專題16-復(fù)數(shù)的三角表示(解析版)

專題16復(fù)數(shù)的三角表示一、單選題1．下列各角不是復(fù)數(shù)的輻角的是A． B．C． D．【試題來源】人教A版（2019）必修第二冊逆襲之路第七章【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模和輻角的含義求出模及輻角主值，從而得出結(jié)論．【解析】因為，，，所以輻角主值，故可以作為復(fù)數(shù)的輻角的是，．所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；故選C．【名師點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)及其三角形式，計算出復(fù)數(shù)的模和輻角主值，是解答的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．2．復(fù)數(shù)的輻角主值是A． B．C． D．【試題來源】人教A版（2019）必修第二冊逆襲之路第七章【答案】D【分析】先求出復(fù)數(shù)的模，再根據(jù)輻角的含義求值．【解析】因為，，，所以輻角主值，故選D．【名師點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的三角形式，屬于基礎(chǔ)題．3．復(fù)數(shù)的輻角主值是A． B．C． D．【試題來源】人教A版（2019）必修第二冊突圍者第七章復(fù)數(shù)的三角表示式【答案】B【分析】根據(jù)輻角主值的定義，結(jié)合題目，即可求得．【解析】由輻角主值的定義，知復(fù)數(shù)的輻角主值是．故選B．【名師點睛】本題考查輻角主值的求解，屬基礎(chǔ)題．4．將復(fù)數(shù)化成代數(shù)形式，正確的是A．4 B．-4C． D．【試題來源】人教A版（2019）必修第二冊突圍者第七章復(fù)數(shù)的三角表示式【答案】D【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，化簡即可．【解析】，故選D．【名師點睛】本題考查復(fù)數(shù)的三角形式的化簡，只需計算對應(yīng)的三角函數(shù)值即可．5．A．1 B．-1C． D．【試題來源】人教A版（2019）必修第二冊突圍者第七章第三節(jié)【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法法則，進行整理化簡即可．【解析】，故選C．【名師點睛】本題考查復(fù)數(shù)的三角形式的乘法，屬基礎(chǔ)題．6．A． B．C． D．【試題來源】人教A版（2019）必修第二冊突圍者第七章第三節(jié)【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法法則，進行整理化簡即可．【解析】，故選D．【名師點睛】本題考查復(fù)數(shù)的三角形式的乘法，屬基礎(chǔ)題．7．A． B．C． D．【試題來源】人教A版（2019）必修第二冊突圍者第七章第三節(jié)【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)三角形式的除法法則，進行計算即可．【解析】，故選C．【名師點睛】本題考查三角形式的除法法則，屬基礎(chǔ)題．8．A． B．C． D．【試題來源】人教A版（2019）必修第二冊突圍者第七章第三節(jié)【答案】B【分析】先將2化為三角形式，再用除法法則計算即可．【解析】．故選B．【名師點睛】本題考查復(fù)數(shù)三角形式的除法法則，屬基礎(chǔ)題，注意本題中將實數(shù)轉(zhuǎn)化為三角形式的細節(jié)．9．已知復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為A． B．C． D．6【試題來源】2019屆山東師范大學(xué)附屬中學(xué)高考考前模擬（理）【答案】B【分析】設(shè)，，利用復(fù)數(shù)幾何意義計算．【解析】設(shè)，由已知，，所以點在單位圓上，而，表示點到的距離，故．故選B．【名師點睛】本題考查求復(fù)數(shù)模的最大值，其實本題可以利用不等式來解決．10．在復(fù)平面內(nèi)，為坐標(biāo)原點，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，將向量按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，則對應(yīng)的復(fù)數(shù)為A． B．C． D．【試題來源】西南名校聯(lián)盟2020屆333高考備考診斷性聯(lián)考卷（二）（文）【答案】A【分析】設(shè)，根據(jù)三角函數(shù)的定義可求得、的值，進而可得出復(fù)數(shù)的值．【解析】設(shè)，由題意知，，，所以，故選A．【名師點睛】本題考查復(fù)數(shù)的求解，考查了三角函數(shù)定義的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．11．歐拉公式把自然對數(shù)的底數(shù)，虛數(shù)單位，三角函數(shù)聯(lián)系在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美，被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”．若復(fù)數(shù)，則．