【新教材】3. 2 .1 單調(diào)性與最大（?。┲?（人教A版）

【新教材】3.2.1單調(diào)性與最大（小）值（人教

A版）

教材分析

《函數(shù)的單調(diào)性與最大（?。┲怠肥歉咧袛?shù)學(xué)新教材第一冊(cè)第三章第2節(jié)的內(nèi)容。在此之前，

學(xué)生已學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念、定義域、值域及表示法，這為過(guò)渡到本節(jié)的學(xué)習(xí)起著鋪墊作用。學(xué)生在

初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象，在此基礎(chǔ)上學(xué)生對(duì)增減性有一個(gè)初步的

感性認(rèn)識(shí)，所以本節(jié)課是學(xué)生數(shù)學(xué)思想的一次重要提高。函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)概念的延續(xù)和拓展，又

是后續(xù)研究指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等內(nèi)容的基礎(chǔ)，對(duì)進(jìn)一步研究閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)最大值和最小值

的求法和實(shí)際應(yīng)用，對(duì)解決各種數(shù)學(xué)問(wèn)題有著廣泛作用。

教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)

課程目標(biāo)

1、理解增函數(shù)、減函數(shù)的概念及函數(shù)單調(diào)性的定義；

2、會(huì)根據(jù)單調(diào)定義證明函數(shù)單調(diào)性；

3、理解函數(shù)的最大（小）值及其幾何意義；

4、學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì).

數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)

1.數(shù)學(xué)抽象：用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示函數(shù)單調(diào)性和最值；

2.邏輯推理：證明函數(shù)單調(diào)性；

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：運(yùn)用單調(diào)性解決不等式；

4.數(shù)據(jù)分析：利用圖像求單調(diào)區(qū)間和最值；

5.數(shù)學(xué)建模：在具體問(wèn)題情境中運(yùn)用單調(diào)性和最值解決實(shí)際問(wèn)題。

教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：1、函數(shù)單調(diào)性的定義及單調(diào)性判斷和證明;

2、利用函數(shù)單調(diào)性或圖像求最值.

難點(diǎn)：根據(jù)定義證明函數(shù)單調(diào)性.

課前準(zhǔn)備

教學(xué)方法：以學(xué)生為主體，采用誘思探究式教學(xué)，精講多練。

教學(xué)工具：多媒體。

教學(xué)過(guò)程

一、情景導(dǎo)入

觀察下列各個(gè)函數(shù)的圖象，并探討下列變化規(guī)律:

①隨X的增大，y的值有什么變化？

②能否看出函數(shù)的最大、最小值？

要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察.研探.

二、預(yù)習(xí)課本，引入新課

閱讀課本76-80頁(yè)，思考并完成以下問(wèn)題

1.增函數(shù)、減函數(shù)的概念是什么？

2.如何表示函數(shù)的單調(diào)區(qū)間？

3.函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間有什么關(guān)系？

4.函數(shù)最大（小）值的定義是什么？

5.從函數(shù)的圖象可以看出函數(shù)最值的幾何意義是什么？

要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問(wèn)題。

三、新知探究

1.增函數(shù)、減函數(shù)定義

增函數(shù)減函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)7U）的定義域?yàn)?：如果對(duì)于定義域/內(nèi)某個(gè)區(qū)間

D上的任意兩個(gè)自變量的值XI,必,當(dāng)可＜X2時(shí)，都有

XX1）＜/（X2）危1）乎＞2）

義

那么就說(shuō)函數(shù)7U）在區(qū)間。上那么就說(shuō)函數(shù)1X）在區(qū)間。

是增函數(shù)上是減函數(shù)

圖

象

函數(shù)大幻在區(qū)間。上的圖象是函數(shù)7U）在區(qū)間。上的圖象

特

上升的是下降的

征

-

2、單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)

單調(diào)性,區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.

［點(diǎn)睛］一個(gè)函數(shù)出現(xiàn)兩個(gè)或者兩個(gè)以上的單調(diào)區(qū)間時(shí)，不能用“U”連接，而應(yīng)該用“，”連接.如

函數(shù)y=,在(-8,0),(0,+8)上單調(diào)遞減，卻不能表述為：函數(shù)y=」在(-8,0)u(0,+

XX

8)上單調(diào)遞減.

