABCE(如圖2)．(1)求點(diǎn)B到平面ADE的距離；(2)在線段BD上是否存在點(diǎn)P，使得CP∥平面ADE？若存在，求三棱錐P-ABC的體積；若不存在，請說明理由．[嘗試解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________章末綜合提升例1(1)D[如圖所示，因?yàn)镃1C⊥AC，A1A⊥BC?C1C⊥BC，AC∩BC＝C，所以CC1⊥平面ABC，又因?yàn)槠矫鍭1BC⊥平面AA1B，平面A1BC∩平面AA1B＝A1B，過點(diǎn)A作AE⊥A1B，則AE⊥平面A1BC，則AE⊥BC.又因?yàn)锽C⊥BB1，所以BC⊥平面AA1B，AB?平面ABB1A1，所以AB⊥BC.設(shè)AB＝c，AC＝b，BC＝a，則b2＝a2＋c2，又因?yàn)槿庵鶅?nèi)切球的體積為43π，則43π＝43πR3又R＝c+a-b2，即c＋a－b解得ac＝12，棱柱的高等于內(nèi)切球直徑2，所以VA-A1BC故三棱錐A-A1BC的體積為4.故選D.](2)解：由題意知，所求幾何體的表面積由三部分組成：圓臺下底面、側(cè)面和一半球面，S半球＝8πcm2，S圓臺側(cè)＝35πcm2，S圓臺底＝25πcm2，故所求幾何體的表面積為68πcm2.由V圓臺＝13×[π×22＋π×22×π×52＋π×52]×4＝52π(cm3)，V半球＝4所以所求幾何體的體積為V圓臺－V半球＝52π－163π＝1403π(cm例2(1)CD[結(jié)合題圖，顯然直線AM與C1C是異面直線，直線AM與BN是異面直線，直線BN與MB1是異面直線．連接D1C，AD1(圖略)，直線MN與AC所成的角即直線D1C與AC所成的角，在等邊三角形AD1C中，易知∠ACD1＝60°，所以直線MN與AC所成的角為60°，故選CD.](2)證明：①∵C1C⊥平面ABC，∴C1C⊥AC.∵AC＝9，BC＝12，AB＝15，∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC.又BC∩C1C＝C，∴AC⊥平面BCC1B1，而B1C?平面BCC1B1，∴AC⊥B1C.②連接BC1交B1C于點(diǎn)O，連接OD.如圖，∵O，D分別為BC1，AB的中點(diǎn)，∴OD∥AC1.又OD?平面CDB1，AC1?平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1.例3解：(1)∵A′C′∥AC，∴AO與A′C′所成的角就是∠OAC(或其補(bǔ)角)．∵AB⊥平面BC′，OC?平面BC′，∴OC⊥AB，又OC⊥BO，AB∩BO＝B，AB，BO?平面ABO，∴OC⊥平面ABO.又OA?平面ABO，∴OC⊥OA.在Rt△AOC中，OC＝22，AC＝2∴sin∠OAC＝OCAC＝12，∴∠即AO與A′C′所成的角為30°.(2)如圖，作OE⊥BC于點(diǎn)E，連接AE.∵平面BC′⊥平面ABCD，平面BC′∩平面ABCD＝BC，OE?平面BC′，∴OE⊥平面ABCD，∴∠OAE為AO與平面ABCD所成的角．在Rt△OAE中，OE＝12，AE＝12+∴tan∠OAE＝OEAE＝5即AO與平面ABCD所成的角的正切值為55(3)由(1)可知OC⊥平面AOB.又∵OC?平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC.即二面角B-AO-C的大小為90°.例4解：(1)取AE中點(diǎn)G，連接DG，因?yàn)锳D＝DE＝2，所以DG⊥AE.因?yàn)槠矫鍭DE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE＝AE，DG?平面ADE，所以DG⊥平面ABCE.在直角三角形ADE中，因?yàn)锳D＝DE＝2，∴AE＝22，所以DG＝12AE＝2.又S△ABE＝5，S△ADEVD-ABE＝VB-ADE＝13S△ABE·DG＝13S△ADE·d