A． B．1C． D．【試題來源】河南省鄭州市2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期末考試（文）【答案】C【分析】先利用歐拉公式求出，然后再求其?！窘馕觥坑深}意得，，所以，故選C.【名師點睛】此題考查了復(fù)數(shù)的三角形式及其運算，考查了復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題．12．復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）的三角形式為A． B．C． D．【試題來源】人教A版（2019）必修第二冊過關(guān)斬將第七章【答案】D【分析】復(fù)數(shù)的三角形式是，根據(jù)復(fù)數(shù)和誘導(dǎo)公式化簡，化為復(fù)數(shù)的三角形式，再結(jié)合故選擇．【解析】依題意得，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第四象限，且，因此，，結(jié)合選項知D正確，故選D．【名師點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)形式和三角形式的轉(zhuǎn)化，主要利用誘導(dǎo)公式化簡，注意兩種形式的標(biāo)準(zhǔn)形式，式子中各個位置的符號，以及三角函數(shù)值的符號．13．若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則為A． B．120°C．240° D．210°【試題來源】人教A版（2019）必修第二冊過關(guān)斬將第七章【答案】C【分析】由求出對應(yīng)值，即可求出答案．【解析】由，得復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在第三象限，且，所以．故選C．14．已知i為虛數(shù)單位，，，則A． B．C． D．【試題來源】人教B版高中數(shù)學(xué)必修第四冊【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)三角形式乘法運算法則計算即可．【解析】，．故選D．【名師點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)三角形式乘法運算法則，屬于基礎(chǔ)題．15．復(fù)數(shù)的三角形式是A． B．C． D．【試題來源】人教B版（2019）必修第四冊過關(guān)斬將第十章復(fù)數(shù)【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的三角形公式求解或利用定義直接求解即可．【解析】解法一：設(shè)復(fù)數(shù)的三角形式為，則，，可取，從而復(fù)數(shù)的三角形式為．解法二：，故選A【名師點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的三角形式，屬于基礎(chǔ)題．16．復(fù)數(shù)的輻角主值為A． B．C． D．【試題來源】人教B版（2019）必修第四冊過關(guān)斬將第十章復(fù)數(shù)【答案】D【分析】化簡利用誘導(dǎo)公式化成標(biāo)準(zhǔn)形式再判斷即可．【解析】，故復(fù)數(shù)z的輻角主值為．故選D【名師點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的輻角主值的辨析，屬于基礎(chǔ)題．17．A． B．C． D．【試題來源】人教B版（2019）必修第四冊過關(guān)斬將第十章復(fù)數(shù)【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的基本運算求解即可．【解析】原式=．故選C．18．復(fù)數(shù)是方程的一個根，那么的值等于A． B．C． D．【試題來源】人教B版（2019）必修第四冊過關(guān)斬將第十章復(fù)數(shù)【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的三角形式的運算求解即可．【解析】由題意得，，故選B.【名師點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的三角形式的運算，屬于基礎(chǔ)題．19．將復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到的向量為，那么對應(yīng)的復(fù)數(shù)是A．2i B．C． D．【試題來源】人教B版（2019）必修第四冊過關(guān)斬將第十章復(fù)數(shù)【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的三角形式運算求解即可．【解析】復(fù)數(shù)的三角形式是，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)故選B【名師點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的三角形式運算，屬于基礎(chǔ)題．20．A． B．C． D．【試題來源】人教A版（2019）必修第二冊突圍者（經(jīng)驗篇）第7章【答案】C【分析】先用多項式乘法展開，再用兩角和與差的三角函數(shù)化簡，分別求出再整理為的形式．【解析】．故選C.