3、函數(shù)的最大(小)值

最大值最小值

一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)M滿足:

對(duì)于任意的xei,都有

條件f(x)<Mf(x)>M

存在x°Gl,使得f(尤0)="

稱M是函數(shù)y=f(x)的最大

結(jié)論稱M是函數(shù)y=f(x)的最小值

值

幾何f(x)圖象上最直點(diǎn)的縱坐

f(x)圖象上最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)

意義標(biāo)

四、典例分析、舉一反三

題型一利用圖象確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

例1求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并指出其在單調(diào)區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù):

⑴=y3x-2;(2)y=?

【答案】見(jiàn)解析

【解析】(D函數(shù)y=3x-2的單調(diào)區(qū)間為R,其在R上是增函數(shù).

(2)函數(shù)y=--的單調(diào)區(qū)間為(-8,0),(0,+8),其在(-8,0)及(0,+8)上均為增函數(shù).

x

解題技巧：(利用圖象確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間)

1.函數(shù)單調(diào)性的幾何意義:在單調(diào)區(qū)間上，若函數(shù)的圖象“上升”，則函數(shù)為增區(qū)間;若函數(shù)的圖象”下

降”，則函數(shù)為減區(qū)間.因此借助于函數(shù)圖象來(lái)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是直觀且有效的一種方法.除這種方

法外,求單調(diào)區(qū)間時(shí)還可以使用定義法，也就是由增函數(shù)、減函數(shù)的定義求單調(diào)區(qū)間.求出單調(diào)區(qū)間后,

若單調(diào)區(qū)間不唯一，中間可用“，”隔開(kāi).

2.一次、二次函數(shù)及反比例函數(shù)的單調(diào)性：

(1)一次函數(shù)y=kx+b(kW0)的單調(diào)性由系數(shù)k決定：當(dāng)k>0時(shí)，該函數(shù)在R上是增函數(shù)；當(dāng)k<0時(shí),該

函數(shù)在R上是減函數(shù).

b

(2)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aW0)的單調(diào)性以對(duì)稱軸x=--為分界線.

2a

a的符號(hào)單調(diào)性

a<0在(如J上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)

在(-8,-勿上是減函數(shù)，在j上是增函數(shù)

a>0

⑶反比例函數(shù)(嚀0)的單調(diào)性如下表所示.

%的符號(hào)單調(diào)性

人>0在(-00,0),(0,+8)上是減函數(shù)

k<0在(-8,0),(0,+00)上是增函數(shù)

跟蹤訓(xùn)練一

1.已知xSR,函數(shù)f(x)=x|x-2],試畫(huà)出y=f(x)的圖象,并結(jié)合圖象寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

【答案】單調(diào)增區(qū)間為(-8,1],[2,+8)；單調(diào)減區(qū)間為[1,2]

【解析】f(x)=x|x-2|=吃二2產(chǎn)氣，圖象如下圖所示.

由圖象可知，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(-8,1],[2,+8)；單調(diào)減區(qū)間為[1,2].

題型二利用函數(shù)的圖象求函數(shù)的最值

例2已知函數(shù)y=-|x-l|+2,畫(huà)出函數(shù)的圖象，確定函數(shù)的最值情況,并寫(xiě)出值域.

【答案】最大值為2,沒(méi)有最小值.所以其值域?yàn)?-8,2]

【解析】y=-|x-l|+2=￡函數(shù)圖象如圖所示

IX十X<X)

由圖象知，函數(shù)y=-x-11+2的最大值為2,沒(méi)有最小值.所以其值域?yàn)?-8,2]

解題技巧：(用圖象法求最值的3個(gè)步驟)

跟蹤訓(xùn)練二

1.已知函數(shù)f(x)傘

lx,1<x<2.

(1)畫(huà)出f(x)的圖象;

(2)利用圖象寫(xiě)出該函數(shù)的最大值和最小值.

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)最小值為f(1)=1,無(wú)最大值

【解析】(1)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示.