【名師點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的轉(zhuǎn)化，兩角和與差的三角函數(shù)，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題．21．A．3 B．C． D．【試題來源】人教A版（2019）必修第二冊突圍者（經(jīng)驗篇）第7章【答案】B【分析】先將和轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式，再求解．【解析】．故選B【名師點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的轉(zhuǎn)化及其運算，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題．22．A． B．C． D．【試題來源】人教A版（2019）必修第二冊突圍者第七章第三節(jié)【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)三角形式乘法的運算法則，進行計算即可．【解析】．故選C．【名師點睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法法則，屬基礎(chǔ)題．23．已知，則A． B．C． D．【試題來源】天津市紅橋區(qū)2019-2020學(xué)年第二學(xué)期高一期中考試【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運算的三角表示，即得答案．【解析】．故選．【名師點睛】本題考查復(fù)數(shù)乘法的三角表示，屬于基礎(chǔ)題．24．1748年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系，并寫出以下公式，這個公式在復(fù)變論中占有非常重要的地位，被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”．根據(jù)此公式，有下列四個結(jié)論：①；②；③；④．其中所有正確結(jié)論的編號是A．①②③ B．②④C．①② D．①③【試題來源】2020-2021學(xué)年【補習(xí)教材寒假作業(yè)】高一數(shù)學(xué)（人教A版2019）【答案】A【分析】根據(jù)題設(shè)中的公式和復(fù)數(shù)運算法則逐項計算后可得正確的選項．【解析】因為，故，故①正確．，所以，，故③正確，④錯誤．而．故②正確，故選A．【名師點睛】本題考查新定義下復(fù)數(shù)的計算，考查了復(fù)數(shù)的三角形式及其運算，本題的關(guān)鍵是理解定義中給出的計算方法．25．把復(fù)數(shù)z1與z2對應(yīng)的向量分別按逆時針方向旋轉(zhuǎn)和后，重合于向量且模相等，已知，則復(fù)數(shù)的代數(shù)式和它的輻角主值分別是A．， B．C． D．【試題來源】遼寧省遼寧師范大學(xué)附屬中學(xué)2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期末【答案】B【分析】由題可知，即可求出，再根據(jù)對應(yīng)的坐標(biāo)即可得出它的輻角主值．【解析】由題可知，則，，可知對應(yīng)的坐標(biāo)為，則它的輻角主值為．故選B．【名師點睛】本題考查復(fù)數(shù)的三角形式，屬于基礎(chǔ)題．26．歐拉是瑞士著名數(shù)學(xué)家，他首先發(fā)現(xiàn)：（e為自然對數(shù)的底數(shù)，i為虛數(shù)單位），此結(jié)論被稱為“歐拉公式”，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．根據(jù)歐拉公式可知，＝A．1 B．0C．－1 D．1＋i【試題來源】備戰(zhàn)2021年高考數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)考點一遍過【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)和三角函數(shù)的性質(zhì)，直接代入運算即可【解析】由題意可知＝，故選C.27．復(fù)數(shù)-i的一個立方根是i，它的另外兩個立方根是A． B．C． D．【試題來源】人教B版（2019）必修第四冊過關(guān)斬將第十章復(fù)數(shù)【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的三角形式求解即可．【解析】，-i的立方根為（其中），當(dāng)時，得；當(dāng)時，得；當(dāng)時，得，故選D．28．已知復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為A． B．C． D．【試題來源】山東省菏澤市2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期中考試A【答案】C【分析】設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)模長運算和三角恒等變換的知識可得到，由此確定最大值．【解析】由可設(shè)：，，（其中），當(dāng)時，．故選．【名師點睛】本題考查復(fù)數(shù)模長最值的求解問題，關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值的求解問題．29．復(fù)數(shù)，由向量繞原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)而得到．則的值為A． B．C． D．【試題來源】2021年高考數(shù)學(xué)（文）一輪復(fù)習(xí)單元滾動雙測卷【答案】C【分析】寫出復(fù)數(shù)的三角形式，繞原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到復(fù)數(shù)的三角形式，從而求得的三角形式得解．【解析】，，，所以復(fù)數(shù)在第二象限，設(shè)幅角為，，，故選C【名師點睛】在復(fù)平面內(nèi)運用復(fù)數(shù)的三角形式是求得幅角的關(guān)鍵．二、多選題1．任何一個復(fù)數(shù)（其中、，為虛數(shù)單位）都可以表示成：的形式，通常稱之為復(fù)數(shù)的三角形式．法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：，我們稱這個結(jié)論為棣莫弗定理．根據(jù)以上信息，下列說法正確的是A．B．當(dāng)，時，C．當(dāng)，時，D．當(dāng)，時，若為偶數(shù)，則復(fù)數(shù)為純虛數(shù)【試題來源】山東省濟南市2020年7月高一年級學(xué)情檢測（期末）【答案】AC【分析】利用復(fù)數(shù)的三角形式與模長公式可判斷A選項的正誤；利用復(fù)數(shù)的棣莫弗定理可判斷B選項的正誤；計算出復(fù)數(shù)，可判斷C選項的正誤；計算出，可判斷D選項的正誤．【解析】對于A選項，，則，可得，，A選項正確；對于B選項，當(dāng)，時，，B選項錯誤；對于C選項，當(dāng)，時，，則，C選項正確；對于D選項，，取，則為偶數(shù)，則不是純虛數(shù)，D選項錯誤．故選AC．【名師點睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘方運算，考查了復(fù)數(shù)的模長、共軛復(fù)數(shù)的運算，考查計算能力，屬于中等題．三、填空題1．復(fù)數(shù)的模是__________．【試題來源】人教A版（2019）必修第二冊突圍者第七章復(fù)數(shù)的三角表示式【答案】3【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的三角形式的定義，即可得到復(fù)數(shù)的模．【解析】復(fù)數(shù)是三角形式，故的模是3．故答案為3．【名師點睛】本題考查由復(fù)數(shù)的三角形式，寫出模的大小，屬基礎(chǔ)題．2．__________．【試題來源】人教A版（2019）必修第二冊突圍者第七章第三節(jié)【答案】【分析】將化為復(fù)數(shù)的三角形式，再利用除法法則，進行計算即可．【解析】，故答案為．【名師點睛】本題考查復(fù)數(shù)三角形式的除法法則，屬基礎(chǔ)題，注意本題中將純虛數(shù)轉(zhuǎn)化為三角形式的細節(jié)．3．復(fù)數(shù)化成三角形式為__________．【試題來源】人教B版（2019）必修第四冊過關(guān)斬將第十章復(fù)數(shù)【答案】【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義分析即可．【解析】如圖，，，，故答案為．4．__________（用代數(shù)形式表示）．【試題來源】人教A版（2019）必修第二冊突圍者（經(jīng)驗篇）第7章【答案】【分析】先用多項式乘法展開，再用兩角和與差的三角函數(shù)化簡，分別求出再整理為的形式．【解析】．故答案為．【名師點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的轉(zhuǎn)化，兩角和與差的三角函數(shù)，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題．5．__________．【試題來源】人教A版（2019）必修第二冊突圍者（經(jīng)驗篇）第7章【答案】【分析】先將6轉(zhuǎn)化三角形式，再用復(fù)數(shù)的除法求解．【解析】．故答案為．【名師點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的轉(zhuǎn)化及其運算，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題．6．復(fù)數(shù)的代數(shù)形式是__________．【試題來源】人教B版高中數(shù)學(xué)必修第四冊【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算進行計算，即可化簡為代數(shù)運算．【解析】．故答案為．【名師點睛】本題考查復(fù)數(shù)的三角形式的化簡，屬基礎(chǔ)計算題．7．__________．【試題來源】人教A版（2019）必修第二冊突圍者第七章第三節(jié)【答案】【分析】將代數(shù)形式的復(fù)數(shù)化為三角形式，再用乘法法則，即可求解．【解析】．故答案為．【名師點睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法，涉及代數(shù)形式和三角形式的相互轉(zhuǎn)化，屬基礎(chǔ)題．8．__________．【試題來源】人教A版（2019）必修第二冊突圍者第七章第三節(jié)【答案】【分析】先將不是標(biāo)準(zhǔn)三角形式的復(fù)數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)形式，然后再用乘法法則計算，即可求得．