(2)由圖象可知f(x)的最小值為f(1)=1,無(wú)最大值.

題型三證明函數(shù)的單調(diào)性

例3求證：函數(shù)f(x)=x+，在區(qū)間(0,1)內(nèi)為減函數(shù).

X

【答案】見(jiàn)解析

【解析】證明：設(shè)X),X2是區(qū)間(0,1)內(nèi)的任意兩個(gè)實(shí)數(shù),且X1<X2,

則f(Xi)-f(X2)=(X1+2)-(X2+

二(X1-X2)+X2"X1~(X1-X2)(1-^―)

X1X2\X】X2，

_(X1X2)(X1X21)

X1X2,

_

V0<xi<X2<l,.*.xix2>0,xiX2l<0,xi-X2<0,Af(xi)-f(X2)>0,BPf(xi)>f(X2).

故函數(shù)f(x)=x+L在區(qū)間(0,1)內(nèi)為減函數(shù).

X

解題技巧：(利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的4個(gè)步驟)

特別提醒作差變形的常用技巧：

⑴因式分解.當(dāng)原函數(shù)是多項(xiàng)式函數(shù)時(shí)，作差后的變形通常進(jìn)行因式分解.如

f(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1).

(2)通分.當(dāng)原函數(shù)是分式函數(shù)時(shí)，作差后往往進(jìn)行通分,然后對(duì)分子進(jìn)行因式分解.如本例.

(3)配方.當(dāng)所得的差式是含有xl,x2的二次三項(xiàng)式時(shí),可以考慮配方,便于判斷符號(hào).

(4)分子有理化.當(dāng)原函數(shù)是根式函數(shù)時(shí)，作差后往往考慮分子有理化.

跟蹤訓(xùn)練三

1.求證：函數(shù)f(x)=4在(0,+8)上是減函數(shù)，在(一8,0)上是增函數(shù).

X

【答案】見(jiàn)解析

【解析】對(duì)于任意的Xi,X2G(―OO,0),且X《X2,有f(xi)

“11X2—xfX2—X1x2+xi

Vxi<X2<0,

x2—xi>0,xi+x2<0,xiX2>0.

Af(xi)—f(x2)<0,即f(xi)<f(x2).

??.函數(shù)f?)=±在(一8,0)上是增函數(shù).

x

對(duì)于任意的Xi,X2e(0,+8),且X］〈X2,有

V0<Xi<X2,/.X2-xi>0,X2+xi>0,xbd>0.

Af(xi)-f(x2)>0,即f(xi)>f(x2).

.??函數(shù)f(x)=±在(0,+8)上是減函數(shù).

X

題型四利用函數(shù)的單調(diào)性求最值

例4已知函數(shù)f(x)=x+：

(1)判斷判x)在區(qū)間［1,2］上的單調(diào)性;

(2)根據(jù)根x)的單調(diào)性求出求x)在區(qū)間［1,2］上的最值.

【答案】見(jiàn)解析

【解析】(D設(shè)科*2是區(qū)間［1,2］上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù),且X、〈X2,

44

則火%1)<%2)=工1-%2+T--

=(即上)(1-士)=/遙咬四.

/?X\-X2<0.當(dāng)1WX1<￥2W2時(shí)，X］蒞X),1<￥］怒<4,

即才|也~4<0.

.：〃用))〃蒞)，即f(x)在區(qū)間［1,2］上是減函數(shù).

(2)由(1)知f(x)的最小值為f(2),f(2)=2+N；f(x)的最大值為f(l).

：T(1)=1%刃，.：f(x)的最小值為4,最大值為5.

解題方法(單調(diào)性與最值的關(guān)系)

1.利用單調(diào)性求函數(shù)最值的一般步驟：

(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)利用單調(diào)性寫(xiě)出最值.

2.函數(shù)的最值與單調(diào)性的關(guān)系：

(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上是增(減)函數(shù),則f(x)在區(qū)間［a,b］上的最小(大)值是f(a),最大(小)

值是f(b).

(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上是增(減)函數(shù),在區(qū)間(b,c］上是減(增)函數(shù)，則f(x)在區(qū)間［a,c］上

的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)與f(c)中較小(大)的一個(gè).