【解析】．故答案為．【名師點睛】本題考查復(fù)數(shù)的三角形式的乘法，注意將非標(biāo)準(zhǔn)三角形式化簡為標(biāo)準(zhǔn)三角形式．9．__________．【試題來源】人教A版（2019）必修第二冊突圍者第七章第三節(jié)【答案】【分析】先將代數(shù)形式的復(fù)數(shù)，以及非標(biāo)準(zhǔn)三角形式的復(fù)數(shù)，都化為標(biāo)準(zhǔn)三角形式，再用除法法則計算．【解析】=，故答案為．【名師點睛】本題考查復(fù)數(shù)三角形式的除法法則，屬基礎(chǔ)題，本題中需要將代數(shù)形式的復(fù)數(shù)，以及非標(biāo)準(zhǔn)三角形式的復(fù)數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)三角形式．10．復(fù)數(shù)，則__________．【試題來源】遼寧省大連市普蘭店區(qū)第一中學(xué)2019-2020學(xué)年高一5月線上教學(xué)質(zhì)量檢測【答案】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運算進行化簡，再借助復(fù)數(shù)的輻角主值的求法進行求解即可．【解析】，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)點的坐標(biāo)為，點在軸上，所以，故答案為．【名師點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運算及復(fù)數(shù)的輻角主值的計算，屬于基礎(chǔ)題．11．復(fù)數(shù)是方程的一個根，那么的值等于__________．【試題來源】人教B版高中數(shù)學(xué)必修第四冊【答案】【分析】由題意轉(zhuǎn)化條件得，再由復(fù)數(shù)三角形式的乘方法則即可得解．【解析】因為復(fù)數(shù)是方程的一個根，所以．故答案為．【名師點睛】本題考查了復(fù)數(shù)三角形式乘方法則的應(yīng)用，考查了運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．12．一般的，復(fù)數(shù)都可以表示為的形式，這也叫做復(fù)數(shù)的三角表示，17世紀的法國數(shù)學(xué)家棣莫弗結(jié)合復(fù)數(shù)的三角表示發(fā)現(xiàn)并證明了這樣一個關(guān)系：如果，，那么，這也稱為棣莫弗定理．結(jié)合以上定理計算：__________．（結(jié)果表示為，的形式）【試題來源】江蘇省徐州市豐縣中學(xué)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期中【答案】【分析】根據(jù)棣莫弗定理計算即可．【解析】．故答案為．13．歐拉公式（為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它不僅出現(xiàn)在數(shù)學(xué)分析里，而且在復(fù)變函數(shù)論里也占有非常重要的地位，被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”．根據(jù)歐拉公式可知，表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中位于第__________象限．【試題來源】吉林省通化市梅河口五中2020屆高三高考數(shù)學(xué)（文）六模試題【答案】三【分析】由歐拉公式可得，則表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對應(yīng)的點為．判斷點所在的象限，即得答案．【解析】由歐拉公式可得，則表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對應(yīng)的點為．點在第三象限，即表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中位于第三象限．故答案為三．14．已知i為虛數(shù)單位，計算：__________．【試題來源】人教B版（2019）必修第四冊過關(guān)斬將第十章復(fù)數(shù)【答案】【分析】先把轉(zhuǎn)化為，再利用復(fù)數(shù)三角形式的除法運算法則即可求出答案．【解析】原式．故答案為．【名師點睛】本題主要考查由復(fù)數(shù)的代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)三角形式以及復(fù)數(shù)三角形式的除法運算法則，屬于基礎(chǔ)題．15．復(fù)數(shù)的輻角主值為__________．【試題來源】人教B版（2019）必修第四冊過關(guān)斬將第十章復(fù)數(shù)【答案】【分析】先化簡再根據(jù)輻角主值的定義求解即可．【解析】因為，所以所以，所以復(fù)數(shù)z的輻角主值為．故答案為.【名師點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的基本運算與輻角主值的辨析，屬于基礎(chǔ)題．16．若復(fù)數(shù)滿足，則的代數(shù)形式是__________．