(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，則函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上一定有最

值.

(4)求最值時(shí)一定要注意所給區(qū)間的開(kāi)閉,若是開(kāi)區(qū)間，則不一定有最大(小)值.

跟蹤訓(xùn)練四

L已知函數(shù)f(x)=^(xe［2,6］，)求函數(shù)的最大值和最小值?

【答案】見(jiàn)解析

【解析】設(shè)XI,X2是區(qū)間［2,6］上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且X,<X2,則f(x)—f(X2)=『一『=

X1-1X2—1

2［X2-1—Xi-11_____2X2-Xi______

X1-1X2-1X1-1X2-1?

由2WXI〈X2W6,得X2—XI>0,(xi—1)(x2—1)>0,于是f(x)—f3)>0,即f(x)>f3).所

2

以函數(shù)f(x)=—是區(qū)間⑵6］上的減函數(shù).

X—1

2

因此，函數(shù)f(x)=—?在區(qū)間⑵6］的兩個(gè)端點(diǎn)處分別取得最大值與最小值，即在x=2時(shí)取得最大

值，最大值是2,在x=6時(shí)取得最小值，最小值是0.4.

題型五函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

例5已知函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+8)上是減函數(shù),試比較f(a2-a+l)與fj的大小.

【答案】f(|)^f(a2-a+l).

【解析】:a'-a+l=(a—0+|

,?［與a2-a+l都是區(qū)間(0,+8)上的值.

(X)在區(qū)間(0,+8)上是減函數(shù)，

.?.fQ)^f(a-a+l).

解題方法(抽象函數(shù)單調(diào)性求參)

1.利用函數(shù)的單調(diào)性可以比較函數(shù)值或自變量的大小.在利用函數(shù)的單調(diào)性解決比較函數(shù)值大小的

問(wèn)題時(shí)，要注意將對(duì)應(yīng)的自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上.

2.利用函數(shù)的單調(diào)性解函數(shù)值的不等式就是利用函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，去掉對(duì)應(yīng)關(guān)系“f”，

轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，此時(shí)一定要注意自變量的限制條件，以防出錯(cuò).

跟蹤訓(xùn)練五

1.已知g(x)是定義在［-2,2］上的增函數(shù),且g(t)>g(l-3t),求t的取值范圍.

【答案】t的取值范圍為

【解析】：g(x)是［-2,2］上的增函數(shù)，且g(t)>g(l-3t),

'-2WtW2,

-2<l-3tW2,

>1—3t,

?2WtW2,

{《Sts1.

.《〈twi....t的取值范圍為c，i］

題型六單調(diào)性最值的實(shí)際應(yīng)用

例6“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一.制造時(shí)一般是期望在它達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)爆裂.如果煙花距地面

的高度h(單位：巾)與時(shí)間t(單位：s)之間的關(guān)系為h(t)=-4.9t2+14.7t+18,那么煙花沖出后

什么時(shí)候是它爆裂的最佳時(shí)刻？這時(shí)距地面的高度是多少(精確到1m)?

【答案】t的取值范圍為&,1］.

【解析】畫(huà)出函數(shù)h(t)=-4.9/+i4.7t+18的圖象(圖3.2-4).顯然，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)就是煙花

上升的最高點(diǎn)，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是煙花爆裂的最佳時(shí)刻，縱坐標(biāo)就是這時(shí)距地面的高度。

圖3.2-4

由二次函數(shù)的知識(shí).對(duì)于函數(shù)人(/)=—4.9/2+14.7/+18,我們有：

147

當(dāng)，=_,乂Q、=L5時(shí)，函數(shù)有最大值

,4X(-4.9)X18-14.72”

h=4X(-4.9)比2火

于是?煙花沖出后1.5s是它爆裂的最佳時(shí)刻，這時(shí)距地面的高度約為29m.

解題方法(解函數(shù)應(yīng)用題的一般程序)

(1)審題.弄清題意,分清條件和結(jié)論,理順數(shù)量關(guān)系.

(2)建模.將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言,用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.

(3)求模.求解數(shù)學(xué)模型,得到數(shù)學(xué)結(jié)論.