【試題來源】人教A版（2019）必修第二冊突圍者第七章復(fù)數(shù)的三角表示式【答案】【分析】先寫出的三角形式，再進行化簡整理即可．【解析】設(shè)，則，所以，所以，解得．故答案為．17．已知復(fù)數(shù)滿足，則的最大值是__________．【試題來源】河南省三門峽市外國語高級中學(xué)2020-2021學(xué)年第一學(xué)期高二期中考試【答案】【分析】設(shè)，則化簡可得；然后分類討論去絕對值，在根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求出結(jié)果．【解析】設(shè)．則．，．當(dāng)時，，所以，的最大值是；當(dāng)時，，所以，的最大值是；當(dāng)時，，所以，，．綜上，的最大值是．故答案為．【名師點睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查復(fù)數(shù)模的求法，訓(xùn)練了利用三角函數(shù)求最值，是中檔題．18．設(shè)為復(fù)數(shù)，且，當(dāng)取得最小值時，則此時復(fù)數(shù)__________．【試題來源】江蘇省南通市如皋中學(xué)2020屆高三創(chuàng)新班下學(xué)期高考沖刺模擬（三）【答案】【分析】設(shè)復(fù)數(shù)的輻角為，將用表示出來，再利用二倍角公式，二次函數(shù)性質(zhì)求最小值，可得與的值，即可得復(fù)數(shù)．【解析】設(shè)復(fù)數(shù)的輻角為，所以，，所以，故答案為【名師點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的三角形形式，涉及三角恒等變換及二次函數(shù)性質(zhì)，屬于中檔題．四、雙空題1．歐拉公式(為虛數(shù)單位)是有瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里非常重要，被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”．根據(jù)歐拉公式可知，對表示的復(fù)數(shù)，則等于_________；等于_________．【試題來源】2021年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)與練【答案】1【解析】由歐拉公式，可得，所以，，故答案為1；．【名師點睛】本題考查復(fù)數(shù)的模的計算和復(fù)數(shù)的除法運算，屬于中檔題．2．歐拉公式（i為虛數(shù)單位）把復(fù)指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)聯(lián)系起來它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它不僅出現(xiàn)在數(shù)學(xué)分析里，而且在復(fù)變函數(shù)論里也占有非常重要的地位，更被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”．請計算：__________；猜想：__________（填“是”或“不是”）虛數(shù)．【試題來源】浙江省2020屆高三新高考模擬試題心態(tài)卷【答案】不是【分析】由歐拉公式（i為虛數(shù)單位）直接計算即可【解析】由歐拉公式可知，，因為，所以為實數(shù)，不是虛數(shù)，故答案為；不是五、解答題1．求證：（1）；（2）．【試題來源】人教A版（2019）必修第二冊逆襲之路第七章2【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【分析】將各因式化為三角形式，按照復(fù)數(shù)三角形的乘法法則，即可得證；【解析】證明：（1）左邊右邊，所以原等式成立．（2）左邊，所以原等式成立．【名師點睛】本題考查復(fù)數(shù)三角形式的乘法運算，證明復(fù)數(shù)等式，屬于基礎(chǔ)題．2．把下列復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化成三角形式．（1）；（2）．【試題來源】人教A版（2019）必修第二冊突圍者（經(jīng)驗篇）第7章【答案】（1）（2）【分析】（1）先根據(jù)模公式求出模來，再根據(jù)其對應(yīng)的點是在第四象限，求出，最后寫成三角形式．（2）先根據(jù)模公式求出模來，再根據(jù)其對應(yīng)的點是在第四象限，求出，最后寫成三角形式．【解析】（1）．因為與對應(yīng)的點在第四象限，所以，所以．（2）．因為與對應(yīng)的點在第四象限，所以，所以．【名師點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的轉(zhuǎn)化，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題．3．把下列復(fù)數(shù)的三角形式化成代數(shù)形式．（1）；（2）．【試題來源】人教A版（2019）必修第二冊突圍者（經(jīng)驗篇）第7章【答案】（1）（2）【分析】（1）分別求出再整理為的形式．（2）分別求出再整理為的形式．【解析】（1）．（2）．【名師點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的轉(zhuǎn)化，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題．4．萊昂哈德·歐拉，瑞士數(shù)學(xué)家、自然科學(xué)家．歲時入讀巴塞爾大學(xué)，歲大學(xué)畢業(yè)，歲獲得碩士學(xué)位，他是數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家．其中之一就是他發(fā)現(xiàn)并證明歐拉公式，從而建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．若將其中的取作就得到了歐拉恒等式，它是數(shù)學(xué)里令人著迷的一個公式，它將數(shù)學(xué)里最重要的幾個量聯(lián)系起來：兩個超越數(shù)：自然對數(shù)的底數(shù)，圓周率；兩個單位：虛數(shù)單位和自然數(shù)單位；以及被稱為人類偉大發(fā)現(xiàn)之一的，數(shù)學(xué)家評價它是“上帝創(chuàng)造的公式”請你根據(jù)歐拉公式：，解決以下問題：（1）試將復(fù)數(shù)寫成（、，是虛數(shù)單位）的形式；（2）試求復(fù)數(shù)的模．【試題來源】江蘇省南京市秦淮中學(xué)2019-2020學(xué)年高二（美術(shù)班）上學(xué)期期末【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)歐拉公式可將復(fù)數(shù)表示為一般形式；（2）根據(jù)歐拉公式將復(fù)數(shù)表示為一般形式，利用復(fù)數(shù)的模長公式可求得該復(fù)數(shù)的模．【解析】（1）根據(jù)歐拉公式可得；（2）由題意可知，因此，．【名師點睛】本題考查復(fù)數(shù)的三角表示，同時也考查了復(fù)數(shù)模長的計算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．5．化簡：（1）；（2）．【試題來源】人教A版（2019）必修第二冊逆襲之路第七章2【答案】（1）（2）【分析】將復(fù)數(shù)化為三角形式，按照復(fù)數(shù)三角形式的除法法則，即可求解．【解析】（1）原式．（2）原式【名師點睛】本題考查復(fù)數(shù)三角形式的除法運算，屬于基礎(chǔ)題．6．歐拉公式（為自然對數(shù)的底數(shù)，為虛數(shù)單位，）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉提出的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)，闡述了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位，被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”，根據(jù)歐拉公式：（1）判斷復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第幾象限，并說明理由；（2）若，求的值．【試題來源】人教A版（2019）必修第二冊過關(guān)斬將第七章復(fù)數(shù)本章達標(biāo)檢測【答案】（1）第二象限，理由見解析；（2）．【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的歐拉公式將復(fù)數(shù)表示為一般形式，判斷實部與虛部的符號，即可判斷出該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限；（2）由題意可知，復(fù)數(shù)為負實數(shù)，由此可得出，利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系即可求出的值．【解析】（1）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，理由如下：在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，由于，因此，，點在第二象限，故復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限；（2），為負實數(shù)（虛數(shù)無法比較大?。獾茫久麕燑c睛】本題考查復(fù)數(shù)的新定義“歐拉公式”，解題時要結(jié)合“歐拉公式”將復(fù)數(shù)化為一般形式，考查推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．7．在復(fù)平面內(nèi)，把與復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量繞原點按順時針方向旋轉(zhuǎn)30°，所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，求復(fù)數(shù)（用代數(shù)形式表示）．【試題來源】人教A版（2019）必修第二冊突圍者（經(jīng)驗篇）第7章【答案】【分析】把與復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量繞原點按順時針方向旋轉(zhuǎn)30°得到，再利用復(fù)數(shù)的除法求解．【解析】由題意得．【名師點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的轉(zhuǎn)化及其運算，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題．8．復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式互化：（1）；（2）．【試題來源】人教A版（2019）必修第二冊突圍者第七章復(fù)數(shù)的三角表示式【答案】（1）．（2）【分析】（1）先求得模長，以及輻角主值，再寫出三角形式即可；（2）將三角形式的復(fù)數(shù)進行化簡整理即可．【解析】（1），所以．（2）所以=．【名師點睛】本題考查復(fù)數(shù)的三角形式與代數(shù)形式之間的轉(zhuǎn)化，屬基礎(chǔ)題．9．下列復(fù)數(shù)是不是三角形式？如果不是，把它們表示成三角形式．（1）；（2）．【試題來源】人教A版（2019）必修第二冊突圍者第七章復(fù)數(shù)的三角表示式【答案】（1）不是，（2）不是，．【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的三角形式的定義，結(jié)合題意，本題中模是負數(shù)，顯然不是三角形式，需要借助誘導(dǎo)公式化簡；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的三角形式的定義，顯然不是復(fù)數(shù)，借助誘導(dǎo)公式化簡即可．【解析】（1）不是．（2）不是．．【名師點睛】本題考查復(fù)數(shù)的三角形式的辨識，以及化簡復(fù)數(shù)為三角形式的能力，需要注意合理利用誘導(dǎo)公式．10．已知復(fù)數(shù)的模為2，實部為，求復(fù)數(shù)的代數(shù)形式和三角形式．【試題來源】人教A版（2019）必修第二冊突圍者第七章復(fù)數(shù)的三角表示式【答案】或；或．【分析】根據(jù)模長的求解，即可得到復(fù)數(shù)的虛部，再寫出代數(shù)形式，然后化為三角形式．【解析】先求代數(shù)形式，再求三角形式．由題，可設(shè)．因為，所以，解得，所以或．化為三角形式，得或．【名師點睛】本題考查復(fù)數(shù)的三角形式和代數(shù)形式，屬基礎(chǔ)題．11．在復(fù)平面內(nèi)，把與復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，求與所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)（用代數(shù)形式表示）．【試題來源】人教A版（2019）必修第二冊突圍者第七章第三節(jié)【答案】【分析】根據(jù)三角形式的復(fù)數(shù)乘法意義，應(yīng)用乘法法則，計算即可．【解析】與所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為=．12．在復(fù)平面內(nèi)，把與復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量繞原點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，求與所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)（用代數(shù)形式表示）．【試題來源】人教A版（2019）必修第二冊突圍者第七章第三節(jié)【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法的意義，進行計算即可．【解析】與所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為．13．分別指出下列復(fù)數(shù)的模和輻角的主值，并將復(fù)數(shù)表示成代數(shù)形式．（1）4；（2）2【試題來源】2021年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)與練【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析．【分析】（1）復(fù)數(shù)4為復(fù)數(shù)的三角形式，再寫出其模和輻角的主值，然后再轉(zhuǎn)化為的形式；（2）先把復(fù)數(shù)，轉(zhuǎn)化為三角形式，再寫出其模和輻角的主值，然后再轉(zhuǎn)化為的形式；【解析】（1）復(fù)數(shù)4模r＝4，輻角的主值為θ＝．．（2），復(fù)數(shù)的模為2，輻角的主值為θ＝，．14．若，，（為實數(shù)），為虛數(shù)單位．（1）求復(fù)數(shù)；（2）求的取值范圍．【試題來源】黑龍江省綏化市安達市第七中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期9月月考【答案】（1）；（2）．【分析】（1）設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)相等，得出關(guān)于實數(shù)、的方程組，解出這兩個未知數(shù)，即可得出復(fù)數(shù)的值；（2）利用復(fù)數(shù)的模長公式以及輔助角公式得出，利用正弦函數(shù)的值域可求出的取值范圍．【解析】（1）設(shè)，則，，即，所以，解得，；（2），，，，故的取值范圍是．【名師點睛】本題考查復(fù)數(shù)的求解，同時也考查了復(fù)數(shù)模長的計算，涉及復(fù)數(shù)相等以及輔助角公式的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題．15．計算：．【試題來源】人教B版（2019）必修第四冊過關(guān)斬將第十章復(fù)數(shù)【答案】【分析】利